2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题07 一元二次方程的应用含答案

2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题07一元二次方程的应

用

阅读与思考

一元二次方程是解数学问题的有力工具，许多数学问题都可转化为解一元二次方程、研究一元二次

方程根的性质等而获解.现阶段，一元二次方程的应用主要有以下两方面：

1.求代数式的值：

2.列二次方程解应用题.

从本质上讲，列二次方程解应用题与前面我们已经学过的列元二次方程解应用题没有区别，通常

都要经过设、歹h解、答等四个步骤，解题的关键是寻找实际问题中的等量关系.特别需要注意的是，

列出的一元二次方程一般会有两个不同的实数根，所以在检验时应特别注意，很可能其中有不符合实际

问题的根，必须舍去.

例题与求解

［例1］甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11

时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地

开出的船在静水中的速度数值为44「米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度1/T・米/时数值

的平方，则卜的值为.（安徽省竞赛试题）

解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.

【例2】自然数〃满足（r—2〃—2）"'47=（/-2〃-2严76,这样的〃的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个（江苏省竞赛试题）

解题思路：运用哥的性质，将问题转化为解方程.

3

【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+l与），=一二不+3交于点A,分别交x轴于点4和

'4

点。点。是直线AC上的一个动点.

（1）求点A,8,。的坐标；

（2）当ACB。为等腰三角形时，求点。的坐标.（太原市中考试题）

解题思路：对于（2）,利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论.

【例4】如图，已知在R/AA8C中，NC=90°,AC=3,8c=4,点E在直角边AC上（点£与A,

。两点均不重合）.

（1）若点”在斜边A8上，且E”立分即ZSABC的周长，设AE=x,试用工的代数式表示5.好.；

（2）若点尸在折线ABC上移动，试问：是否存在直线E尸将R/ZXABC的周长和面积同时平分？若存在

直线EF,则求出AE的长：若不存在直线上尺请说明理由.（常州市中考试题）

解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF,将线段的计算转化

为解方程.

【例5】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全

部租出.每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种贽用1

万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.

（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？

（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益=租金一各种涉用）为275万元.？

（绍兴市中考试题）

解题思路：解题的关犍是把更杂的数量关系分解成若卜个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关

系.

【例6】已知：如图1,在R/4ACB中，ZC=90°,AC=4cm,8C=3cm,点P由点5出发沿8A方

向向点A匀速运动，速度为lcm/s：点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s.连

结”。若设运动的时间为/（s）（0</<2）,解答下列问题：

（1）当/为何值时，尸。〃8C?

（2）设AAQQ的面积为y（cm?）.求），与/之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻八使线段P。恰好把R/Z\AC3的周长和面积同时平分？若存在，求出此时行勺

值：若不存在，说明理由：

（4）如图2,连结PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C,那么是否存在某一时刻/,使四

边形尸。P'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.（青岛市中考试题）

解题思路：对于（3）,先求出PQ平分RrZkACB周长时/的值，再看求出，的值是否满足由面积美

系建立的方程.

能力训练

A级

1.某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第

一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金

的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为X,

那么所列方程为.（济南市中考出题）

2.如图，在长为105八宽为&力?的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面枳

是原矩形面积的80%,则所截去的小正方形的边长是.（广东省中考试题）

3.有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津.按民航规定，旅客最多可免费携带

20千克行李，超重部分每千克按《机票价的1.596购买行李票，现该旅客买了120元的行李票，则他的

飞机票价格应是.

4?〜4

4.已知实数X、），满足一p+'rnS），4+,#=3,则一p+）/的值为（）

xx~X

r1+V13,7+V13rL

A.7B.-------C.-------D.5

22

5.一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒；

的关系式是/?=-5（，-2）（，+1），则运动员起跳到入水所用的时间是：）

A.一5秒B.1秒C.-1秒D.2秒

6.某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3T•米都需付7元车费），超过3『米以

后，每增加1丁米，加收2.4元（不足1T米按1T米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费

19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米，那么x的最大值是（）

A.IIB.8C.7D.5

7.如图，菱形ABCD的边长为4,0是对角线AC上的一点，且OA=a,OB=OC=OD=1,则a=（）

第2题图第7题图

8.我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运.经与某物流公司联系，得知用A

型汽车若干辆刚好装完：用B型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.

