2024-2024学年度(新人教版)阳逻某中学八年级数学下册第十八章《勾股定理》集体备课教案

阳逻三中八年级数学下册集体备课教案

第十八章《勾股定理》教材分析及教学建议

本章主要内容是勾股定理及其逆定理。苜先让学生通过视察得出直角三角形两条直角边的平方和等于

斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股

定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。

本章教学时间约需8课时，详细支配如卜.：

18.1勾股定理4课时

18.2勾股定理的逆定理3课时

数学活动

小结1课时

一、教科书内容和课程学习目标

本章学问结构框图：

实际问题勾股定理

（直角三角形边长计算）

互逆定理

勾股定理的逆定理

实际问题

（判定直角三角形）

直角三角形是一种特殊的三角形，它有很多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等

于斜边的•半。本章所探讨的勾股定理，也是宜角三角形的性质，而且是一条特别重要的性质。

勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以

解决很多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不

仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。

目前世界上很多科学家正在试图找寻其他星球的“人”，为此向宇宙发出了很多信号，如地球上人类

的语言、音乐、各种图形等。据说我国闻名数学家华罗庚曾建议，放射一种反映勾股定理的图形，假如宇

宙人是“文明人”，那么他们肯定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发觉

勾股定理，尤其在2000多年前，是特别了不得的成就。

在第一节中，教科书让学生通过视察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面枳与以斜边

为边长的正方形的面积的关系，发觉两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的止方形

的面积，从而发觉勾股定理。

勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后，

只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更。在教科书中，图18.1—3(1)中的图形经过割补拼接后得到图

18.1-3(3)中的图形。由此就证明白勾股定理。通过推理证明命题1的正确性后，教科书顺势指出什么

是定理。

由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b,就可以求出斜边c的长。由勾股定理可得-/或

匕'=(?一。)由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直

角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应支配了三个探究栏目，让学生运用

勾股定理解决问题。

在其次节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发觉画出的三角

形是直角三角形。从而猜想假如三角形的三边满意两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直

角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。

勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。教科书支配了两个例题，让学生学会

运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。事实上利用计和

证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。从这个意义上饼，勾股定理的逆定理的学习，

对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。

几何中有很多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题

和互逆定理是几何中的重要概念。学生已见过一些互逆命题(定理)，例如：“两直线平行，内错角相等”

与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”

等，都是互逆命题。勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，而目.这两个命题的题设和结论都比较

