2023年湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学高考数学押题试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5亳米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.等差数列｛为｝中，4+%=1°，％=7,则数列｛q｝前6项和S6为（）

A.18B.24C.36D.72

2.在正方体A3c0-4qGR中，点P、。分别为A8、AO的中点，过点。作平面。使〃平面。，AQ〃平

面。若直线々Re平面。=加，则帚的值为（）

1112

A.-B.—C.-D.一

4323

3.20世纪产生了著名的“3x+「猜想：任给一个正整数工，如果％是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3

加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“3x+l”猜想的一个程序框图，若输入正整数

阳的值为40,则输出的〃的值是（）

A.8B.9C.1()D.1I

4.若复数Z=2〃7-1+，加（meA）在复平面内的对应点在直线y二一人上，则）等于（）

A.1+ZB.1-ZD.

2r+1+2,x<0,

5.己知函数/*）=<若关于X的方程-2af（x）+3a=0有六个不相等的实数根，则实数。的取

|log2x|,x>0,

值范围为（）

A.3,-1B.fs,—C.(3,4)D.(3,4]

6.如图所示，网络纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）

7.已知双曲线£-4=l（a>0,b>0）,过原点作一条倾斜角为g直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线

a~b~3

段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为（）

A.V2+1B.V3+1C.2D.x/5

8.设加，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若a_L〃，机ua,nu0，则加_L〃

B.若ail。〃u/7,则〃的？

C.若m_L〃，mua，nu。，则

D.若ml.a,m//n,nl/p,则a_L夕

9.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

它0

1

】。.函数/⑴二号U的大致图象为()

11.设复数z满足|z—3b2,Z在复平面内对应的点为M(©〃)，则M不可能为()

A.(2,G)B.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)

12.已知角。的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sing-130)=

1

A1n不rn&

A.-B.-----C.----I).-----

2222

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量夕=(1/)帆=2,且向量方与行的夹角为弓=.

14.在(6-的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于

11

15.若函数,/*)=2〈~\x<0八，贝匕/(lo&QJ的值为_____.

log3X,A>()3J

16.已知双曲线。：二一二_=1（。＞0,/?＞（））的左，右焦点分双为6，F、,过点6的直线与双曲线的左，右两

a2b2

7

支分别交于4,8两点，若胃，cosZBAF2=-t则双曲线。的离心率为.

8

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400

元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同

的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次

大（如1,2,5）,则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5,3,1）,则获得二等奖，奖金

20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.

（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；

（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.

18.（12分）已知函数/（/"ar?R）

（1）当。=工时，证明/'（X）之0,在［0,+oo）恒成立；

（2）若“X）在x=0处取得极大值，求a的取值范围.

19.（12分）已知函数/（x）=|工一〃21+|x-2a+3|,g（x）=/-3.

（1）当。=1时，解关于无的不等式/（x）K6；

（2）若对任怠可£尺，都存在七£尺，使得不等式八内）＞双王）成立，求实数”的取值范围.

20.（12分）如图，在四棱锥〃13CD中，E4_L平面NA3C=NB4O=9。。，AD=AP=4tA3=〃C=2,M为

PC的中点.

（1）求异面直线AP,5M所成角的余弦值；

4

（2）点N在线段AO上，且AN=2,若直线MN与平面P8C所成角的正弦值为彳，求久的值.

21.（12分）［选修4・5：不等式选讲］

设函数/（幻=1%+1|.

（1）求不等式/（x）＜5-/（x-3）的解集;

(2)已知关于工的不等式2/(x)+|x+。区x+4在上有解，求实数。的取值范围.

22.(10分)在四棱锥夕一A3c。中，底面A8CZ)是平行四边形，底面

ABCD,PD=AD=\,AB=®sinZABD=—.

(1)证明：PAO

(2)求二面角A—尸8—C的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

由等差数列的性质可得“3=5,根据等差数列的前〃项和公式S6=幺爱x6=生爱X6可得结果.

【详解】

•・•等差数列｛4｝中，4+%=1°，，2/=10,即%=5,

.・.S=£L1&X6=“3+"4X6=±HX6=36,

0222

故选C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前〃项和公式的应用，属于基础题.

2.B

【解析】

作出图形，设平面。分别交AR、GA于点E、F,连接。石、DF、EF,取C。的中点G,连接PG、C.G,

连接A&交8a于点N,推导出4P〃GG,由线面平行的性质定理可得出GG/〃）尸，可得出点”为CR的中点,

MD.

同理可得出点E为4。的中点，结合中位线的性质可求得扁的值.

