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文档简介

人教版（2024）数学八年级下册

第二十一章

四边形

微专题：正方形中的“十字架”模型3.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A，B，C，D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF.这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？教材P.77“十字架”模型原题呈现例1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的一点.（1）若AE⊥BF，求证：AE＝BF；（2）若AE＝BF，求证：AE⊥BF.典例分析（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，又∵AE⊥BF∴∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，∠BAE+∠ABF＝90°，又∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，∠BAE＝∠CBF，AB＝BC，∠ABE＝∠C∴△ABE≌△DAE（ASA），∴AE＝BF；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，∴△ABE和△BCF是直角三角形.在Rt△ABE和Rt△BCF中AE=BF，AB=BC∴Rt△ABE≌Rt△DAE（HL）∴∠BAE＝∠CBF，∵∠ABE=∠CBF+∠ABF=90°∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠AMB=90°∴AE⊥BF.图示条件结论在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上点.模型提炼AE⊥BFAE=BF△ABF≌△DAEAE=BFAE⊥BF例2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的一点.（1）平移AE至GK，GK⊥BF，垂足为点I．

求证：BK=AG+CF典例分析证明：如图1，过点A作AH⊥BF交BC与点H，∵GK⊥BF,∴AH//GK,∵四边形ABCD是正方形,∴AG//BC∴AH//GK,∴四边形AGKH是平行四边形，∴AG=KH∵正方形ABCD中，AH⊥BF,∴AH=BF又∵AB=BC∴△ABH≌△BCF∴BH=CF，∴BK=HK+BH=AG+CF.H方法小结：线段不过正方形顶点时的辅助线作法方法1.作平行方法2.作垂直HH连接正方形两组对边上的任意两点，得到的两条线段，若垂直，则相等；若相等，则垂直。课堂练习4.如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE=1．将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为

.例2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的一点.（2）若点I是BF的中点，AC与GK交于点N，已知CF=2，BC=6，求NI的长．拓展提升基础性作业：1．如图，在正方形ABCD中，E在边DC上，F在边AD上，连接AE、BF，且AE⊥BF．（1）求证：AE＝BF；（2）若AB＝4，CE＝1，求AG．

布置作业拓展性作业：2．如图1，在正方形ABCD中，

，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点．（1）求AE的长；（2）如图2，过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H

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