2024届上海市松江区高考数学二模试卷

2024年上海市松江区高考数学二模试卷

一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|0<x<4},B={x\x=2n,neZ},则4nB=()

A.{1,2}B.{2,4}C.[0,1,2}D.{0,2,4}

2.垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措.某小区为了

倡导居民对生活垃圾进行分类，对坨圾分类后处理垃圾刀(千克)所需的费用y(角)的情况作了调研，并统计

得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=0.7x+0.4,则下列说法错

误的是()

0ETE

|y|2|2.3|3.4|7n|

A.变量x,y之间呈正相关关系B.可以预测当x=8时,y的值为6

C.m=3.9D.由表格中数据知样本中心点为(3.5,2.85)

3.已知某个三角形的三边长为a、b及c,其中aV8.若a,b是函数y=a/一bx+c的两个零点，贝ija的取

值范围是()

A.(pl)早)C.(0一)D.(Y，1)

4.设S”为数列1为}的前几项和，有以下两个命题：①若fa”}是公差不为零的等差数列且k£N,k>2,则

Si52…S2k-1=o是%♦a2...ak=0的必要非充分条件；②若{%}是等比数列且kGN,k>2,则5】•

S2...Sk=0的充要条件是4+aM=0.那么()

A.©是真命题，②是假命题B.(1)是假命题，①是真命题

C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题

二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.函数y=lg(x—2)的定义域为____.

6.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),则i-z=

7.已知随机变量X服从正态分布N[3R2),且P(34X35)=0.3,则P(X>5)=

8.已知点4的坐标为弓,苧)，将。4绕坐标原点。逆时针旋转]至OP,则点P的坐标为

27

9.已知入，=a0+ax(x-1)4-a2(x-l)H----Fa7(x-l),则05=.

10.若一个圆锥的侧面展开图是面积为27r的半圆面，则该圆锥的体积为.

11.已知等差数列｛斯｝的公差为2,前71项和为Sn，若。3=S5，则使得工V。“成立的n的最大值为.

12.已知函数/(%)=|log2x|,若/'(.)=/(X2)(X1H必),则4与+小的最小值为•

13.已知Fi，尸2是双曲线C：捻一/=l(a>0,b>0)的左、右焦点，过Fi的直线/与C的左、右两支分别交

于4,B两点.若①团：|BF2|：\AF2\=3：4：5,则双曲线的离心率为_____.

14.已知正三角形ABC的边长为2,点。满足诙=7九万？+九而，且m>0,n>0,2m+n=1,则|而|的

取值范围是.

15.已知0<av2,函数y=二?”+40+1，若该函数存在最小值，则实数。的取值范围是

\2ax1,x>2.

16.某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1,2,3,…，30,老师要随机挑选三名学生参加

某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5,则有______种不同的选择方法.

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题14分)

2

设/(x)=sinyx+y/lcos^xsin^x^>0),函数y=/(无)图像的两条相邻对称轴之间的距离为TT.

(1)求函数y=/(x)的解析式；

(2)在△力8c中，设角4、8及C所对边的边长分别为a、b及c,若a=V3,b=y[2,f(A)=|,求角C.

18.(本小题14分)

如图，在四棱锥P-力BCD中，底面4BCD为菱形，PD1平面A8CD,E为PZ)的中点.

(1)设平面力8E与直线PC相交于点F,求证：EF//CD,

(2)若48=2,LDAB=60°,PD=4/2,求直线BE与平面P力。所成角的大小.

19.(本小题14分)

某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人

闯关失败，再派卜.一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关现有甲、

乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为Pi、P2、P3,假定Pl、P2、P3互不相等，且每人能

否闯关成功的事件相互独立.

⑴计划依次派甲乙丙进行闯关，若Pi='，P2=lP3=[求该小组比赛胜利的概率；

(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X的分布，并求X的期望矶岗：

(3)已知1＞小＞P2＞P3,若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁

先派出.

20.(本小题18分)

如图，椭圆r：]+/=1的上、下焦点分别为Fl、尸2，过上焦点尸1与、轴垂直的直线交椭圆于M、N两

点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆『上.