（I）已知B型汽车比4型汽车每辆车可多奘15台，则A,H两种型号的汽车各能装计算机多少台？

（2）已知A型汽车的运费是每辆350元，3型汽车的运费是每辆400元。若运送这批计嵬机用这两种

型号的汽车，其中8型汽车比A型汽车多用1辆，所用运费比单独用任何一种型号的汽车都要廿省，按

这种方案需A，8两种型号的汽车各多少辆？运费多少元？（四川省中考试题）

9.某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交【0元

A

用电费：如果超过A度，则这个月除了仍需交10元用电费外，超过部分还需按每度——元交费.

100

下表是一户居民3月、4月的用电情况和交费情况：

月份用电量（度）交电费（元）

3月8025

4月4510

根据上表的数据，电厂规定的A（度）为多少？（苏州市中考试题）

10.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学

过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感

染的电脑会不会超过700台？（广东省中考试题）

11.某批发商以每件50元的价格购进800件丁恤,第一个月以单价80元销售,售出了20（）件：第二个

月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售,根据市场调查，单价每

降诋1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格，第二个月结束后，批发商将对剩余的7'恤

一次性清仓销售，清仓时单价为40元.设第二个月单价降低x元.

（1）填表（不需化简）：

时间第一个月第二个月清仓时

单价（元）8040

销售量（件）200

（2）如果批发商希望通过销售这批7恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？

（南京市中考试题:

B级

1.如图，梯子AB斜靠在墙上，Z/.CB=90°,AB=5m,BC=4ni,当点B下滑到点B'时点A向左平

移到点A',设8*=x,当工=_____时，点8下滑的距离与点A向左平移的距离相等.

（徐州市中考试题）

第1题图第2题图第3题图

2.如图，在心△ABC中，NC=90",BC=6cm,C4=8cm,动点P从点C出发，以2c的速度沿

CA,AB移到点8,则。点出发秒时，可使SMCPM;SMBC.

3.甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线/起跑，绕过尸点I回到起跑线

（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑；用时少者胜.结果，甲同学由于心急.

掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完。事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡

球之程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍。”根据图文信息，请问哪位同学获胜？（江西省中考试题）

4.一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；

购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款.现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三年级每

人买1支，则只能按零售价付款，需用（"J-1）元（6为正整数，且"72-IAIOO）；如果多买60

支，则可以按批发价付款，同样需用（〃/一1）元.

（1）设这个学校初三年级共有x名学生，则①x的取值范围是；②铅笔的零售价每支应

为元，批发价每支应为__________元.（用含X,〃？，，，的代数式表示）

<2）若按批发价每购买15支，比按零售价每购15支少付款1元，试求这个学校初三年级共有多少名

学生，并确定，〃的值.

5.在一次汽车比赛中，有三辆汽车在起点同时同向出发，其中第二辆车每小时辆车比第一辆车少走5

公里，而比第三辆车多走7.5公里：第二辆车到达终点比第一辆车迟3分钟，而比第三辆车早到5分钟.

假设它们在路上都没停过.

（1）比赛的路程是多少公里？

（2）第二辆车的速度是每小时多少公里？（荆州市竞赛试题）

6.象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘.记分办法是胜一盘得1分，和一盘

各寻0.5分，负一盘得0分.已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分为整数，参加此次比赛的选

手共有多少人？（天津市竞赛试题）

7.如图，有矩形地A8C。一块，要在中央修建一矩形花圃，使其面积为这块地面积地一半，且

花圃四周的道路宽相等.今无测量工具，只有无刻度的尺和够长的绳子一条，如何量出道路的宽度？

8.小明有5张人民币，面值合计20元.

（1）小明的5张人民币的面值分别是元、元、元、元、元.

