2023年沪教版初中数学知识点

第九章整式

第一节整式的概念

9.1.2.3.字母表达数

代数式：用括号和运算符号把数或表达数的字母连接而成的式子叫代数式。单独时数或字母

也是代数式。

代数式的书写：1.代数式中出现乘号一般写作“”或省略不写，但数与数相乘不遵照此原则。

2.数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。

3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。

4.相似字母相乘一般不把每个因式写出来，而写成箱H勺形式。

5.代数式不能具有“=、#、＜、＞、2、W”符号。

代数式的值：用数值替代代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的成果，叫代数式

的值。

注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加X。

2、若带入的值是负数时，应添上括号。

3、注意解题格式规范，应写“当…..时，原式=…….

4.在实际问题中代数式圻取时值应使实际问题故意义。

9.4整式

1.由数与字母的乘积构成的代数式称为单项式。单独•种数或字母

也是单项式。

2.系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式日勺系数。

3、单项式H勺次数：一种单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项

式的次数。

4.多项式：几种单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项

叫做常数项。

5.多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式H勺次数

6、整式：单项式和多项式统称为整式。

9.5合并同类项

1.同类项：所含字母相似，尹且相似字母的指数也相似口勺项叫做

同类项.

2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

一种多项式合并后具有几项，这个多项式就叫做几项式。

3.合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的成果作为合并后

口勺系数，字母和字母的指数不变。

第二节9.6整式附加减：

去括号法则：

（1）括号前面是"+"号，去掉”号和括号，括号里各项的不变号：

（2）括号前面是"一"号，去掉“一”号和括号，括号里H勺各项都变号。

添括号法则

（1）所添括号前面是“+”号，括到括号里口勺各项都不变符号；

（2）所添括号前而是“一”号.括到括号里的各项都变化符号。

第三节整式的乘法9.7同底数塞的乘法、9.8塞的乘方、9.9积的乘方：

①同底数恭的乘法

a'-a"=ai（m、n都是正整数）。

同底数凝相乘，底数不变，指数相加。

②辕的乘方与积的乘方

（a）n=ann（m,n都是正整数）

府的乘方，底数不变，指数相乘。

(ab)n=a,bn(n都是正整数)

积的乘方等于各因式乘方I内积。

③同底数基H勺除法

am+an=am-n（a#O,mn都是正整数，且m>n）

同底数哥相除，底数不变，指数相减。

a°=l<^0）任何一种不等于零时数的零指数累都等于1。

H-P=三WO,p是iF整数）任何一种不等零的数

的-p（p是正整数）指数基，等这个数的p指数第H勺倒数。

9.10整式的乘法：

⑴单项式与单项式相乘：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相似字母分别相乘，对于只在一种单项式里具有的

字母，则连同它的指数作为积的一种因式。

⑵单项式与多项式相乘：

单项式与多项式相乘，就是根据分派率用单项式去乘多项式H勺每一项，再把所得的积相

加,即。

注意：单项式乘多项式实际上是用分派率向单项式相乘转化。

⑶多项式与多项式相乘：

多项式与多项式相乘.先用一种多项式的J每一项乘另一种多项式的每一项.再杷所得的积

相加，

即（a+b）（m+n）=am+bm+an+bn0

第四节、乘法公式

9.11平方差公式

①内容：

（a+b）*（a—b）=a2—b2

②意义:

两个数的和与这两个数的差日勺乘枳，等于这两个数H勺平方差。

③特性：

I.左边是两个二项式相乘.这两项中有一项相似，另一项互

为相反数；

n.右边是乘式中两项的平方差；

IH.公式中的a和b可以使有理数，也可以是单项式或多项式。

④几何意义：

平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等

的体现式。

⑤拓展：

I.立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；

233

II.立方差公式：(a-b)(a?+ab+b)=a-bo

(a-b)(a+ab+ab2H---1-a2b4-ab+b)=a-b。

9.12完全平方公式：

①内容：

(a4-b)2=a2+b2H-2ab；

(a-b)2=a2-Fb2-2ab。

②意义：

两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的2倍.

