2026届东北三省一区高三二模数学试题及答案

高中东北三省一区2025-2026学年(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x²+x-2<0},B={-2,-1,1,2,3},则AOB=()A.{-2,-1,3}B.{-1,3}C.{-1}4.通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长(单位：h),绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是()Vx∈R,都有f(x)+g(x)=0,则4的最小值为()B都有alga,≤a,lgak,则正整数k的最大值为()8.已知关于x的方程a(x+1)eˣ=x+In(x+1)(x>0)有两个实数根，则实数a的取值范围是()二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量a=(m,1),b=(9,m),则下列结论正确的是()A.若a与6方向相反，则m=-3于A,B两点，记△F₁AF₂,△F₁BF₂内切圆的圆心分别为0₁,O₂,半径分别为r,r₂,则下列说法正确的是()C.FO₁·FM=25第二部分(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。马腿”.若将矩形棋盘(如图4)视作平面直角坐标系xOy,棋盘的左下角为坐标原点，如图5所示，假如棋向)出发到达点A,有种不同的行进路线.红方黑方图4图514.已知各项均为正数的数列{a,}是等差数列，且a₂+a₅=2(a₃+1),a₁a₇=7a₀,则{a,}的通项公式为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在VABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,」(2)若A是锐角，求A的值.16.(15分)17.(15分)药公司针对某种疾病研发出两种药物——药A和药B,为了比较这两种药物的治疗效果，该公司招募了400名志愿患者，随机选择一半志愿患者服用药A,另一半志愿患者服用药B,得到这两种药物的治疗效果情况治愈人数未治愈人数(1)补全列联表，并根据小概率值a=0.05的独立性检验，分析药B的治疗效果是否比(2)以样本估计总体，以频率估计概率，从患有该疾病的患者中随机抽取3名服用药A,3名服用药B,求服用药A的治愈人数比服用药B的治愈人数多的概率.参考公式：,n=a+b+c+d.a18.(17分)(3)若直线MN不经过点Q,且直线QM与直线QN的斜率之积为4,过点Q作直线QG垂直MN于点G,求19.(17分)离散曲率是用于描述多面体顶点处局部几何性质的一个概念，它考虑了与该顶点相邻的各个面之间的角度关系，其定义如下：设点P是多面体M的一个顶点，则称R,(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面PR₁R₂,平面PR₂R₃,.…,平面PRR₁为多面体M的所有以P为公共点的平面)为多面体M在点P处的离散曲率.如图，已知多面体M由四棱锥P-ABCD和直四棱柱ABCD-ABCD拼接而成，其中四边形ABCD是菱形，且AB=AA₁=2,四棱锥P-ABCD的顶点P在平面ABCD上的射影为四边形ABCD的中心，多面体M在点A处的离散曲率为(1)若直四棱柱ABCD-AB₁CD₁是正方体，求(ii)当四棱锥P-ABCD的体积取得最大值时，求m的值(保留小数点后两位).东北三省一区2025-2026学年(考试时间：120分钟试卷满分：150分)1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x²+x-2<0},B={-2,-1,1,2,3},则A∩B=()A.{-2,-1,3}B.{-1,3}C.{-1}【详解】由x²+x-2<0,得-2<x<1,故选：C.2.函数的极值点为()【详解】由题可得.,令y'=0,解得因为是函数.的变号零点，故选：A.【详解】方法一：设z=a+bi(a,b∈R且a,b不同时为0),方法二：因为z(z-i)=|z²=zz,设z=a+bi(a,b∈R且a,b不同时为0),则z-z=2bi=i,4.通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长(单位：h),绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是()个频率/组距个频率/组距0579111315时长/hB.估计夜间提供急诊时长的平均数为12.36C.估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为11.33D.