2024中考复习四边形综合题

四边形综合题

1.在△ABC中，AB=AC,点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF,使菱形CDEF及点

A在BC的同侧，连接BE,点G是BE的中点，连接AG、DG.

(1)如图①，当NBAC=NDCF=90°时，干脆写出AG及DG的位置和数量关系；

(2)如图②，当NBAC=ZDCF=60。时，摸索究AG及DG的位置和数量关系，

(3)当NBAC=ZDCF=a时，干脆写出AG及DG的数量关系.

2.如图，在菱形ABCD中，M,N分别走边AB,BC的中点，MP_LAB交边CD于点P,连接NM,NP.

(1)若/8=60。，这时点P及点C重合，则NNMP=度；

(2)求证：NM=NP；

(3)当乙NPC为等腰三角形时，求NB的度数.

3.菱形ABCD中，两条对角线AC,BD相交于点O,zMON+ZBCD=180°,NMON绕点0旋转，射线

0M交边BC于点E,射线ON交边DC于点F,连接EF.

(1)如图1,当NABC=90。时，△OEF的形态是:

(2)如图2,当NABC=60。时，请推断AOEF的形态，并说明理由；

(3)在(1)的条件下，将NM0N的顶点移到A0的中点O,处，/MCTN绕点O,旋转，仍满意

NMC/N+NBCD=I8O。，射线0，M交直线BC于点E,射线O，N交直线CD于点F,当BC=4,且=8时，干

8

脆写出线段CE的长.

4.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处，折痕为EC,

连结AP并延长AP交CD于F点,

(1)求证：四边形AECF为平行四边形:

(2)若AAEP是等边三角形，连结BP,求证：△APB*△EPC：

(3)若矩形ABCD的边AB=6,BC=4,求△CPF的面积.

B

5.如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点(P及B、C不重合)，连接AP,过点B作BQJLAP交CD

于点Q,将ABQC沿BQ所在的直线对折得到ABQC,延长QC交BA的延长线于点M.

(1)摸索究AP及BQ的数量关系，并证明你的结论；

(2)当AB=3,BP=2PC,求QM的长；

(3)当BP=m,PC=n时，求AM的长.

6.如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，/BCD=60。，射线AP交BC的延长线于点E,射线BP交

DE于点K,点O是线段BK的中点.

(1)求证：△AD的△ECP；

(2)若BP-n*PK,试求出11的值；

(3)作BMJLAE于点M,作KNJLAE于点N,连结MO、NO,如图2所示，请证明ZkMON是等腰三

角形，并干脆写出NMON的度数.

7.在正方形ABCD中，对角线AC及BD交于点O；在RtaPMN中，ZMPN=90°.

(1)如图1,若点P及点0重合且PM_LAD、PN_LAB,分别交AD、AB于点E、F,请干脆写出PE及

PF的数量关系；

(2)将图1中的RtAPMN绕点0顺时针旋转角度a((TVaV45。).

①如图2,在旋转过程中(1)中的结论依旧成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(1)如图①，当a=90。时，DE,DF,AD之间满意的数量关系是；

(2)如图②，将图①中的正方形ABCD改为NADC=120°的菱形，其他条件不变，当a=60°时，(1)中

的结论变为DE+DF=』AD,请给出证明；

2

(3)在(2)的条件下，若旋转过程中NQPN的边PQ及射线AD交于点E,其他条件不变，探究在整个

运动变更过程中，DE,DF,AD之间满意的数量关系，干脆写出结论，不用加以证明.

10.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90。，得到线段CQ,

连接BP,DQ.

(1)如图a,求证：ZkBCPM△DCQ：

(2)如图，延长BP交直线DQ于点E.

①如图b,求证：BE±DQ：

②如图c,若ABCP为等边三角形，推断ADEP的形态，并说明理由.

11.已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且AC=12cm,BD=16cm.点P从点B动

身，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，直线EF从点D动身，沿DB方向匀速运动，速度为lcm/s,

EF±BD,且及AD,BD,CD分别交于点E,Q,F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动.连接PF,

设运动时间为t(s)(0VtV8).解答下列问题：

(1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？

(2)设四边形APFE的面积为y(cm2),求y及I之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t,使S四边形APFE：S箜形ABCD=I7：40?若存在，求出I的值，并求出此时P,E两

点间的距离；若不存在，请说明理由.