两数差的平方，等于它们H勺平方和，减去它们积的2倍。

③特性：

I.左边是一•种二项式的完全平方，右边是一种二次三项式，其中有两项是公式左边二项

式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，可简记为“首平方，尾平方，积

的2倍在中央。”

II.公式中日勺a、b可以是单项式，也可以是多项式。

④推广:

I.(a+b+c)2=a2+b24-c2+2ab+2bc+2ac：

II.(a+b)3=aJ+b3+3a2b+3ab2；

J3522

III.(a-b)=a-b-3ab+3abo

第五节因式分解

⑴因式分解的意义：

把一种多项式化为几种整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做

把这个多项式分解因式，即多项式化为几种整式的积。

注意：①因式分解的规定：

1.成果一定是积的形式，分解的对象是多项式；

H.每个因式必须是整式：

III.各因式要分解到不能分解为止。

②因式分解与整式乘法的关系：

是两种不一样的变形过程，即互逆关系。

9.13提取公因式法：

①提公因式法分解因式：

ma+mb+mc=m(a+b+c),这个变形就是提公因式法分解因式。

次里的Jm可以代表单项式.也可以代表多项式.m称为公因式:。

确定公因式措施：

系数：取多项式各项系数的最大公约数。

字母(或多项式因式〉：取各项都具有H勺字母(或多项式因式)H勺最低次箱。

9.14公式法

②运用公式法分解因式：

I.平方差公式：a2—b2=(a4-b)*(a—b)o

II.完全平方公式：a2+b2-F2ab=(a+b)2：

a2J-b2—2ab=(a—b)2<>

HI.立方和与立方差公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

a3—b3=(a—b)(a24-ab4-b2)(>

(2)注意：(1)公式中的字母a、b可代表一种数、一种单项式或一种多项式。

选择使用公式的措施：重要从项数上看。，若多项式是二项式

应考虑平方差或立方和、立方差公式：若多项式是三项式，可

考虑用完全平方公式.

9.15.十字相乘法：运用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解

因式的措施叫做十字相乘法。

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。

9.16分组分解法：

【.将多项式的项合适口勺分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。

0.合用范用：适合四项以上的多项式的分解。

分组H勺原则为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。

④其他措施：

.求根公式法：若ax?+bx+c=O(a#0)H勺两根是x1、x2,

2

ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)0

⑶因式分解口勺一般环节及注意问题：

①对多项式各项有公因式时，立先提供因式。

②多项式各项没有公因式时，假如是二项式就考虑与否符合平方差

公式；假如是三项式就考虑与否符合完全平方公式或二次三项式H勺

因式分解•；假如是四项或四项以上的多项式，一般采用分纽分解法。

分解因式，必须进行到每一种多项式都不能再分解为止。

整式除法：

9.17同底数塞的除法

同底数塞相除，底数不变，指数相减。

任何不等于零的数H勺零次事为1,既：

9.18单项式除以单项式：

单项式与单项式相除的法则：

单项式与单项式相除，把系数、同底数系分别相除，作为商的因式，对于只在被除

式里具有的字母，则连同它口勺指数作为商的一种因式。

注意：①两个单项式相除，只要将系数及同底数冢分别相除即可八

②只在被除式里具有H勺字母不不要遗漏。

9.19多项式与单项式相除：

多项式与单项式相除的法则：

一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的

商相加，

即(ma+mb+mc+dm)4-ni=ani4-irH-bm-j-rrH-crn4-rrH-drn-i-rru

注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这

样计凫H勺。

⑶整式的混合运算：

关键是注意运算次序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号，最

终去大括号，先做括号里的。

X内容整顿

第十章分式

10.1.(1)＞分式的意义

两个整式A/B和除即A4-B机可以表达为A/B.假如B中具有字母，那么A/B叫做分式。

A叫做分式的分子,B叫做分式日勺分母。

假如一种分式的分母为零，那么这个分式无意义。

10.2(2)、分式的基本性质整式

V

整式和分式统称为有理k：：即有理式

分式

分式口勺分子和分母同步乘以(或除以)同一种不为。口勺整式，

分式时值不变。用式子表达为:A/B=A*C/B*CA/B=A+C/B・C

(A.B,C为整式，且B、CW0)

①约分:把一种分式H勺分子和分母H勺公因式约去，这种变形称为分式

的约分.

②分式的约分环节：

(1)假如分式的分子和分母都是或者是几种乘枳口勺形式，将它们口勺

公因式约去

(2)分式的分子和分母都是将分子和分母分别，再将公因式约去.

注:公因式的提取措施:取分子和分母系数的，字母取分子和分

母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式.

③•种分式的分子利分母没有公因式时，这个分式称为最简分式.约分

时，一般将一种分式化为最简分式。

④通分：把几种异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，

叫做分式的通分。

⑤分式的通分环节:先求出所有分式分母tl勺最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分

母.同步各分式按照分母所扩大的倍数，对应扩大各自的分子.

注:最简公分母确实定措施:系数取各因式系数的最小公倍数.相似字母的及单独字母的幕

的乘积。

注:(1)约分和通分的根据都是分式口勺基本性质。

(2)分式的及勺分和通分都是互逆运算过程.