估计夜间提供急诊时长的众数为14【详解】对于A,由频率分布直方图的性质，可得2×(0.01+0.04+0.05+a+0.25)=1,对于B,估计夜间提供急诊时长的平均数为对于C,第三四分位数为第75百分位数，因为2×(0.01+0.04+0.05由,则估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为14,所以C错误；对于D,估计夜间提供急诊时长的众数为所以D正确.5.将函的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)若Vx∈R,都有f(x)+g(x)=0,则Vx∈R,解得,k∈Z.综合选项可知B正确.又φ>0,所以4的最小值为故选B.将正弦型、余弦型函数的图象向左(或向右)平移半个周期之后与原图象关于x轴对称，所以符合题意的9的最小值就是函数f(x)的半个周期，由的周期为π,所以线MF与椭圆I交于另一点P,若NF1MP,|NF|=4|PF|,【详解】如图，取椭圆的左焦点F,连接FM,FN,PF,则四边形F₁MFN为平行四边形.【详解】设数列{a,}的公比为9.由a₂a₇=a,得a²q⁷=a₁q⁸,所以a₁=q,所以k=4或5,对任意的n∈N,都有algan≤algak,所以正整数k的最大值为5.8.已知关于x的方程a(x+1)eˣ=x+In(x+1)(x>0)有两个实数根，则实数a的取值范围是()【详解】由a(x+1)e=x+In(x+1)(x>0),得ae+m(x+1)=x+In(x+1)(x>0),由ae+D(x+1)=x+In(x+1)(x>0)可得a>0,构造函数,则令f'(t)>0,解得t>1,令f'(t)<0,解得0<t<1,二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量a=(m,1),b=(9,m),则下列结论正确的是()A.若a与6方向相反，则m=-3D.若m=2,则a与6的夹角的余弦值为所以(舍去),解得m=-3,故A正确.选项B:若a16,则9m+m=0,解得m=0,故B错误.选项C:若m=2,则a=(2,1),b=(9,2),所以6在a上的投影向量的坐标故C正确.选项D:若m=2,则a=(2,1),b=所以a与6的夹角的余弦值为故D错误.10.已知双曲线1的右顶点为M,其左、右焦点分别为F₁,F₂,过F₂的直线交双曲线C的右支于A,B两点，记△F₁AF₂,△F₁BF₂内切圆的圆心分别为0,0₂,半径分别为r,r₂,则下列说法正确的是()A.△O₁O₂F₂是锐角三角形B.M,O,O₂三点共线C.FO₁·FM=25【详解】因为点O是△F₁AF₂的内心，所以∠AF₂O₁=∠F₁F₂O₁,同理可得∠BF₂O₂=∠F₁F₂O₂.因为∠BF₂A=π,所以,即,故△O₁O₂F₂是直角三角形，故选项A错误；设双曲线C的焦距为2c,实轴长为2a,作O₁D1x轴，作O₁EIAF,作O₁F1AF₂,则根据三角形内心的性质及双曲线的定义可得所以点D就是双曲线的右顶点M,则O₁M1x轴.同理可证O₂MIx轴，因此M,O,O₂三点共线，故选项B正确；在Rt△O₁F₂O₂中，由射影定理可得xfr₂=|o₁M||O₂M|=|F₂M²=(3-2)²=1,则由基本不等式可,当且仅当即r₂=√2时等号成立，故选项D错误.11.在棱长为a的正方体ABCD-AB₁CD中，点E,F分别是AD,AB的中点，点G满足BG=ABB₁(0<λ<1),记a为过点E,F,G的平面，则下列说法正确的是()B.当时，点B₁到平面a的距离为C.存在实数λ使得平面a截该正方体所得到的截面是四边形D.当时，平面α截该正方体所得到的截面是五边形解法一，选项A,B:如图1,公众号悦爱学堂连接AD₁,AB,B₁D₁,BD,BC₁,C₁D,此时平面a//平面AB₁D₁//平面BDC₁,且A₁C1平面AB₁D,所以A₁C1平面a,而平面AB₁D₁与平面BDC₁的距离是则点B₁到平面a的距离是平面AB₁D₁与平面BDC的距离的一半，因此点B₁到平面a的距离为,故A正确，B正确；选项C,D:延长FE交CD的延长线于点M,延长EF交CB的延长线于点N,平面a截该正方体所得到的截面是五边形EFG不妨设a=2,则E(1,0,0),F(2,1,0),G(2,2,2λ),令x=1, 选项A:A₁(2,0,2),C(0,2,0),则A₁C=(-2,2,-2),选项B:B₁(2,2,2),则FB₁=(0,1,2),当时，而=(1-1.1),选项C,D:因为0<λ<1,所以平面a只可能与棱CC₁,B₁C₁,C₁D₁,DD₁相交，设交点为P(0,2,b)(0<b≤2),则EP=(-1,2,由,得,所以,,,得,所以0<λ<1.第二部分(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。当x>0当x>0所以不等式f(x)≤2x的解集为(-∞,-2)U[0,2].故答案为：(-∞,-2)U[0,2]13.中国象棋是一种古老而富有智慧的棋类游戏，其蕴含着丰富的传统文化内涵和哲学思想.