2023年北京市海淀某中学高考数学模拟试卷

2023年北京市海淀外国语学校高考数学模拟试卷

一、单选题（每小题4分，共10小题，总“10分）（其中第2、7题包含解题视频，可扫描页眉.•维码，点击对应试题进行直看）

1.（4分）已知集合A={x|x2-3x-4W0},B={x三N[<x<4},则ACB=（）

A.{x|Kx<4}B.{x|TWxW4}C.（1,2,3,4}D.{2,3}

2.（4分）若z（l+i）=l-i,则z=（）

A.1-iB.1+iC.-iD.i

3.（4分）已知函数外口=（3'—2。则f（:）（）

A.是有函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是有函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数

1.（4分）若非零实数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是（）

A.：>3B.a+h>2>/ahC.lga2>Igb2D.a3>h3

5.（4分）某班分成了A、B、C、D四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则A组和B组恰有一个

组被抽到的概率为（）

A1R12C-n5

3236

6.（4分）已知平面a,3,Y,n,a±Y,P±Y,aAfi=l,.贝U"11|n"是"n_L丫”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.（4分）已知函数f（x）=sin（3x+。），（3〉0,|G|<n/2）,x=n/6是f（x）的一个极值点，X=-：是与其相邻的一个零点，则f（n/3）的

6

值为（）

A.0B.1C.-iO.y

8.（4分）若双曲线。:5一9=1（。>0）的一条渐近线被例1（（x—2）2+y2=4所载得的弦长为p则双曲线C的离心率为（）

4小8gC.三D.更

3333

9.（4分）已知{an}为无穷等比数列,且公比0<q<L记Sn为{an）的前n项和，则下面结论正确的是（）

那|班/MIW

A.a3<a2li.ttixa2>UC.｛an｝是递减数列D.小仔在最小值

10.（4分）定义函数n（x）的值为不超过正实数x的素数的个数（素数是大于1且只以1和自身为因数的正整数），则亚表示正

n

整数集合（1,2,3,…n）,n€N.中素数所占的比例.数学家发现，当n非常大时这个比例接近于2■的值.由此估计，下列选

Inn

项中与区间（10°,10'中素数的个数最接近的是（）（提示：Ige«0.434）

A.4.8x107B.3.9XIO8C.4.3xIO8D.8.2XIO8

二、填空题（每小题5分，共5小题.总结25分）

72

1.（5分）已知（2-x）=他++a2x+••­+则%+a2+…+a7=.（用数字作答）

2.（5分）LL知商瓦是单位向量3=2+2，.若Z1之则展=

3.（5分）已知。为坐标原点，点A（cosa,sina）,B（cos（a+：），sin（a+：））,则△NOB的面积为

H

5.（5分）已知数列｛an｝满足（a1=1,=%—;或给出下列四个结论:

①数列皿的前n项和.S团<2;

②数列：an）的每一项an都满足（0Va”W1（n€N）

③数列a⑦的每一项an都满足an>Q"（neAT）;

④存在n€N',使得册>上成立.

nn+l

其中，所有正确结论的序号是.

三、解答题

1.已知函数/（x）=2gsinxcosx+sin2x-cos2x.

（1）求函数「（x）取最大值时x的取值第合：

第2列/共IM

(2)设函数f(x)在区间g，?n］是减函数，求实数m的最大值.

2.如图，在四楼锥P-ABCD中.底面ABCD是边长为2的正方.形.侧面PAD为

等腰直角三角形，且^PAD=弓,点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB

交于点E.

(1)求证:EF||AD;

(1【)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平

面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小.

条件①：AE=企；

条件②:平面PAD_1_平面ABCD;

条件③：PB±FD.

注：如果选择的条件不符合要求，第(H)句得。分；如果选择多个符合要

求的条件分别解答，按第一个解答计分.

第3页/共16页

3.单板滑雪I：型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，

裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分.最终取每站二次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩,现有运动员甲、

乙二人在2021赛季单板滑丐U型池世界杯分站比赛成绩如下表：

运动员印的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩

分站

第1次第2次第3次第1次第2次第3次

第1站80.2086.2084.0380.1188.400

第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60

笫3站79.10087.5089.1075.3687.10

第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01

第5站80.0279.3686.0085.4087.0187.70

(1)从二表5站中随机选取一站，求在该站甲运动员的比赛成绩高『•乙运动员的比赛成绩的概率：

(2)设甲乙成绩相互独立，从甲的5站比赛成绩和乙的5站比赛成绩中分别随机选取一个，求两人的比赛成绩中至少有一人高于88分的概

率：

(3)甲5站的比赛成绩的平均值为us甲乙5站比赛成绩的总平均值记为比较u占口］的大小(直接写出结果).

