2024年全国高考数学新课标1卷评析及2025届高考数学复习备考策略

2024年全国高考数学新课标1卷评析

及2025届高考数学复习备考策略

一、试卷总体评价

2024年高考数学（新高考I卷）以落实立德树人根本任务、服务高校人才选

拔和引导中学教学为出发点，持续深化考试内容改革，考主干、考能力、考素养，

重思维、重创新、重应用，突出考查思维过程、思维方法和创新能力，为我们呈

现了一个全新的数学世界，坚持思维至上、素养为王成为主导思想，引导学生用

数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界。具体来说，主

要体现在：依托中国高考评价体系，创新试卷结构设计；突出思维能力考查，助

力拔尖创新人才选拔；加强考教衔接，引导中学教学：助推素质教育发展，助力

教育强国建设。

（一）、依托高考评价体系，创新试卷结构设计

2024年数学新课标卷调减了题量，同时增加了解答题的总分值，优化了多选

题的赋分方式，打破以往的命题模式，灵活、科学地确定试题的内容和顺序，强

化了考查思维过程和思维能力的功能。试卷聚焦主干知识内容和重要原理、方法•，

着重考查数学学科核心素养，引导中学教学遵循教育规律，突出数学教学本质，

回归课标，重视教材，重视概念教学，夯实学生学习基础，给学生预留思考和深

度学习的空间，避免超纲学、超量学，助力减轻学生学业负担，有助于打破学生

机械应试的套路，还能更好地测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力。

（二）、突出思维能力考查，助力拔尖创新人才选拔

2024年高考数学重点考查学生逻辑推理、批判性思维、创新思维等关键能力,

助力拔尖创新人才选拔，引导培育支撑终身发展和适应时代要求的能力。试卷贯

彻改革要求，注重整体设计，很好地处理考试时间、试卷题量、试题难度之间的

关系，统筹协调试题的思维量、计算量和阅读量。试题强化综合性考查，强港对

原理、方法的深入理解和综合应用，考查知识之间的内在联系，引导学生重视对

学科理论本质属性和相互关联的深刻理解与掌握，引导中学通过深化基础知识、

基本原理方法的教学，培养学生形成完整的知识体系和网络结构。试题突出创新

导向，根据试卷结构调整后整卷题量减少的客观情况，创新能力考查策略，设计

全新的试题情境、呈现方式和设问方式，加强解答题部分对基本能力的考查，提

升压轴题的思维量，突出理性思维和数学探究，考查学生运用数学思维和数学方

法发现问题、分析问题和解决问题的能力。如新课标I卷第19题以等差数列为知

识背景，创新设问方式，设置数学新定义，搭建思维平台，引导学生积极思考，

在思维过程中领悟数学方法，自主选择路径和策略分析问题、解决问题。这种试

题设计不仅考查了学生的数学知识，更考查了学生的思维能力和创新能力。

（三）、加强考教衔接，引导中学教学

2024年高考数学试卷立足课程标准，考查的内容依据学业质量标准和课程内

容，注重考查学生对基础知识和基本技能的熟练掌握和灵活应用，强调知识的整

体性和连贯性，引导教学以课程目标和核心素养为指引，避免超纲教学，注重内

容的基础性和方法的普适性，避免盲目钻研套路和机械训练。高考数学通过创新

试卷结构设计和试题风格，深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的

深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学把教学重点从总结解题技巧

