小学数学三年级下册《连续等分·连除模型建构》素养导向深度教案

小学数学三年级下册《连续等分·连除模型建构》素养导向深度教案

一、【基石·顶层设计】教学内容与课标解码

（一）【基础·教材锚点】精准定位与结构化分析

本课隶属于人教版小学数学三年级下册第二单元“除数是一位数的除法”第7课时，内容载体为教材第53页例4及相关练习。从知识图谱审视，本课并非孤立的计算技能训练，而是除法意义从“一步平均分”向“连续两次平均分”的纵向跃升，是加、减、乘、除四种运算在解决复杂情境时进行综合调用的关键节点。横向对比看，它与二年级“连乘解决问题”形成互逆结构，是学生首次系统接触“归一”问题的变式与“连除”数学模型，更是后续四年级学习运算律（a÷b÷c=a÷(b×c)）及五年级学习分数除法应用题的认知锚点。

（二）【热点·课标映射】核心素养落地点

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本课教学需超越“能计算”的浅层目标，直指素养内核：

【非常重要·核心素养1：模型意识】引导学生经历从现实情境中抽象出连除算式，再将算式回归到不同情境中进行解释与应用的全过程，初步感知连除模型的结构特征。

【非常重要·核心素养2：推理意识】摒弃“算理仅靠教师告知”的传统，引导学生借助“数形结合”与“思路外显”，对“先算什么、为什么先算”进行有条理、有依据的逻辑论证，实现从“程序性记忆”到“逻辑性理解”的转化。

【重要·核心素养3：应用意识】在真实任务（如图书馆分书、研学分组、物资分配）驱动下，体会连除问题在优化资源配置中的现实价值。

（三）【难点·学情透视】认知起点与生长障碍

1.已有经验（基础）：学生已熟练掌握表内除法及两位数除以一位数的口算、笔算；具备“平均分”的概念基础；初步接触过两步计算应用题，能分步列式。

2.思维断层（难点）：

【难点A】运算顺序的意义感缺失：学生会机械执行“从左往右”算，但无法解释为什么必须先除第一遍，无法建立“两次连续等分”与算式结构的——对应关系。

【难点B】综合算式的抽象阻隔：分步列式时思维清晰，但合并为综合算式时，特别是涉及小括号时，出现照搬数字、乱加括号的现象，暴露出对“中间量”隐退后的符号化理解障碍。

【难点C】策略选择的刻板印象：部分学生仅认可自己接触的第一种解法，对于“先乘后除”的逆向思维接受缓慢，思维定势较强。

二、【靶向·目标集群】预期学习结果多维表述

（一）【基础】运算技能目标

学生能独立、正确地列综合算式解答“已知总数、两次份数，求每份数”的实际问题，掌握“从左往右”的连除运算顺序，并能规范书写递等式。

（二）【重要】数学思维目标

1.能运用“分析法”（从问题入手找条件）和“综合法”（从条件出发推问题）两种策略分析数量关系，并绘制简洁的“色块关系图”或“倒推树状图”表征思维路径。

2.理解连除与“先乘总份数再除”两种算法的内在等价性，初步感知除法运算性质。

（三）【非常重要】模型认知目标

剥离具体情境（书本、人数、货物），抽象出“连除模型”的结构特征：总数÷第一层份数÷第二层份数=每份数；总数÷（第一层份数×第二层份数）=每份数。能识别并匹配不同生活场景中的同类结构。

三、【载体·资源矩阵】教学具与任务单研发

1.交互式课件：嵌入可拖拽分组的动画学具（60个虚拟人物图标，可任意框选分组）。

2.结构化学习单：【助学单1】探究任务：舞蹈队分组；【助学单2】变式任务：书架分书；【助学单3】建模任务：辨析连乘与连除。

3.实物学具：双色磁力片（红色代表总人数，蓝色代表组数），用于在黑板上直观展示“分”的过程。

四、【核心·实施图谱】教学实施过程深度展开（2200字+篇幅）

（一）【启动·联结】唤醒经验，在“冲突”中锚定探究起点

1.前置诊断，激活“连续分”的动作记忆

师：（出示12个小圆片）如果我们班获得12个篮球明星徽章，要公平地奖励给同学们，可以怎么分？

生1：每人分1个，可以分给12个人。

生2：如果每个小组4人，先分给小组，小组内部再分。

师：（顺着生2思路操作）第一步：12÷4=3（组），每个小组得到3个徽章；第二步：假设每个小组有3个人，3÷3=1（个）。大家看，我们把12个徽章连续分了两次，第一次分给（小组），第二次分给（组员）。这就是我们今天要研究的“连续平均分”。