郎4页/共I6或

4.已知椭网.E:(+《=l(a)b>0)的焦距为2,一个顶点为A(0.2).

(D求桶圆E的标准万程及隅心率：

(H)过点P(0,3)的直线】斜率为k,交椭剪E于不同的两点B、C,直战AB、AC分别交直线y=3十点M、N,求\PM\\PN\

的值.

5.已知函数八幻=至鬻-

⑴若a=0,求f(x)的单调区间：

(2)x=0是函数的极小值点，求实数a的取值范围;

(3)若f(x)的最小值为--e2,求实数a的值.

第5天,共I6天

6.已知有限数列疝,从数列西中选取第八项、第G项、……、第氾项出V。<…<〃)，顺次排列构成数列㈣其中帅=

a0,is/csm,则称新数列帅为«□的长度为川的子列.规定：数列函的任意一项都是函的长度为1的子列.若数列加的

每一子列的所有项的和都不相同，则称数歹]画为完全数列.

设数列a团满足a„=n,1<n<25,nGN\

(I)判断下面数列西的两个子列是否为完全数列，并说明由；

数列：1):3,5,7,9,11;数列(2):2,4,8,16.

(H)数列QI3的了列地长度为m,且加为完全数列，证明：m的最大值为6；

(川)数列a团的子列曲长度m=5,且加为完全数列，求±+±+上+上+上的最大值.

b]62b3b4坛

第6天,共I6贡

2023年北京市海淀外国语学校高考数学模拟试卷(答案&解析)

一、单选题(每小题4分，共10小题，总计40分)(其中第2、7题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)

1.解：集合.A={x|x2-3x-4WO}=bdT&x《4},B={xWN|l〈x<4}={2,3},则ACB=[2,3}.

故选：D.

【解析】先分别求出集合A,B,然后结合集合的交集运算即可求解.

1—/(I-/)2

2.解:由Z(l+i)=l-i,得z=—=,\.=-i,

1+/

.'.z=i.

故选：D.

【解析】把已知等式变形，再由豆数代数形式的乘除运算化简，然后利用共桅更数的概念得答案.

3.解:根据题意，"*)=0-2”，

有f(-x)=2X-(丁=~fM,则函数f(x)为奇函数，

又由y=G)”在R上为减函数，y=2n在R上为增函数，则函数/(*)=6)'-2?在R上为减函数,

故选:C.

【解析】根据题意，由函数的解析式可得/(-x)—=一/(%),则函数f(x)为奇函数，由指数函数的性质可得

在R上为成函数,y=2x在R上为增函数，则函数f(x)=(J'-2”在R上为减函数,据此分析可得答案.

4.解：对于A,因为当a=2,b=l时，满足a>b,但2>2不成立，所以A错：

ab

对于B,因为当a=-l,b=-2时，满足a>b,但(a4-b——3t2>fab-25/2>0,所以a4-b>2GK不成立,所以B错i

对于C,因为当a=-l,b=70时，满足a>b,但(Iga2=0,Igb2=2,所以Iga2>Igb?不成立,所以0错;

对于D，因为/=炉是单调递增函数,所吸(a>b=>a3>b3,所以D对.

故选：D.

【解析】根据不等式基本性质，川特值法判断WC,川函数单调性判断D.

S7天/共16页

5.解:认A、B、C、D四个学习小组中随机抽取两个小组有AB,AC,AD,BC,BD,CD共6种结果，其中八组和B组恰有一个组被抽到的结

果有AC,AD，BC,BD共4种结果，

所以A羽和B组恰有一个组被抽到的概率为1-=-

63

故选:C.

【解析】利用列举法结合古典概型概率公式即得.

6.解：a_L丫，B_LY,aCB=1,1_1.丫，

①当1In时，则n±Y,充分性成立，

②当q_L?时，则111n或1Un,.•.必要性不成立，

/.I!n是nJ.Y的充分不必要条件，

故选：A.

【解析】利用空间中平面与平面垂直的性质定理得到lJ,y,再利用直线与平面垂直的判定定理判定即可.

7.解：出题意可知，函数f(x)的最小正周期为T=4xJx2=y,.-.w=^=1,.-./-(x)=sin(y+^)

因为：x=g是f(x)的一个极值点，则±xN+e=/c7r+2(keZ),则。=%jr+g(kez),因为

6262424

,则f(x)=sin管+*

因此，r(f)=sin(1+J)=cos|=^.