转向培养学生学科核心素养。增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的灵

活性和开放性。

二、试卷结构变化分析

试卷结构变化

2023年试卷结构2024年试卷结构

题型

对比题目题目个

题号总分值题号总分值

个数数

单选题1-8题8每小题5分，共40分1-8题8每小题5分，共40分

每小题5分，共20

多选题9-12题49-11题3每小题6分，共18分

分

每小题5分，共20

填空题13T6题412-14题3每小题5分，共15分

分

1；题10分15题13分

18题12分16题15分

19题12分17题15分

解答题17-22题615T9题5

20题12分18题17分

21题12分19题17分

22题12分

2024年新高考I卷持续深化高考内容改革，新高考试题结构调整，总题量减

小，学生思考时间更充裕，强化数学思维考查，服务创新型人才选拔。数学卷的

命题贯彻高考评价体系“一核四层四翼”的指导方针，考查内容综合全面，考查

目标清晰明确。以“低起点，多层次，高落差”的科学调控策略为基础，试题难

度设置友好，题型排布去常规化，多以新课标教材例题为基础延伸变形，旨在考

查各层级水平学生的知识体系完整性、数学应用能力及学科综合素养。

选择填空部分，减少了题量，优化了多选题的赋分方式，给学生更从容的思

考时间和试错空间，增加区分度，让思维能力强的学生能够展示素养，发挥潜力，

脱颖而出，引导数学教学关注对学生核心素养的培养。

解答题部分，整体分值提高，聚焦主干知识内容和重要原理、方法，突出数

学教学本质，回归教材，重视基础概念。其中解答题第2题为解析几何，数列结

合新定义安排在最后一题，打破以往的模式，打破教学中僵化、固定的训练模式，

测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力。

三、各题题型、知识点、难度、分值分析。

2024年高考数学（新高考I卷）知识点多维细目表

题号题型知识点难度分值

2

集合（解一元三次不等式，交集的概

1单选题容易5

念与运算）

2单选题复数（复数的四则运算）容易5

平面向量（平面向量的垂直，数量积,

3单选题容易5

坐标运算）

三角函数：三角函数式的给值求值问

4单选题题：两角和与差的余弦公式、商数关较易5

系）

立体几何（圆柱、圆锥中的（侧）面

5单选题较易5

积与体积计算）

函数（单调性的应用：根据分段函数

6单选题较易5

的单调性求参数的取值范围）

三角函数：图象法研究正弦型函数图

7单选题适中5

象的交点个数问题）

函数/数列（利用题设性质求抽象函

8单选题较难5

数值的范围/斐波那契数列）

概率与统计（正态分布中的概率计

9多选题较易6

算：对称性、3。原则）

函数与导数（利用导数研究一元三次

函数的图象与性质：极值问题、在给

10多选题中等6

定区间内求函数值范围、比较函数值

的大小）

平面解析几何（异形曲线的方程与性

11多选题质：点与异形曲线的位置关系、异形较难6

曲线的范围）

平面解析几何（双曲线的定义与性

12填空题容易5

质，离心率的求解）

函数与导数（导数的几何意义，函数

13填空题图象中的公切线问题，参数值的求较易5

解）

概率与统计（实际问题中的计数问

14填空题题，排列组合，列举法，古典概型的较难5

概率计算）

解三角形

15解答题较易13

第1问：余弦定理的简单应用：求角;

第2问：正弦定理，三角形的面积问

题：已知三角形面积求边长。

平面解析几何

第1问：待定系数法求解椭圆离心率;