一副中国象棋中，具有红黑两个阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，其中“马”棋子走法尤为特别，其走法如图1所示，称为“马走日”;当距“马”最近的交叉线处有棋子时，走法数会减少，如图2,图3所示，称为“绊马腿”若将矩形棋盘(如图4)视作平面直角坐标系xOy,棋盘的左下角为坐标原点，如图5所示，假如棋盘中有如图5所示的四个棋子固定不动且不能被“马”吃掉，问黑方的“马”从原点O朝着红方阵营(V轴正方向)出发到达点A,有种不同的行进路线.【详解】因为要朝着V轴正方向出发，“马”在棋盘所处的位置可用坐标(x,y)表示，它的每一步走法对应位置的坐标可分成4种情况：①(x+1,y+2),②(x-1,y+2),③(x+2,y+1),④(x-2,y+1).如图，“马”从点O出发必经过点M,再从点M出发有4种选择：N,P,Q,R.要到达点A必经过点B,要想经过点B,必经过点C或者点D.综合以上分析，可理解为分别从N,P,Q,R这4点出发，到达点C或者点D的不同路线有多少.(1)N(0,2)x+4.+5→C(4,7):选2个①和1个③进行排列，有①→①→③,①→③→①,③→①→①3种情况，检验发现③→①→①为“绊马腿”,应舍去，所以有3-1=2种路线，N(0,2)x+5.y+4→D(5,6):选2个③和1个①进行排列，有①→③→③,③→①→③,③→③→①3种情况，检验发现③→①→③,③→③→①为“绊马腿”,应舍去，所以有3-2=1种路线，故从点N出发到达点A有3种路线；(2)P(1,3)x+3.y+4→C(4,7):选2个③和1个②进行排列，经检验有C₃=3种路线，故从点P出发到达点A有3种路线；(3)Q(3,3)_+L.y+→C(4,7):选①③④进行排列Q(3,3)x+2.y+3→D(5,6):选2个③和1个④进行排列，经检验有C3=3种路线，故从点Q出发到达点A有9种路线；(4)R(4,2)—x+0.y+5→C(4,7):选2个①和1个④进行排列或者选2个②和1个③进行排列，经检验有R(4,2)+1.,4+4→D(5,6):同Q(3,3)_x+1.y+4→C(4,7),综上，从点O出发到达点A共有3+3+9+12=27种路线.故答案为：27.又由a₁a₇=7a1₀,可得a15.(13分),(5分)(2)由正弦定理得，.(7分)16.(15分)设曲线y=f(x)上一点P(x₀,f(x₀)),则f(x。)=x²-ax₀-Inx₀,(1分),(3分)(5分)令g(x)=-x²-Inx+1,f(e)=e²-ae-1;(8分)f(1)=1-a;(9分)时，f'(1)<0,f'(e)>0,存在x∈(1,e),(15分)17.(15分)治愈人数未治愈人数(1)补全列联表，并根据小概率值a=0.05的独立性检验，分析药B的治疗效果是否比(2)以样本估计总体，以频率估计概率，从患有该疾病的患者中随机抽取3名服用药A,3名服用药B,求服用药A的治愈人数比服用药B的治愈人数多的概率.a【详解】(1)由已知数据可补全列联表如下：治愈人数未治愈人数合计AB(2分)零假设H₀:是否治愈与服用药A、药B相互独立，即两种药物的治疗效果没有差异.∴根据小概率值a=0.05的独立性检验，没有充分的证据推断H₀不成立，因此可以认为H₀成立，即认为两种药物的治疗效果没有差异.(6分)(2)由题可得：服用药A且治愈的概率为,服用药B且治愈的概率为·设3名服用药A的患者中有k名治愈为事件Ak,3名服用药B的患者中有m名治愈为事件Bm,m=0,1,2,3;(10分)P=P((A₁UA₂UA₃)nB₀)+P((A₂UA₃)nB₁=(P(A)+P(A₂)+P(A))P(B₀)+(P(A₂)+P(A₃))P(B₁)+P18.(17分)【详解】(1)设过点P(-1,2)的抛物线C的切线方程为x=,化简得y²-2pky+2p(2k+1)=0,(2分)则△=4p²k²-8p(2k+1)=0,整理得pk²-4k-2=0.因为l1l₂,所得k₁k₂=-1,即,(3分)解得p=2.(4分)(2)由(1)知C:y²=4x,Q(1,2).∵直线MN的斜率不可能为0,∴设直线MN的方程为x=m(y-2)+1,则△₁=16m²-4(8m-4)=16(m-1)²>0,∴m≠1.设M(x,y),N(x₂,y₂),则y₁+y₂=4m,yV₂=8m-4, 解得m=-1或,(8分)故直线MN的方程为x+y-3=0或2x-5y+8=0.(9分)设M(x,y₁),N(x₂,y₂),则y₁+y₂=4n,y₁y₂=-4t.vy₂-2(y₁+y₂)+4=4[x₁x₂-(x₁+x₂)+1],代入得-4t-2×4n+4=4[t²-4n²-2t+1],即即4n²-t²+t-2n=0,即(2n-t)(2n+t)-(2n-t)=0,即(2n-t)(2n+t-1)=0.所以直线MN的方程为x=n(y+2),因此直线MN恒过定点T(0,-2).由n²+t>0,得n²+2n>0,解得n<-2或n>0.(12分)解法一由题可知，直线QG的方程为y=-nx+n+2,则点G到C的准线l的距离.(13分)令s=4n-1,若n<-2,则s<-9,即.(14分)号.(16分)因此点G到C的准线1距离的最大值为.(17分)解法二连接QT,因为QGIMN,所以点G在以QT为直径的圆上，(13分)所以点G到C的准线l的距离的最大值为圆