(1)求线段MN的长；

(2)若线段PQ的中点在x轴上，求△片PQ的面积；

(3)是否存在以F2Q、F2P为邻边的矩形F2QEP,使得点E在椭圆r上？若存在，求出所有满足条件的点Q的

纵坐标；若不存在，请说明理由.

21.(本小题18分)

已知函数y=x-Inx+Q(Q为常数)，记y=/(x)=x•g。).

(1)若函数y=g(H)在工=1处的切线过原点，求实数a的值:

(2)对于正实数3求证：/(x)+f(t-x)>/(O-tln2+a；

(3)a=1时，求证：g(x')+cosx<三.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：•集合A={x|0WxW4},B={x\x=2n,neZ],

•.An3={0,2,4}.

故选：D.

利用集合的交集运算求解.

本题主要考查了集合的基本运算，属「基础题.

2.【答案】C

【解析】解：对于4,y关于％的线性回归方程为y=0.7x+0.4,0.7>0,

••・变量刈y之间呈正相关关系，故A正确,

对于B,当％=8时，y=0.7X84-0.4=6,故8正确,

对于CD,有标准数据可得，-=2+3+4+5=35>9=0.7x3.5+0.4=2.85,

故样本的中心点的坐标为(3.5,2.85),歹=2+2.3：4+加=285,解得爪=3.7,故C错误，。正确.

故选：C.

对于4,结合利用回归直线方程，即可求解，对于氏将％=8代入线性回归方程，即可求解，对于CD,结

合|口1归直线方程的性质，即可求解.

本题主要考查线性回归方程的性质，考查计算能力，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由a，b为函数/(X)=a/-bx+c的两个零点，故有a(x-a)(x-b)=Q/一族+的

22

即G/—a(a+b)x+ab=ax-bx+c恒成立,

故a(a+6)=b,a2b=c，则6=告,c=a2b=Q2x吕=£,

由G,b,c为某三角形的三边长，且QVb,

故1—Q>0,且QVT--，则:<(i<1>因为b+c>a必然成立,

i-az

a4、a2

a+-：—>,：—0Va<要

所以{雷登即1/T，解得

,Q、Q0<a<1

Q+"1i--a>1—-a

所以ae1).

故选:B.

由G,b为函数/(%)=a/-bx+c的两个零点可得Q/一。伍+6)x+。2匕=一b%+c,即可得人=

fi、c=>,结合题意可得;vqv要.

1-Gl-Q22

本题主要考查函数的零点，属于中档题.

4.【答案】C

【蟀析】解：根据题意，对于命题①，｛即｝是公差不为零的等差数列，若…以=。，则在与、

。2“.、…、依中，至少有一项为0,

假设Qm=0，(1<m<k),s27n_1=(出+Wm-;)X(2m-l)=嫉巾_二0,必有S[•S?…52心1=。，

反之，在等差数列｛an｝中,若斯=2/一3,则%=-1,a2=1,有S?=0,

则Si•S2..与-1=0成立，但由y“包=0不成立，

故S1,S2...S2fc-i=0是由•a2...ak=0的必要非充分条件，(1)正确；

对于命题②，若｛a"是等比数列，设其公比为q，

若kEN,kN2时，有S「S2...SR=0,则q于1,则S[、$2...5k中，至少有一项为0,

假设Sm=0，则有品=35)二0,必有qm=l,

1_q

又由qH1,必有m为偶数且q=-1,故以+ak+1=0,

反之，若以+4+1=0,则q=-1,必有S2=0,则有kEN,k>2,则S1•S?...Sk=0,

故若(斯｝是等比数列口〃£N,k>2,贝达「52...$乂=0的充要条件是以+/+i=0,②正确.

故选：C.

根据题意，由等差数列和等差数列前n项和的性质分析①的真假，由等比数列和等比数列前几项和的性质

分析②的真假，综合可得答案.

本题考查等差数列、等比数列的性质，涉及充分必要条件的判断，属于基础题.

5.【答案】(2,+8)

【解析】解：i+u-2>o,得兀>2.