IVlDy

【详解】

如下图所示：

设平面a分别交AA、GR于点£、F,连接OE、DF、EF,取C。的中点G,连接PG、C.G,连接AG交

4A于点N,

•••四边形A8CD为正方形，P、G分别为48、CO的中点，则BP//CG且BP=CG,

••・四边形6CGP为平行四边形，:.PG〃BCRPG=BC,

vB\CJ/BC且B£=BC，,PGIg且PG=B£,则四边形为平行四边形，

B.P//C.G,v用PH平面a,则存在直线au平面a,使得B.PHa,

若GGu平面a,则Gw平面。，又Dw平面则COu平面。，

此时，平面。为平面a>BG，直线A&不可能与平面。平行，

所以,，0<2平面。，「.。0〃。，，弓6〃平面。，

•.•GGu平面C。AG，平面concn平面a=OF,GG,

•；C\FHDG,所以，四边形GG。b为平行四边形，可得4E=DG=；CD=gC\R,

八11MD.1

，厂为CQi的中点，同理可证E为AA的中点，-B{D^EF=Mtz./WD,=-D,7V=-B,D,,因此，篇二§・

故选：B.

【点睛】

本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面。与正方体各棱的交点位置，考

查推理能力与计算能力，属于中等题.

3.C

【解析】

列出循环的每一步，可得出输出的〃的值.

【详解】

40

n=\,输入=40,〃=1+1=2,=1不成立，"7是偶数成立，贝!]〃?=—=20；

2

20

72=2+1=3,〃7=1不成立，"7是偶数成立，则=一=10;

2

〃=3+1=4,加=1不成立，"7是偶数成立，则〃?=W=5；

2

〃=4+1=5,机=1不成立，，〃是偶数不成立，则机=3x5+1=16；

〃=5+1=6,加=1不成立，是偶数成立，则二半二8；

2

Q

〃=6+1=7,根=1不成立，加是偶数成立，则〃?=—=4；

2

4

〃=7+1=8,m=1不成立，是偶数成立，则机=二二2；

2

…2

〃=8+1=9,机=1不成立，机是偶数成立，则"z=二二1；

2

〃=9+1=10,〃?=1成立，跳出循环，输出〃的值为10.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.

4.C

【解析】

由题意得2〃2-1+〃7=0,可求得〃?=；,再根据共枕复数的定义可得选项.

【详解】

由题意得2〃7—1+加=0,解得〃?=!，所以Z=一2+工"所以三二—?—?，■,

33333

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的几何表示和共枕复数的定义，属于基础题.

5.B

【解析】

令/0)=，，则/一2勿+3々=(),由图象分析可知产一2々+3〃=()在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程

根的分布即可解决.

【详解】

令/*)=/,则/一2。/+3〃=0,如图

y=/与y=fM顶多只有3个不同交点，要使关于X的方程—2qf(x)+3〃=0有

六个不诧等的实数根，则产—2W+3Q=0有两个不同的根。山£(2,4],

设g(t)=r-2at+3。由根的分布可知,

«e(2,4)

,解得

g⑵>()

g(4)N0

故选：B.

【点睛】

本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中

档题.

6.A

【解析】

先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.

【详解】

由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1,下底为2,高为2,四棱锥的高

为2,

所以该四棱锥的体积为V=；xgx（l+2）x2x2=2.

故选A

【点睛】

本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.

7.B

【解析】

求得直线PQ的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得P,Q两点坐标的关系，根据网2_L评列方程，化简后

求得离心率.

【详解】

设夕（司,凹）,。（马,%），依题意直线PQ的方程为），=，代入双曲线方程并化简得

->G~b~26，3crb~r,八—ct~b~_—3u~b~、几/■一、,

厂=从一3标')'=3厂=6_3,，故％+々=0,内.”/_3/,芦•“=3%.々=2_3］，设焦点坐标为

F（c,O）,由于以P。为直径的圆经过点故而•①二0,即（不一一。,%）二°，即4中2+。2=0,即

〃4一6//_3/=0,两边除以/得[2]一6/[-3=0,解得=3+26・故

⑺\a）⑺

e=J1+—=5/4+25/3=>/3+1,故选B.

【点睛】

本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.

8.D

【解析】

试题分析：a,加力凡二刁"||4,.'.a-L4，故选D.

考点：点线面的位置关系.

9.C

【解析】

根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.

【详解】

根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：

由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体ABC。-4gGR中截去四棱锥用-A3c。所形成的几何体,

17

该几何体的体积为V=『一]2X1==.

33

故选：C.

【点睛】

本题考杳利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.

10.A

【解析】

利用特殊点的坐标代入，排除掉C,D；再由判断A选项正确.