10.3.分式的运算：

①分式的乘法法则：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积

的分母.用字母表达为：a/b*c/d=ac/bd

②分式的除法法则：

I.两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘

:a/b-rc/d=ad/bc

II.除以一种分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b+c/d=a/b*d/c异分母分式通分时，关

健是确定公分母，一般取各分母所有因式的最高次福H勺积作为公分母，这样的公分母叫做

最简公分母。

10.4分式附加减

③同分母分式加减法则：同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表以为：a/c

±b/c=a±b/c

④异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分

母分式附加减法法则进行计算.用字母表达为：

a/b±c/d=ad±cb/bd

10.5分式方程：

①分式方程口勺意义:分母中具有未知数的方程叫做分式方程.

②分式方程的解法：

I.去分母(方程两边同步乘以最简公分母，将分式方程化为整式方

程）；

n.按解整式方程H勺环节求出未知数的值；

HI.验根（求出未知数的值后必须验根，由于在把分式方程化为整式方程IKJ过程中，扩大了未

知数口勺取值范围，也许产生增根）.

10.6整数指数幕及其运算

X内容整顿

第十一章

1.平移定义和规律

（1）平移的定义：在平面内，将一种图形沿某个方向移动一定向距离，这样的图形运动称为

平移（Translation）.平移后各对应点之间口勺距离叫做图形平移的距离。

关键：a.平移不变化图形的形状和大小（也不会变化图形的方向，但变化图形H勺位置）。

b.图形平移三要素♦：原位置、平移方向、平移距离。

（2）平移的规律（性质）：通过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、

对应角相等。

注意：平移后，原图形与平移后口勺图形全等。

（3）简朴的平移作图:

平移作图要注意：①方.向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一种特性点按

一定方向和一定的距离平行移动。

2.旋转口勺定义和规律

（1）旋转的定义：在平面内，将一种图形饶一种定点沿某个方向转动一种角度，这样的运动

叫做图形的旋转（Cisumrctara）.这个定点称为旋转中心：转动的角称为旋转角.

关键：a.旋转不变化图形H勺形状和大小（但会变化图形H勺方向，也变化图形的位置）。

b.图形旋转四要素•：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。

（2）旋转的规律（性质）：

通过旋转，图形上的每一种点都绕旋转中心沿相似方向转动了相似的角度，任意一对

对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。（旋转前后

两个图形的对应线段相等、对应角相等。）

注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。

（3）简朴的旋转作图：

旋转作图要注意：①旋转方向：②旋转角度。整个旋转作图，就是把整个图案的每一

种特性点绕旋转中心按一定口勺旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。

3.图案口勺分析与设计

4、①首先找到基本图案，然后分析其他图案与它日勺关系，即由它作何种运动变换而形

成。

5、②图案设计的基本手段重要有：轴对称、平移、旋转三种措施。

6、旋转对称图形：把一种图形绕着一种定点旋转-•种角度a后，与初始图形重费，这种图

形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角a满足

0<a<360）

中心对称图形：假如把一种图形绕着一种定点旋转180后，与初始图形重叠，那么这个图形

叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

把一种图形绕着一种定点旋转180后，与另一种图形重叠，那么叫做这两个图形有关这点对

称，也叫做这两个图形成中兴对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做有关

中心的对称点。

7、轴对称知识回忆

（1）轴对称图形定义：假如一种图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分可以互相重叠,

那么这个图形叫做轴对称图形（AxiallySymmetricFigura）.折痕所育的直线叫做对称轴，

（2）两个图形有关这条直线成轴对称：假如把一种图形沿某一条直线翻，能与另一种图形

重叠，那么叫做这两个图形有关这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对

应点叫做有关这条直线的对称点。

（3）注意：

①轴对称是说两个图形的位置关系；而轴对称图形是说一种具有特殊形状口勺图形。

②成轴对称日勺两个图形，必然是全等图形。

（4）轴对称H勺性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分：对应线段相等：对应角相等。

（3）简朴的轴对称作图:

求作一种几何图形有关某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特性点有关这

条直线对称的点。后依次连结各特性点即可。

图形的平移

对称图形中心对称图形

图形日勺运动射形的旋转

中心对称

轴对称图形

图形的翻折I

轴对称

轴对称轴对称图形

3

区①指两个图形而言：①对一种图形而言：

别②指两个图形的一种形状与位置②指-•种图形的特殊形状。

关系。

联①均有一条直线，都要沿这条直线折置重检：

络②把两个成轴对称的图形当作一种整体，就是一种轴对称图形：反过来，

把轴对称图形沿对称轴提成两部分，这两部分有关这条直线成轴对称。

②把两个成轴对称的图形当作一种整体，就是一种轴对称图形：反过来，

把轴对称图形沿对称轴提成两部分，这两部分有关这条直线成轴对称。

|轴对称j与否是轴对称图对称轴有几对称轴口勺位置

|几何图形条

|形的对|

称轴:

名称

线段2条垂直平分线或线段所在H勺直线

角超逗角平分线所在的直线一

长方形是芨对边中线所在的直线一

正方形是4^对边中线所在的直线和对角线所在

的直线

圆是无数条直径所在H勺直线

平行四边不是0条

形

第十二章实数

第一节实数的概念

12.1实数的概念

有理数和无理数统称为实数。

实数按如下方式分类：

正有理数

有理数零有限小数或无限循环小数

]负有理数

实数I[

正无理数J

无理数无限不循环小数

负无理数

实数和数轴上H勺点一一对应，即每一种实数都可以用数轴上的一种点来表达；反过来，数轴

上的每一种点表达一种实数。

正数不小于零，负数不不小于零，正数不小于负数v

两个正数，绝对值大的数较大，两个负数，绝对值大的数反而小。

无理数：无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数。

第二节数的开方

12.2平方根和开平方

假如一种数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，也就做二次方根。

求一种数a的平方跟的运算叫做开平方，a叫做被开方数。

一种正数a的平方根有两个，它们互为相反数。零的平方根是零；负数没有平方根。

（1）正数a口勺两个平方根可以用“土”表达，其中表达a口勺正的平方根（又叫算术平方

根），读作“根号””：表达。内负平方根，读作“鱼根号。工

（2）零的平方根记作，0,70=0.

（3）当a>0时，（）2=a,（）2=a.

当a20时，=a;

当a这0时，=-o

12.3立方根和开立方

假如一种数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根，用””表达，读作“三次根

号0"。中的a叫做被开方数，“3”叫做根指数。

求一种数。的立方根的运尊叫做开立方。

正数的立方是一种正数，负数的立方是一种负数.零的立方等于零，因此正数的立方根

是一种正数，负数的立方根是--种负数，零的立方根是零。

仟意一种实数均有立方根.并且只有一种立方根。

12.4n次方根

假如一种数的n次方（n是不小于I的整数）等于a,那么这个数叫做。的n次方根，当n为

奇数时，这个数为aH勺奇次方根；当n为偶数时，这个数为aH勺偶次方根

求-•种数。的n次方跟的运算叫做开n次方；a叫做被开方数,n叫做根指数。

实数a的J奇次方根有且只有一种，用“”表达，其中被开方数a是任意一种实数,根指数n

是不小于1的奇数。

正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根用“”表达，负n次方根用“一

”表达，其中被开方数。>0,根指数n是正偶数（当n=2时，在土中省略n）

负数的偶次方根不存在。

零口勺n次方根等于零，表达为=0

“近”读作“n次根号a”

第三节实数的运算

12.5用数轴上的点表达数

有理数范围内绝对值、相反数意义：

一种实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。实数a的绝对值记作

IaI.

绝对值相等，符号相反的两个数记作互为相反数：

零时相反数是零。非零实数。的相反数是一a。

实数大小的比较：

负数不不小于零；零不不小于正数。

两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的I数较小。

从数轴上看，右边的点所示的数总比左边时点所示H勺数大。

两点间的距离：

在数轴上，假如点A、点B所对应时数分别为Q、b,那么

A.B两点的距离AB=Ia-bI.

12.6实数的运算

设a>0,b>0,可知(,)=()2•()2=abo

根据平方根的意义，得二・。

同理：=

近似数与精确数的靠近程度即近似程度。对近似程度H勺规定，叫做精确度。

对于一种近似数，从左边第一种不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这

个近似数口勺有效数字。

第四节分数指数累

分数指数累

(a>0)

=(a>0)其中m、n为正整数,n>l.

