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高等数学HigherMathematics高等数学课程建设团队多元函数积分的性质多元函数可积的充分条件一二多元函数积分的性质contents多元函数积分学及其应用三多元函数积分性质的应用学习目标多元函数各类积分可积的充分条件？

1多元函数各类积分具有哪些性质？

2定积分存在的充分条件:当函数f(x)在[a,b]上连续时，f(x)在[a,b]上可积.定积分的性质：线性性、区间可加性、比较性、估值定理、中值定理和对称性.学习目标如何利用积分性质解决一些与积分计算相关的问题？一、可积的充分条件定理1.当函数f(x)在[a,b]上连续时，f(x)在[a,b]上可积.回顾定理1定积分存在的充分条件多元函数积分存在的充分条件多元函数f(P)在有界积分域U上连续时，

则f(P)在U上可积.一、可积的充分条件定理2.回顾定理2定积分存在的充分条件多元函数积分存在的充分条件函数f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积.多元函数f(P)在有界积分域U上有界时，且不连续点在积分域U上的分布是“微不足道”的，

则f(P)在U上可积.定积分的性质二、可积的性质回顾线性性区间可加性比较性估值定理定积分的性质二、可积的性质回顾性质多元函数积分的性质若多元函数积分存在，则其具有：线性性、区间可加性、比较性、估值定理、中值定理和对称性.中值定理对称性性质1.线性性质证明：

1二、可积的性质性质1.线性性质

1二、可积的性质性质2.区域可加性

2二、可积的性质性质3.比较性质

3证明：二、可积的性质性质3.比较性质

3二、可积的性质以二重积分为例：注二、可积的性质性质3.比较性质

3二、可积的性质性质3.比较性质

3二、可积的性质性质4.估值性质

4证明：二、可积的性质性质4.估值性质

4二、可积的性质性质5.中值定理

5证明：二、可积的性质性质5.中值定理

5二、可积的性质性质6.对称性

6二、可积的性质奇偶性和对称性在多元函数积分中的应用，将在后续积分的计算方法中具体介绍。注积分的对称性：积分区域的对称性，函数的奇偶性！oxyoxy-aaa-a三、多元函数积分性质的应用例1解如图所示，由二重积分的定义可知，所求积分为D的面积。x+y=1x－y=1解三、多元函数积分性质的应用例2xy12o解三、多元函数积分性质的应用例3解三、多元函数积分性质的应用例4解三、多元函数积分性质的应用例5解三、多元函数积分性质的应用例6区域D

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