【详解】

f(-l.l)=~1J^,|L1|<0,排除掉C,D；

1

n—

〃I23=

e2

vInV2<InVe=—,\fe<2»

2

「./（—；）=\fe\nV2<1.

故选：A.

【点睛】

本题考杳了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法,

属于中档题.

11.D

【解析】

依题意，设2=。+切，由|z—3|=2,得（4-3-+。2=4,再一一验证.

【详解】

设z=a+bi,

因为|z-3|=2,

所以（。-3）2+〃=4,

经验证”（4,1）不满足,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.

12.A

【解析】

由题意可得三角函数的定义可知:

cos470sin47’

sina-——；---:----；---=cos47,cosa=———-------；---=sin47,贝!I：

sin247°+cos247°sin247°+cos247°

sin（。-13）=sinacos13-cos。sin13

=cos47'cos13°-sin47sin130

=cos（47+13）=cos60=g.

本题选择A选项.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

根据向量数量积的定义求解即可.

【详解】

3立

解：:向量1=（1，1），B=2,且向量3与B的夹角为丁，

•M«I=V12+12=72；

3咒.

所以：（1*（a+b）=a2+a-b=V224-\/2x2xcos-^-=2-2=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题.

14.1

【解析】

由题意可得〃=8,再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值.

【详解】

(五-2)"的二项展开式的中，只有第S项的二项式系数最大，.

x

n-4r8-4rR-4/*

通项公式为&1=0.x丁=(-2)'G・k，令三一二°，求得厂=2,

可得二项展开式常数项等于4xC；=112,

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

15.--

2

【解析】

根据题意，由函数的解析式求出/(iog」!)的值，进而计算可得答案.

【详解】

根据题意，函数/*)=<2TX0，，

log5x,x>0.

贝U/dog41)=/(-log43)=/(-log2扬=6

milrr11.C1

则/[-/(log4-)1=/(—)=log3—=

故答案为：一~^.

AM

【点睛】

本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

276

10.----

3

【解析】

设忸玛|=引入引=m,由双曲线的定义得出；忸耳|=2〃+九,|八百卜利—2a,由|AB|=|A可得AAB>为等腹三角

形，设4488=乙4&8=0,根据cosNB4K=：,可求出纳治,」一5忸周,?〃,得出〃?=2〃，再结合焦点

814\AF2\m

三角形乙，利用余弦定理：求出。和c,的关系，即可得出离心率.

【详解】

解：设|明|=引伍|=加,

由双曲线的定义得出：

\BF{\-\BF2\=2〃,则忸制=2a+〃，

|明|一|前|=%,则|做|="一2,

由图可知：|阴=忸耳1TA6|=痴+〃一加,

又・・・|9=馆闾，

即4a+〃-m=tn,

则2m=4〃4-n,

二•AA36为等腰三角形，

7

•「cosNBA居=—,

28

设NAB8=/AKB=e,

/.20Z.BAF2=re,则2夕二"一/84死，

/.cos26=cos(yr-ZBAF)=-cosBAF=——，

228

7i

BPCOS26>=2COS26>-1=一一,解得：cos6>=-,

84

,-\BF2\

则cos6------j-

函一4

.2〃_1，解得：〃z=2〃，

4

.•.4〃=4。+〃,即3〃=4。，解得：n=—a

3t

8

3

在中，由余弦定理得:

忸喧+忸町一忻用\_

cosNF[BF=cos0=

22Ml困4

即:(2…『+(心4c豹+(加-4c]

2(2a+n)n4.1044

\72x—ax-a

33

解得：J-：―史，即《=£=也.

a~36a3

故答案为：巫.

3

【点睛】

本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5049

17.(1)分布见解析，期望为T；(2)—.

3216

【解析】

(1)先明确X的可能取值，分别求解其概率，然后写出分布列，利用期望公式可求期望；

(2)获得的奖金恰好为60元，可能是三次二等奖，也可能是一次一等奖，两次三等奖，然后分别求解概率即可.

【详解】

(1)由题意知，随机变量X的可能取值为10,20,40

C31C31

且P(X=40)=T=z，P(X=2())=T=z，

%6A6

所以P(X=10)=1-P(X=40)-P(X=20)=-,

3

即随机变量x的概率分布为

X1()2040

2]_

P

66

所以随机变量X的数学期望E(X)=10x|+20xl+40xl=^.

3663

(2)由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A,

因为60=20x3=40+10+10,

所以P⑷T+c；6十亲

【点睛】

本题主要考查随机变量的分布列及数学期望，明确随机变量的所有取值是求解的第一步，再求解对应的概率，侧重考

查数学建模的核心素养.

(1■

18.(1)证明见解析(2)-oo,--

【解析】

(1)根据“xbgf+cosx,求导尸(x)=X-silVCt令力(x)=x-s加X,用导数法求其最小值.