16解答题较难15

第2问：直线与椭圆位置关系的综合

应用，三角形的面积问题：己知三角

形面枳，求直线方程。

立体几何

第1问：线面平行的证明；

17解答题适中15

第2问：二面角的综合问题：已知二

面角的正弦值求棱长。

函数与导数（双参数问题）

第1问：给出其中一个参数的值和导

函数的范围，求另一个参数的最小

值；

18解答题困难17

第2问：函数对程性的证明；

第3问:给出函数不等式的充耍条件,

求参数的取值范围（必耍性探路、端

点效应）。

数列（数列新定义问题）

第1问：数列新定义的理解；

第2问：数列新定义的理解：证明给

解答题困难

19定数列是某可分数列；17

第3问：数列新定义问题与概率统计

的综合：证明事件发生的概率大于一

具体值。

四、各大知识板块考查分析

内容题号题型总分

三角函数与解三角形4、7、15两小一大23

数列19(1)、(2)半大约8

立体几何5、17一小一大2。

概率与统计9、14、19(3)两小半大约20

平面解析几何11、12、16两小一大26

函数与导数6、8、10、13、18四小一大3b

集合、复数、平面向量1、2、3三小15

总计1-19十四小五大150

六大知识板块的总分高达135分，占整套试题卷总分的90%。其中函数与导

数部分总分为48分，占整套试题卷总分的32%,函数是描述客观世界变化规津

的重要数学模型，它的思想方法贯穿了高中数学课程的始终。本套试题对数列知

识的考查相对较少，这是情理之中的；在大题部分竟然没有单独考查概率与统计

知识，这是出乎大多数人意料的。

五、整体难易度分析

难易度容易中档困难

分值约59约58约33

2024年新高考全国I卷的数学考卷相比起2023年难度下降，回归基础，考

察的题型基本都是常考的重难点题型，比较好地考察学生复习的细致程度以及对

于常规题型的解题能力。试题与近五年高考重点考察内容基本一致，对高中数学

多个章节的知识点进行了全面的考查。今年试卷题型结构改变，总题量减少，学

生思考时间更充分。多选题的评分方式更合理，鼓励学生积极进取去选更多对的

选项。解答题题量变少，每题分值增加。其中解答题第2题为圆锥曲线，数列结

合概率新定义在最后一题。打破以往圆锥曲线作为压轴题的模式，需要师生在备

考中不能放弃任何一个版块的知识点。1、单选题：前5题比较基础；第6题考察

了分段函数的单调性；第7题考察了两个三角函数的31像的交点问题；第8题在

函数题中考察了斐波那契数列的性质，整体难度偏低但是考的也比较灵活。2、多

选题：第9题考察正态分布的性质，比较常规；第10题考察了利用导数、不等式

等研究函数的性质：11题考察了轨迹方程（非圆锥曲线）以及其性质，需要使用

函数、不等式研究最值；多选题总体难度不大，笫9、10题都很常规，11题考法

比较新颖。3、填空题：都是常考的重点题型，如12题是双曲线离心率；13题是

函数的切线问题（需要设切点）；14题是在引入新情境的前提下，考察概率计算，

只要平时有多练这些题型都能顺利拿到这部分分数。

六、2025届备考策略

（一）回归课标，重视教材

近年来，新高考为发挥“引导教学”的核心功能，非常注重对教材知识的

延伸和发展，很多题目都能在教材中找到影踪，因此科学备考的关键一环就是回

归课标，重视教材，充分挖掘探教材所蕴含的思维方法、人文精神，美学价值等，

让学生在数学学习中感受生活数学，文化数学，从而欣赏数学，体会数学之美。

具体地，一是吃透教材上的典型例题与练习题，此为高考和教材的直接联系；二

是充分利用章末的“知识结构、回顾思考•”部分，整合主干知识，完善专题体系，

形成学科思想；三是挖掘章末的“阅读与思考”部分，这将是新定义题目命题的

主要发源地。

2024年新高考全国1卷各试题与教材的衔接

题号考点人教A版（2019）教材溯源

1集合的运算必修-P14习题1.3第1,2.题

2复数的运算必修二P95总习题第7题

3平面向量数量积必修二P60复习参考题第8题

4三角恒等变换必修一P225复习参考题5第15题

5简单的几何体必修二P118例4

7三角函数图象必修-P237例1

8斐波那契数列选择性必修二P57复习参考题4第17题

选择性必修三P87练习第2题，习题7.5第

9正态分布

2题

选择性必修二P104复习参考题5笫9题，

10三次函数

P99复习参考题第13题

12双曲线离心率选择性必修一P124第1题

13曲线的切线选择性必修二P14复习参考题第13题

15解三角形必修二P54习题6.4第22题

16椭圆选择性必修一P121练习第1题

必修二P159练习第3题，P165习题8.6

17四棱锥线面平行、二面角

第20题

18函数导数的应用必修一P87习题3.2第13题

回归教材并不是对教材内容的简单重复，而是对教材内容进行整合与重构，

发掘知识的联结点、方法的交汇点、能力的生长点.在高三复习教学中，要引导

学生充分发挥教材典型例习题在认知深化、知识应用、思维培养等方面的作用，

充分挖掘教材中一些典型的背景、素材在能力培养、素养发展方面的价值功能，

让教材真正活起来。

（二）回归基础，突出理性思维和数学探究

高三一轮复习应坚持把教学重心放在对关键能力提升、学科素养发展具有支

撑作用的基础知识、基本技能与基本思想方法上，切忌随意扩展、无限拔高.要

引导学生在深刻理解数学概念本质内涵的基础上，弄清知识来龙去脉，把握知识

内在联系，构建整体知识结构，厘清数学思维导图，促进学生对所学知识形成整

体性、系统性和发展性的认识.