故选:D.

【解析】根据题中条件求出3的值，结合。的取值范围可求得0的值，可得出函数f(x)的解析式，然后代值计算可得fg)的

值.

8.解由双曲线(c：W=130)的方程可得渐近线的方程为：y=士衿

即ax±2y=0,

由圆(x-2)2+y2=4的方程可得网心C(2,0),半径r=2,

可得d=扁，

2

所以可得弦长2后力=26^=?，解得a=^t

可得离心率e=£=J1+算尸:=当，

故选：B.

【解析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，求出圆心C到渐近线的距离，进而可得弦长的值，由题意可得a的值，进而求出离心率的值.

第8页/共16允

9.解：例如数列｛an｝以-2为首项,以为公比的等比数列，

a2=-l,a3=一%C,D显然错误；

Qj•a2=a；q>0一定成'f.,B正确：

故选:B.

【解析】利用反例：数列｛an｝以-2为首项.以2为公比的等比数列.分别检脸多选顼即可判断.

2

9

10.解：由虺意可得~；X(1O10-109)=

ln(10,0-10,)ln(9xl0,)

-lg(9xl0*)-9+2R3JW-

故选：B.

【解析】根据题意列出素数的个数计免公式即可求解.

二、填空题(每小题5分,共5小题.总结25分)

7

1.解：令x=0,则a0=2=128,

令x=l,则a0+a,+a2+..+a7=(2-1)'=1,

所以aB+a2+...+a7=1-128=-127,

故答案为:-127.

【解析】分别令x=0,x=l,建立方程即可求解.

2.解：由密恚可知，回=向=1,

,1•c=c+2»,且ale,

•••dr•?=a7•(3+2b)=a2+2a'•/=0,即2a-b=-1,

•••|c|=J(d+2b)2=yla2+4a-b+d+ab2=Vl-24-4=V3

故答案为：

【髀析】由已知求得a.b,再由向量模的计算公式求解.

3.解：0为坐标照点,点AScsa,sina),R(cn«;(a+n/6),in(a+n/6))，所以\0A\=

22

Vcosa+sina=1,\0B\=Jcos?(a+?)+siM(a-*)=1,所以SA0H="•\0A\•|0B|sin；=：・

故答案为：

4

第9R/共I6虱

rtt析】且按利用角川二川河欧大京龙的发换..川形的m枳公火的应川木出培米-

由题意.BC=DC=AB=AD=2,BD=2夜，

底面△IO）是等眼直角三角形，；0为BD的中点，则AOLBD.CO1BD,

乂•.•平面ARD_L平面BCD,平面ARDC平面BCD=BD,AOcTiftiABD，:.AO_L平面BCD,

VOCc平面BCD.，ACJ_OC,.•.△AOC是直角三知形.

因为AO1BD,CO1BI）,AOnCO=0,AO,COu平面AOC,：.BDJ_平面AOC,

设RP=x,...三极推P-QCO的体枳为V=:SPM-h,其中h为Q到平面AOC的距掰h=xsin4S=yx.

v=衿oc•八=抬，、历（、历-x）yx=j（V2x-x2）=+2

故当"乎时，三梭御-QCO的体积达到奴大值，圾大值为・\

故答案为：

【解析】首先设AP=x,然后利用三枝锥的体积公式求出三极锥.•.体积的表达式，最后根据二次函数求解最值即可.

5.解:az=1-：=：,a3=：—：=：,。4=合,$4=1+：+言,$4=1+：+；+言>.2,①错误:

4+1=%-：44%,{aj为单调递减数列,

又因为©=1,所以册“=%—>0,所以0<册Sl(nWN)②正确;

(二>=2白」),；=2(­),

乂~°n=an-4+i，两边同时除以（aga0,L可得：—=

2n4*】\%计1%)ana2'勺

"2（士-1）三2%即有＞/＜击

累加可得

a>Q)(nGAC)

当n=l时，a.=——=1,所以-$a”W——,④错误；由l.a=-,a=满足n

,1+1nn+l123

由④可知%N；且nN3时,2-2n=(1+1)"-2n=1+n+C：+…++1-2n>0可得2n>2n,则

n

故③正哨.

故答案为:额）.

第10货/共I6a

【的析】通过递推公式，判断出数列单调性，由此得到数列的取tfl范围，根据取值范围时②③④进行判断，算出54即可判

断①.