（2）小明来到水果店，称了x公斤苹果（X是整数），按标价应付），元，正好等于小明那5张人民币中

的2张面值之和；这时果筐里还剩6公斤苹果，店主便对小明说：“如果你把这剩下的也都买去，那么

连同刚才已经称的，一共就付10元钱吧。”小明一算，这样相当于每公斤比原标价减少了0.5元，本着

互利原则，便答允了，试求x和y.（江苏省竞赛试题）

9.如图，等腰心AABC的直角边AB=2,点P、。分别从A、。两点同时出发，以相等的速度作直线运

动.已知点P沿射线A8运动，点。沿边的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D

（1）当AP的长为何值时，S&PCQ=S^BC?

（2）作PEJ_AC于点£当点P、。运动时，线段。上的长度是否改变？证明你的结论.

（荆门市中考试题）

10.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现，

在进货价不变的情况下，若每T-克涨价1元，U销售量将减少20T•克.现该商场要保证每天盈利6000

元.同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

11.求满足下列条件的所有四位数：而而?=（茄+且）2,其中数码c可以为0.

（“新知杯”上海市竞赛试题）

专题07一元二次方程的应用

例16例2c

例3(I)R(—1,0),C<4,0),由H当

77

（2）设点。的坐标为（■y）,BC=5.,①当时，过点。作轴于M，则

33315

OM\=—,x=—,/.y=—-9------)

22.42828

.②当8。=也)2时，过点。2作。2M2_Lx轴于此，则鼻加；+用*2=。*二・・・％8=—%—1,02M2二

3

——x+3,DiB=5.

4

315

③当CD?=AC或CT>4=8。时，同理，可得。(0，3),。4(8,-3),故点的坐标为小(一，一)，

28

D](——,—)♦Dy(0«3),Di(8»—3).

2

例4(1)S^AEF=—X(6—X)

5

2

(2)假设存在直线E尸将△4BC的局长和面积同时平分，4E=x.①若点〃在斜边4B上，则由(1)知

5

(6—.V)=—x6,解得xi=3—逅•，X2=3+，^(舍去)此时A尸=6—(3—)=34-^^-<5.,

22222

②若点尸和B垂合，不满足题设要求的直线EG③若点尸在8c上，由AE=x,得C£=3—x,CF=3

+.丫，SACEF=—(3―x)(3+x)=—x6,解得Xi=，12=—(舍去)，由于3+x=+3>4,

22

故不存在直线E尸满足题设要求.

例5(1)24间

XXX

(2)设每间商铺的年租金增加x万元，则(30+—)x(10+A)-(30-—)xl-——x0.5=275,

0.50.50.5

解得内=0.5,*=5,故设每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元.

例6⑴40=5一八AQ=21,若P。〃始则△”QS”8C.・，・手=£“与.

PHAPPH5-t3

(2)过点P作，”_1_4。,由4A/)〃8448C得——=——，即——=——,PH=3--r,=3.Ay=

BCAB355

iI33

一xAQxP〃=—x2ix(3--/)=--?+3/.

2255

(3)若尸。把"BC周长平分，则AP+A2=BP+3C+CQ,,・・・(5~/)+2f=r+3+(4-2/),f=l.若

PQ把MAC面积平分，则SNPQ=-SAM,即--尸+3，=3,但/=1代入此方程不成立.故不存在这一时刻,

25

使线段PQ把^ABC的周长和面积同时平分.

BB

(4)过点P作PM_LAC于M,PN工BCfM若四边形。。尸。是菱形，则夕。=PC.由△尸用Vs△ABC,得——=

AC

BPPNt4t4t4f4r1037

——，即---=-.PN=—,：.QM=CM=—，由一+—+2r=4,得t=—.此时PM=3—-1=—

AB455555953

=y=1、PC=+=号S.・•・菱形PQP'C边长为^^.

A级

1.500(1+K)(X+8%)=112

2.2cm3.800元4.45.D6.B7.A

8.(I)A型汽车能装45台，S型汽车能装60台.(2)A型汽车2辆，8型汽车3辆，运费为1900元.

9.50度

10.设每轮感染中平均每台电脑会感染x台电脑，则l+x+(l+x)x=8l,解得即=8,12=—10(舍去)，

(1+.V)3=(1+8)』729>700,故三轮感染后，被感染的电脑会留过700台.