简洁。因此，教科书在前而已有感性相识的基础上，在其次节中，结合勾股定理的逆定理的内容的绽开，

穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不肯定成立。为巩固这些内容，相应

配备了一些练习与习题。

本章学习目标如卜.：

1.体验勾股定理的探究过程，会运用勾股定理解决简洁问题；

2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；

3.通过详细的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不肯定

成立。

二、本章编写特点

(-)让学生体验勾股定理的探究和运用过程

勾股定理的发觉从传闻故事讲起，从故事中可以发觉等腰直角三角形有这样的性质：以等腰直角三角

形两直角边为边长的小正方形的面枳的和，等于以斜边为边长的正方形的面枳。再看一些其他直角三角形，

发觉也有上述性质。因而猜想全部直角三角形都有这特性质，即假如直角三角形的两直角边长分别为0力，

斜边长为匕，那么(教科书把这个猜想记作命题1,把下节“假如三角形的三边长°，瓦《满

意/+/=尸那么这个三角形是直角三角形”记作命题2,便于引出互逆命题)。

教科书让学生用勾股定理探究三个问题。探究1是木板进门问题。依据已知数据，木板横着、竖着都

不能进门，只能斜着试试。由此想到求长方形门框的对角线的长，而这个问题可以用勾股定理解决。探究2

是梯子滑动问题：梯子顶端滑动一段距离，梯子的底端是否也滑动相同的距离。这个问题可以转化为己知

斜边与一条直角边的长求另一条直角边的长的问题，这也可以用勾股定理解决。

探究3是在数轴上画出表示上的点。分以下四步引导学生：

（1）将在数轴上画出表示乐的点的问题转化为画出氏为J石的线段的问题。

（2）由长为J5的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，联想到长为的线段能否是直角边为

正整数的直角三角形的斜边。

（3）通过尝试发觉，长为小的线段是直角边为2,3的直角三角形的斜边。

（4）画出长为小的线段，从而在数轴上画出表示J石的点。

（-）结合详细例子介绍抽象概念

在本章中，结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍了定理、逆命题、逆定理的内容。

在勾股定理一节中，先让学生通过视察得出命题1,然后通过面积变形证明命题1。由此说明，经过证

明被确认正确的命题叫做定理。

在勾股定理的逆定理一节中，从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些二角形（己如二边，

并且两边的平方和等于第三边的平方），可以发觉画出的三角形是直角三角形。因而猜想假如三角形的三

边长满意那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2。把命题2的条件•、结

论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念。接着探究证明命题2的思路。用三角形全等证

明命题2后，顺势引出逆定理的概念（：

命题1,命题2属于原命题成立，逆命题也成立的状况。为了防止学生由此误以为原命题成立，逆命题

肯定成立，教科书特殊举例说明有的原命题成立，逆命题不成立。

（三）留意介绍数学文化

我国古代的学者们对勾股定理的探讨有很多重要成就，不仅在很久以前独立地发觉了勾股定理，而且

运用了很多奇妙的方法证明白它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这些都是我国人

民对人类的重要贡献。

本章介绍了我国古代的有关探讨成果。在引言中介绍我国古算书《周髀算经》的记载“假如勾是三、

股是四、那么弦是五"。有很多方法可以证明勾股定理。教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了我国

古人赵爽的证法。首先介绍赵爽弦图，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路。“赵爽弦图”表现

了我国古人对数学的钻研精神和聪慧才智，它是我国古代数学的傲慢。正因为此，这个图案被选为2024年

在北京召开的世界数学家大会的会徽c还在习题中支配我国古代数学苫作《九章匏术》中的问题，呈现我

国古人在勾股定理应用探讨方面的成果。

本章也介绍了国外的有关探讨成果。如勾股定理的发觉是从与毕达哥拉斯有关传闻故事引入的。乂如

勾股定理的逆定理从古埃及人画直角的方法引入。再如介绍古希睹哲学家柏拉图关于勾股数的结论。

三、几个值得关注的问题

（一）让学生获得更多与勾股定理有关的背景学问

与勾股定理有关的背景学问丰富，除正文介绍的有关内容外，教科书在''阅读与思索勾股定理的证明”

中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还支配了个数学活动，让学生收集一些证明勾股定理的方法，

并与同学沟通。

在教学中，应留意呈现与勾股定理有关的背景学问，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾

股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习爱好。特殊应通过向学生介绍我国古代在勾股定理探讨方面的成

就，激发学生酷爱祖国，酷爱祖国悠久文化的思想感情，培育他们的民族骄傲感，同时教化学生发奋图强,

努力学习，为将来担负起振兴中华的重任打下基础。

（二）适当总结与定理、逆定理有关的内容

本章中给出了定理、逆定理的概念，可以在小结中回顾已学的一些结论。例如，在第七章“三角形”