函数y=lg(x-2)的定义域为(2,+8).

故答案为：(2,+oo).

由对数式的真数大于。求解x的范围得答案.

本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.

6.【答案】—2+i

【解析】解：由题意得：z=l+2i,

故iz=i（l+2i）=-2+i,

故答案为：-2+i.

根据复数的运算性质计算即可.

本题考查了复数的运算，是基础题.

7.【答案】0.2

【脩析】解：X服从正态分布N（3,d）,P（X>5）=0.5-P（3<X<5）=0.5-0.3=0.2.

故答案为：0.2.

根据正态分布的对称性即可得.

本题考查正态分布的性质，属于基础题.

8.【答案】（一停,）

【解析】解：因为点A的坐标为苧），即4

所以4OP=g+六名

040

77r伯5nxf3.57r1

nJ得4=cos—=,yP=siny=

所以点P的坐标为（一苧W）.

故答案为：（一日,；）.

由题意可求4。4=去々op=t+3=I利用任意角的三角函数的定义即可求解.

35Lo

本题考查诱导公式的应用，考查三角函数的定义，比较基础.

9.【答案】21

7aX7

【脩析】解：根据/=［（X-1）+I］=。0+。1（工一1）+2（-1）2+…+a7（x-I）,

根据二项式［（%-1）+1『的展开式7「+1=G.（X一i）7-r,（r=04,2,3,4,5,6,7）；

令r=2,故。5=0=21.

故答案为：21.

直接利用二项式的展开式和组合数求出结果.

本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考杳学生的运算能力和数学思维能力，属于基础

题.

10.【答案】苧7T

【解析】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为27r的半圆面，

因为47r=加2,所以1=2,

半圆的弧长为2万，

圆锥的底面半径为2口=2兀，r=1,

所以圆锥的体积为：JXTT12X厅二7二47r.

故答案为：理「

通过侧面展开图的面积.求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可.

本题考查旋转体的条件的求法，恻面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力.

11.【答案】5

【解析】解：•••等差数列但力的公差为2,前几项和为%,a3=S5,

RX4

Aa1+2x2=5a1+^x2,

解得％=一4,

2

•••Sn=—4n+“(,)x2=n—5n»

cin=-4+(7i—1)x2=2H—6,

2

Sn<an,•••n-5n<2n—6,

整理得n?—7n+6<0,解得1<nV6,

ri€AT,.•.使得Sn<即成立的n的最大值为5・

故答案为：5.

利用等差数列的性质求解.

本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

12.【答案】4

【解析】解：/(%)=|log2x|1，

若/(无1)=/(%2)(%1H%2)，不妨设0<X1<1<x2f

则一10g2%i=10g2X2,

所以10g2%i+log2x2=10g2Xi-X2=0,即9•0=1，

所以4与+x2>2J4伊•©=%当且仅当％i=px2=2时，等号成立.

故答案为：4.

由题意及对数的运算与对数函数的性质可得石•❷=1，利用基本不等式即可求解.

本题考查对数函数的性质及对数的运算，考查基本不等式的运用，是中档题.

13.【答案】/13

【解析】【分析】

本题考查双曲线的简单性质，考查转化思想与运算能力，求得Q与C的值是关键，属于中档题.

根据双曲线的定义可求得Q=l,根据勾股定理的逆定理可得2/186=90。，再利用勾股定理可求得

尸1叼2=52,从而可求得双曲线的离心率.

【解答】

解：•・•明:\BF2\-\AF2\=3：4：5,不妨令=3,IBF2I=4,MF2I=5,

222

v\AB\+\BF2\=\AF2\,A乙AB6=90°,

又由双曲线的定义得：\BF1\-\BF2\=2af\AF2\-^\=2a,

.•・&I+3—4=5—I4FJ,\AFr\=3.

|B&|一旧产2I=3+3—4=2a,

a=1.

2222

在At△BF1F2中，I&F2产=\BFt\+\BF2\=6+4=52,

22

•••|FiF2|=4c>，4c2=52,c=

.•.双曲线的离心率e=-=/13.

a

故答案为，乱.