II.<1)80—1200+1Ox800-200-(200+10A)(2)根据题意，得80x200+(80—工)(200+

10.0+40(800-200-(20+I0.V)]—50x800=9000,整理得/一20氏+100=0,斛方程得由=刈=10.

当x=10时，80—1=70>50.故第二个月的单价应是70元.

B级

1.1

2.1或7.75

3.甲、乙两同学所用的时间分别为26秒、24秒，乙同学获胜.

4.⑴①240VxW300@m-1，U-1

xx+60

IfJ—J阳--]

(2)由题意得15,------15,------=1>整理得f+60x—900(w2—I)=0,解得修=30(/〃-1),

xJ+60

工2=-30(/〃+1)(舍去)，解得m=11,x=300.

5.(1)150公里(2)120公里/小时

xx_3

yy+560

xx_5

提示：设比赛路程是公里，第二辆车的速度是)，公里/小时，由题意得即

Xy-7.5-y"60

54二3

y(y+5)60

j解得［E50

)，(y-7.5)60ly=120

6.9人提示：设共有选手(〃+2)人，除2人得8分外，〃个人平均得A分(4为整数)，由题意得

■!■(〃+1)(〃+2)=8+〃匕整理得〃:2A)〃-14=0,人数只能是奇数，n=7.

2

7.设道路宽为x,AB=a,AD=b,则有(a—2x)(/)—2x)=­ab,即8/一4(〃+b)+H?=0,解得产L(a

24

+加一］量法是：用绳量出(a+0)之长，从中减去BD(81=),得/=AB+AD

一W),再将/对折两次即得到道路宽度r

8.(1)1,2,2,5,10

(2)由⑴知，从小明的5张人民币中取2张，和小于10的情况只有4种，1+2=3,2+2=4,1+5=6,

2+5=7,即)，值只可能是3,4,6,7.再分别讨论，只有当产6时，方程-9=9—0.5有整数

x+6x

解，解得产4.

9.⑴设AP=x,当点。在线段AB上时，则AP=CQ=x,BP=2~x,由,(么一/)=2,方程无解：当点

2

/)在A8延长线上时，AP=CQ=.x,PB=x-2,由;(/-2x)=2,得户1+6

(2)过尸作尸"〃4c交AC或AC延长线于R可以证明当P,。运动时，线段。E的长度保持不变，

始终等于五

10.设每千克水果应涨价x元，则：500-20x)(10+x)=6000,解得勺=5,=1°，要使顾客得到实惠，

应取.v=5.

11.设ab=x,cd=y,则％,y为正整数，且104W99,0WyW99.由题设可知=100x+)①，

即F—2(50—y)x+尸一产0,而x,y为正整数，「.△=4(2500—9力)为完全平方数，从而2500—99)，

为完全平方数.设2500—99.尸I2伙wZ,0W&W50),则(50+6(50—&)=99丫，故11|(50+6与11|(£0

一幻至少有一个成立.•.♦5OW5O+JIW1OO,OW5O-kW5O「.50+455,66,77,88,99或50-4。，

11,22,33,44.故99)=55X45,66X34,77X23,88X12,99X1,或99y=100X0,89X

1b78X22,67X33,56X44.因此，使y为非负整数的只有产25,产1,>'=0.回到方程①，

解得人=30或20,尸98或。，户0或100.显然尸。或100不符合条件，故符合条件的四位数共有三

个：3025,2025,9801.

专题08二次函数

阅读与思考

二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主

要知识与方法有：

1.二次函数解析式y=ad+/»+c的系数符号，确定图象的大致位置.

2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a有关，-2与（-二，竺王）决定抛

2a2a4a

物线对称轴与顶点的位置.

3.二次函数的解析式通常有下列三种形式：

①一般式：y=ax1+bx+ci

②顶点式y=a（x-/〃）2+/?：；

③交点式：y=。*一七乂工一々），其中内，马为方程4—+〃x+c=0的两个实根.

用恃定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.