【设计意图】摒弃课本复习“连乘”的常规导入，直指“连续分”的动作体验。通过学具操作，让“两次平均分”从隐性的思维变为显性的动作，为理解连除的每一步运算赋予物理意义。【非常重要·难点突破前置】

（二）【建构·建模】三段式探究，让思维“可视化”与“结构化”

【核心任务】出示例4情境：三年级60人参加团体操，平均分成2队，每队平均分成3组。每组有多少人？

【实施阶梯】

1.第一阶：信息编码与问题聚焦——“阅读与理解”的专业化训练

不满足于学生“读一遍题”，引入【信息标注法】：

总人数：60人（大总数）

第一次分的份数：2队（一级份数）

第二次分的份数：3组/队（二级份数）

问题：每组人数（终极每份数）

师：请用最简洁的符号或图形，把这种“层层包含”的关系画出来。

（预设学生生成：大圆圈套小圆圈；层级树状图；线段图分段）

【重要】选取典型的“嵌套长方形图”进行投影展示，将文字语言转化为图形语言，为后续“为什么乘”或“为什么连除”提供几何直观支撑。

2.第二阶：双轨并进，外显思维路径——“分析与解答”的策略碰撞

【环节A】独立试做，暴露原始思维

学生独立尝试解决，教师巡视采集典型样本。通常会出现三类方法：

方法1（连除）：60÷2=30（人），30÷3=10（人）。

方法2（先乘后除）：2×3=6（组），60÷6=10（人）。

方法3（错误列式）：60÷3÷2或60÷（2+3）。

【环节B】生生互动，让“每步算理”发声

师：我们不急着判断对错，先请使用“方法1”的同学当小老师，你为什么要先算60÷2？

生1：因为如果不先算出一队有多少人，就不知道每组的人数。

师（追问）：60÷2得到了30人，这30人是什么身份？它在图中对应哪一部分？（引导手指黑板树状图）

生1：30人是每队的人数，是第一层分完后的“中间总数”。

师：再用30÷3，这里的3代表什么？为什么要把30平均分成3份？

生1：因为题目说“每队平均分成3组”，所以要把这一队的30人再分到3个组里。

【重要】此环节必须慢下来。针对每一步追问“这是谁的数量？”“为什么要用除法？”将内隐的推理过程用完整的句式表达出来。

【高频考点】区分“份数”与“每份数”是考试易错点，通过追问强化。

【环节C】逆向破冰，攻克“先乘后除”的理解壁垒

师：刚才我们是从条件开始，一步一步往下推。有没有同学是从问题倒着想，要求“每组有多少人”，需要知道什么？

生2：要知道总人数，还要知道一共有多少组。

师：（板书：总人数÷总组数=每组人数）总人数已知是60，总组数不知道，藏在哪里了？

生2：藏在“2队”和“每队3组”里，每队3组，有2队，就是3×2=6组。

师：所以，这种方法其实是“先找总份数，再做一次大的平均分”。请大家对比两种方法，它们的第一步一样吗？

生：不一样，一种是先分“队”，一种是先算“总组数”。

师：但最后殊途同归。我们来做个模拟——请第一排6个同学起立，如果把他们当成60人压缩后的模型，谁能上来用“拆开”和“合并”两种方式验证结果一样？

（学生上前，6人先分成2队，每队3人，每队再分3组，得到每组1人；另一种方式，直接6人÷6组=1人）

【非常重要】利用微型化模型，使学生直观感受到：无论先横切（分大份）还是先竖切（求总份数），本质都是对总数进行等分，连除和乘除混合只是等分顺序不同。

1.第三阶：回溯建模，抽象“模型内核”——“回顾与反思”的升华

（1）比较异同，去情境化

师：黑板上现在有60÷2÷3=10和60÷（2×3）=10，它们长得很不一样，为什么得数相同？

小组讨论，引导学生归纳：

不同点：运算顺序不同、第一步求的“中间量”不同（一队的人数vs总组数）。

相同点：都是两步计算，都是除法（或乘除），最终都求“一份的量”。

【基础】教师板书核心模型：

连除模型：总数÷一层份数÷二层份数=每份数

乘除模型：总数÷（一层份数×二层份数）=每份数

（2）验算意识的规范化建模

师：我们怎么确定每组10人是正确的？

生1：反过来乘一下，10×3=30（人），30×2=60（人），对了！