12.已知菱形ABCD的边长为1,ZADC=60°,等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F.

(1)特别发觉：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交

点0即为等边4AEF的外心；

(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P.①猜想验证：如图2,猜想

△AEF的外心P落在哪始终线上，并加以证明；②拓展运用：如图3,当E、F分别是边DC、CB的中点

时，过点P任作始终线，分别交DA边于点M,BC边于点G,DC边的延长线于点N,请你干脆写出-L二

DM/

的值.

13.已知：在四边形ABCD中，ADIIBC,NBAC=ND,点E、F分别在BC、CD上，.且NAEF二NACD.

(1)如图1,若AB=BC=AC,求证：AE=EF；

(2)如图2,若AB=BC,(1)中的结论是否仍旧成立？证明你的结论；

(3)如图3,若AB=kBC,(1)中的结论是否仍旧成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AE及EF

之间的数量关系，并证明.

14.正方形ABCD的边长为4cm,点E在边AB上，将线段AE绕点E顺时针旋转a。(0〈aV90)得线

段EF,以EF为边在EF右侧作正方形EFGH；

(1)如图①，分别连接线段AF、FH、AH,AH交EF于点I；

①求证NFAH的度数是一个常数；

②求证：2AE?二AH・IH.

(2)如图②，若a-60,点E为AB的中点，在直线AG上是否存在点J,使△EBJ的周K最小？若存

在，求出AEBJ的最小周长：若不存在，说明理由.

(3)如图③，若a=45,点E从A动身，按lcm/s的速度沿AB方向运动，直至点C落在GH上停止运

动，设点E的运动时间为t(t>0),正方形EFGH及正方形ABCD重叠部分的面积为S,请用含t的代数

15.请你仔细阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题.

(1)初步探究：如图(1),点E、F分别在正方形ABCD边AB、AD上，DEJLCF于点P,小芳看到该图

后，发觉DE=CF,这是因为NEDA和NFCD都是/EDC的余角，就会由ASA判定得出^ADE合△DCF.

(2)类比发觉：小芳进一步思索，假如四边形ABCD是矩形，如图(2),且DE±CF于点P,她发觉返迷,

CFCD

请你替她完成证明；

(3)拓展延长：如图(3),若四边形ABCD是平行四边形，摸索究：当NB及NEPC满意什么关系时，

使得理萼成立？并证明你的结论.

CFCD

16.如图1,在矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上随意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延

长交边AD于点F,点M为边CD上一点，连接FM,且NDMF=NABF.

⑴若AD=2,DE=1,求AP的长；

(2)求证：PB=PF+FM；

(3)若矩形ABCD改为E7ABCD,如图2,(2)中的结论成立吗？若成立，请证明；不成立，说明理由.

17.在菱形ABCD和正三角形BGF中，ZABC=60°,P是DF的中点，连接PG、PC.

(1)如图1,当点G在BC边上时，猜想PG及PC的关系，并证明.(提示：延长GP交CD于点E)

(2)如图2,当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG还满意(1)中的结论吗？写出你的猜想，并给

及证明；

(3)如图3,当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的关系，干脆写出你猜想.

18.问题情境：小彬、小颖和小明对一道教学问题进行探讨.

已知，如图1,正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是线段OC上一点，过点A作BE的

垂线，交线段OB于点G,垂足为点F,易知：OG=OE.

变式探究：

分析完图1之后，小彬和小颖分别对此进行了探讨，并提出了下面两个问题，请回答：

(1)小彬：如图2,将图1中的点E改为线段0C延长线上的一点，过点A作BE垂线，交OB的延长线

于点G,垂足为点F.求证：OG=OE.

(2)小颖：如图3,将图中的“正方形ABCD"改为"菱形ABCD”,且NABC=60。，其余条件不变，试求5

0E

的值.

拓展延长：

(3)小明解决完上述问题后，又提出了如下问题：如图4,将图3中的2ABO60。”改为“NABC=a〃，并

且点E,G分别在OC,OB的延长线上，其余条件不变，干脆用含"a”的式子表示5的值.