例题与求解

【例1】二次函数y=*+/+c•的图象如图所示，现有以下结论：①融。>0；②〃V4+c：③

4a+2Z?+c>0；®2c<3/?；⑤a+b>〃7（a〃?+Z?）（〃2H1）.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

（天津市中考试题）

解题思路：由抛物线的位置确定a,b,c的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并

能综合推理.

【例2】若二次函数y=ad+〃x+c（aW0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0,I）和（一1,0\

则S=4+b+c的值的变化范围是（）

A.OVSVIB.0<5<2C.I<S<2D.-1<S<1

（陕西省竞赛试题）

解题思路：设法将S表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S的值的变化

范围.

【例3】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的

坐标系下经过原点。的一条抛物线（图中标出的数据为己知条件）.

在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10二米，入水处距池边的距离

3

为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就

会失误.

<1）求这条抛物线的解析式：

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿

势时，距池边的水平距离为3之米.比次跳水会不会失误？并通过计熨说明理由.（河北省中考试题）

5

解题思路：对于（2）,判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为3|米时，该运动员

与眺台的垂直距离.

跳

台

on支

柱

Im

【例4】如图，在直角坐标xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4,-V3）,且在x轴上截得的线

段AB的长为6.

（1）求二次函数的解析式：

（2）在y轴上求作一点，（不写作法），使附+PC最小，并求P点坐标；

<3）在工轴的上方的抛物线上，是否存在点。，使得以A，8三点为顶点的三角形与△ABC相似？

如果存在，求出点。的坐标；如果不存在，请说明理由.（泰州市中考试题）

解题思路：对于（1）、（2）,运用对称方法求出A,B,P点坐标；对于（3）,由于未指明对应关系，需

分类讨论.

【例5】如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形A8CDE,其中AE=2,BF=l.试在八8

上求一点P，使矩形PNQM有最大面积.（辽宁省中考试题）

解题思路：设ON=PA/=x,矩形PNDW的面积为y,建立），与x的函数关系式.解题的关键是：最

值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.

【例6】将抛物线G："二-石/+内沿x轴翻折，得抛物线。2,如图所示.

（1）请直接写出抛物线j的表达式.

（2）现将抛物线q向左用移〃?个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到

右;衣次为A,B：将抛物线心向右也平移移〃?个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N,与工轴

的交点从左到右依次为D,E.

①当B,。是线段4E的三等分点时，求，〃的值：

②在平移过程中，是否存在以点4,N,E,例为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时机的

值：若不存在，请说明理由.（江西省中考试题）

解题思路：把相应点的坐标用〃，的代数式表示，由图形性质建立〃？的方程.因，〃值不确定，故解题的

关犍是分类讨论.

能力训练

A级

I.己知抛物线），="2—（a+2）x+9的顶点在坐标轴上，则a的值为—

（1）这个二次函数的解析式是y=；

（2）当x=时，y=3：

（3）根据图象回答，当x______时，y>0.（常州市中考试题）

4.己知二次函数的图象经过原点及点（-•!"，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,则该

24

二次函数的解析式为.（安徽省中考试题）

5.二次函数y=+加:+c与一次函数y=ar+c•在同一坐标系中的图象大致是（）

ABCD

6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=F+bx+c•的图象过点（1,0）……

求征：这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是

（）

A.过点（3,0）B.顶点是（2,-2）

C.在x轴上截得的线段长度是2D.与y轴的交点是（0,3）

（盐城市中考试题）

7.如图，抛物线y=ad+/M+C与两坐标轴的交点分别是4,B,E,且△A8E是等腰直角三角形，AE

=BE,则下列关系式不能总成立的是（）（大连市中考试题）

A.Z?=0B.SMBE=6C.ac=-\D.a+c=0

8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有

一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度

忽咯不计）（）

A.9.2米B.9.1米C.9米D.5.1米

（吉林省中考试题）

9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图.在地面O,A两个观测点测得空

935

中固定目标C的仰角分别为。和404=1千米，如?。=一，s”万=1,位于。点正上方巳千米D

2883

点处的直升机向目标C发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3「米时，相应的水平距离为4

T米（即图中E点）.

（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式：

（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.

