冀教版数学六上总复习《比和比例》教案

课题冀教版数学六上总复习《比和比例》教案课时安排课前准备设计意图一、设计意图：通过系统梳理比的意义、性质及比例的基本性质，帮助学生构建知识网络，强化比与分数、除法的联系，区分正反比例的判断方法。结合课本例题与生活实例（如按比例分配、图形缩放），引导学生对比、分析、归纳，提升解决实际问题的能力，查漏补缺，巩固核心知识点，为后续学习奠定基础。核心素养目标分析二、核心素养目标分析：强化符号意识与推理意识，理解比与分数、除法的内在联系；在正反比例判断中发展模型意识，能结合具体情境分析变量关系；通过解决比例尺、按比例分配等实际问题，提升应用意识与运算能力，体会数学与生活的密切联系，培养用数学思维解决实际问题的素养。学习者分析1.学生已掌握比的意义、基本性质，理解比例的意义及基本性质，能进行比的化简和求比值，具备分数、除法及简单方程的基础知识。

2.学生对生活情境中的比例问题（如按比例分配、比例尺）兴趣较高，具备一定的抽象思维和运算能力，但部分学生应用意识较弱，习惯机械记忆而非逻辑推理。

3.学生可能在正反比例判断中混淆变量关系，对“比值一定”“乘积一定”的本质理解不透彻；解决比例尺问题时易忽略单位换算；综合应用时因审题不清或计算失误导致错误。教学资源准备四、教学资源准备：1.教材：确保每位学生有冀教版数学六年级上册教材，总复习《比和比例》章节内容。2.辅助材料：准备比与分数、除法关系示意图，正反比例判断表格，按比例分配实例图（如调配溶液、地图比例尺）。3.实验器材：直尺、方格纸若干，用于比例尺测量与图形缩放操作。4.教室布置：设置分组讨论区，4-6人一组，便于合作解决比例应用问题。教学过程五、教学过程

（一）情境导入，激活旧知

师：同学们，早上好！今天我们要复习“比和比例”，老师先带来一个问题：周末小明帮妈妈调制果汁，妈妈说“果汁和水的比是1：3”，你们觉得这个比例调出来的果汁会好喝吗？如果果汁有200毫升，需要加多少水呢？（学生思考）

生1：我觉得好喝，因为水多，不会太浓。

生2：要求水的话，就是200÷1×3=600毫升水。

师：对！这里就用到了“比”的知识。比和比例在我们的生活中无处不在，比如地图上的比例尺、建筑中的图纸缩放，今天我们就系统复习这部分内容，帮大家理清知识脉络，解决更多实际问题。

（二）梳理旧知，构建网络

师：首先，请大家快速回忆一下，什么是比？比的基本性质是什么？比和分数、除法有什么关系？（学生独立思考后小组讨论）

生3：比表示两个数相除，比如3：2就是3÷2。

生4：比的基本性质是比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，就像分数的基本性质一样。

师：总结得很准确！比的前项相当于被除数和分子，后项相当于除数和分母，比值就是商。那什么是比例呢？比例和比有什么区别？

生5：比例是表示两个比相等的式子，比如4：6=2：3，比是一个比，比例是两个比相等。

师：完全正确！比例的基本性质是什么？谁能举个例子验证？

生6：比例的两个外项积等于两个内项积，比如4：6=2：3，4×3=12，6×2=12，相等！

师：太棒了！现在请大家用思维导图的形式，把“比和比例”的相关知识整理出来，包括比的意义、性质，比例的意义、性质，以及比与分数、除法的联系。（学生绘制思维导图，教师巡视指导，展示优秀作品并点评）

（三）重点探究，突破难点

师：比和比例的核心是应用，尤其是正比例和反比例的判断，这是大家容易混淆的地方。我们先来看这两个问题：（1）汽车每小时行驶60千米，行驶时间与路程的关系；（2）一批零件，每天加工的数量和所需天数的关系。请大家小组讨论，这两个问题中的变量有什么关系？成什么比例？

（小组讨论5分钟，每组派代表发言）

生7：第一个问题，时间增加，路程也增加，60是比值，所以路程÷时间=60（一定），成正比例。

生8：第二个问题，每天加工的数量越多，天数越少，它们的乘积是零件总数（一定），所以成反比例。

师：分析得非常到位！正比例和反比例的关键是看变量之间的“比值一定”还是“乘积一定”。请大家记住：成正比例的两种量，一个量扩大，另一个量也扩大，比值不变；成反比例的两种量，一个量扩大，另一个量缩小，乘积不变。现在看课本第85页的例1，判断下面各题中的两种量是否成比例，成什么比例？（学生独立完成，教师提问）