0E

E

19.已知矩形ABCD,AB=4,BD=2.现有另一个及矩形ABCD相像矩形EFGH,相像比为2：1.最初矩

形EFGH的GH边放置在NBCD的平分线处(如图1),现将矩形EFGH沿着FG作一条直线1,再连接

AH、BH、DH、BE,设BC及EH的交点为M,CD及GH的交点为N(若没有交点则不计)，回答下列

问题.

(I)如图I,当矩形ABCD矩形EFGH都不动时，求出矩形ABCD及矩形EFGH重合部分三角形的面积.

(2)如图2,现矩形ABCD不动，矩形EFGH沿直线I起先动身，以lm/s的速度移动.设移动时间为t,

矩形ABCD及矩形EFGH重合部分的面积为S,求出S关于t的函数关系式，并写出相应的取值范围，并

且求出当t为多少时，S为最大值？

(3)如图3,矩形ABCD仍旧不动，矩形EFGH运动一段时间后停止在某一个点，并且此时△CEH为等

腰三角形，这时，在AAHC中，AH=HC成立吗？请说明理由，并求出此时S和t的值.

20.在菱形ABCD中，ZA=60%以D为顶点作等边三角形DEF,连接EC,点N、P分别为EC、BC的

中点，连接NP

(1)如图1,若点E在DP上，EF及CD交于点M,连接MN,CE=3,求MN的长；

(2)如图2,若M为EF中点，求证：MN=PN；

(3)如图3,若四边形ABCD为平行四边形，且NA=ZDBC#60°,以D为顶点作三角形DEF,满意DE=DF

且NEDF=NABD,M、N、P仍分别为EF、EC、BC的中点，请探究NABD及NMNP的和是否为一个定

值，并证明你的结论.

21.已知矩形ABCD的一条边AD=8,E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使得顶点B

落在CD边上的点P处，PC=4(如图1).

(1)求AB的长；

(2)擦去折痕AE,连结PB,设M是线段PA的一个动点(点M及点P、A不重合).N是AB沿长线上

的一个动点，并且满意PM=BN.过点M作MH_LPB,垂足为H,连结MN交PB于点F(如图2).

①若M是PA的中点，求MH的长；

②试问当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是否发生变更？若变更，说明理由；若不变，求出线段

FH的长度.

22.如图1,口ABCD中，AE_LBC于E,AE=AD,EG_LAB于G,延长GE、DC交于点F,连接AF.

(1)若BE=2EC,AB=V13，求AD的长；

(2)求证：EG=BG+FC；

(3)如图2,若AF=50,EF=2,点M是线段AG上的一个动点，连接ME,^AGME沿ME翻折得△GZME,

连接DG,试求当DG取得最小值时GM的长.

23.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,NCAB的平分线分别交BD,BC于点E,F,作BH_LAF

于点H,分别交AC,CD于点G,P,连接GE,GF.

(1)求证：△0AE2△0BG；

(2)试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由;

(3)试求：势的值(结果保留根号).

AE

24.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,将△COD绕点0按逆时针方向旋转得到△CiODi,

旋转角为e(0°<e<90°),连接ACi、BDi,ACi及BDi交于点P.

(1)如图1,若四边形ABCD是正方形.

①求证：△AOC席△BODi.

②请干脆写出ACi及BDi的位置关系.

(2)如图2,若四边形ABCD是菱形，AC=5,BD=7,设AC尸kBDi.推断ACi及BDi的位置关系，说

明理由，并求出k的值.

(3)如图3,若四边形ABCD是平行四边形，AC=5,BD=10,连接DDi,没AC尸kBDi.请干脆写出k

的值和AC，+(kDDi)2的值.

25.已知，如图1,矩形ABCD中，AD=6,DC=8,矩形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD

的边AB,CD,DA上，AH=2,连接CF.

(1)如图2,当四边形EFGH为正方形时，求CF的长和4FCG的面积；

(2)如图1,设AE=x,三角形FCG的面积=y,求及x之间的函数关系式及y的最大值;

(3)当ACGF是直角三角形时，求x和y值.

26.如图，点E是矩形ABCD的边BC的中点，连接DE交AC于点F.

