四川省攀枝花市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测试题数学

上学期教学质量监测样卷高二数学一、单选题1．已知直线在轴上的截距为1，则（

）A． B．1 C． D．22．已知平面的法向量分别为，，若，则（

）A． B． C． D．3．数列的第6项是（

）A． B． C． D．4．已知，两点，以线段AB为直径的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．5．如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．6．直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．47．长度为1，3，7，9，的5条线段，它们长度的平均数与中位数相同.现从中任取3条线段，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.58．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法中正确的是A．若事件与事件是互斥事件，则B．若事件与事件是对立事件：则C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件10．设等差数列的前项和为，，公差为，，，则（

）A．B．当时，取得最大值C．D．使得成立的最大自然数是911．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线上异于原点的两个动点，且，作交直线于点，则（

）A．当直线的斜率为2时，线段的中点在直线上B．直线恒过定点C．存在一个定点，使得为定值D．三、填空题12．假设，且相互独立，则.13．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则.

14．在平面直角坐标系中，和分别是与轴和轴方向相同的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为.四、解答题15．已知数列中，，数列的前项和为，且.(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前项和.16．已知双曲线过点，渐近线方程为.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且，求的值.17．某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．18．如图，在矩形中，，为的中点，将沿直线折起到，使得平面平面，连接.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)点均在球的球面上，求三棱锥的体积.19．设椭圆的离心率为，上顶点为，右焦点为，且.(1)求椭圆的方程；(2)设为椭圆上两个不同的动点（均不与重合）．①若直线过点，求面积的最大值；②若是的角平分线，试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

参考答案题号12345678910答案CBADACBCABCAB题号11答案ACD1．C【详解】直线在轴上的截距为1，则直线过点，所以，解得：;故选：C2．B【详解】，平面的法向量分别为，，，，，，，，，.故选：B.3．A【详解】第一项：第二项：第三项：第四项：所以通项公式为：，则第六项为：.故选：A4．D【详解】由，，知的中点坐标为，且，则以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，所以圆的标准方程为，故选：D5．A【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且，所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为，所以，故．设为平面的一个法向量，则，令，得．设直线与平面，所成的角为，则，故选：A．6．C【详解】直线，则,令，解得：,所以直线的定点为，由于圆，则圆心，半径,则当时，取最小值，此时,故选：C7．B【详解】长度为1，3，7，9，的平均数为，它们长度的平均数与中位数相同，当，中位数为，则，解得，，不符合题意；当，中位数为，则，解得，，符合题意；当，中位数为，则，解得，，不符合题意；综上可得，，这条线段为，现从中任取3条线段，所有的取法有，，共种取法，其中这3条线段能构成一个三角形的组合有，共种取法，故这3条线段能构成一个三角形的概率为.故选：B.8．C【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，所以，，设，，所以，又，即，所以，又，所以，在中，由余弦定理得：，所以，所以，所以，故选：C.9．ABC【详解】事件与事件互斥，则不可能同时发生，，正确；事件与事件是对立事件，则事件即为事件，，正确；事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，正确；“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，错误.故选：.10．AB【详解】因为，，所以，则，故A正确;当时,取得最大值，故B正确;，故C不正确;因为，，所以使得成立的最大自然数是，故D错误.故选：AB．11．ACD【详解】，，，右焦点为，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的焦点，，，抛物线的标准方程为，，，，，，对于选项A，直线的斜率为2，设直线的方程为，为抛物线上异于原点的两个动点，，将代入中，得到，，即，，在直线上，，，，，，，，，，，，，，，，的中点的纵坐标为，当直线的斜率为2时，线段的中点在直线上，故选项A正确；对于选项B，当直线不存在斜率时，直线的方程为，，，，，在抛物线上，，，，或，为抛物线上异于原点的点，，，，直线过点，当直线存在斜率时，设直线的方程为，由解得，将代入，得到，即，则，，，，，，，，，直线的方程为，直线的方程为，直线恒过定点，综上可知，直线恒过定点，故选项B错误；对于选项C，直线恒过定点，交直线于点，的轨迹是以为直径的圆上的点（除去原点），且圆心为，存在一个定点，使得为定值，其定值为半径，故选项C正确；对于选项D，在抛物线上，，，同理，，，，，，，，，，，，对称轴为，开口向上，的最小值在对称轴处取得，且最小值为，，故选项D正确.故选：ACD.12．/0.5【详解】因为，且相互独立，则则，故答案为：13．【详解】由条件知，，，又二面角的平面角为，则，所以，所以.故答案为：14．【详解】因为和分别是与轴和轴方向相同的单位向量，所以，，设，由可得：，表示动点到两点的距离之和为，则，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，则点的轨迹方程为：，设，由可得：，表示动点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，所以动点的轨迹方程为，，的最大值表示圆上的点到椭圆上点的最远距离，即为圆心A到椭圆上点的最大距离加上半径，，设，则，设，当时，取最大值，且最大值为，所以的最大值为，的最大值为，所以的最大值为.故答案为：15．(1)，(2)【详解】（1），是等差数列，公差，，，，当时，，当时，当时，，适合此等式，综上可知，；（2），，，即，，，是等差数列，，..16．(1)(2)或【详解】（1）以及点代入中，可得，所以双曲线为.（2）将代入，可得，设，，则：，，依据弦长公式可得：，，令，则方程变为：，解得或，即或，由此可得或；原一元二次方程的判别式：，即，所有解均满足条件，最终：或.17．(1)分；(2)分；(3).【详解】（1）解：由，得.数学成绩在：频率，频率，频率，频率，频率，频率，样本平均值为：，可以估计样本数据中数学成绩均值为分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．（2）解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为，在分以下所占比例为因此，第百分位数一定位于内，由，可以估计样本数据的第百分位数约为分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分.（3）解：由题意可知，分数段的人数为(人)，分数段的人数为(人)．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，则样本空间共包含个样本点而的对立事件包含个样本点所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为．18．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）在矩形中，，为的中点，则所以，。又，满足，故，已知平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）取的中点，因为，所以，且，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，由于平面，所以以为原点，为轴，为轴，过作垂直于平面的直线为轴，则轴，所以，，，，，，设平面的一个法向量为，所以，令，则，，所以设平面的一个法向量为，，则，令，则，所以，设平面与平面夹角为，所以平面与平面夹角的余弦值为（3）设球心，半径为，由于所以，解得：，则，所以为的中点，故，所以所以三棱锥的体积为19．(1)(2)①;②【详解】（1）因为上