14.【答案】（1,2）

【解析】解：取"的中点E,则石5=2方，

又而=根3？十九而，则诟=2加方十几方，

又2m+n=l,故从D,E三点共线，

即点。在中线8E上运动，

在正三角形/BC中，BELAC,

又m>0,n>0,则|CE|<I而IV|C7?|，

故而Ie(1,2).

故答案为：(1,2).

取的中点E,由题意得而=2m而+71丽，从而推得B,。，E三点共线，进而得出|CE|V|而|V

\CB\,即可求得结论.

本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题.

15.【答案】｛a|0va或"

【解析】解：由题意，令g(x)=(a-2)x+4Q+1,xe(-co,2］,h(x)=2ax-1,xe(2,4-oo),

当OvaVI时，g。)在(-8,2］上单调递减，/i(x)在(2,+8)上单调递减，则力(乃在(2,+8)上的值域为

(0,2a),

因为/'⑶存在最小值，故需g(2)=(a-2)x2+4Q+1工0,解得a<

结合。VaV1,此时。Va蝎；

当1VQV2时，9(%)在(-8,2］上单调递减,九(乃在(2,+8)上单调递增，则九(%)在(2,+8)上的值域为

(2a,4-OO),

因为/1(%)存在最小值，故需g(2)W九(2),即(a-2)x2+4a十1W2a,解得aW不

这与1<a<2矛盾；

当a=l时，g(x)=-x+5,(-8,2］上单调递减，h(x)=2,存在最小值2：

则实数Q的取值范围为｛a|0<a工"或Q=1｝.

故答案为：｛a|0Va或a=1｝.

令g(x)=(a-2)x+4a+I,x€(—co,2］,h(x)=2a-1,xG(2,4-co),分类讨论a的取值范围,判断

g(x),九(%)的单调性，结合/(%)存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案.

本题主要考查分段函数的最值，属于中档题.

16.【答案】1540

【解析］解：设挑选出的三名学生的学号分别为x,y,z,不妨设％<y<z,

则有恒等式x+(y-x)+(z-y)+(30-z)=30(*),其中x21,y-x>5,z-y>5,30-z>0»即

x>1.y-x-1>4,z-y-4>1,31-z>1,

故(*)式为％+(y-x-4)4-(z-y-4)+(31-z)=23,

上式四个正整数的和为23,相当于23个1分成四组，运用隔板法，在22个空中放3块板，故有点2=1540种

方法.

故答案为：1540.

设挑选出的三名学生的学号分别为x,y,z,不妨设x<y<z,根据任意两人的学号之差绝对值大于等于

5列方程，运用隔板法求解.

本题考查隔板法的应用，属于中档题.

17.【答案】解：/(x)=sin2+/3sincos

6.

=­sinajx-1,1

乙-LCOSOJX+-L

—sin®x—-)+

因为函数y=/(%)的图像相邻两条对称轴之间的距离为兀，

所以「=2兀，

所以包=2兀，得3=1,

a)

所以f(x)=sin(x-+1；

(2)由/⑷二看得/(力)=而《一》+齐,

所以sin(A-7)=1»

因为A€(0,IT),则4—£[-看，爸'

所以A—=%解得力=早，

b/J

因为a=V3,b=V-2,

由正弦定理得得stnB=峥,

sinAsinBsin^sinB2

因为Q>b,所以B6(0,j),

所以8=[

4

C=n-A-B=^.

【解析】(1)先对函数化简，然后由函数y=f(x)图像相邻两条对称轴之间的距离为「可求周期，进而可

求3,即可求解函数解析式；

(2)先由已知求出4结合正弦定理求出B,然后结合三角形内角和即可求解C.

本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦定理在求解三角形中的应

用，属于中档题.