(1)如图①，求证：AF=2CF；

(2)如图②，作DGJLAC于G,摸索究：当AB及AD满意什么关系时，使得AG=CF成立？并证明你

的结论；

(3)如图③，以DE为斜边在矩形ABCD内部作等腰RSDEM,交对角线BD于N,连接AM,若AB=AD,

请干脆写出处的值.

AN

图①图②图③

27.数学课上，张老师出示了问题1：如图1,四边形ABCD是正方形，BC=2,对角线交点记作O,点E

是边BC延长线上一点.联结0E交CD边于F,设CE=x,CF=y,求y关于x的函数解析式及其定义域.

(1)经过思索，小明认为可以通过添加也助线--过点0作OM_LBC,垂足为M求解.你认为这个想法

可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；

(2)假如将问题1中的条件"四边形ABCD是正方形，BC=2"改为"四边形ABCD是平行四边形，BC=3,

CD=2,”其余条件不变(如图2),请干脆写出条件变更后的函数解析式；

(3)假如将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形,BC=2”进一步改为:"四边形ABCD是梯形,ADIIBC,

BC=4,CD=3,AD=2〃其余条件不变(如图3),请你写出条件再次变更后y关于x的函数解析式以及相应

的推导过程.

28.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，若EF=BE+DF.

(1)求证：ZEAF=45°；

(2)作/EFC的平分线FG交AE的延长线于G,连接CG,如图2.求证：BC-CF二立CG；

2

(3)若F是DC的中点，AB=4,如图3,求EG的长.

29.已知四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD边上的点，DE及CF交于点G.

(1)如图1,若四边形ABCD是矩形，且DE_LCF.则DE・CDCF*AD(填"V"或或">")；

(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形，摸索究:当NB及NEGC满意什么关系时，使得DE・CD=CF・AD

成立？并证明你的结论；

(3)如图3,若BA=BC=3,DA=DC=4,ZBAD=90°,DE±CF.则匹的值为

CF

图(3)

30.如图1,在菱形ABCD中，对角线AC及BD相交于点O,AB=I3,BD=24,在菱形ABCD的外部以

AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不及点B、D重合)，将线段AF绕点A顺

时针方向旋转60。得到线段AM,连接FM.

(1)求AO的长；

(2)如图2,当点F在线段BO上，且点M,F,C三点在同一条直线上时，求证：ZACM=30°；

(3)连接EM,若△AEM的面积为40,请画出图形，并干脆写出△AFM的周长

答案

1.在AABC中，AB=AC,点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF,使菱形CDEF及点A

在BC的同侧，连接BE,点G是BE的中点，连接AG、DG.

(1)如图①，当NBAC=NDCF=90。时，干脆写出AG及DG的位置和数量关系；

(2)如图②，当NBAC二NDCF=60°时，摸索究AG及DG的位置和数量关系，

(3)当NBAC=ZDCF=a时，干脆写出AG及DG的数量关系.

【分析】(1)延长DG及BC交于H,连接AH、AD,通过证得△BGH合△EGD求得BH=ED,HGnDG,

得出BH=DC,然后证得^ABH空△ACD,得出NBAH=ZCAD,AH=AD,进而求得NHAD=90°,即可求

得AG_LGD,AG=GD；

(2)延长DG及BC交于H,连接AH、AD,通过证得^BGH合△EGD求得BH=ED,HG=DG,得出BH=DC,

然后证得△ABH合△ACD,得出NBAH=NCAD,AH=AD,进而求得△HAD是等边三角形，即可证得

AG_LGD,AG=V3DG；

(3)延KDG及BC交丁H,连接AH、AD,通过证得^BGH邕△EGD求得BH-ED,HG-DG,得出BH—DC,

然后证得△ABH合△ACD,得出NBAH:NCAD,AH=AD,进而求得△HAD是等腰三角形，即可证得

DG=AGtan—.

2.如图，在菱形ABCD中，M,N分别是边AB,BC的中点，MPJLAB交边CD于点P,连接NM,NP.

(1)若/8=60。，这时点P及点C重合，则NNMP=30度;

(2)求证：NM=NP；

(3)当^NPC为等腰三角形时，求NB为度数.

【分析】(1)依据直角三角形的中线等于斜边上的一半，即可得解；

(2)延长MN交DC的延长线于点E,证明ANINB级AENC,进而得解；

(3)NC和PN不行能相等，所以只需分PN=PC和PC=NC两种状况进行探讨即可.

①若PN=PC,贝UNPNC=ZNCP=2X0,

在△PNC中，2x+2x+x=180,

解得：x=36,

ZB=ZPNC+ZNPC=2x°+x°=36°x3=108°,

②若PC=NC,则NPNC=NNPC=x。，

在△PNC中，2x+x+x=180,

解得：x=45,

ZB=ZPNC+ZNPC=x°+x°=45°+45°=90°.

3.菱形ABCD中，两条对角线AC,BD相交于点O,ZMON+ZBCD=180%NMON绕点O旋转，射线

OM交边BC于点E,射线ON交边DC于点F,连接EF.

(1)如图1,当/ABO90。时，aOEF的形态是等腰直角三角形；

(2)如图2,当NABC=60。时，请推断AOEF的形态，并说明理由；

(3)在(1)的条件下，将NMON的顶点移到AO的中点O,处，/乂0代绕点0，旋转，仍满意

ZMOzN+ZBCD=180%射线OM交直线BC于点E,射线ON交直线CD于点F,当BC=4,且二时，

干脆写出线段CE的长.

【分析】(1)先求得四边形ABCD是正方形，然后依据正方形的性质可得NEBO=NFCO=45。，OB=OC,

再依据同角的余角相等可得NBOE二NCOF,然后利用“角边角〃证明△BOE和aCOF全等，依据全等三角

形对应边相等即可得证；

(2)过O点作OG-LBC于G,作OH_LCD于H,依据菱形的性质可得CA平分/BCD,ZABC+BCD=180°,

求得OG=OH,ZBCD=180°-60°=120°,从而求得NGOH=ZEOF=60%再依据等量减等量可得

ZEOG=ZFOH,然后利用"角边角"证明AEOG和AFOH全等，依据全等三角形对应边相等即可得证；

(3)过O点作OGJLBC于G,作OH_LCD于H,先求得四边形OCCH是正方形，从而求得GC=O，G=3,

zGO，H=90。，然后利用"角边角"证明△EOZG和仆FOH全等，依据全等三角形对应边相等即可证得△CTEF

是等腰直角三角形，依据已知求得等腰直角三角形的直角边O'E的长，然后依据勾股定理求得EG,即可

求得CE的长.

4.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处，折痕为EC,

连结AP并延长AP交CD于F点，

(1)求证：四边形AECF为平行四边形：

(2)若△AEP是等边三角形，连结BP,求证：△APB些△EPC；

(3)若矩形ABCD的边AB=6,BC=4,求△CPF的面积.

【分析】(1)由折叠的性质得到BE=PE,EC及PB垂直，依据E为AB中点，得到AE=EB=PE,利用三

角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到/APB为90。，进而得到AF及EC平

行，再由AE及FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；

(2)依据三角形AEP为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到

一对角相等，依据同角的余角相等得到一对角相等，再由AP二EB,利用AAS即可得证；

(3)过P作PM_LCD,在直角三角形EBC中，利用勾股定理求出EC的长，利用面积法求出BQ的长，

依据BP=2BQ求出BP的长，在直角三角形ABP中，利用勾股定理求出AP的长，依据AF-AP求出PF

的长，由PM及AD平行，得到三角形PMF及三角形ADF相像，由相像得比例求出PM的长，再由FC=AE=3,

求出三角形CPF面积即可.

5.如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点(P及B、C不重合)，连接AP,过点B作BQ_LAP交CD

于点Q,将ABQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC,延长QC交BA的延长线于点M.

(1)摸索究AP及BQ的数量关系，并证明你的结论；

(2)当AB=3,BP=2PC,求QM的长；

(3)当BP=m,PC=n时，求AM的长.

【分析】(1)要证AP=BQ,只需证△PBA合△QCB即可；

(2)过点Q作QHJLAB于H,如图.易得QH=BC=AB=3,BP=2,PC=1,然后运用勾股定理可求得AP

(BPBQ)=V13»BH=2.易得DCIIAB,从而有NCQB二NQBA.由折叠可得NCQB二NCQB,即可得到

/QBA二/CQB,即可得到MQ=MB.设QM=x,则有MB=x,MH=x-2.在RsMHQ中运用勾股定理

就可解决问题；

(3)过点Q作QH_LAB于H,如图，同(2)的方法求出QM的长，就可得到AM的长.

6.如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，ZBCD=60°,射线AP交BC的延长线于点E,射线BP交

DE于点K,点O是线段BK的中点.

(1)求证：△AD电△ECP；

(2)若BP=n*PK,试求出n的值；

(3)作BMJLAE于点M,作KNJLAE于点N,连结MO、NO,如图2所示，请证明ZkMON是等腰三

角形，并干脆写出NMON的度数.

【分析】(1)依据菱形的性质得到ADIIBC,依据平行线的性质得到对应角相等，依据全等三角形的判定

定理证明结论；

(2)作PillCE交DE于I,依据点P是CD的中点证明CE=2PI,BE=4PI,依据相像三角形的性质证明结

论；

(3)作OG_LAE于G,依据平行线等分线段定理得到MG=NG,又OG_LMN,证明△MON是等腰三角

形，依据直角三角形的性质和锐角三角函数求出NMON的度数.

7.在正方形ABCD中，对角线AC及BD交于点O；在RtaPMN中，ZMPN=90°.

(1)如图1,若点P及点O重合且PM_LAD、PN_LAB,分别交AD、AB于点E、F,请干脆写出PE及

PF的数量关系；

(2)将图1中的RtAPMN绕点O顺时针旋转角度a((TVaV45。).

①如图2,在旋转过程中(1)中的结论依旧成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

②如图2,在旋转过程中，当NDOM=15。时，连接EF,若正方形的边长为2,请干脆写出线段EF的长；

③如图3,旋转后，若RQPMN的顶点P在线段0B上移动（不及点0、B重合），当BD=3BP时，猜想

此时PE及PF的数量关系，并给出证明；当BD=m・BP时，请干脆写出PE及PF的数量关系.

【分析】（1）依据正方形的性质和角平分线的性质解答即可；

（2）①依据正方形的性质和旋转的性质证明△F0A合△E0D,得到答案；

②作OG_LAB丁G,依据余弦的概念求出OF的K，依据勾股定理求值即可；

③过点P作HP_LBD交AB于点H,依据相像三角形的判定和性质求出PE及PF的数量关系，依据解答

结果总结规律得到当BD=m*BP时，PE及PF的数量关系.

8.在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD」：（及点C、D不重合），连接AP,平移△ADP,

使点D移动到点C,得到^BCQ,过点Q作QH_LBD于H,连接AH,PH.

（1）若点P在线段CD上，如图1.

①依题意补全图1：

②推断AH及PH的数量关系及位置关系并加以证明；

（2）若点P在线段CD的延长线上，且NAHQ=152%正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.（可

以不写出计算结果）

【分析】（1）①依据题意画出图形即可；

②连接CH,先依据正方形的性质得出ADHQ是等腰直角三角形，再由SAS定理得出AHDP合△HQC,

故PH=CH,ZHPC=ZHCP,由正方形的性质即可得出结论；

（2）依据四边形ABCD是正方形，QHJ_BD可知4DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性质得出

PD二CQ.作HR±PC于点R,由NAHQ=152°,可得出NAHB及/DAH的度数，设DP=x,则DR=HR=RQ,

由锐角三角函数的定义即可得出结论.

9.如图①，/QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，zQPN=a,将NQPN绕点P旋转，

旋转过程中/QPN的两边分别及正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F(点F及点C,D不重

BR---------BB

合)m.。/图①会~图②。令图③

(1)如图①，当a=90。时，DE,DF,AD之间满意的数量关系是一DE+DF=AD；

(2)如图②，将图①中的正方形ABCD改为/ADO120。的菱形，其他条件不变，当a=60°时，(1)中

的结论变为DE+DF=」AD,请给出证明；

2

(3)在(2)的条件下，若旋转过程中NQPN的边PQ及射线AD交于点E,其他条件不变，探究在整个

运动变更过程中，DE,DF,AD之间满意的数量关系，干脆写出结论，不用加以证明.

【分析】(1)利用正方形的性质得出角及线段的关系，易证得△APE*△DPF,可得出AE=DF,即可得出

结论DE+DF=AD,

(2)取AD的中点M,连接PM,利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE号△FPD,

得出ME二DF,由DE+ME二1AD,即可得出DE+DF」AD,

22

(3)①当点E落在AD上时，DE+DF=1AD,②当点E落在AD的延长线上时，DF-DE=』AD.

22

10.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90。，得到线段CQ,

连接BP,DQ.

(1)如图a,求证：4BCP合△DCQ；

(2)如图，延长BP交直线DQ于点E.

①如图b,求证：BE_LDQ；

②如图c,若ABCP为等边三角形，推断ADEP的形态，并说明理由.

【分析】(1)依据旋转的性质证明/BCP=ZDCQ,得到△BCP空△DCQ；

(2)①依据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；

②依据等边三角形的性质和旋转的性质求出NEPD=45。，ZEDP=45°,推断ADEP的形态.

11.已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,MAC=12cm,BD=I6cm.点P从点B动

身，沿BA方向匀速运动，速度为Icm/s；同时，直线EF从点D动身，沿DB方向匀速运动，速度为lcm/s,

EF_LBD,且及AD,BD,CD分别交于点E,Q,F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动.连接PF,

设运动时间为t(s)(0<t<8).解答下列问题：

(1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？

(2)设四边形APFE的面积为y(cm2),求y及t之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t,使S四边影APFE：S菱形ABCD=17：40?若存在，求出I的值，并求出此时P,E两

点间的距离；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由四边形ABCD是菱形，OA=1AC,OB」BD.在RSAOB中，运用勾股定理求出AB=10.再

22

由△DFQsADCO.得出叽口.求出DF.由AP=DF.求出t.

DC0D

(2)过点C作CG_LAB于点G,由S差形ABCD=AB*CG=%C・BD,求出CG.据S梯彩APFD=1(AP+DF)

22

•CG.SAEFD=」EF・QD.得出y及l之间的函数关系式；

2

(3)过点C作CG_LAB于点G,由S菱杉ABCD=AB・CG,求出CG,由S四边杉APFE：S菱形ABCD=17：40,

求出l,再由△PBNs^ABO,求得PN,BN,据线段关系求出EM,PM再由勾股定理求出PE.

12.已知菱形ABCD的边长为1,ZADC=60°,等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F.

(1)特别发觉：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交

点O即为等边仆AEF的外心；

(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P.①猜想验证：如图2,猜想

△AEF的外心P落在哪始终线上，并加以证明；②拓展运用：如图3,当E、F分别是边DC、CB的中点

时，过点P任作始终线，分别交DA边于点M,BC边于点G,DC边的延长线于点N,请你干脆写出

【分析】(1)连接OE、0F,由四边形ABCD是菱形，得出AC_LBD,BD平分NADC,AD=DC=BC,又

由E、F分别为DC、CB中点，证得OE=OF=OA,则可得点O即为△AEF的外心；

(2)①连接PE、PA,过点P分别作PI±CD于I,PJ±AD于J,求出/IPJ的度数，又由点P是等边△AEF

的外心，易证得△口於APJA,可得PI=PJ,即点P在NADC的平分线上，即点P落在直线DB上；

②连接BD、AC交于点P,由(1)可得点P即为△AEF的外心.设DM=x,DN=y(x=0,ywO),则CN=y

・1，先利用AAS证明^GBP2△MDP,得出BG=DM=x,CG=l-x,再由BCIIDA,得出ANCGSANDM,

依据相像三角形对应边成比例得出里名，进而求出,」为定值2.

DNDMDMT

13.已知：在四边形ABCD中，ADIIBC,NBAC=ND,点E、F分别在BC、CD上，且NAEF二NACD.

（1）如图1,若AB=BC二AC,求证：AE=EF；

（2）如图2,若AB=BC,（1）中的结论是否仍旧成立？证明你的结论；

（3）如图3,若AB=kBC,（1）中的结论是否仍旧成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AE及EF

之间的数量关系，并证明.