（河北省中考试题）

10.如图，已知△A3。为正三角形，D,E分别是边人。、BC上的点〔不在顶点），NBDE=60：

（1）求证：ADECsABDA；

（2）若正三角形八8C的边长为6,并设OC=x,BE=y,试求出J与x的函数关系式，并求最夕豆

时，△8OE的面积.

11.如图，在平面直角坐标系中，OB_LQ4且08=204,点A的坐标是（一1,2）.

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A,0,8的抛物线的解析式：

（3）连结A8,在（2）中的抛物线上求出点P,使5必82=5必8。•（陕西省中考试题）

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=V+〃!¥+〃经过点A(3,0),B(0,-3)两点，点。是

直线A8上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M.设点P的横坐标为r：(1)分别求直线AB和

这条抛物线的解析式：

(2)若点尸在第四象限，连结BWAM,当线段PM最长时，求△A8M的面积；

<3)是否存在这样的点P，使得以点P，M,B,。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写

出点。的横坐标：若不存在，请说明理由.(南宁市中考试题)

B级

I.己知二次函数y=x2-6"+。的图象顶点与坐标原点的距离为5,则c=______.

2.如图，四边形A8CO是矩形，A,8两点在x的正半轴上，C,。两点在抛物线)，=一,一+6%上.设

OA的长为(0<mV3).矩形八8co的周长为/,则/与的函数解析式为.

(昆明市中考试题)

第2题图第4题图

3.如图，在。。的内接aABC中，48+AC=12,AD1BC,垂足为Z)(点。在边3C上)，且AO=3,

当A6的K等丁时，OO的面积最大，最大面积为.

4.如图，已知二次函数X=〃储+/?x+c(〃H0)与一•次函数)，2=Ax+〃z(AH0)的图象相交于点A(-

2,4),8(8,2),则能使必>yj成立的x的取值范围时______________•(杭州市中考试题)

5.三知函数的图象如下图所示，则函数丁=d+0•的图象只可能是()

6.三知二次函数y=ad+Z?x+c的图象如图所示，贝I下歹ij6个代数式：ab,ac,a+b+c,a-b-^-c,

2a+b,2。一人中，其值为正的式子个数为()

A.2个B.3个C.4个D.4个以上

(全国初中数学联赛试懑)

7.巳知抛物线y=ad+bx+c(”W0)的对称轴是x=2,且经过点夕(3,0)则〃+Z?+c的值为()

A.-1B.OC.1D.2

8.三知二次函数y=ar?+/?x+c(«>0)的对称轴是x=2,且当芭=后,修=乃,当=0时，二次

函数y的值分别时M，>2,％，那么)">2,K的大小关系是(

A.M>XB.y,<为<XC,y2<y<xD.力>%>为

,4

9.巳知抛物线y=〃tv~-（3"?+—）/+4与x轴交于两点A,B,与y轴交于C点，若/XABC是等腰三角

3

形，求抛物线的解析式.（“新世纪杯”初中数学竞赛试题）

1、

10.如图，已知点M,N的坐标分别为（0,I）,（0,一1）,点P是抛物线），=一片上的一个动点.

4

（1）判断以点。为圆心，PM为半经的圆与直线y=—l的位置关系；

（2）设直线PM与抛物线>="!"/的另一个交点为。，连结NP,N。，求证：/PNM=/QNM.

4

（全国初中数学竞赛试题）

11.已知函数），=/一W一［2的图象与工轴相交于相异两点儿B,另一抛物线），=〃/+bx+c过点力,

顶点为P,且AAPB是等腰直角三角形，求”，b,c的值.（天津市竞赛试题）

12.如图1,点P是直线/:丁二一2久-2上的点，过点P的另一条直线“交抛物线），=/于人，8两点.

13

（1）若直线，〃的解析式为），=-2尤+耳，求A,8两点的坐标；

（2）如图2,①若点/,的坐标为（-2,f）,当抬=A8时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于

直线/上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到点八，使得杼1=/3成立：

（3）如图3,设直线/交），轴于点C,若△AOB的外心在边A4上，且N8PC=NOCP,求点P的坐标.

（武汉市中考试题）

专题08二次函数

例1c.

提示：③④⑤成立.

对于④，当x