生9：订阅《小学生数学报》的份数和总钱数，单价一定，所以总钱数÷份数=单价（一定），成正比例。

生10：三角形的面积一定，它的底和高，底×高÷2=面积（一定），所以底和高的乘积一定，成反比例。

师：完全正确！看来大家对正反比例的判断已经掌握了。接下来，我们看比例的应用——按比例分配和比例尺。课本第87页的例2：学校把240棵树苗按3：2分给六年级和五年级，六年级分多少棵？请大家先独立思考，再和同桌交流解题思路。

（学生思考后交流）

生11：我觉得可以先求总份数，3+2=5份，六年级占3份，所以240÷5×3=144棵。

生12：我也可以设六年级分x棵，五年级分y棵，x：y=3：2，x+y=240，解得x=144。

师：两种方法都可以！按比例分配的关键是先求总份数，再求每份数，最后求各部分数量。比例尺呢？课本第89页的例3：在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得北京到上海的距离是6厘米，北京到上海的实际距离是多少千米？

生13：比例尺1：5000000表示图上1厘米代表实际5000000厘米，也就是50千米，所以6厘米就是6×50=300千米。

师：没错！比例尺=图上距离：实际距离，计算时要注意单位统一，厘米换算成千米要除以100000。现在请大家动手操作：拿出方格纸，选择一个简单的图形（比如长方形），按1：2的比例画在方格纸上，测量原图形和缩小后图形的长和宽，计算它们的比，看看是不是1：2。（学生动手操作，教师巡视指导）

生14：我画的长方形原图长4厘米，宽2厘米，缩小后长2厘米，宽1厘米，长和宽的比都是4：2=2：1，符合1：2的比例。

师：操作非常成功！通过画图，大家更直观地理解了比例尺的应用。

（四）分层练习，巩固提升

师：接下来进行分层练习，基础题巩固概念，提升题解决实际问题。第一组：课本第91页“做一做”第1、2题（比的化简、求比值，比例的基本性质应用）；第二组：课本第92页练习十八第3、4题（正反比例判断，按比例分配）；第三组：拓展题：配制一种农药，药粉和水的比是1：100，现有3000千克水，需要多少药粉？用这些药粉和水可以配制多少千克农药？（学生独立完成，教师逐组指导）

（学生完成后，教师展示答案，强调易错点：比的化简要最简整数比，按比例分配要找准总份数，比例尺单位不要忘换算）

（五）课堂总结，梳理提升

师：同学们，今天我们复习了“比和比例”的知识，谁能说说这节课的收获？

生15：我掌握了比和比例的意义、性质，能区分正反比例，还会解决按比例分配和比例尺的问题。

生16：我以前总把正反比例搞混，现在知道看比值还是乘积一定，就不会错了。

师：大家的收获都很多！比和比例是数学与生活的桥梁，希望大家课后用今天学的知识解决更多生活中的问题，比如帮爸爸妈妈计算水电费的比例，或者测量教室地面画平面图。下节课我们将复习“圆和扇形”，请大家提前预习。今天的作业：课本第93页复习题1-5题，预习下一节内容。下课！知识点梳理一、比的意义和性质

1.比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商叫做比值。比的一般形式为a:b（a÷b），比值是一个数，可以是整数、分数或小数。

2.比与分数、除法的关系：比的前项相当于分数的分子、除法的被除数；比的后项相当于分数的分母、除法的除数（后项不能为0）；比值相当于分数值、除法的商。

3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这是化简比的依据。

4.化简比：把比化成最简单的整数比（前项和后项是互质的整数）。

（1）整数比：比的前项和后项同时除以它们的最大公因数，如12:18=2:3。

（2）分数比：比的前项和后项同时乘分母的最小公倍数，化成整数比后再化简，如1/2:1/3=3:2。

（3）小数比：比的前项和后项同时乘10、100、1000……化成整数比后再化简，如0.4:0.6=4:6=2:3。

5.求比值：用比的前项除以后项，结果是一个数（可以是分数、小数或整数），如8:5=8÷5=1.6，3/4:1/2=（3/4）÷（1/2）=3/2。

二、比例的意义和性质

1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。比例的一般形式为a:b=c:d（或a/b=c/d），其中a、d叫做比例的外项，b、c叫做比例的内项。