中，“三角形的内角和等于180°”是由平行线的性质与平角的定义推出的，这个结论也称为三角形内角和

定理。乂如，在第十三章“全等三角形”中，都是利用三角形全等证明的，前一个结论也称为角的平分线

的性质定理，而后一个结论是角的平分线的性质定理的逆定理。这样就可以从定理、逆定理的角度相识已

学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系。

互逆命题、互逆定理的概念，学生接受它们困难不大，对于那些不是以“假如……那么……”形式给

出的命题，叙述它们的逆命题困难较大，是教学中的一个难点。解决这个难点的方法是，适当复习命题的

有关内容，学会把一个命题变为“假如……那么……”的形式。留意这些概念是第一次学习，不要要求过

injo

四、教学建议

本章内容的重点与难点是勾股定理及其应用，勾股定理的逆定理及其应用。勾股定理是解几何题中有关

线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一。本章的难点是驾驭勾股定理并能

娴熟的运用勾股定理。要留意：在直角三角形中，反映的是直角三角形的三边关系。直角三角形两直角边

a,b的平方和等于斜边的平方和。在其它三角形中不存在这样的关系。这是一个特别重要的定理。它是把形

转化为数，它的应用特别广泛。勾股定理的逆定理则是把数转化为形，通过计算判定一个三角形是否为直

角三角形。

相关学问点回顾：

（1）直角三角形的两个锐角互余

（2）直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半。

（3）斜边大于任一条直角边

（4）全等三角形判定方法。

（5）面积公式

学生在本章学习中存在认知误区和思维障碍。

（1）忽视题目中的隐含条件。如在RlaABC中，ZB=90,a,b,c分别为三条边，a=3,b=4,求边c

的长。不少学生会认为c=5,忽视了b是斜边这一隐含条件。

（2）忽视定理成立的条件是在直角三角形中，有的同学看到三角形的两边是3和4,就会认为第三边是5,

(3)考虑问题不全面造成漏解.如己知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。

(4)通过添加协助线将非直角三角形转化为直角三角形.如(a)连结两点构造直角三角形(b)作高构造直

角三角形(c)构造几何图形解决代数问题。

教学建议

本章教学老师可采纳主体性学习的教学模式，提出问题让学生思索，设计问题让学生做，错误缘由让

学生找，方法与规律让学生归纳.老师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探究、主动思索、大

胆想象、总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主子。本章的教学步骤可分五

步：探究结论一一验证结论一一初步应用结论一一证明结论一一应用结论解决实际问题。

1、在探究结论阶段，应调动学生的主动性，让学生充分参加

例如，教材设计了在方格纸上通过计算面积的方法探究勾股定理的活动，老师激励学生尝试求出方格

中三个正方形的面积、比较这三个正方形的面积的关系，由此得到直角三角形三边的关系、通过对几个特

殊例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般规律，运用自己的语言表达探究过程和所得结论。

2、在勾股定理的探究和验证过程中，数形结合的思想有较多的体现

例如，在探究勾股定理的过程中，老师应引导学生由正方形的面积想到：而在勾股定理的验证过程中，

老师又应引导学生由数想到正方形的面积.

