2024届高考数学二模试卷含解析

2024届青岛第二中学高考数学二模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/（人）=853十5山人，则下列结论中正确的是

①函数/（外的最小正周期为万；

②函数的图象是轴对称图形；

③函数/（幻的极大值为正；

④函数/（X）的最小值为一1・

A.①@B.②④

C.®®D.②③④

22

2.已知双曲线C：U=i（”o/>0）的焦点为月，F2,且C上点夕满足防，6=0,|明=3,|明=4,

则双曲线。的离心率为

A.B.逐C.-D.5

22

3.已知耳，鸟是椭圆与双曲线的公共焦点，〃是它们的一个公共点，且/图>|尸用，椭圆的离心率为双曲线

的离心率为内，若1Ml=忻闾，则之+今的最小值为（）

e\,

A.6+26B.6+2&C.8D.6

4.已知明）是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，且au”，bc./hall/hb//at则是"a〃夕的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为

俯视图

4>/3

亍

6.已知点4-3,0）,8（0,3）,若点P在曲线），=_正了上运动，则△PAB面积的最小值为（）

93A93后

A.6B.3C.-----V2D.-+-V2

2222

7.如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCO,将平行四边形4BCO沿对角线折起，使平面

4鸟力_1平面8。。，则直线AC与80所成角余弦值为（）

2>/2如

亍

8.已知抛物线G）产=4］,过焦点五的直线/与抛物线。交于A,B两点（A在x轴上方），且满足q=3忸日,

则直线/的斜率为（）

B.73

9.复数2满足Z（l—i）=|l-0，则复数Z等于（）

A.l-iB.\+i

10.已知f（x）=ax?+bx是定义在［a-L2a］上的偶函数，那么a+b的值是

11.已知等差数列｛%｝的前〃项和为s〃，且4=—2,6=10,则$9二()

A.45B.42C.25D.36

12.己知复数(；♦二二+1二为纯虚数(二为虚数单位)，则实数二=()

A.-1B.1C.0D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/⑴…卜Y+总在［0,句的零点个数为.

14.在棱长为1的正方体ABC。-44弓。中，P、。是面对角线AC上两个不同的动点.以下四个命题：①存在

P、。两点，使BPLDQ；②存在P、Q两点,使BP、。。与直线与。都成45。的角；③若120|=1,则四面体

BOPQ的体积一定是定值；④若|PQ|二I,则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为

真命题的是—.

15.在..A6C中，内角A3,C的对边分别为。，仇c,已知B=3,a=2,b=C,则"八3c的面积为.

16.已知z,i=l+2i(i为虚数单位)，则复数z=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=〃/-sinx,其中acR,。为自然对数的底数.

(1)当。=1时,证明：对心80,m)J(x)..明

(2)若函数/(%)在(0,^)上存在极值，求实数。的取值范围。

18.(12分)如图A48C中，。为8C的中点，AB=2屈,AC=4,AD=3.

(1)求边8C的长；

(2)点E在边AB上,若CE是N3C4的角平分线，求ABCE的面积.

19.(12分)已知函数/(x)=lnx-xe'+ov(a£/?).

(1)若函数/(x)在IL+o。)上单调递减，求实数。的取值范围；

(2)若,7=1,求的最大值.

20.(12分)如图，在四棱锥P-ABCO中，BCtCD,AD=CD,PA=36,和APBC均为边长为26

的等边三角形.

(1)求证：平面P3C_L平面ABCO：

(2)求二面角C—尸B—。的余弦值.

21.(12分)如图，四棱锥£・A8CD的侧棱OE与四棱锥产的侧棱板都与底面"CD垂直，AO_LCO,

ABHCD,AB=3,AD=CD=4yAE=5,AF=3y/2.

(1)证明：DF〃平面BCE.

(2)设平面A3产与平面CD尸所成的二面角为出求cos26.

22.(10分)已知函数/(工)=一/+4-」-(4£〃)，g(x)=^-.

4xx

(1)当〃为何值时，X轴为曲线)，=/(x)的切线；

(2)用max{〃?,〃}表示〃?、〃中的最大值，设函数/?(x)=max{4'(x),xg(x)}(x>0),当Ov.v3时，讨论〃(x)

零点的个数.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

S=1cos(x+n)|+sin(x+n)=|cosx|-sinxf(x),所以①不正确;

因为/(x)=|cosx|+sinx,所以/(—+x)=\cos(—+x)|+sin(—+x)=jsinx|+cos.r,

/(1-x)=|cos(^-x)\+sin(]-x)=sinx|+cosx,所以+x)=/(,一幻，

所以函数/a)的图象是轴对称图形，②正确；

易知函数/。)的最小正周期为24，因为函数/*)的图象关于直线对称，所以只需研究函数〃x)在芳]上

的极大值与最小值即可.当工工工工主时，/(x)=-cosx+sinx=72sin(x--),K-<x--<—,令K—3=二，得

22444442

工=手，可知函数/(对在工=兰处取得极大值为④，③正确；

44

因为上x-上浮，所以夜所以函数/*)的最小值为-1,④正确.

4444

故选D.

2、D

【解析】

根据双曲线定义可以直接求出“，利用勾股定理可以求出c,最后求出离心率.

【详解】

依题意得，2a=\PF2\-\PF]\=it|K4|二J|P居『=5,因此该双曲线的离心率八号彳枭1=5.

【点睛】

本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.

3、C

【解析】

3e,

由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简厂小结合基本不等式即可求解.

【详解】

设椭圆的长半轴长为。，双曲线的半实轴长为，，半焦距为c,

则4=5,4吟,设|P周="?

由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：

ff

\PF]+\PF2\=2a^a=^+ct\PF2\-\PF{\=2aa=^-c

Lfm

3-----c

>6+2「~3加-x=8

当且仅当。二gc时，取等号.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.

4、D

【解析】

根据面面平行的判定及性质求解即可.

【详解】

解：aUa.hc.fi,a///hb//a,

由a〃儿不一定有a〃e”与。可能相交；

反之，由a〃“，可得。〃。或。与力异面，

力是两条不同的直线，at夕是两个不同的平面，且aua,bcfl,a//ptb//at

则“〃次是“a〃/T的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题.

5、C

【解析】

由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为所以该几何体的体积

V=ix-!-x2x2x—x>/3=l,故选C.

322

6、B

【解析】

求得直线A2的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P位于结合点到直线的距离公式和两点的距离

公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.

【详解】

解：曲线y=表示以原点。为圆心，1为半径的下半圆（包括两个端点），如图,

直线A6的方程为A-y+3=0,

可得|A8|=3人,由圆与直线的位置关系知。在（一1,0）时，。到直线AB距离最短，即为"盛+'二后,

则MAB的面积的最小值为；x3夜x正=3.

本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结

合思想易得.

7、C

【解析】

利用建系，假设长度，表示向量AC与50,利用向量的夹角公式，可得结果.

【详解】

由平面平面BC。，ABLBD

平面AHDc平面AB\平面ABD

所以A3_L平面BCD,又。Cu平面BCD

所以AB_LOC,又DBLDC

所以作Z轴〃A8,建立空间直角坐标系B-冷，Z

如图

A

设AB=1,所以8。=1,。。=1,8。=血

则A（O,L1）,5（OJO）,C（1,O,O）,D（O、O,O）

所以AC=（1,-1,T）,5D（O,-1,O）

ACBD1_V3

所以cos（AC,8。）

AC网一6一3

故选：C

【点睛】

本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利

用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.

8、B

【解析】

设直线/的方程为x=my+1代入抛物线方程，利用韦达定理可得X+力=4〃z，y%=T,由\AF\=3忸目可知

Ab=3所所以可得另=-3%代入化简求得参数，即可求得结果.

【详解】

设A（%,y）,（凹＞0,必＜0）•易知直线，的斜率存在且不为0,设为则直线，的方程为工=冲+1・

与抛物线方程联立得y2=4（my+l）,所以乂为=-4，Y+%=4m.因为|A曰=3忸目，所以A尸=3而，得

yf所以货g即％=-孚，,=25所以/总3

故选:B.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标之间的关系，考查计算能力，属于中档题.

9、B

【解析】

通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.

【详解】

复数z满足z(lT)\l-@=2,

._2_2(1+/)1.

••Z——~~T-］+’,

1-z(l-z)(l+z)

故选B.

【点睛】

本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题.

10、B

【解析】

依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称，a-1=-2a,即可得解.

【详解】

根据偶函数的定义域关于原点对称，且f(x)是定义在［a-1,2a］上的偶函数，

得a-l=-2a,解得a=；,又f(-x)=f(x),

/.b=O,:.a+b=—,故选B.

3

【点睛】

本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(・x)=f(X)；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定

义域区间两个端点互为相反数.

11、D

【解析】

由等差数列的性质可知4+/=4+4,进而代入等差数列的前〃项和的公式即可.

【详解】

9(4+〃9)_9(巧+G)_9x(-2+10)

由题,==36.

222

故选:D

【点睛】

本题考查等差数列的性质,考查等差数歹J的前〃项和.

12、B

【解析】

化简得到二二二-？一：二一8,根据纯虚数概念计算得到答案.

【详解】

丁=0*二］（二♦二）=：：・/+.（：：♦/）'：：为纯虚数，故口一/=0口♦即口=1.

故选：二

【点睛】

本题考杳了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3

【解析】

求出+S的范围，再由函数值为零，得到3x+J的取值可得零点个数.

66

【详解】

详解：•「OKx〈7l

兀八刀，194

.,.-<3x4--<------

666

,__.c7171c7137r„_7157r

由题可知3工H—=—r3xH—=—,或3xH—=—

626262

v4^-171

解得x=§，-「，或W

故有3个零点.

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.

14、®@®

【解析】

对于①中，当。点与4点重合，。与点G重合时，可判断①正确；当点P点与A点重合，BP与直线8c所成的角

最小为60,可判定②不正确；根据平面08。将四面体8。尸。可分成两个底面均为平面高之和为PQ的棱锥,

可判定③正确；四面体BOP。在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确.

【详解】

对于①中，当尸点与4点重合，Q与点G重合时，BPA.DQ,所以①正确；

对于②中，当点P点与A点重合，BP与直线qc所成的角最小，此时两异面直线的夹角为60，所以②不正确；

对于③中，设平面AMGR两条对角线交点为。，可得PQJ_平面OBO,

平面08。将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD,高之和为PQ的棱锥，

所以四面体3OPQ的体积一定是定值，所以③正确；

对于④中，四面体BOPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义,

四面体BOPQ在四个侧面上的投影，均为上底为也，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，

2

故四面体3OPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】

本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面

直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.

15、且

2

【解析】

由余弦定理先算出c,再利用面积公式S=1acsin8计算即可.

2

【详解】

由余弦定理，得从=/-2〃ccos3,即3=4+/-2c,解得c=l,

故MBC的面积S=-acsinB=—.

22

故答案为：正

2

【点睛】

本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.

16、2-i

【解析】

解：vzi=l+2i

=用二27

故答案为：2—i

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见证明；(2)«G(O,1)

【解析】

(1)利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；

(2)问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a分类讨论，分别研究a的不同取值下，导函数的单调性及值域，从

而得到结论.法二；构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在

极值.

【详解】

(1)当4=1时，/(x)=^v-sinx,于是，f\x)=ex-cosx.

又因为，当xw(0,+^o)时，r>1Kcosx<1.

故当xv(0,+oo)时，"一COSJVAO,即/

所以，函数〃x)=e'finr为(0,y)上的增函数，于是，/(x)>/(O)=l.

因此,^VXG[0,-K»),/(X)>1；

⑵方法一：由题意/(x)在(0卷)上存在极值，则/"("="一8.在(0,?上存在零点，

/\

①当时，r(x)=ae'—cosix为0,^上的增函数，

I乙)

注意到，（0）=〃一1<0,fg=a^>Ot

I2，

所以，存在唯一实数与使得/'（毛）=0成立.

于是，当X£（O,Xo）时，r（x）<°，f（x）为（。,/）上的减函数；

当%,1）时，/f（.r）>0,/3为1上的增函数；

所以与｛0卷）为函数/（力的极小值点；

②当时，/'（x）=a"-coSuvNe•'-85犹>0在0仁）上成立，

所以/（%）在（0,；）上单调递增，所以/（X）在（。，；）上没有极值；

③当4（0时，-cosx<0在X£（O,/上成立，

所以/（工）在（（）身上单调递减，所以/（X）在（0,5上没有极值，

综上所述，使/（X）在（°，5）上存在极值的a的取值范围是（o,1）.

方法二：由题意，函数/⑴在（0，E|上存在极值，则广（力=。"-8.在（0,3）上存在零点.

即〃=哼在（0,£）上存在零点.

ek2.）

设匹工）二竿，则由单调性的性质可得g（"为上的减函数.

eI2/I2/

/z（乃、

即g（x）的值域为（0,1）,所以，当实数。£（0,1）时，可（力=。d-8黄在0,-上存在零点.

\乙）

下面证明，当〃w（o,l）时，函数/（X）在（0,^）上存在极值.

事实上，当。€（0,1）时，r（x）=a"—C0SA•为［o,1）上的增函数，

注意到r⑼=々一1<0,广仁卜">o,所以,存在唯一实数飞虫,外

使得/"(2)=。成立•于是，当xw(O,x0)时，r(x)<0,/(力为(0,%)上的减函数；

当%)，］［时，/'(x)>°，/(X)为［0，］上的增函数；

即X。£(0，、)为函数/(X)的极小值点.

综上所述，当。«0,1)时，函数在(。仁)上存在极值.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一

道综合题.

18、(1)10；(2)—.

7

【解析】

(1)由题意可得cosNAOB=・cosN/lOC,由己知利用余弦定理可得：9+BD2-52+9+BD2-16=0,进而解得SC的

值.(2)由(1)可知ZkAOC为直角三角形，可求SAA“=!X4X3=6,SAABC=2SA4DC=12,利用角平分线的性质可

2

SACF2

得T=T,根据SAARC—SABCE+SAA”可求SAHCE的值.

JBCE。

【详解】

(1)因为。在边3c上，所以cos/A/M=—cosNAnC,

如A.cn句AACL+小2旬^AD2+BD2-AB2AD2+DC2-AC2八

在AAD6和AAQC中由余弦定理，得-----------------+------------------=0,

2ADxBD2ADxDC

因为A3=2VII，AC=4fAD=3,BD=DC,

所以9+3。2-52+9+3。2—16=0,所以3。2=25，BD=5.

所以边8c的长为10.

(2)由⑴知AAOC为直角三角形，所以0c=；x4x3=6,8c=25,乂=12.

因为CE是ZBCA的角平分线,

-ACxCExsinZACE4心,

所以—c=2__________________=£巴=o2

SMCE1BCXCEXsinZBCEBC105

2

276()

所以S^RC=S.CE+S^ACE~S瓯E+gS.cE=gS&BCE=12,所以S^CE—-,

60

即MCE的面积为亍.

【点睛】

本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结

合思想，属于中档题.

19、(1)a<2e-\(2)/(x)max=-1

【解析】

(1)根据单调递减可知导函数恒小于等于0,采用参变分离的方法分离出〃，并将X的部分构造成新函数g(x),分

析。与g(x)最值之间的关系：

(2)通过对f(x)的导函数/(X)分析,确定/W有唯一零点七,则人就是fM的极大值点也是最大值点，计算/(%)

的值并利用『5)=0进行化简，从而确定/(x)nm.

【详解】

(1)由题意知，f(x)=—(es+xex\+ci=—(x+l)e*+。W0在[1,+co)上恒成立，所以。W(x+l)e,—在

x''xx

[1,转)上恒成立.

令g(x)=(x+l)，-L则g'(x)=(x+2)e'+3>0,

xx

所以g(»在［L+00)上单调递增,所以g(x)*=g⑴=2e-lf

所以。W2e-1.

(2)当。=1时，f(x)=Inx-xex+x(x>0).

令〃?(x)=--e',则m(x)=--^一e“<0,

xr

所以〃7(*在(0,+8)上单调递减.

由于〃z(g)>0,，〃(1)<0,所以存在％>o满足加(x°)=o,即*=(.

当工£(0,工0)时，m(x)>0,f\x)>0；当xw(xo，y)时，m(x)<0,f\x)<0.

所以/*)在(0,天)上单调递增，在(天,依)上单调递减.

所以/⑶叩=/(%)=1nx°-飞泊+飞,

因为《'>=一,所以Xo=_ln/,所以/(%)=_毛_1+/=_1,

工0

所以/*)a=T・

【点睛】

(1)求函数中字母的范围时，常用的方法有两种：参变分离法、分类讨论法；

(2)当导函数不易求零点时，需要将导函数中某些部分拿出作单独分析，以便先确定导函数的单调性从而确定导函数

的零点所在区间，再分析整个函数的单调性，最后确定出函数的最值.

20、(1)见证明；(2)当叵

13

【解析】

(1)取8c的中点O,连接。只。4,要证平面P8C_L平面A3CO,转证。尸_L平面A3CO,即证OP_LOA,

OP±BC即可；(2)以O为坐标原点，以OA,O6,O/为再轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求

出平面心。与平面P3C的法向量，代入公式，即可得到结果.

【详解】

(1)取BC的中点O,连接OROA,

因为MBCZBC均为边长为26的等边三角形，

所以AO_LAC,OP工BC,且04=02=3

因为AP=3在，所以。p2+OA?=AP?,所以OP_LOA,

又因为Q4c8C=O,QAu平面45CD,8Cu平面ABC。，

所以OP_L平面

又因为OPu平面PBC,所以平面PBC_L平面ABCO.

(2)因为3C_LCD,AA8C为等边三角形，

所以/ACO=5,又因为AD=CO,所以NCAD=5，Z/1DC=—

663

ACCD

在AAOC中，由正弦定理，得:,所以CQ=2.

sin/AZX:-sinNCA。

以。为坐标原点，以。4,0伐0P为x，）'，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸（0,0,3）,3（0,后0）,O（2,—6,o）,BP=（0,-V3,3）,瓦＞=（2,-2后0）,

设平面PBD的法向量为n=（x,y,z）,

nBP=0-6y+3z=0

则即〈

"BD=02工-2月=0

令z=l,则平面尸的一个法向量为〃=但"1）,

依题意，平面PBC的一个法向量〃?=（1,0,0）

3而

所以85年,〃）=署彳

\m\\n\13

故二面角C-PB-D的余弦值为土叵.

13

【点睛】

空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（D观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求

出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空

间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

7

21、（1）证明见解析（2）--

25

【解析】

（1）根据线面垂直的性质定理，可得DE〃BF,然后根据勾股定理计算可得R户=。凡最后利用线面平行的判定定理,

可得结果.

(2)利用建系的方法，可得平面A8V的一个法向量为〃，平面COF的法向量为“，然后利用向量的夹角公式以及

平方关系，可得结果.

【详解】

(1)因为OE_L平面48cO,所以OE_L/1。,

因为AD=4,AE=5fDE=3,同理8F=3,

又OE_L平面"CD,板_L平面相CO,

所以DE//BF,又BF=DE,

所以平行四边形故DFHBE,

因为5£仁平面BCEt。户＜Z平面BCE

所以。尸〃平面BCE；

(2)建立如图空间直角坐标系，

则D(0,0,0),A(4,0,0),

C(0,4,0),F(4,3,-3),

DC=(0,4,0),DF=(4,3,-3),

设平面CZ)F的法向量为〃?=(乂)，,z),

〃?,DC=4y=0

，令x=3,得〃7=(3,0,4),

m-DF=4x+3^-3z=0

易知平面ABF的一个法向量为n=(1,0,0),

所以cosV加方＞=1,

7

故cos2。=2cos~7夕I=.

25

【点睛】

本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题.

22、(1)«=-；(2)见解析.

4

【解析】

/(%)=()

(1)设切点坐标为(七,0),然后根据\八可解