【分析】（1）中所给的是最特别的一种状况，但对整个题来说，要从（1）中找到基本的解题思路，此题

难的是构造全等三角形，从而证明线段相等.虽然（1）中没有要求步骤，但能正确的解出（1）可以给（2）

和（3）定一个基调；

（2）是将（1）中的等边三角形变为等腰三角形，但起关键作用的条件没变，任然可以仿照（1）中的方

法去做；

（3）中将三角形变为更一般的三角形，但和（1）比较起来还是有两个条件没变，而利用这两个条件能证

明两个三角形相像，从而利用相像的对应边成比例得出结论.

14.正方形ABCD的边长为4cm,点E在边AB上，将线段AE绕点E顺时针旋转a。（0<aV90）得线

段EF,以EF为边在EF右侧作正方形EFGH；

（1）如图①，分别连接线段AF、FH、AH,AH交EF于点I；

①求证NFAH的度数是一个常数；

②求证：2AE2=AH*IH.

（2）如图②，若a=60,点E为AB的中点，在直线AG上是否存在一点J,使△EBJ的周长最小？若存

在，求出AEBJ的最小周长；若不存在，说明理由.

（3）如图③，若a=45,点E从A动身，按lcm/s的速度沿AB方向运动，直至点C落在GH上停止运

动，设点E的运动时间为t（t>0）,正方形EFGH及正方形ABCD重叠部分的面积为S,请用含t的代数

式表示S.

【分析】（1）①易证A、F、H在以点E为圆心,AE为半径的圆上，依据圆周角定理可得/FAH=-izFEH=45。；

2

②由于FH=&EF;&AE,要证2AE2二AH・IH,只需证到FH?二AH・IH,只需证到△FHI-△AHF即可；

(2)连接DE及直线AG交于点N,连接NB,如图②，易证△AFG2△AEH,则有NFAG=NEAH,从

而可得NDAG:NGAE.由AD=AB可得点D及点B关于直线AG对称，从有而ND=NB,从而可求得

EN+BN+EB=2加+2.依据两点之间线段最短可得：当点J运动到点N处，AEBJ的周长最短，问题得以

解决;

(3)点E运动的过程中，依次出现图③a、图③b、图③c、图③d、图③e、图③f的状况，只需运用

割补法分别求出图③a、图③c、图③e中S及I的关系式，运用方程思想求出图③b、图③d、图③f中

对应t的值，就可解决问题.

15.请你仔细阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题.

(1)初步探究：如图(1),点E、F分别在正方形ABCD边AB、AD上，DEJ_CF于点P,小芳看到该图

后,发觉DE=CF,这是因为NEDA和/FCD都是/EDC的余角，就会由ASA判定得出^ADE2△DCF.

(2)类比发觉：小芳进一步思索，假如四边形ABCD是矩形，如图(2),且DEJLCF于点P,她发觉迈要,

CFCD

请你替她完成证明；

(3)拓展延长：如图(3),若四边形ABCD是平行四边形，摸索究：当NB及/EPC满意什么关系时，

使得理萼成立？并证明你的结论.

CFCD

【分析】(2)依据NA=NADC=90。，DEXCF,证明NADE=NDCF,得到△ADE-△DCF,得到答案；

(3)在AD的延长线上取点M,使CM=CF,证明△ADE-△DCM,得到答案.

16.如图1,在矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上随意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延

长交边AD于点F,点M为边CD上一点，连接FM,且NDMF二NABF.

(1)若AD=2,DE=1,求AP的长；

(2)求证:PB=PF+FM：

(3)若矩形ABCD改为。ABCD,如图2,(2)中的结论成立吗？若成立，请证明；不成立，说明理由.

(2)延长BF、CD交于点N,由矩形的性质得出CNIIAB,得出NN=NPBA,ZNEP=ZBAP,由ASA

证明ANEP^ABAP,得出PB=PN,再证出FN=FM,即可得出结论；

(3)延长BF、CD交于点N,由矩形的性质得出CNIIAB,得出NN二NPBA,ZNEP=ZBAP,由ASA

证明△NE也△BAP,得出PB=PN,再证出FN=FM,即可得出结论.

【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、等

腰三角形的判定等学问；本题综合性强，难度较大，须要通过作协助线证明三角形全等才能得出结论.

17.在菱形ABCD和正三角形BGF中，zABC=60°,P是DF的中点，连接PG、PC.

(1)如图1,当点G在BC边上时，猜想PG及PC的关系，并证明.(提示：延长GP