不要为了最后的“新定义”问题去搞什么“数论与密码学”“极限与洛必达

法则”、“微分中值定理与应用”、“高阶导数、凸凹性与偏导数”、“定积分

与应用”、“空间解析几何与应用”、“射影几何与极点极线”、“概率不等式

与马尔科夫链”、“概率、条件概率与条件期望”、“多项式函数与方程的根”、

“矩阵与行列式”、“曲线的曲率与导数”.大大加重了学生的负担，甚至可以说

是把学生推向了“新定义深渊”，不仅不能解决高考提分问题，而且使学生陷入

极度备考焦虑。新课标I卷的这道压轴题应该让我们大家警醒了。试图通过超纲、

超量补充知识，让学生对一些高等数学知识混个脸熟而投机取胜,这样的“旁门左

道”已无法应对高考命题改革的要求。可以非常肯定地说，压轴题绝对不是考学

生的“知识量”，它所注重的是“思维量”，我们要培养学生的理性思维和数学

探究能力，提高学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的

能力。

（三）紧依学情，做好考教衔接

1、重视基础教育，提升数学核心素养

（1）各学校要重视高中数学，课时安排要向数学倾斜，逐步建立一套完整的青年

教师培养方案，增强青年教师的数学素养，点燃青年教师的教学激情，促进青年

教师快速成长，完成新老交替；

（2）立足新课标和新教材，尊重学生实际，因材施教，实行分层教学，重抓课堂

教学效果，避免“满堂灌”“填鸭式”传统教学，以学生为主，教师为辅，全面

落实并提高学生的数学核心素养；

（3）恢复数学学科竞赛，培养学生的数学学习兴趣，不搞题海战术，反刷题，发

展学生的思维能力；

（4）调动学生学习数学的积极性，可通过班主任、任课老师的激情演讲等方式去

落实，定期开展学生座谈会，定目标，树典型，分享经验，促使学生主动学习数

学。

2、狠抓培优工作，挖掘优生的能力

（1）高一、高二数学教学要有导向，将目标和问题结合起来，从高一开始进行周

考，周考后组织老师研讨，杈据周考效果决定下周主攻方向，以学定教；

（2）打造优生联盟，分年级组建立以培养600分为目标的优生培养联盟，定期进

行质量跟踪检测，学校内部打造优生互助团队，优生之间互相分享，提高学生对

题型的把我效率，定期召开优生座谈会，让学生讲解题思路，促使学生主动思考；

（3）高三备课组要有合作意识，可分工设计专题训练，分块研究高考试题，特别

重视考前模拟试题的利用。一是一题多解，对同一道题，从不同的角度、不同的

思路出发，采用不同的方法和不同的运算过程去分析求解的练习活动；二是多题

一解，对涉及的数学思想方法大致相同或相似的问题进行归类，吃透一道题，就

可以掌握一类题的解法；三是一题多变，通过增加问题背景，增大发散程度，对

某个问题进行引申、发展和拓宽，引导学生在变化比较中提升思维能力。

高考数学，是一场知识与智慧的较量，更是一场心灵的角逐。怀揣积极乐

观的心态，犹如手握明灯，照亮前行的道路。我们要相信学生自身的潜能与力量，

方能在这场人生的大考中，展现最耀眼的自我，书写最辉煌的篇章。

2024年全国新高考1卷数学真题

一、型®蟒题：嘏轶8"题每"题5分，共40分在每小题给出的酎迩页中，只有•

l.B[»A={x|-5<x3<5},B={-3,T,0,2,3},则AAB=[^1A

A.{-1,0}BJ2,3)c.{-3,-l,0)D.{-1,0,2}

魏淅]AnB={-l,0},选A.