三、解答题

22

1.解：（D由题意，得函数.(x)=2\/3sinxcosx+sinx—cosx=V3sin2x—cos2x=2sinCT)

当f(x)取最大值时，即sin(2x-2)=1,此时2x-g=2kxr+gk62,即x=kn+^,keZ,

所以x的取值集合为>|x="}kez).

(2)由-+2kn2x--+2kn,kEZ,

262

2IT5x

得一+2knS2x&-+2knkeZ,

33t

即kn<x<—+kn.kGZ,

36

所以f(x)的诚区间[-+kn,-+kn],keZ,

当k=0,得[兀/3,5升/』是一个减区间，且・3[:可，

所以爸），所以m的最大值为

【解析】（1）利用正余弦的二倍角公式,结合辅助角公式化简f（x）,再求取得最大值时的x的取值集合即可：（2）求得f（x）的单调减区司,

结合题就，即可求得m的最大值.

2.解：(D证明：•.•底面ABCD是正方形，，ADIBC,

BCu平面PBC,ADQ平面PB&

AADl平面PBC,

•.•平面4DF与PB交于点E,

ADc平面ADFE,平面PBCn平面ADEF=EF,

.\EF||AD.

HI)选条件①②，

恻面PAD为等腰直角三角形，且乙PAD=与

即PA=AD=2,PA1AD,

平面PAD_L平面ABCD,

平面PADCI平面ABC#AD,PAu平面PAD,

则PA_L平面ABCD,又ABCD为正方形，

,PA1AD,AB1AD,

以点A为坐标原点，AB,AD,AP分别为x轴,y轴z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,

JfilA(0,3,0),P(0,0.2),C(2,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),

VAE=V2,/.点E为PB的中点,则E(1,0,1),

PC=(2,2，-2),而=(0,2,0),荏=(1，0，1),

5nl贞/共।6见

设平面RDEF的法向量为n=(x>y>2),

n,4E=x=z=0A-»z、

贝----，令x=l,得n=(l，O，-l),

.r.,AD=2y=0

设平面PS的法向量为m-(a，bfc).

则上访=2b-2c=。，取f得益=（o，i，i）,

.•.|coS<m,n>|=|i^i|=7=^==l

:‘平面,CD与平面ADFE所成锐二面角的大小为n/3：

选条件①③，

侧面PAD为等腰直角三角形，且.LPAD=今即PA=RD=2,PAXAD.

ADJ.AB,PAAAB=A,且两直线在平面内，可得八［）_1_平研.嵋,

PBu平面PRB,MAD±PB,

■:PB1FD,ADnFDR,且两直线在平面内，

则PBJ•平面ADEF,AEc平面ADEF,则PB_LAE,

•；PA=AB,.•.△PAR为等腰三角形，.•.点E为PB的中点，

=是等腰直角三角形，且^.PAD=p

U1J）PA=AD=2,PA±AD.

平面PAD1TjfiABCD,

平面PADC平面ABCD=AD,PRu平面PAD,

则Ml平面ABCD,乂ABCD为正方形，

APAIAB,PAIAD,AB±AD,

以点A为坐标原点，AB,AD,AP分别为x轴,y釉，;轴，建立空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),B(2,0,0),0(0,2,0),

••FE=«.•.点E为PB的中点，WijEd,O,1),=

：•PC=(2,2,-2),而=(0,2,0),荏=(1，0,1),

设平面ADEF的法向量为n=（x，y，z）,

n=(P0»-l),

设平面P8的法向量为(a，b>c),

m+PD=2h-2c=0„,-♦z、

一一，取b=l,得m=(0»V1),

{m+Pd=2a+2b-2c=0

.•.|CoS<m,n>|=|i|^|=7^==i

，平面，CD与平面ADFE所成锐二面角的大小为冗/3：

笫12页/共I6页

选杀件②③，

便面PAD为等腰直角三角形，且zP4D==

即PA=AD=2,PA14D,平面PAD_L平面ABCD,

平面PADD平面RBCD=AD,PAu平面PAD,

则PA_L平面ABCD,ABCD为正方形，

Z.PAlAB,PAIAI),ABIAI),

PR1FD,ADnFD=D,,且两直线在平面内，

则PB_L平面ADFE,AEu平面ADFE,RiJPBlAE,

■-PA=AB,：，4PA8是等腰三角形，，E为PB的中点,

-是等腰直角三的形.且zPAD-p

即PA=AD=2,PALAD.