18.【答案】(1)证明：•••平面力BE与直线PC相交于点凡・•・平面ABEC平面PCD=£乩

叩边形48CD是菱形，.••48〃。。，

•••AB(t平面PCD,CDu平面PCD,48〃平面PCD,

•••ABu平面力BE,平面ABEn平面PCD=EF,，£77/CD；

(2)解：连接80,取4)中点H,连接8"、EH,

•.•菱形4BC0中，AB=ADf40/1B=60。，•••△4B0是等边三角形，

••♦万是4。中点，二8〃14"，

PD1平面力BCD,8"：=平面48。。，，8"1。。，

vPD.4。u平面PAD,PDnAD=。，•••BH1平面PAD.

NBEH是直线8E与平面P40的所成角，

•••E是PD中点，PD=S，：.DE=；PD=2K

•••PD_L平面力8C0,ADu平面4BCD,:.PDLAD,

♦：H为AD中点，DH=3AD=1,RtADEH中,EH=TDE?+DH2=3,

•••等边△48。中，高BH=?/1O=C，

dEH中，tan乙8EH=罂=¥，可得/BE"=为即直线BE与平面PAO的所成角等于入

【解析】(1)根据线面平行的判定定理，证出力8〃平面PCD,然后根据平面N8ECI平面PCD=E/，利用线

面平行的性质定理证出EF〃C。；

(2)连接80,取力。中点”，连接BH、EH,根据线面垂直的判定定理，证出8H_L平面PAD,可得48EH是

直线BE与平面P/1。的所成角，然后在AtABEH中利用锐角三角函数的定义算出答案.

本题主要考查线面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角的定义与求法等知识，

属于中档题.

19.【答案】解：(1)设事件4表示“该小组比赛胜利”，

则PQ4)=^+^x1+^x|x1=^>

(2)由题意可知，X的所有可能取值为1,2,3,

则P(X=l)=Pi，P(P=2)=(1-PI)P2,P(P=3)=(l-pi)(l-p2),

所以X的分布为：Uc：»c曾nA

\P1(1-P1)P2(1-Pl)(l-P2)/

所以E(X)=Pi+2(1-Pi)p2+3a-P1)(1-P2)=P1P2-2pi-P2+3;

(3)若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为必，

由(2)可知，曷=pip2-2pi—p2+3，

若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为4，

则=p3P2-2p3-Pz+3,

所以a-E2=(P1P2-2Pl-p2+3)-(p3P2-2P3-P2+3)=P1P2-2Pl-p3P2+2P3=p21Pl-P3)-

2(P1-P3)=(P1-P3XP2-2),

因为1>Pl>P2>P3，所以P1-P3>O，P2-2<0,

所以%-E2VO,即ElV%,

所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲.

【解析】(1)利用独立事件的概率乘法公式求解；

(2)由题意可知，X的所有可能取值为1,2,3,利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到

X的分布，再结合期望公式求解；

(3)分别计算出依次派甲乙内进行闯关和依次派内乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差法

比较大小即可.

本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布和期望，属于中档题.

20.【答案】解：(1)依题意得：&(0,1)，由FiN_Ly轴，得：yN=1,

代入椭圆方程得：为N=9

所以线段MN的长为，至.......4分

(2)显然为=1,线段PQ的中点在T轴上，则氏=-1,即QF21y轴，

10

-+=1,xQ=±-^-»...8分

所以SAEPQ=2阂1x|&尸2I="年x2=等・...10分

(3)假设存在以F2Q,尸2P为邻边的矩形F2PEQ，使得点E在椭圆r上，显然尸2(0，-1)，设P(%,1)，

QG，%)，

则序=(n,2)，9=(%i，yi+l)，

因为四边形FzPEQ是矩形，一定为平行四边形，所以9+就=室，

代人计算得£(a+xl,y1+2),

由题意知Q,£在椭圆r上及9.旗'=0，

仔0%+2(%+1)=0(XQXX=_2(乃+1)©

代入，得++*=1,即g+*=l②

[叱之)+(Xo+与＞=1[”2)+瑶+*+2xoX1=1③

……12分

将①②代入③并化简得，XQ=2(y1+1)»

再结合①，得%]二一%0%，即&=0或a二一与.

若々=0,则%=-1；14分

(一*+2(必+1)=0

若a=一》1，则联立①②，得*7，

B+*=l

消去%1，得比+4为+2=0,解得力=-2±