3、初步应用结论阶段的近点是让学生明确：在直角三角形中，知道两边的长度，可以求得第三边的

长度，老师应充分利用教材让学生体会勾股定理及其逆定理在现实世界中有着较为广泛的应用，如埃及人

利用结绳的方法作出直角，利用勾股定理求出蚂蚁的最短路途等。

4、证明结论阶段主要是理清思路，而不只是介绍某一种证明方法老师在教学中应激发学生探究更多

的证明方法，留意训练学生书写规范c

5、应用结论解决实际问题要留意强调两类问题：探究性问题和应用性问题通过问题的解决，让学生

学会从不同角度分析问题、解决问题：让学生学会引申、变更问题，以培育学生发觉问题、提出问题的创

建实力

例有一个边长为50分米的正方形洞口，问用直径为多长的圆形铁片来堵住洞-----

口？

表面看上去这是一个有关圆的问题。其实圆形铁片的直径就应当是等腰三角形的II

斜边长边长是5。分米，把它看成一个直角三角形，然后用勾股定理，两条直角边的平y

方和等于斜边的平方。就是50x50+50x50=5000,答案是50、'2=70.5

要求学生记住勾股定理，然后对待问题套公式，这样可以解决一系列的问题

6、留意介绍数学史，凸显数学的文化价值

7、关注学生学习过程的评价，对于本章的学习，除了考查勾股定理的解题应用外，还应当关注对学

生学习过程的评价。例如，让学生动手截、害人拼、补，使学生参加定理的发觉、探究、验证过程，既能

培育学生数学的直观实力，又能体现教学的针对性、活动性、开放性与合作性。

五常见典型错误简析

(1)如何求第三边？

例1在Rl^ABC中，ZB=90,a,b,c分别为三条边，a=3,b=4,求边c的长

不少学生会认为c=5,忽视了b是斜边这一隐含条件。I

例2推断：在AABC中，AC=3,BC=4,求AB的长/

不少学生会认为AB=5,忽视了AABC是直角三角形这个条件。E

例3已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。

不少学生会认为第三边为13,忽视了12可能是直角边也可能是斜边。

例4如图，ZA=45,NB=ND=90,BC=1,AD=2,求CD的长。

不少学生会在四边形ABCD里面加协助线，破坏了已知的条件。增加了解题的难度。应当把ABCD边

延长，构造出新的直角三角形，利用勾股定理解题。

(2)蚂蚁怎么走最近？

例5如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的下底面A点有一只蚂

蚁，它想吃到上底而上与A点相对的C点处的食物，须要爬行的最短路程是多少?(方的值取3).

本题括见错误有两个：一是不能正确地将圆柱的侧面绽开，从而无法进行求解；二是误将圆柱侧面绽

(3)木板能否经过门框？

例6一个门框的长为2m,宽为1m,如图所示,一块长3m,宽2.2m的薄木

板能否从门框内通过？为什么?不少学生一看此题，就会给出答案：

不能.而不知应先利用勾股定理求出AC的长再进行推断。

（4）梯子底端下滑几米?

例7一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙A0上，这时A0的距

离为2.5m,假如梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5

吗？

本题学生简洁错误地理解为梯子的顶端A沿墙下滑0.5m时，

梯子底端C向外移动的距离是CD,因为梯子的长度没有变更，

认为CD=AE,得出错误会答。

（5）湖水如何知深浅？

例8“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲：出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看

忙向前，花离原位二尺远；能和诸君请解题，湖水如何知深浅?”请用学过的数学学问解答这个问题.

六中考热点

勾股定理在中考数学中单独命题考查的选择题和填空题相对较少，而主要是与方

程、函数、四边形、圆以及相像形等学问综合在一起考查，敏捷性强，涉及而广、实力

要求高。

1（2024年达州）图是一株漂亮的勾股树，其中全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形.若

正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是

A.13B.26C.47D.94【答案】C

2（2024年滨州）如图3,已知△ABC中，AB=17,AC=10,BC边上的高

AD=8,则边BC的长为（）

A.21B.15C.6D.以上答案都不对【答案】A

3（2024年安顺）图甲是我国古代闻名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四

个全等的直角三角形围成的。在Riz^ABC中，若直角边AC—6,BC-6,将

四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数

学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是0

【答案】76

B

D

4（2024年湖南长沙）如图，等腰△A4C中，A3=AC,A。是底边上的高，若AN=5cm,4C=6cm,

则AD=cm.［答案］4

5（2024恩施市）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点。的距离为

5,一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点A爬到点8,须要爬行的最短距离是

（）A.5⑸B.25C.106+5D.35【答案】B

6（2024年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中48=4米，N8AC=30°,

ZC=9O°,因某种活动要求铺设红色地毯，则在A8段楼梯所铺池毯的长

度应为.【答案】（2+2百）米.

7（2024年四川省内江市）已知RtAABC的周长是4+4百，

10（09白银市）如图13,△ACB和△EC。都是等腰直角三角形，Z4C5=ZECD=90°

B

第十八章勾股定理

18.1勾股定理（一）

一、教学目标

1.了解勾股定理的发觉过程，驾驭勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2.培育在实际生活中发觉问题总结规律的意识和实力。

3.介绍我国古代在勾股定理探讨方面所取得的成就，激发学生的爱国热忱，促其勤奋学习。

二、重点、难点

1.垂点：勾股定理的内容及证明。

2.难点：勾股定理的证明。

三、例题的意图分析

例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性：通过拼图，发散学生的思维，熬炼学生的

动手实践实力：这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族骄傲感，和爱国

情怀。

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有垂叠，没有空隙，面积不会变更。进一步让学生确信勾

股定理的正确性。

四、课堂引入

目前世界上很多科学家正在试图找寻其他星球的“人”，为此向宇宙发出了很多信号，如地球上人类

的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，放射一种反映勾股定理的图形，假如宇宙人是“文

明人”，那么他们肯定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，

是特别了不得的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发觉的，他说：“把一根直尺折成直角，两段

连结得始终角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的

氏是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长.