2若白,则翻c

A.-l-iB.-l+iC.l-iD.l+i

3.已矢晌量a=(0,1),b=(2,x),^b±(b-4a),5JlJx=【答案】D

A.-2B.-lc.i

D.2

Mb-4a=(2,x-4),bJ,(b-4a),Ab(b-4a)=0,

4+x(x-4)=0,x=2,选D.

4.已知cos(a+P)=m,tanatanB=2,则cos(a-B)=［答案】A

B.C.

cosacosp-sinasin夕=m

sinasin力=-2朋

sinasin/9、

--------------X=2cosacos^=一m

cosacos夕

cos(a-P)=cosacosP+sinasinP=-m-2m=-3m,选A.

5.曲圆根值般丽省寓根面噫且0i的物为J3贝圆曲蝌明【答

案】B

A.2Y3兀B.3V37Tc.6、J3兀D.9Q3兀

嘛兄的|'7«锣］匚圜曜戋1,.NmCnrl,/.l^©加,

：-3,9万・9・G=3折选B

6.已知函数为/■(幻=1-/一2^一“"<。在R上单调递增，则a的取值范围是【答案】B

e*+ln(x+l),x>0

A.(-o,0)B.[-1,O]C.[-U]D.(0,+0)

【蹒】f(x)在RUJ"：…

-a4e+In1

7.当x£[0,2兀]时，曲线y=sinx与：y=2$in(3x-?的交点个数为【答案】C

A3B.4C.6D.8

【解析】6个交点，选C

9

8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(xT)+f(x-2),且当x<3时，f(x)=x,

贝肝效螭ns舶娓［磊］B

A.f(1O)>IOOB.f(20)>1000

C.f(10)<1000D.f(20)<10000

mf(l)=l,f(2)=2,f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5

f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21

f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89

f(ll)>f(l0)+f(9)>144,f(l2)>f(ll)+f(l0)>233,f(l3)>f(l2)+f(ll)>377

f(l4)>f(l3)+f(l2)>610,f(15)>f(l4)+f(l3)>987,f(l6)>1000

/.f(20)>1000,选B.

二、幡题：会缺34题每小题6分，共18分在每小整合出趣页中，有多谦拾题目

要求全部选对的得6分，部笳阚的得部分分，有选错的得。分

9.为了解甑肚口酬同处(单位：万元情兄从诗幡区蚓样本彳舞痴出口后亩收A

的样本均值X=2.1,样本方差S2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X月取正态分

布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(X,S2),则(若随机变量Z服

从正态分布N(口，。2),贝pQ</+。)=o.8413)

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5

C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8

【答案】BC

【㈱斤】XfSOlZIYFQlOl2)

2=1.8+2x0.1=n+2o

P(X>2)=P(X>g+2o)<P(X>|i+a)=1-0.8413=0.1587,A错.

P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,B对.

2=2.1-0.1=”P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5fC对.

P(Y>2)=P(Y»o)=P(Yo)=0.8413>0.8,D错.选BC

10.设函数£&)=6-1)26-4),则

A.x=3是f(x)的极小值点

B.当0<x<l时，f(x)<f(x2)

C.当1vx<2时，-4<f(2x-l)<0

D.当-1<X<1时，f(2-x)>f(x)

【答以ACD

【解析】A对，因为f'(x)=3(x-1)(x-3);

B错，因为当(Kx〈l时f(x)>0且(Kx2<x<l,所以f(x2)〈f(x);

C对,因为：f(2x-l)=4(x-l)2(2x-5)<0,f(2x-l)+4=4(x-2)2(2x-l)>0

223

f(2-x)-f(x)=(x-l}(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)(-2x+2)=-2(x-1)

-1<X<1时，f(2-x)-f(x)>0,f(2-x)>f(x),D对.