⑵设g(x)=/'(x)=2at-s沁,研究在x=0处左正右负，求导g(X)=2TLCOSX.,分。0一；，

三种情况讨论求解.

22

【详解】

(1)因为+cosX，

所以/'（X）=x-sbvcf

令a(x)=x-s〃tr,则〃‘(x)=1-(?0立之()，

所以MH是0+8)的增函数，

故〃(x"〃(O)=O,

即尸(耳20・

(2)因为g(x)=/'(力=2冰一s沁,

所以g'(x)=2a-cosx.t

①当时，^'(X)>1-C(75X>O,

所以函数尸(x)在R上单调递增.

若x>0,则/'(X)>/'(())=()；

若x<0,则尸(%)〈尸(0)=0,

所以函数/(X)的单调递增区间是(0,48),单调递减区间是(-8,0),

所以/(D在x=0处取得极小值，不符合题意，

②当〃工-工时，'(X)<-1-cosx<0,

所以函数/(“在R上单调递减.

若x>(),则尸⑺〈/(0)=0,

若x<0,则尸(刈>/(0)=0；

所以/(力的单调递减区间是(0,+00),单调递增区间是(-8,0),

所以“力在x=0处取得极大值，符合题意.

③当一g<o<g时，甚£(0,")，使得cosx()=2a,

即g'(Xo)=O,但当xw(O,Xo)时，8sx>2。即g'(x)<0,

所以函数尸(X)在(0,%)上单调递减，

所以r(x)v/'(0)=。，即函数/(M)在(0,%)上单调递减，不符合题意

综上所述，4的取值范围是1-8,-；

【点睛】

本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.

(8、

19.(1){x|-3<x<3};(2)(-oo,0)u-,+00.

I3/

【解析】

(1)分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可.

(2)因为对任意西£氏，都存在当WR,使得不等式/(%)>冢七)成立，等价于/(九)min>g*)min，外外…根据绝

对值不等式易求，g(X)min根据二次函数易求，

然后解不等式即可.

【详解】

-2x,x<-1,

解：(1)当4=1时，/U)=|^-l|+|x+i|,则/(x)=,X<1,

2x,x.A.

当柒V—1时，由/(X),,6得，一2不，6,解得

当一时，/(%),,6恒成立;

当工.1时,由/(x),,6得，2A;,6,解得啜W3.

所以/(旦,6的解集为“|-34xW3}

(2)对任意都存在天£H，得/(X)>g02)成立，等价于F(X)min>g(X)min-

因为er—la+3=(tz—I)2+2>0,所以ci1>2ci—3，

日Jx—ct~+1工-+31..|(x-6f~)—(x-2,ci+3)|=卜~—2a+3

=a2-2a+3f①

当2。一潴k/时，①式等号成立，即/⑴而L/一24?.

22

又因为f+ar+3=(x+@)2+3-±..3-土，②

244

2

当工二一'时，②式等号成立，即武为讪二？—今.

2

所以/一2。+3>3-幺，即5/_8〃>()

4

8

即。的取值范围为：(-8,0)。5-

【点睛】

知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题；能力：分析问题和解决

问题的能力以及运算求解能力；中档题.

20.(1)—.(2)1

3

【解析】

(1)先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量两和向量衣的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

(2,由AN=2,设N(0,x,0)(0^z<4),则丽=(-1,2—1,一2),再求得平面P3C的一个法向量，利用直线A/N

4_____1-2-21

与平面。所成角的正弦值为不，由|cos〈砺，,n

尸丽而=屈1’,逐=《求解.

【详解】

(1)因为E4JL平面ARC。，且A3,AOu平面ARCO,所以PALAD.

又因为N"4O=90。，所以AR,4。两两互相垂直.

分别以A&ADfAP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则由A&=2A3=2BC=4,m=4可得

4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),P(0,0,4).

又因为M为尸C的中点，所以ML1,2).

所以加=(一1，1，2),/=(0,0,4),

A户

所以cos〈A7,

\AP\\BM\

0x(-l)+0xl+4x2娓

4xx/63

所以异面直线AP,所成角的余弦值为好.

3

(2)因为AN=2,所以MO,L0)(国"),

则必方=(一1，2一1，-2),0=(0,2,0),而=(2，0,-4).

设平面PBC的法向量为〃;=(x,y,z),

.mBC=()[2y=0

则彳一即《•

mPB=O2x-4z=0

令x=2,解得y=0,z=l,

所以m=(2,0,1)是平面PBC的一个法向量.

4

因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为

5/—.\MN-m\I-2-2I4

所以3〈MN