你是否发觉32孤2与52的关系,52+122和132的关系，即32+42=52,52+122=132,那么就有勾？+股2=弦

对于随意的直角三角形也有这特性质吗？---------------才

五、例习题分析卜

例I（补充）己知：在AABC中，ZC=90°,NA、NB、NC的对边\

为a、b、CoI\

求证：a2+t）2=c2。I

分析：⑴让学生打算多个二角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆X

不同的形态，利用面积相等进行证明c

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S&+S小正=S大正AcB

4X，ab+（b—a）2=c2>化简可证。

⑶发挥学生的想象实力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生

的民族骄傲感，和爱国梢怀。

例2己知：在△ABC中，ZC=90°,Z

A、ZB>NC的对边为a、b、c。

求证：a2+b2=c2o

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个

正方形的面积相等。

左边S=4xLab+c2

2

右边S=(a+b)2

左边和右边面积相等，即

4xiab+c2=(a+b)2

化简可证。

六、课堂练习

1.勾股定理的详细内容是：____________________________________________

2.如图，直角^ABC的主要性质是：ZC=90°,(用几何语言表示)

⑴两锐角之间的关系：:

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

(3)若NB=30。，则/B的对边和斜边：;

⑷三边之间的关系：。

3.aABC的三边a、b、c,若满意bJa^+c?,则=90°；若满意b?

>c2-|-a2,则NB是角：若满意b2〈c2+a2,则NB是角。

4.依据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

七、课后练习

I.已知在RL^XABC中，ZB=90°,a、b、c是△ABC的三边，则

(Dc=o(已知a、b,求c)

(2)a=o(已知b、c,求a)

(3)b=o(已知a、c,求b)

2.如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c,有aVbVc,试依据表中已有数的规律，写出当a=19时,

b,c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、532+42=52

5、12、1352+122=132

7.24、2572+242=252

9、40、4192+402R2

19,b、c192+b2=c2

3.在△ABC中，ZBAC=I20°,AB=AC=1073cm,一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当

P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D在CB的延长线上。

求证：⑴AD?-AB?=BD・CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

课后反思:

八、参考答案

课堂练习

1.略；

2.(l)ZA+ZB=90°；(2)CD=-AB；(3)AC=-AB：(4)AC2+BC2=AB2o

22

3.ZB,钝角，锐角：

4.提不：因为S检彩ABCD=SAABE-SABCE+SAEDA»又因为S检影ACDG=—(a+b)2,

2

222

SiLiJCE=S^rDA=—ab,S△Anr:=—c,—(a+b)=2X—ab+—co

22222

课后练习

1.(Dc=yjb2-a2：(2)a=A/Z?2-C2；(3)b=yjc2+/

2.«"+"C；则b="------,c=a+।：当a=19时，b=180»c=181<>

c=b+\22

3.5秒或10秒。

4.提示：过A作AE_LBC于E。

18.1勾股定理（二）

一、教学目标

1.会用勾股定理进行简洁的计算。

2.树立数形结合的思想、分类探讨思想。

二、重点、难点

1.重点：勾股定理的简洁计算。

2.难点：勾股定理的敏捷运用。

三、例题的意图分析

例1（补充）使学生熟识定理的运用，刚起先运用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的

关系。让学生明确在直角三角形中，三知随意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知

两边求第三边。

例2（补充）让学生留意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类探讨思想。

例3（补充）勾股定理的运用范围是在直角三角形中，因此留意要划建直角三角形，作高是常用的创建

直角三角形的协助线做法。让学生把前面学过的学问和新学问综合运用，提高综合实力。

四、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述：勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。

五、例习题分析

例1（补充）^ERtAABC,ZC=90°

⑴已知Ia=b=5,求Co

⑵已知a=l,c=2,求b。

⑶已知c=17.b=8,求a。

（4）已知a：b=l：2,c=5,求a。

⑸已知b=15,ZA=30°,求a,c。

分析：刚起先运用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜

边干脆用勾股定理。（2）⑶己知斜边和始终角边，求另始终角边，用勾股定理的便形式。（4）（5）己知一边和两

边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知随意两边都可以求出第三边。后两题七学

生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的

转化思想。

例2（补充）己知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。

分析：己知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种状况X

分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类探讨思想。/\

例3（补充）已知：如图，等边4ABC的边长是6cm。/\

⑴求等边AABC的高。/\

⑵求SAABO/•'B

分析：勾股定理的运用范围是在直角三角形中，因此留意要AD

创建直角三角形，作高是常用的创建直角三角形的协助线做

法。欲求高CD,可将其置身于Rt^ADC或RtaBDC中，

但只有一边已知，依据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=lAB=3cm,则此题可解。

2

六、课堂练习

1.填空题

⑴在RtZiABC,ZC=90°,a=8,b=15,则c=。

⑵在RtZSABC,ZB=90°,a=3,b=4,则c=°

⑶在RCABC,ZC=90°,c=10,a：b=3：4,则a=,b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为0

⑸己知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为

⑹已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为,面积为o

2.己知：如图，在aABC中，NC=60°,AB=4A/3,AC=4,AD是BC

边上的高，求BC的长。

3.已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。

七、课后练习

1.填空题

在RiZSABC,ZC=90°,

⑴假如a=7,c=25,贝ijb=。

⑵假如NA=30°,a=4,则b=»

⑶假如NA=45°,a=3,则c=。

⑷假如c=10,a-b=2»贝ijb=。

⑸假如a、b、c是连续整数，则a+b+c=。

（6）假如b=8,a：c=3：5,PIOc=。

2.己知：如图，四边形ABCD中，AD〃BC,AD±DC,

AB1AC,ZB=60°,CD=lcm,求BC的长。

课后反思:

八、参考答案

课堂练习

1.17：V7：6,8：6,8,10：4或后：V5,6;

2.8；3.48o

课后练习

2・竽

1.24：4百；372:6；12：10；

18.1勾股定理（三）

一、教学目标

1.会用勾股定理解决简洁的实际问题。

2.树立数形结合的思想。

二、重点、难点

1.重点：勾股定理的应用。

2.难点：实际问题向数学问题的转化。

三、例题的意图分析

例1（教材P74页探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，留意条件的转化；学会如何利用数学

学问、思想、方法解决实际问题。

例2（教材P75页探究2）使学生进一步娴熟运用勾股定理，探究直角三角形三

边的关系：保证一边不变，其它两边的变更。

四、课堂引入

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发觉和运用解决

了很多生活中的问题，今日我们就来者用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一

试。

五、例习题分析

例1（教材P74页探究1）

分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，留意勾股定理的运用条件，即门框为长方形，四个角番是

直角。⑵让学生深化探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题

中忽视厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采纳多种方法。⑸留意给学生

小结深化数学建模思想，激发数学爱好。

例2（教材P75页探窕2）

分析：⑴在中，已知利用勾股定理计算

AAOBAB=3,AO=2.5,0B0

（2）在△COD中，已知CD=3,C0=2,利用勾股定理计算OD。

贝|JBD=OD—OB,通过计算:可知BD彳AC。

⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。

六、课堂练习

1.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的

离地面的高度是米。

2.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4G米，则这两株树之间的垂直距离是

2题图3题图4题图

3.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是

4.如图，原支配从A地经C地到B地修建一条高速马路，后因技术

攻关，可以打隧道由A地到B地干脆修建，己知高速马路一公里造价为

300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元,AC=80公里,BC=60

公里，则改建后可省工程费用是多少？

七、课后练习

1.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一

点、A,使AC垂直江岸，测得BC=50米，

ZB=60°,则江面的宽度为o

2.有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞

I」，则圆形盖半径至少为米。

3.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形态钉在P、Q两点，PQ=16

厘米，且RP_LPQ,则RQ=厘米。

4.如图,钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，NB=/C=30°,

E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢素AB和

AE的长度。

（精确到1米）

课后反思:

八、参考答案:

课堂练习：

I.25072；2.6,2-\/3；

3.18米：4.116(X)：

课后练习

V2

I.米：2.V：

3.20；4.83米，48米，32米:

18.1勾股定理（四）

一、教学目标

1.会用勾股定理解决较综合的问题。

2.树立数形结合的思想。

二、重点、难点

1.加点：勾股定理的综合应用。

2.难点：勾股定理的综合应用。

三、例题的意图分析

例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，娴熟驾驭“双垂图”的图形结构和图形性质，通过探讨、

计算等使学生能够敏捷应用。目前“双垂图”须要驾驭的学问点布.：3个直角三角形，三个勾股定理及推导

式BC2-BD2=ACZAD2,两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

例2（补充）让学生留意所求结论的开放性，依据已知条件，作适当协助线求出三角形中的边和角。让

学生驾驭解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清晰作协助线不能破坏已知

角。

例3（补充）订.学生驾驭不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角

形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中留意条件的合理运用。让学生把前面学

过的学问和新学问综合运用，提高解题的综合实力。

例4（教材P76页探究3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上

的点与实数一一对应的理论。

四、课堂引入

复习勾股定理的内容。本行课探究勾股定理的综合应用。

五、例习题分析

例1（补充）1.已知：在RtZXABC中，ZC=90°,CD_LBC于D,ZA=60°,CD=6，

求线段AB的长。

分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，圻以要求学生对图形及性质驾驭特别

娴熟，能够敏捷应用。目前“双垂图”须要驾驭的学问点有：3个直角三角形，

三个勾股定理及推导式BC2-BD2=Ad-AD2,两对相等锐角，四对互余角，及

30。或45°特殊角的特殊性质等。

要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB,可由

AB=BD+CD,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和

AD=K或欲求AB,可由44=1求。2+3。2,分别在两个三角形中利用勾

股定理和特殊角，求山AC=7和RC=6-

例2（补充）已知：如图，/XABC中，AC=4,ZB=45°,ZA=60°,

依据题设可知什么？

分析：由于本题中的AABC不是直角三角形，所以依据题设只能干脆求得N

ACB=75°o在学生充分思索和探讨后，发觉添置AB边上的高这条协助线，

就可以求得AD,CD,BD,AB,BC及S.”BC。让学生充分探讨还可以作其

它协助线吗？为什么？

小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作协助线？

解略。

例3（补充）已知：如图，ZB=ZD=90°,ZA=60°,AB=4,CD=2。A

求：四边形ABCD的面积。卜、

分析：如何构造宜角三角形是解本题的关键，可以连结AC,或延长AB、

DC交于F,或延长AD、BC交于E,依据本题给定的角应选后两种，进7

一步依据本题给定的边选第三种较为简洁。教学中要逐层展示给学生，让BI/

学生深化体会。c

解：延长AD、BC交于E。

VZA=Z60°,ZB=90°,/.ZE=30°。

，AE=2AB=8,CE=2CD=4,

ABE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=>/48=45/3。

,:DE2=CE2-CD2=42-22=12,ADE=V12=2百。

•'•S四边形ABCD=S4ABE-S&CDE=，AB,BE-[CD•DE=6>/3

22

小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四

边形面积转化为三角形面积之差。

例4（教材P76页探究3）

分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。

变式训练：在数轴上画出表示6-1,2-夜的点。

六、课堂练习

1.Z\ABC中，AB=AC=25cm,高AD=20cm,则BC=♦S&ABC=。

2.AABC中，若NA=2NB=3/C,AC=273cm,则NA=度，ZB=度,NC=

度，BC=，SAABC=o

3.AABC中，ZC=90°,AB=4,BC=2V5»CD1AB于D,则AC=,yA

CD=_______»BD=________，AD=________,S&ABC=________。/\

4.已知：如图，△ABC中，AB=26,BC=25,AC=I7,BN-----------

求SaABC。

七、课后练习

1.在Rt^ABC中，ZC=90°,CD_LBC于D,ZA=60°,CD=6,AB=

2.在RlZXABC中，ZC=90°,S&ABC=30,c=13,且aVb,贝ija=,b=

3.已知：如图，在AABC中，NB=30°,ZC=45°,AC=272,

求（1）AB的长；（2）SAABC.