11.造型可以看fffi中的雌C的一部分，已知C过招褥点O,且C序点满足

横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则

11

A.a=-2

B.点(2也,0)在C上

C.C碌一冢釉釉跳的的ft知为1

【答案】ABD

【解析】A对，因为0在曲线上，所以。到x=a的距离为-a,而0F=2,

♦2=4^=~2f刃K^W^)(x+2)4乐西+g

B对,1M代\(2J2,0)知龊施

C错，因为八(击)-(*-2)2=4求单导r(x)=-^^-2(x-2)

刘总有7⑵=1,r(2)=<o，于足在x=2的左侧必存在一小区间(2—S,2)上满足

f(x)>l,因此最大值一定大于1;

，4Yr4Y4

D对，因为--_(%—2尸4----

三、哈S：然蛛34题酬题5分，共15分

12.设双曲线C：^—(=ig>O,b>。:帔樵颖却同过F僻肝y轴勺

仔姣C于A3两点,若|ahl3JABblO,则C的离碎为

方2二IM的二10知/'2nm=5,而FF2—LFA,所以|电1二12,

aa

c=6j矩曲需距，弓

13.若握戋尸e*+x在点(0,1)处的理戋也是邮戋尸ln(x+l)W的%戋贝1二

【答案】ln2

【解析】方法一：切点A(0,1),y'F"1,k=2,切线yT=2x,即尸2x+1

切点BCs,n(x+1)+a),]:去=一(!崛,)+a)=士。一4)

方法二：易知切线为尸2x+l,设其与y=In(x+l)+a的切点横坐标为x。,

贝一/X2xo+1=1n(x+1)+a,代入得a=ln2.

%+12o

14甲、乙两人各有圈长卡■片，每张^片稀有一^字，甲的卡片上纸।标俄序1,3,5,7,乙的卡

片上分另幅有数字2,4,6,8,两人遂牺轮比赛，在第仕匕赛中，两人各自从自己持有的就用随机

造礁湘播演片WS趺小，数/的A得1分数利的A得。分，然后各自弃副能所

选的就(弃置的^片在此JS的物欠中不能蜥).则四曲匕赛后，甲的

总得分不小于2的概率为

【翎:

【解析】甲出1一定输，所以最多3分，要得3分，就只有一种组合1-8、3-2.5-4.

7-6.

得2分有三类，分另的।屋如下：

(1)出3和出5的赢，其余输：1-6,3-2,5-4,7-8

(2)出3和出7的赢，其余输：1-4,3-2,5-8,7-6;1-8,3-2,5-6,7-4

1-6,3-2,5-8,7-4

(3)出5和出7的赢，其余输：1-2,3-8,5-4,7-6;1-4,3-8,5-2,7-6;

1-8,3-4,5-2,7-6;1-6,3-8,5-2,7-4;1-8,3-6,5-2,7-4

1-6,3-8,5-4,7-2;1-8,3-6,5-4,7-2

共12种组合满足要求，而所有组合为4!,所以甲得分不小于2的概率/=-

4?2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)记/SBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=V2cosB,

a2-^b2-c2=^2ab.

(1)求B;

⑵若△ABC的触为3+J3,求c

【解析】

⑴视4螂短以父坐

2aM

41ab&

可得

2ah

金00而所

又H为SnCWZvsB,即sin卜0COS8等=0cos8，懈导os8=；

筋阻00所以8=9

⑵由⑴知8=(C«J,==J-j=

己的畋的翻为务J3,且S△3=：而疝。

X>

珊!。板in1=3+4D?o/>x至=3+&,ab=2(3+2Y5)

24,22>\7

basinCbsinC

又由正弓玄定3里

sin/sinflsin。可行sin4sinB

is

.5T.尸

cacsin-csm-

则——=―二a-,同理6=----

.万.5万

sin-sin-sin—sin—

41244

2・5斤.7

csin—sin—4

所以ab=------此一~二二2(3+2

■y二=我

sin―

42

角第c之V2

m(5分)已403)加但卜椭圆,：5%=口内0)加点

(1)求c的离心率;

⑵若过P的直线L交C于另一点B,且AABP的面积为9,求L的方程

im

9

「2

0=

9=1则

/

一

=1一

4一

-

y

(2)当L的斜率不存在0寸，L:x=3,BPB=3,A到PB距离d=3

1C

画蟀麟的设物2=3-3),令P(,J),B(C2,)2)

3

y=k(x-3)+-

2222

.22,消y可得(4k+3)x-(24k-12k)x+36k-36k-27=0

工+J

129

班“2+1/公+»+,

玉+巧

3+3

36*2-364-27

4*J+3

/到PB距离d=

依+1

17.（15分）如图,四棱锥P-ABCD中,PA±底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,

AB=力.