2.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积（ad=bc）。这是解比例的依据。

3.解比例：求比例中的未知项，根据比例的基本性质将比例转化为方程，再解方程。如3:x=4:5，解：3×5=4x，x=15/4。

4.比例尺：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

（1）比例尺=图上距离:实际距离=图上距离/实际距离。

（2）比例尺的分类：数值比例尺（如1:5000000）、线段比例尺（如050100千米）。

（3）求实际距离：实际距离=图上距离÷比例尺（注意单位换算，厘米→千米÷100000）。

（4）求图上距离：图上距离=实际距离×比例尺（注意单位换算，千米→厘米×100000）。

三、按比例分配

1.意义：把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法叫做按比例分配。

2.解题步骤：

（1）先求总份数：比的前项与后项相加，得到总份数。

（2）再求每份数：总数÷总份数=每份数。

（3）最后求各部分数量：每份数×各部分所占份数=各部分数量。

3.应用实例：分配任务（如六年级和五年级分树苗）、调配溶液（如果汁与水的比）、分配费用（如水电费按户均分）等。

四、正比例和反比例

1.正比例：

（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，它们的比值一定。

（2）关系式：y/x=k（一定）（k为非零常数）。

（3）图像：一条经过原点的直线。

（4）判断方法：看两种量对应的比值是否一定，比值一定则成正比例。如：速度一定，路程和时间成正比例（路程÷时间=速度一定）。

2.反比例：

（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，它们的乘积一定。

（2）关系式：xy=k（一定）（k为非零常数）。

（3）图像：一条曲线。

（4）判断方法：看两种量对应的乘积是否一定，乘积一定则成反比例。如：总产量一定，每天生产量和生产天数成反比例（每天生产量×生产天数=总产量一定）。

3.区分正比例和反比例：

（1）正比例：比值一定（商一定）；反比例：乘积一定。

（2）正比例：一个量扩大，另一个量也扩大；反比例：一个量扩大，另一个量缩小。

五、易错点梳理

1.比的后项不能为0，求比值时前项除以后项，后项为0无意义。

2.化简比和求比值的区别：化简比是前项和后项都是整数且互质（结果用比表示）；求比值是一个数（结果可以是分数、小数或整数）。

3.比例尺的单位换算：图上距离常用厘米，实际距离常用千米，计算时需统一单位（1千米=100000厘米）。

4.正反比例判断：需先判断两种量是否相关联，再看比值或乘积是否一定，不能只看表面变化。

5.按比例分配：找准总份数，避免将比的前项或后项直接当作各部分数量。内容逻辑关系①比的概念与性质——知识基础层：重点知识点包括比的意义（两个数相除）、比的基本性质（前项后项同乘同除相同数0除外比值不变）、化简比（最简整数比）、求比值（前项除以后项）。核心词：前项、后项、比值、基本性质；关键句：“比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商”“化简比的结果是比，求比值的结果是一个数”。

②比例的意义与性质——概念深化层：在比的基础上延伸，重点知识点包括比例的意义（两个比相等的式子）、比例的基本性质（外项积等于内项积）、解比例（求未知项）、比例尺（图上距离与实际距离的比）。核心词：比例、外项、内项、比例尺；关键句：“比例a:b=c:d中，ad=bc”“比例尺=图上距离:实际距离”。

③比与比例的应用——综合实践层：连接理论与实际，重点知识点包括按比例分配（先求总份数再求各部分量）、正比例（比值一定，y/x=k）、反比例（乘积一定，xy=k）。核心词：总份数、正比例、反比例；关键句：“按比例分配的关键是找准总份数”“正比例看比值一定，反比例看乘积一定”。课后作业1.化简比：0.6:0.251/4:1/6答案：12:53:2

2.比例尺应用：地图比例尺1:4000000，图上量得两城距离5厘米，实际距离多少千米？答案：200千米

3.按比例分配：240棵树苗按5:3分给六年级和五年级，各分多少棵？答案：六年级150棵，五年级90棵

4.正比例判断：汽车每小时行60千米，行驶时间与路程是否成比例？成什么比例？答案：成正比例

5.反比例应用：一批零件，单独完成甲需10天，乙需15天，两人合作需几天？答案：6天课堂小结，当堂检测课堂小结：本节课系统复习了比的意义、基本性质及化简方法，