有理数指数基有下列性质：

设a>b,b>0,P、q为有理数，那么

(1)•=,=

⑵(C*=j

(3)(时7

本章小结

厂有理数

实数的分类------>y

无理数

实数用娄【轴上日勺点表达数

C运算法则及运算性质

实数的运算_________►Y

山似数及近似计厚

数的开方分数报数幕有理数指数感运算性质

第十三章相交线、平行线

第1节相交线

13.1邻补角,对顶角

相交线的定义：

在同一平面内，假如两条直线只有一种公共点，那么这两条直线叫做相交线。

对顶角的定义：

一种角的两边分别是另一种角的两边H勺反向延长线，这两个角叫做对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。

邻补角的定义：

有公共顶点和一条公共边，并且互补的两个角称为邻补角。

邻补角的性质：邻补角互补。

垂线的定义：

垂直是相交H勺一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直

线的垂线，它们H勺交点叫做垂足。

垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2:垂线段最短。

点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

同位角:

两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样H勺一对角叫做同位角。

内错角：

两个角都在两条被截线之间，并且在截线H勺两旁，这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：

两个角都在两条被截线之间，并且在截线H勺同旁，这样的一对角叫做同旁内角。

平行线的概念

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行公理：通过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直

线也平行。

13.2垂线

1.垂线与斜线

通过操作实践，所得到H勺成果阐明垂线有这样的基本性质：

在平面内通过直线上或直线外地一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条。

2.点到直线的距离

联结直线外一点与直线上各点得所有线段中，垂线段最短。简朴地说：垂线段最

短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线H勺距离。

13.3同位角，内错角，同旁内角（三线八角）

第2节平行线

13.4平行线的鉴定

两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行。（同位角相等,

两直线平行）

平行线具有如下基本性质：

通过直线外地一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等,

两直线平行）

两条直线被第三条直线所截,假如同旁内角互补，那么这两条宜线平行。（同旁内角互补，两

直线平行）

13.5平行线口勺性质

两条平行线被第三条直峻所截，同传角相等.（两直线平行，同

位角相等）

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内

错角相等）

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行，

同旁内角互补）

假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平

行。（对于直线、、，假如，那么。被称为平行

的传递性）

两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都

是一•种定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。

第十四章三角形

第I节三角形的有关概念与性质

14.1三角形的有关概念

1.三角形的有关线段

三角形H勺高，中线，角平分线

2.三角形的分类

14.2锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，不等边三角形，等腰三角形，等边三角形

14.3三角形口勺内角和

二角形的内角和等于180，

三角形的一种外角等于与它不相邻的两个内角的和；

三角形的一种外角不小于任何一种与它不相邻的内角。

三角形的外角和等于36（），

第2节全等三角形

14.4全等三角形的概念与性质

可以重置的两个图形叫做全等形。

两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，通过运动后一定重:

登，互相重叠H勺顶点叫做对应顶点；互相重叠的边叫做对应边：互相重叠的角叫做对应角。

14.5全等三角形的对应边相等，对应角相等。

14.6全等三角形的J鉴定

鉴定措施I在两个三角形中，假如有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角

形全等（简记为S.A.S）。

鉴定措施2在两个三角形中，假如有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形

全等（简记为A.S.AA

鉴定措施3在两个三角形中，假如有两个角及其中一种角的对边对应相等，那么这两个

三角形全等（简记为A.A.S）。

鉴定措施4在两个三角形中，假如有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为

S.S.S）o

斜边和一^直角边对应相部）两个直角三角形全等简写成“斜边、直角边”和“HL”。

SSA、AAA不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，假

如有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。三角形全等的证明思绪

找夹，一一SAS

I.已知两边找直卜一一HL

找另一边一一SSS

找边口勺对——AAS

H.已知一边一角边为纳勺邻边找夹角的儿一边一一SAS

找夹边的另一角一一ASA

边为角的对边一一找任意一角一一AAS

III.已知两角找来边一一ASA

找任意一边一一AAS

第3节等腰三角形

14.7等腰三角形的性质

等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角

等腰三角形口勺顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重叠（简称为“等腰三角

形的三线合一”）。

14.8等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。

14.9等腰三角形的鉴定

14.10假如一种三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰

三角形（简称为“等角对等边

14.11等边三角形

等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等。

等边三角形的性质:

等边三角形的每个内角等于6（r。

鉴定等边三角形的措施：

（I）三个内角都相等的三角形是等边三角形。

（2）有一种角等于60H勺等腰三角形是等边三角形。

SSA、AAA不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，假如

有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

1.线段的垂直平分线：

定理：

⑴线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等。

与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线匕

注意：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。

2.等腰三角形：

①等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”。

②等腰三角形顶角H勺平分线垂直平分底边

推论：等边三角形三个内角相等，每一种内角都等于60°。

假如一种三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，简称“等角时等边”。

推论：①三个角都相等能赢是等疟角形。②有一种角层60二丙等腰三角形是等足

角形.

定理：在直角三角形中，假如一种锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边向三芬

I之一。I

3.角的平分线：

定理：

①角平分线上任意一点到角口勺两边口勺距离相等。

②在•种角的内部，到角的两边距离相等H勺点在这个角的平分线上。

第十五章平面直角坐标系

第1节平面直角坐标系

15.1平面直角坐标系

在平面内取一点，过点画两条互相垂直的数轴，且使它们以点为公共原点。这

样，就在平面内建立了一种直角坐标系。一般，所画的两条数轴中，有一条是水平放置的,

它的正方向向右，这条数轴叫做横轴（记作轴）：另一条是铅直放置的，它的正方向向上,

这条轴叫做纵轴（记作轴）。如图所示，记作平面直角坐标系：点叫做坐标原点（简

称原点），轴和轴统称为坐标轴。

在平面直角坐标系xOy中，点P所对应I句有序实数对（ab）叫做点PI为坐标，记作P（a,b）,

其中。叫做横坐标，b叫做纵坐标。

象限的划分：

）第一象限

第二象限3

(-,+)；（+,+）

-4-3-2-101234x

-1

〈一，一）.2-（十,一）

第三象限T「第四象限

通过点A（a,b）且垂直于x轴的直线可以表达为直线x=a,通过点A（a,b）且垂直于y轴的直线

可以表达为直线丫=5

第2节直角坐标平面内点的运动

15.2直角坐标平面内点的运动

点的坐标

有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一种有序数对来表达，a点对应x轴的数值

为横坐标.b点对应y轴的数值为纵坐标.有序数对就叫做点A的坐标.记作（a.b）o

在直角坐标平面内，

平行于x轴的直线上口勺两点A（*«,y）、y）的距离

AB=|不一巧|：

平行于y轴的直线上的两点C（x.¥l）、D（x.，2）H勺距离

CD=|此一%|.

点的平移

在平面直角坐标系中

将点（x,y）向右平移m个单位长度，可以得到对应点（x+m,y）；

将点（x,y）向左平移m个单位长度，可以得到对应点（x-m,y）；

将点（x,y）向上平移m个单位长度，可以得到对应点（x,y+m）；

将点（x,y）向下平移m个单位长度，可以得到对应点（x,y-m）o

坐标平面图

坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为

六个区域：x轴上,y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在这六个区域中，除

x轴与y轴的一种公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点。

建立/直角坐标系H勺平面叫做直角坐标平面（简称坐标平面）。这样，本来平面内的

点都可以用有序实数对来表达。

在平面直角坐标系中，点所对应的有序实数对叫做点的坐标，记作，其中叫

做横坐标,叫做纵坐标。

原点的坐标是。的坐标是，的坐标是。

在平面直角坐标系中对称点的特点：

①有关x成轴对称的点的坐标，横坐标相似，纵坐标互为相反数。

（横同纵反）

②有关y成轴对称的点口勺坐标，纵坐标相似，横坐标互为相反数。

（横反纵同）

③有关原点成中心对称打点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互

为相反数。（横纵皆反）

一般地，在直角坐标平面内，与点M(x,y)有关X轴对称I句点H勺坐标为(x,y);与点M(x,y)有

关y轴对称的点H勺坐标为(・x,y).

一般地，在直角坐标平面内，与点M(x,y)有关原点对称的点的坐标为(・x,-y)。

第十六章二次根式

第一节二次根式的概念和性质

16.1二次根式

I.二次根式的概念：式子叫做二次根式.注意被开方数只能是正数或0.

2.二次根式的性质

①V?"=同=«必>0)

-a(a<0)

②(右/=a[a>0)

③=4a-yfb[a>0,/?>0)：

(a>0,Z?>0)

16.2最简二次根式与同类二次根式

I.被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的一次根式，叫做

最简二次根式.

2.化成最简二次根式后，被开方数相似的二次根式，叫做同类二次根式

16.3二次根式的运算

1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并.

2.二次根式的乘法:等丁各个因式的被开方数H勺积的算术平方根，

即y/a•4b=4cih(a>0,b>0).

3.二次根式的和相乘，可参照多项式口勺乘法进行.

两个具有二次根式时代数式相乘，假如它们的枳不具有二次根式，那么这两个三次根

式互为有理化因式.

4.二次根式相除，一般先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母H勺有理化因式，把

分母的根号化去(或分子、分母约分).把分母的根号化去，叫做分母有理化.

二次根式H勺运算法则：

a>/c+bx/c=(a+c)\[c(c>0)

4a-4b=4ab(a>0,b>0).

(a>0,b>0)

4bV。

(y/a)"=y[a"(a>0)

第十七章一元二次方程

17.1一元二次方程的概念

1.只具有一种未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程

2.一般形式y=ax?+bx+c(a^O),称为一元二次方程的一般式，ax叫做二次项,a是二次项

系数；bx叫做一次项,b是一次项系数；c叫做常数项

17.2一元二次方程的解法

I.特殊的一元二次方程的解法：开平措施，分解因式法

2.一般的一元二次方程的解法：配措施、求根公式法

3.求根公式：；

△=〃-4ac20

17.3一元二次方程的鉴别式

I.一元二次方程：

△>0时，方程有两个不相等的实数根

△=0时，方程有两个相等的实数根

△V0时，方程没有实数根

2.反过来说也是成立H勺

17.4一元二次方程的应用

1.一般来说，假如二次三项式（）通过因式分解得=:是一元二次方程H勺根

2,把二次三项式分解因式时：

假如20,那么先用公式法求出方程的I两个实数根，再写出分解式

3.假如V0,那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式

实际问题：设，歹U,解，答

第十八章正比例函数和反比例函数

18.1.函数的概念

1.在问题研究过程中，可以取不一样数值I向量叫做变量：保持数值不变的量叫做常量

2.在某个变化过程中有两个变量，设为x和y,假如在变量xH勺容许取之范围内，变量y随

变量xH勺变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x『、J函数,x叫做

自变量

3.体现两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式

4.函数的J自变量容许取之的范围，叫做这个函数的定义域:假如变量y是自变量、的函数，那

么对于x在定义域内去顶的一种值a,变量yH勺对应值叫做当x=a时的函数值

18.2正比例函数

I.假如两个变量每一组对应值的比是一种不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例

2.正比例函数:解析式形如y=kx（k是不等干零的常数）的函数叫做正比例函数.气质常数

k叫做比例系数：正比例函数R勺定义域是一切实数

3.对于一种函数，假如一种图形上任意一点H勺坐标都满足关系式，同步以这个函数解析

式所确定的x与y的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数的图

像

4.一般地，正比例函数H勺图像时通过原点O（0,0）和点（I,k）的一条直线，我们把正

比例函数的图像叫做直线

5.正比例函数有如下性质：

（1）当kVO时，正比例函数的图像通过一、三象限，自变量xl均值逐渐增大时，yl总值

也伴随逐渐增大

(2)当kVO时，正比例函数的图像通过二、四象限.自变量xH勺值逐渐增大时,y的值

则伴随逐渐减小

18.3反比例函数

I.假如两个变量口勺每一组对应值的乘积是一种不等于零的常数，那么就说这两个变量成反

比例

2.解析式形如H勺函数叫做反比例函数，其中k也叫做反比例系数

反比例函数的定义域是不等于零H勺一切实数

3.反比例函数有如下性质：

(1)当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一种象限内，当自变量x『、J

值逐渐增大时,y的值则伴随逐渐减小

(2)当kVO时，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一种象限内。自变量x的值

逐渐增大时,y日勺值也伴随逐渐增大

18.4函数的表达法

I.把两个变量之间的依赖关系用数学式子来体现一一解析法

2.把两个变量之间的依赖关系用图像来表达……图像法

3.杷两个变量方间的依赖关系用表格来表i大一一列表法

第十九章几何证明

19.1命题和证明

I.我们目前学习的证明方式是演绎证明，简称证明

2.能界定某个对象含义的句子叫做定义

3.判断一件事情的句子叫做命题：其判断为对的的命题叫做真命题；其判断为错误的命题

叫做假命题

4.数学命题一般由题设、结论两部分构成

5.命题可以写成“假如……那么……”的形式，假如后是题设，那么后市结论

19.2证明举例

I.平行H勺鉴定，全等三角形H勺鉴定

19.3逆命题和逆定理

I.在两个命题中,假如第一和命题的题设是第二个命题的结论，二第一种命题的结论乂是

第二个命题口勺题设，那么这两个命题叫做互逆命题，假如把其中一种命题叫做原命题，那么

另一种命题叫撤它的逆命题

2.假如一种定理的逆命题通过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一种叫做

另一种的逆定理

19.4线段的垂直平分线

I.线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

2、逆定理：和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

19.5角的平分线

1•角的平分线定理：在角日勺平分线上的点到这个角的两边距离相等。

2、逆定理.：在一种角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等H勺点在这个角的平分线上。

19.6轨迹

I.和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线

2.在一-种叫的内部（包括顶点）日到角阚i力距离相等的点的轨迹是这个角的平分线

3.到定点的距离等于定长的点R勺轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆

19.7直角三角形全等的鉴定

I.定理1:假如直角三角形H勺斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（筒

记为H.L）

2.其他全等三角形的鉴定定理对于直角T角形仍然合用

19.8直角三角形的性质

1.定理2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的二分之一

2.推论1:在直角三角形中，假如一种锐角等于，那么它所充•的直角边等于斜边I均二分之

3.推论2：在直角三角形中，假如一条之骄傲便等于斜边H勺一般,那么这条直角边所对的角

等于

19.9勾股定理

1.定理：在直角三角形中，斜边不小于直角边

勾股定理：直角二角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方

3.勾股定理日勺逆定理：假如三角形的一条边口勺平方等于其他两条边的平方和，那么这个三

角形是直角三角形

19.10两点间距离公式

I.假如直角坐标平面内有两点、，那么、两点的距离

八年级下册

第二十章一次函数

20.1一次函数的概念

1.一般地，解析式形如口勺函数叫做一次函数：

一次函数口勺定义域是一切实数

2.一般地，我们把函数（c为常数）叫做常值函数

20.2一次函数的图像

I.列表、描点、连线

2.•条宜线与轴向交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距

3.一般地，直线与y轴的交点坐标是（0,b）,

直线的截距是b

4.一次函数（bXO）的图像可以由正比例函数H勺图像平移得到

当b>0时，向上平移b个单位，当bVO时，向下平移b『、J绝对值个单位

5.一元一次不等式与一次函数之间"勺关系（看图）

20.3一次函数的性质

1.一次函数具有如下性质：

当k>0时，函数值y随自变量xH勺值增大而增大

③如图所示，当k<0,b>0时，直线通过第一、二、四象限（直线不通过第三象限）:

④如图所示，当k<O,b<O时，直线通过第二、三、四象限（直线不通过第一象限）.

20.4一次函数的应用

1.运用一次函数及图像处理实际问题

第二十一章代数方程

21.1一元整式方程

1.（a是正整数），x是未知数,a是用字母表达的已知数。于是，在项ax中，字母a是项口勺

系数，我们把a叫做字母系数,我们把a叫做字母系数，这个方程是含字母系数H勺一元一次

方程

2.假如方程中只有•种未知数且两边都是有关未知数的整式，那么这个方程叫做•元整

式方程

3.假如通过整顿的一元整式方程中含未知数的J项的最高次数是n（n是正整数），那么这方

程就叫做一元n次方程：其中次数n不小于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方

程

21.2二项方程

I.假如-元n次方程的一边只有含未知数的•项和非零的常数项,另•边是零,那么这样的

方程就叫做二项方程：一般形式为（，n是正整数）

2.解一元n（n>2）次二项方程，可转化为求一种已知数的n次方根

3.对于二项方程（）

当n为奇数时，方程有且只有一种实数根

当n为偶数时，假如abVO,那么方程有两个实数根，」这两个根互为相反数；假如

ab>0,那么方程没有实数根

21.3可化为一元二次方程的分式方程

1.解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式口勺最简公分母，约去分母，转化为正

式方程来解

2.注意将所得的根带入最简公分母中检查与否为增根（也可带入方程中）

3.换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，防止了出现解高次方

程的问题，起到降次口勺作用

21.4无理方程

1.方程中具有根式，且被开方数是具有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程

2.整式方程和分式方程统称为有理方程

3.有理方程和无理方程统称为初等代数方程，筒称代数方程

4.解简朴的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简朴无理方程的一般环节

5.注意无理方程的检查必须带入原方程中检查与否为增根

21.5二元二次方程和方程组

1.仅具有两个未知数，并且具有未知数的项H勺最高次数是2口勺整式方程，叫二元二次方程

2.有关x、y日勺二元一次方程的一般形式是：

（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一种不是零：当b为零时，a与d以及c

与c分别不全为零）

3.仅具有两个未知数，各方程是整式方程，并且具有未知数H勺项的最高次数为2。像这样的

方程组叫做二元二次方程组

4.能是二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程

5.方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解

21.6二元二次方程组的解法

1.代入消元法

2.因式分解法

21.7列方程（组）解应用题

第二十二章四功形

22.1多边形

1.由平面内不在同一直线上的某些线段收尾顺次联结所构成的封闭图形骄傲做多边形

2.构成多边形每一条线段叫做多边形H勺边；相邻的两条线段H勺公共端点叫做多边形H勺顶点

3.多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角

4.对于一种多边形，画出它的任意一边所在的直线，假如其他个边都在这条直线的一侧，那

么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形

5.多边形欧J内角和定理:n边形口勺内角和等于（n-2）X180°

6.