(1)若AD_LPB,证明：AD//平面PBC;

且二面角A-CP-D的正弦值为亚2,求AD

(2)若ADJLDC,

【皤斤】

(1)PA1面ABCDADC平面ABCD,：・PAJLAD

又VAD±PB,PBnPA=P,PB,PAC平面PAB

/.ADJ.面PAB,...ABC平面PAB,/.AD±AB

△ABC中,AB2^BC2=AC\.*.AB1BC

VA,B,CD四点共面，/.AD//BC

又•「BCC平面PBC,AD±平面PBC

/.ADj/平面PBC.

⑵以DA,DC为x,y轴过D作与平面ABCD垂直的线为z轴建立如图所示空间直角坐标系

D-xyz

令则2

AD=1,AC,0,0)5PG,0,2),D(050,0),DC^4T,C(0,^F,0)

设平面ACP的法向量n=(xj,Yj,Zi)

9・/C=0..卜/+J4T2M=0

/il-AP=O*,2Z]=0

2

不妨设x;=<4-2,则y=t,z=0?m=(V4-l,t,0)

设平面CPD的法向量为Q二(X2.Y2,Z2)

Z・丽=0,,他+Z=o

?一I_7不妨设Z2=t，则x=-2,y=0

勺・DC=022

n2=(-2,0,t)

;二面角A-CP-D的正弦值中2,则余弦值—

7为7

1110

2H

72〃+4

・：f=<3,・：AD=t3.

x

+ar+6(x-l)'

18(17分改酬"X)二E2-jr

⑴若b=0,且f(x)>0,求a的最小值;

⑵证明：曲线产f(x)是中心对称图形;

⑶若f(x)〉-2,当且仅当1<x<2,求b的取值范围.

僦斤】

x1

(l)lrO时，/(x)■In----+arra)・一十----+a2)对V(Xx<2，恒成立

2-xx2-x

1I2

nu-+—+a=---当且仅当X=1时取“二”，故只需

x2Tx(2-x)

2+a^0->a>-2,即a的最小值为-2.

=in--+a(2-x)+6(1-Jf)3+InX+ar+b(x-1)3=2a

x2-x

・・・f(x)关于(1,a)中心对称

方法二：

x+1

/、,..乂/(X+1)=In----+a(x+l)+/w__、q,­

将f(u)［可左平移一个单位f1-.V关于(0,a)中叱阳称

平移回去一f(x)关于(1,a)中心对称

(3)Vf(x)>-2当且仅当1<x<2,.,.f(l)=-2-a=-2

,\/(x)=ln---2x+MD'>-2对

2-x

2

=2+36(x-l)=^^>36(x-l)=(x.l)4-^—+36

x2-xx(2-x)x(2-x)

2g(l)=2+3fr20nbii^

令鼠以二而行”叫必过

2

西则6<一寸管x0(l,6)使《"0,《)在(1,2)上I,・・・f(x"f⑴二一2

2r2

当b2—-时，对Vxw(1,2)./(幻2in---------2x--(x-1)3=h(x)

32-*3

询=翟去如切=如可

-------------1>0

何2-幻

对Vx£(1,21恒成立，・・・h(xAh⑴=-2符合条件,

19.(17分)设m加攵,数列跄，…念m+2是公差不为C的卷列，若从栅晒炎a

和a的)庸做14m项现坪坳物m组且醴邸)4段牖的财耀冽

血。…,a时2是(i,j)-可分嬲I]

⑴写出所有的(ij)/qq<6,使数列q,a2，…热是(i,D-可分数列；

⑵当G3时，证明：数列4短，...,84111+2是(2/3)-可分数列；

⑶从1,2,…,痴2井-次任取两微i和超冽q0,…，加2是(i,j)-可分

炳的踊职诬月匕

O

解析一:

⑴以下(ij)满足:(1,2),(1,6),(5,6)

⑵易知：叩,ama等差oRq,T,s等差

古卿：1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1214就

%跌(1,4,7,10),(3,6,9,12),(5,8,11,14)即可

其余加，15球"m+2,按般4个为一组g何

⑶雌⑵问易郎见q,Q2,...,Q4m+2是(i,j)可糊的>12^2是(i,j)可

%

易知：1,2,…,4m+2是(4k+l,4r+2)可分的(OWkWrWm)

因为可分为(1,2,3,4),-(4k-3,4k-2,4k-1,4k)与

(4(r+1)-1,4(r+1),4(r+1)4-1,4(r+1)+2),,(4m-1,4m,4m+1,4m+2)

此时共C3+On+1)=；(加+IX朋+2)科

再证：1,2,…,4m+2是(4k+2,4r+l)可分的(O4v£m)

易知1〜4k与4r+2〜4m+2是可分的

只需考虑4k+l,4k+3,4k+4,4r-l,4r,4r+2

记p=r-k^N,只需证：1,3,4,5,4p-l,4p,4p+2可分

广4P+2去掉2与4p+l

观察：p=1时，1,3,4,6无法施lj；

p=2时，1,3,4,5,6,7,8,10,可以艇lj；

p=3时，1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14

p401,1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18

(1,5,9,13),(3,7,11,15),(4,8,12,16),(610,14,18)5龊

故V层2,可划分为：

(l,p+l,2p+1,3p+1),(3,p+3,2p+3,3p+3),(4,p+4,2p+4,3p+4)

(5,p+5,2p+5,3p+5),...,(p,2p,3p,4p),(p+2,2p+2,3p+2,4p+2)

共P组

事实上，就是(i,p+i,2p+i,3p+i),i=1,2,3,・・.,p,且把2换成4P+2

此时(k,k+p),p22均可行，共(Cji-楙=；Mm—l)组

(0,1),(1,2),...,(m-1,m)不可行

综上，可行的(供+2,4r+l)与(秋+1,4『+2)至少；讯加-1)+；(小+1)(町+2)组

21

SP、5(2/+2/W+2)+1/+巾+1i

故后之上-----;-------=-............=­；------->-得证！

C：z(2m+l)(4rw+1)8m2+6^i+l8

解七

⑴(i,j)=(l,6),(l,2),(5,6)

(2,)当m=3时，a?Q,Q4，a,69a7,ag,ag,AiogQi9Qi2,Qi4

可分成二组：3935a7,Qo;23,Qe,Qg,Qi2抖3,Qg,Qi214每组均为公差为3d的等

差数列

.*.m=3日推合

**.iri>3时，姻ljq,a2,•••,期也去掉a2,拆以后，分成m组

只需让前面的3组还按m=3时的分法，即a,Q4,Q7,Qo为Q°Qyi2；a3.Qa.QbQu

后面的每4个相邻的项一组即可，即a1s,Q6,Qp,Qg；…,a折1,Q4m,0^2++2

每一组都^铜峰数列，..・数列AQ2,.“m+2是(2,13)-可分数列

⑶5A：当"1时，数歹IJ：q上急上幽as为可分数歹郸概率为匕二

(458

771

当DF2时，ma,a2为….期o为可分数冽的解为巴=7T=77>^

以11第售且易知1,2，…,4n+2是(4k+1,4r+2)可分的(04Wr。)

此时共有Cj+刷+1=则今土。+iw+l=g(in+lX删+2)种

且易歹।地是(4k+2,4r+1)可分的至少有Ji-加=；皿刖-I：

综上：可彳甘勺(4k+2,4r+1)与(4k+1,4r+2)至少

m(m-1)++*2)=m2+/n+US

m2+m+lm24m+lm?+/w+l1

；.PnN-k----=-------------=―;------->一

C，2(2m+lX4m+