平面PAD1平面ABCDm

平面PADD平面ABCD=AD,PAc平面PAD,

则PA_L平面ABCD,又ABCD为正方形，

PALAB,PA±AD,AB1AD,

则AS,0.0),P(0,0,2),C(2,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),•••/IE=夜,...点E为PB伉

中点，则E(l,0,D,

可=(2,2-2),而=(0-2-0),AE=(1-0,1),设平面ADEF的法向量为

n=(x'y，z).

第I3页/共16页

n,AE=x=z=O,-*、

-一，令x=l,得n=（fPO*-1）,

{n,AD=2y=0

设平面PCD的法向量为/=（a，3c）,

则J旺丽=2"2c=0，取b=［得蓝=（o，i，i）,

・・,|8S＜或五＞1=1就1=表或

...平面HD与平面ADFE所成锐二面角的大小为冗/3.

【解析】（D根据条件可以证明AD平面PBC,再利用级面平行的性质定理即可证明EFIAD：

（ID选条件①②可以证明出AB,AD,AP两两垂直，建立空间直角坐标系A-xyz,求出相应坐标，再求出两平面的法向量，进而求出结果，选条件①②

或②③，同样可以证明求解.

3.解：（1）由表格数据知：各站甲乙对应成绩如下,

甲乙

第1站86.2088.40

第2站92.8088.60

第3站87.5089.10

第4站89.5088.20

第5站86.0087.70

其中第2、4站甲成绩比乙高.故随机选取一站，甲运动员成绩高于乙运动协的概率

（2）由⑴知:甲成绩低于88分有3站,乙成绩低于88分有1站，

所以抽到甲低于88分的概率为抽到乙低于88分的概率为\

55

抽到甲乙都低于,88分的概率为-x-="则两人至少有一人高于88分的概率为

5525

.<6.2+92.8+87.5+06.5+864+88.6+09.1+«82+87.7,-

1=-----------------------------------------------=176.5

所以也<生.

第H金/共I6国

【辨析】(1)出题思确定甲乙各站对应成财，进用判断甲成项比乙向的站数，即可得概率.

(2)首先确定抽到甲、乙低于88分的概率，再利用时立事件的概率公式及独立事件的乘法求概率.

(3)根挂数据求出甲的平均成绩、甲乙两人的总平均成绩，即可判断它们的大小.

4.解：(1)由题意可得2c=2,b=2,可得a2=b2+c2=4+1=5,

所以椭耻的标准方程为：4+匚=1,离心率e=：=白屋;

54a百5

(1D由超息设直线1的方程为:y=kx+3,设8(如必)"(必”2),

y=kx+3

,整理可得:(4+Sk^x2+30kx+25=0,

联立4x2+5y2=20

4=30^2-4x(4+5k2)x25>0,可得k2<1,

30fc25

且Xj+x=-----；,七々----：•

1/24+5产―A+Sk2

直纹AB的方程方程为y=力二*+2,令:产3,可得X”=—,

4力-2

同理可褥X.=—.

即PM|=|xM|,PN|=|xN|,

所以向喇=|言告=|g+：扃+】)1=13〃需72)+]|=|『・£^圣十

所以IPMHPNI的值为

【解析】(D由题也可得b,c的值,进而求出H的值，求出椭圆的方程:

(H)设直线1的方程，与椭圆的方程联立,求出两艰之和及两根之积,切线直线AB,AC的方程,由题意可得M,N的横坐标的值，进而求出|PM||P'的值.

-I.，/、2"户"-2/产"2x(1-*)

5.解：⑴当u=0时,作)=即，则a/G)=(J-),=K-

令「(x)>0,解得0<x<l,令f'(x)<0,解得X〈。或X>1,

所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(-8,0),(1,+8)；

f\,<\(2j+2a)e2,f*4-2(x2+2ar+a)e2x++-2x(x+2a-l)

(2Jf[Xj-(小+4)2—,2、4•

令「'(x)=0,解野：Xj=0,x2=1-2a,

由于x=Q是函数的极小值点，且函数「(x)的单调性应先减再增再减，

则1-2a:0,解得(a<

所以实数a的取值范困为(

⑶当X-—时，f(x)-+8,当X-+8时,f(»〉o且谢为它的渐近线，最小值仅可能在两个极值点处取得,

由⑵可知，当a<Q=0为极小值点,则f(0)=^=-e2,解得a=-e，符合避意:

当a>:时,x=l-2a为极小值点，则.“1_2a)=苦=解得a=2,符合题意：

当a=/Lf(x)无最值.

综上，实数a的值为或2.

【解析】(1)将a=0代入函数例析式,对函数f(x)求导,判断导函数与0的关系,即可得到单调性: