2024届河北省保定市高考适应性考试数学试卷含解析

2024届河北省保定市唐县第一中学高考适应性考试数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到

四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A,医生乙只能分配到医院A或医院4,医生丙不能分配到医生甲、

乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（）

A.18种B.20种C.22种D.24种

V

2.已知正四面体的内切球体积为y,外接球的体积为匕则一=（）

V

A.4B.8C.9D.27

3.已知过点尸（U）且与曲线），=/相切的直线的条数有（）.

A.0B.1C.2D.3

4.已知44=（2,-1）,AC=（1,A）,若=则实数4的值是（）

D.1或7

5.曲线y=+21nx上任意一点处的切线斜率的最小值为（

3

2

6.已知产为圆C：（X-5）2+）F=36上任意一点，4-5,0）,若线段%的垂直平分线交直线PC于点Q,则Q点

的轨迹方程为（）

9--16

C.--^-=1(x<0)D.--^-=1(x>0)

916916

7.已知向量。二（1,一2）/=（3,—1）,则（)

A.a//bB.a.LbC.a//(a—b)D.d±(a-b)

8.若直线二不平行于平面二，且二仁二，则（）

A.二内所有直线与二异面

B.-内只存在有限条直线与一共面

C.二内存在唯一的直线与二平行

D.二内存在无数条直线与二相交

9.5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了

一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率V（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折

线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于％的线性回归

方程为），=0.0421+〃.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G手机市场占有率

能超过0.5%（精确到月）（）

A.2020年6月B.2020年7月C.2020年8月D.2020年9月

10.抛物线y2=4x的焦点为R点P。,），）为该抛物线上的动点，若点4-1,0）,则工二的最小值为（）

PA

A1R及「石n2&

X.—K.-----C.----D・------

2223

11.己知集合4二«xlxv-耳>,"=vx<0}则Ap|8=()

A.{x|x<0}

,,1]

C.sx|-l<X<——>D.{x|x>-l)

2

12.设€=(l,4<o),贝u“a>b”是的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知iana=3,贝Ucos2a=.

14.函数/(X)=|/一］|+/+履+9在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是.

15.已知数列｛见｝是等比数列，4=1,6=36,则生=.

16.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3,则正视图的文的值_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知(x+1)"=旬+%(%—1)+/(x-1)~+。3(工一1尸+…+凡(,"一D"，(其中〃eN')

S„=a,+a2+a3++att.

⑴求s“；

(2)求证：当〃24时，S“>(〃-2)2"+2/.

18.(12分)已知曲线G的参数方程为卜"应。。,'(。为参数).以直角坐标系的原点。为极点，x轴的正半轴

(>=sin0

为极轴建立坐标系，曲线G的极坐标方程为夕sin?0=4cos。.

(1)求G的普通方程和g的直角坐标方程;

照陷

(2)若过点尸(1，0)的直线/与G交于A,B两点,与G交于N两点，求的取值范围.

\FM\\FN\

19.(12分)已知函数/(x)=〃a[lnx+5j.

(I)若加=1,求曲线y=在(1J⑴)处的切线方程;

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到

答案.

【详解】

根据医院A的情况分两类：

第一类：若医院4只分配1人，则乙必在医院小当医院4只有1人，则共有种不同

分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院4只分配1人时，

共有C；A；+C；用=10种不同分配方案；

第二类：若医院A分配2人，当乙在医院4时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，

在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，

共有用+=10种不同分配方案；

共有20种不同分配方案.

故选：B

【点睛】

本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.

2、D

【解析】

设正四面体的棱长为1,取AC的中点为。，连接AD,作正四面体的高为首先求出正四面体的体积，再利用

等体法求出内切球的半径，在R/A4MV中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】

设正四面体的棱长为1,取AC的中点为。，连接AD,

作正四面体的高为PM,

:.PM=y/PA2-AM2=*,

丫…」、旦旦g

P~ARC34312

设内切球的半径为广，内切球的球心为。，

1c

V

则P-ABC=4%1T8c=4X§Xj厂，

解得:「唔

设外接球的半径为R,外接球的球心为N.

则「WV|=|尸加一囚或囚一尸AN=R,

在aAAMN中，由勾股定理得:

AM?+MN?=AN?,

好,

=R"解得R

334，

〃=3,

r

VR3»

「了"7

故选：D

【点睛】

本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式,

属于基础题.

3、C

【解析】

设切点为（Xo，y°）,则yo=x03,由于直线1经过点（1,1）,可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点X。处

的切线斜率，建立关于X。的方程，从而可求方程.

【详解】

若直线与曲线切于点（Xo，y°）（XoHO）,则k=*W=4==x：+Xo+l,

xo-1xo-1

・・

又.y=级2,・・・y]x=Xo=3xo2,・・・2x；-Xo—l=O,解得x0=l,x0=-p

，过点P（l,l）与曲线C:y=x'相切的直线方程为3x-y-2=O或3x-4y-l=0,

故选C.

【点睛】

本题主要考■查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何

意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

4、C

【解析】

根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得X的值.

【详解】

由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得

AB-AC2-/1Tio

cosZBAC=

ABACy/5•5/l+A~"io-*

解得4=1.

故选：c.

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.

5、A

【解析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率Z23,即可得出答案.

【详解】

解：由于y=1d+21nx,根据导数的几何意义得；

k-//(x)=x2+—=x2+—+—>3Jx2---—=3(x>0)>

xxxVxx

即切线斜率攵23,

当且仅当上=1等号成立，

所以V=(V+21nx上任意一点处的切线斜率的最小值为3.

故选：A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.

6、B

【解析】

如图所示：连接S，根据垂直平分线知04=。夕，||。。卜|04||=6<10,故轨迹为双曲线，计算得到答案.

【详解】

如图所示：连接QA,根据垂直平分线知。A=QP,

故||QC|-|e^||=||ec|-|ep||=|PC|=6<io,故轨迹为双曲线，

22

2a=6,a=3»c=5»故Z?=4,故轨迹方程为——=1.

916

故选：B.

【点睛】

本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.

7、D

【解析】

由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.

【详解】

:向量4=(1,-2),b=(3,・1),・•・。和〃的坐标对应不成比例，故4、力不平行，故排除A;

显然，〃・。=3+2和，故〃不垂直，故排除8；

•**d—b=(-2,-1),显然，。和。—〃的坐标对应不成比例，故。和〃不平行，故排除C；

a9(«-/?)=-2+2=0,故ci±(d-b)，故。正确，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.

8、I)

【解析】

通过条件判断直线二与平面相交，于是可以判断ABCD的正误.

【详解】

根据直线二不平行于平面二，且二y二可知直线二与平面二相交，于是ABC错误，故选D.

【点睛】

本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.

9、C

【解析】

根据图形，计算出；,亍，然后解不等式即可.

【详解】

解：x=yx(l+2+3+4+5)=3,y=1x(0.()2+0.05+0.14-0.15+0.18)=0J

点(3,0.1)在直线§，=().042x+4上

0.1=Q(K2x3+4,2=-0.026

y=0.042x-0.026

令20.042x-0.026>0.5

x>\3

因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，

故选：C

【点睛】

考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.

10、B

【解析】

通过抛物线的定义，转化PF=PN,要使黑有最小值，只需NAPN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最

|PA|

小值.

【详解】

解：由题意可知，抛物线V=4x的准线方程为无=-1,A(-l,0),

过尸作PN垂直直线x=-l于N,

由抛物线的定义可知"二PN,连结当是抛物线的切线时，焉有最小值，则NAPN最大，即NQ4f最

I厚1

大，就是直线%的斜率最大，

y=k(x+\)

设在P4的方程为：y=k(x+\),所以卜、，

y=4x

解得：炉工?+(2炉一4)“+3=(),

所以A=(2&2-4)2-4/=0,解得A=±l,

所以4VRl=45。，

吧=8S/NPA=M

\PA\2

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题.

11、C

【解析】

由题意和交集的运算直接求出ACB.

【详解】

■:集合A=B={x|-l<x<0}

/.AfB=•x|-l<x<-—>

2

故选:C.

【点睛】

本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.

【解析】

根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可.

【详解】

■：a,be(1,+x),

a>b^ogab<l,

\o^ab<\=^a>b,

・・・〃>。是10劭。<1的充分必要条件，

故选C.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、/

5

【解析】

,14

解：由题意可知：cos2a=2cos‘=2x——-------1=一一.

tana+15

,（26

14、左引一--,-8

13）

【解析】

对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解.

【详解】

由题：函数f（x）=|f-11+炉+区+9在区间©3）内有且仅有两个零点,

X24-|X2-1|+9V，Xe（°J1

-k=-----1一=ix,

xQ

2x+—,X£（1,3）

—,xw(0,1J

V

等价于函数y=-k,g（力=.恰有两个公共点,

2x+—,xe(1.3)

x

作出大致图象:

所以—8.

故答案为：ke(-g,-8)

【点睛】

此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形

结合求解.

15、±6

【解析】

根据等比数列通项公式，首先求得心然后求得的.

【详解】

设｛《7｝的公比为夕，由％=1必=36,得＜/2=36国=±6,故生=±6.

故答案为：士6

【点睛】

本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.

16、3

【解析】

由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2,高为2,

如图所示，AD=1，BC=2,SB=x,ADUBC,SB±平面ABCD、AD±AB,

所以底面积为S=1x(l+2)x2=3,

2

几何体的高为x,所以其体积为V=2x3xx=3n丫=3.

点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见

轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视

图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以

及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)3"-2"(2)见解析

【解析】

(1)取x=l,则“0=2"：取x=2,则/+4+生+4+…+4=3",

nn

Sn=+a2+a3+■­•+an=3-2；

22

(2)要证Sn>(n-2)2"+2n,只需证3">(〃-1)2”+2n,

当〃=4时，81>80；

假设当〃=左伏之4)时,结论成立，即3，"1)2*+2/,

两边同乘以3得：>3[优-1)2«+2%[=攵2=+2(攵+1)2+[(攵-3)2尺+4攵2-4攵-2]

而(2-3)2*+48一42—2=(&-3)24+4(&2—々-2)+6=伏-3)2*+4(&-2)伙+1)+6>0

・••3*+,>《k+1)-1)21+2(2+1尸，即〃=攵+1时结论也成立，

・••当4时，3">(〃-1)2"+2/成立.

综上原不等式获证.

(r

18、⑴见解析:⑵0,-.

【解析】

试题分析：(1)利用平方法消去参数，即可得到G的普通方程,两边同乘以。利用==即可得。2

x=1+tcosav2_

的直角坐标方程；(2)设直线/的参数方程为Q为参数)，代入土+)2=1,利用韦达定理、直线参

y=tsina2

数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.

试题解析：(1)曲线G的普通方程为5+),2=1,曲线G的直角坐标方程为/=4x；

x=I+tcosa

(2)设直线/的参数方程为(【为参数)

y=tsina

又直线/与曲线G：)，2=4x存在两个交点，因此sinawO.

22

联立直线/与曲线G：,+)1=1可得(1+sin6z)r+2rcosa-1=0则|E4HFB\=|/,r2|=2a

联立直线/与曲线。2：V=4x可得『sin%-4/cosa-4=0,则忻根・|四|=|化|=一~

1

|必卜归8|二1+^%=1sin2aJ1/1

2

\FM\-\FN\~4~4l+sina_4l+L(同

sin%sin2a

19、⑴)'=2T⑺(土』］

【解析】

(I)求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；

(II)构造函数y=/(x)-人力比，对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围.

【详解】

(I)当加=1时，/(x)=x2flnx+-i\则/'(工)=2%】nx+；+x.

所以/'(1)=2.

113

又/(1)=5,故所求切线方程为＞'-5=2(工-1)，即旷=2%一5.

(II)依题意，得〃tr2(lnx+g)>xlnx,

即〃tv?(lnx+-^j-xlnx>0恒成立.

令g(x)=帆F[苗工+2-xlnx,

则g\x)=(2/7tv-l)(lnx+1).

①当〃740时，因为g(l)=g〃7<(),不合厩意.

②当0〈〃匹1时，令g'(x)=o,

311ngi1

得X]=——,X,=一,显然-->—.

2，"'e2me

令g'(x)>0,得()<x<—或工〉—；令g'(x)vO,得一<x<^—.

e2me2m

(1、(1、(11、

所以函数式处的单调递增区间是0-,—,+oo,单调递减区间是

\eJ12m7\e2m)

当时，/ztr2-x<0>Inx<0»

所以g(x)=/nv2Inxi—|x\nx=(/ar2-x)lnx+—/?tv2>0,

只需=+所以〃7>J广，

\2mJ4〃？2m8〃i2ve

所以实数力的取值范围为

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题.

20、(1)证明见解析(2)0

【解析】

(1)根据面面垂直的判定定理可知，只需证明ACJ•平面8。d4即可.

由ABCO为菱形可得AC_L4。，连接片和AC与8。的交点。，

由等腰三角形性质可得与。1ACt即能证得AC_L平面BDD百；

(2)由题意知，与O_L平面ABCQ,可建立空间直角坐标系Oxyz,以。为坐标原点，04所在直线为K轴，。8所

在直线为),轴，。片所在直线为z轴，再分别求出平面C£。的法向量，平面48。的法向量，即可根据向量法求出

二面角A-8。—G的余弦值.

【详解】

（1）如图，设AC与相交于点。，连接优。,

又A8CD为菱形，故AC_L8力，。为AC的中点.

又AB、=CB,,故3Q_LAC.

又BDu平面80u平面瓦，且BD「BQ=O,

故AC_L平面4。已与，又ACu平面A8c。，

所以平面BDRBi_L平面ABCD.

（2）由AD8乃是等边三角形，可得瓦OJ.B。，故8Q_L平面ABCO,

所以40,AC,两两垂直.如图以。为坐标原点，Q4所在直线为x轴，。3所在直线为），轴，。片所在直线为z

轴，建立空间直角坐标系。工".

不妨设A6=2,则AO=J5,OB}=-75,

则A（G,O,O），仅O，I，O），4（0,0,6）,。（。,一以）），A（瓜7,5，。（一6,-1,6）,

设〃=&,），“）为平面G8。的法向量,

小80=0,2%=°，〜

则即'-低-凶+后=0可取"0'。八

n-OCi=0,

设m=（%,必/2）为平面48。的法向量,

.二

m-BD=0,o

则即+Gi可取『㈠'。』），

m-OAi=0,

n-m_

所以cos<〃，〃?>=「■=().

MM

所以二面角A-8O-C的余弦值为0.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的应用，以及利用向量法求二面角，意在考查学生的直观想

象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题.

21、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)PC=2.

【解析】

(1)由平面434A与平面。CG。没有交点，可得4W与NC|不相交，又AM与NG共面，所以AM//MG，同

理可证AN〃MG，得证；(2)由四边形AMC|N是平行四边形，且|MNk|AG|,则不可能是矩形，所以

AM与4V不垂直；(3)先证R/A人BMNR以G修例，可得取为的中点，从而得出4是PC的中点，可得尸C.

【详解】

(1)依题意4M,C,,N都在平面AQ上，

因此AM平面AC1»NC、=平面AG，

又AMq平面ABB】Al,NC、c平面DCCR,

平面A8GA与平面QCGA平行，即两个平面没有交点，

则AM与，G不相交，又AM与N£共面，

所以AM//NG，同理可证/W//MG，

所以四边形AMC、N是平行四边形；

(2)因为M,N两点不在棱的端点处，所以|MN|v忸A|=|ACj,

又四边形AMGN是平行四边形，|MN|H|4G|,

则AMC0不可能是矩形，所以4W与AN不垂直；

(3)如图，延长CM交的延长线于点P,

若四边形AMCN为菱形，则AM=MG，易证RgABM二Ri,

所以BM=B1M,即M为8片的中点，

因此8M=gcG，且8M//CG，所以BM是aPCG的中位线，

则4是PC的中点，所以PC=2BC=2.

【点睛】

本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推

理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题