师：这就是“将得数代入原题”的还原法。验算不是教学的装饰品，而是检验模型是否自洽的标尺。本节课所有练习，都要求用“逆运算”进行口头或书面验算。

（三）【迁移·进阶】变式矩阵，在“非典型”情境中强化模型韧性

【活动一】单一量隐藏式变式——书架问题

呈现：2个书架，每个书架4层，共放224本书。平均每层放多少本？

【实施差异教学】

基线要求：用两种方法列综合算式。

发展要求：将新问题与“舞蹈队问题”对比，用红笔圈出两道题中“对应部分”（如“2队”对应“2个书架”；“每队3组”对应“每个书架4层”）。

【重要】这是结构识别的关键训练。学生发现：虽然一个是“人数”，一个是“书本”，但数量关系都是“大总数÷第一层份数÷第二层份数”。通过异质同构，学生真正理解连除不是“固定题型的套公式”，而是“连续等分”的数学表达。

【活动二】多余信息干扰变式——游泳池问题

出示：小东在游泳池里游泳，4个来回游了400米。游泳池有多长？

【难点】“来回”是隐蔽的“双倍”关系，学生易直接用400÷4=100（米）。

教学干预：

师：4个“来回”是什么意思？用手势比划一下。

生：从这头到那头，再回来，是一个来回。

师：所以一个来回是几个池长？（2个）那么4个来回游了几个池长？

生：8个。

师：现在问题变成了“8个池长共400米，1个池长多少米？”你会列式吗？

生：400÷8=50米，综合算式是400÷（2×4）=50米。

【热点·跨学科融合】此处自然融入体育学科知识，打破数学与生活的壁垒。同时对比400÷4÷2=50米，深化对连续除法的理解。

（四）【辨析·区分】模型对比，构建“乘”与“除”的认知边界

【极易混淆点】连除模型vs连乘模型

呈现并列题组：

题组A（连乘）：每盒保温杯4个，每箱2盒，每个50元，一箱卖多少钱？

题组B（连除）：60人，平均2队，每队3组，每组多少人？

合作探究：用框架图表示每一步的“运算方向”。

【非常重要】总结规律：

连乘：从“小每份”开始，不断“合起来”，越合越大——求“总数”。

连除：从“大总数”开始，不断“分下去”，越分越小——求“每份数”。

通过这样强烈的对比，帮助学生在新知学习的同时，加固旧知的清晰度，防止认知混淆。

（五）【当堂·体检】嵌入式评价，落实“教学评”一致

1.基础性评价（面向全体）

题目：学校购进864瓶牛奶，给三年级6个班，每班4组，平均每组可分到多少瓶牛奶？

要求：独立完成，并写出每步求的是什么。

2.发展性评价（面向学优生）

题目：请根据算式“960÷6÷8”编一个数学故事。

【高水平表现】学生不仅要会算，还要能反向赋予算式情境意义，这是对模型理解最高层次的检验。

（六）【结课·升华】从“术”入“道”，首尾呼应

师：同学们，今天我们研究的是连除问题。请大家回头看黑板上的两类模型——连除是先分大份、再分小份；乘除混合是先找总份数、再一次性分完。虽然路径不同，但终点一致。数学就是这样，它不关心你走哪条路，它关心的是你的每一步是不是都有理有据。希望今后大家在生活中遇到任何需要“公平分配”的问题，都能想起今天的“连续等分”智慧。

五、【延展·作业系统】长程衔接与素养延伸

（一）【基础·巩固包】

课本练习十二第8-10题，要求用两种方法列式并验算。

（二）【难点·突破包】

错例诊疗单：呈现学生典型错解“224÷4÷2”与“224÷2×4”，要求学生当小老师进行批改，并写出错误原因分析。

（三）【素养·实践包】

项目式学习任务（周末完成）：

寻找生活中的“连续平均分”。拍照或画图记录场景（如分糖果、装快递、给花浇水），并编成一道连除应用题。周一进行“最佳数学建模故事”分享。

六、【板书·思维地图】黑板最终布局规划

左侧区【核心问题】

60人÷2队÷3组=10人/组

↓↓↓

先求每队人数再平均分给3组

中间区【模型对比】

连除：总数÷一层份数÷二层份数

乘除：总数÷（一层份数×二层份数）

本质：连续等分

右侧区【验算样例】

10×3×2=60（人）

逆运算验证正确

七、【后记·专业自觉】对“教”与“学”的深度反思

1.关于学具的价值：本课借助磁力片进行“双重平均分”的操作，有效降低了认知负荷。但操作不能停留在“动