4.在数轴上画出表示一百，0+、后的点。

课后反思:

八、参考答案：

课堂练习：

1.30cm.300cm2：

2.90,60,30,4,273；

3.2,73,3,1,2V3；

222

4.作BD_LAC于D,设AD=x,贝！CD=17-x,25<x=26-(17-x)；x=7,BD=24,

SAABC=—AC•BD=254；

一?

课后练习：

1.4；

2.5,12：

3.提示：作AD_LBC于D,AD=CD=2,AB=4,BD=2>/3,BC=2+2>/LSAABC==2+273；

4.略。

18.2勾股定理的逆定理（一）

一、教学目标

1.体会勾股定理的逆定理得出过程，驾驭勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

二、重点、难点

1.重点：驾驭勾股定理的逆定理及证明。

2.难点：勾股定理的逆定理的证明。

三、例题的意图分析

例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。

例2（P82探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起现察能否重合，激发学生的爱好和求

知欲，熬炼学生的动手操作实力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。

例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先推

断那条边最大。②分别用代数方法计算出a?+b2和C?的值。③推断a2+b2和c?是杳相等，若相等，则是直角

三角形；若不相等，则不是直向三角形。

四、课堂引入

创设情境：（D怎样判定一个三角形是等腰三角形？

⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进

行猜想。

五、例习题分析

例I（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵假如两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时留意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，尹留

意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假,可能都真,也可能一真一假，还可能

都假。

解略。

例2（P82探究）证明：假如三角形的三边长a,b,c满意a2+b2=c2,

那么这个三角形是直角三角形。

分析：⑴留意命题证明的格式，首先要依据题意画出图形，然后写

已知求证。

⑵如何推断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角

是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何推断一个角

是直角。

⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，

使问题得以解决。

⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边AiB产c,则通过三边对应相等的两个三角

形全等可证。

⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起视察能否重合，激发学生的爱好和求知欲，再探究理

论证明方法。充分利用这道题熬炼学生的动手操作实力，由实践到理论学生更简洁接受。

证明略。

例3(补充)已知：在AABC中，NA、NB、ZC的对边分别是a、b、c,a=n2-l,b=2n,c=n2+1

(n>l)

求证：ZC=90°°

分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先推断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a?+b2和C?的值。③推断a2+b?和C?是否相等，若相等，则是直角三角形：若不相

等，则不是直角三角形。

⑵要证NC=90°,只要证aABC是直角三角形，并且c边最大。依据勾股定理的逆定理只要证明a?+bJc2

即可。

⑶由于a?+b2=(n2-l)2+(2n)2=n4+2n2+l,c2=(n2+l)2=n4+2n2+l,从而aZ+b?*,故令题

获证。

六、课堂练习

1.推断题。

⑴在一个三角形中，假如一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。

⑵命题：”在一个三角形中，有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命

题。

⑶勾股定理的逆定理是：假如两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

⑷△ABC的三边之比是I：1：&,则4ABC是直角三角形。

2.ZiABC中NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,下列命题中的假命题是()

A.假如NC—NB=NA,则AABC是直角三角形。

B.假如c?=b2—a2,则AABC是直角三角形,且NC=90°。

C.假如(c+a)(c—a)=b2,则4ABC是直角三角形。

D.假如NA：ZB：ZC=5：2：3,则AABC是直角三角形。

3.下列四条线段不能组成直角三角形的是()

A.a=