2024年中考数学考点专项突破卷15矩形菱形和正方形含解析

15.1矩形菱形和正方形精选考点专项突破卷（一）

考试范围：矩形菱形和正方形：考试时间：90分钟；总分：120分

一、单选题（每小题3分，共30分）

1.（2024•上海中考真题）已知平行四边形ABCD,下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）

A.ZA=ZBB.ZA=ZCC.AC=Bl)I).AB1BC

2.（2024•上海中考真题）下列命题中，假命题是（）

A.矩形的对角线相等B.矩形对角线交点到四个顶点的距离相等

C.矩形的对角线相互平分D.矩形对角线交点到四条边的距离相等

3.（2011•湖南中考真题）菱形具有而矩形不肯定具有的性质是（）

A.对角线相互垂直B,对角线相等C.对角线相互平分D.对角互补

4.（2024•山东中考真题）如图，点E是正方形ABCO的边。。上一点，把A4OE绕点A顺时针旋转90。

到AA与厂的位置.若四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长为（）

A.4B.245C.6D.2显

5.（2012・天津中考真题）如图,在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点,延长MD至点E,使ME=MC,

以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上，则DG的长为（)

A.6-1B.3->/5C.75+1D.75-1

6.（2015•湖北中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=8,将纸片沿EF折叠，使点C与点A重

合，则下列结论错误的是（）

G

A.AF=AEB.AABE^AAGFC.EF=2&D.AF=EF

7.（2012•浙江中考真题）如图，菱形ABCD中,AB=2,NA=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD±

的随意一点,则PK+QK的最小值为（）

A.1B.y/3C.2I).73+1

8.（2015•浙江中考真题）如图，已知某广场菱形花坛的周长是24米，止60°,则花坛对角线

A.67^:B.6米C.D.3米

9.（2024•甘肃中考真题）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把AADE绕点A顺时针旋转90°到

△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为（）

A.5B.>/23C.7D.V29

10.（2024•山东中考真题）矩形ABCD与CEFG,如图放置，点B,C,E共线，点C,D,G共线，连接AF,

取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=（）

G

c72D.4

2

二、填空题（每小题4分，共28分）

11.（2014•广西中考真题）直角三角形的两条直角边长为6,8,那么斜边上的中线长是—.

12.（2024•青海中考真题）如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,若EF=2,则菱形ABCD的

周长是

13.（2015•广西中考真题）如图，在正方形ABCD外侧作等边AADE,则NBED的度数为_____二

14.（2013•北京中考真题）如图，0是矩形ABCD的对角线AC的中点，U是AD的中点，若AB=5,AD=12,

则四边形ABOM的周长为.

15.（2015・山东中考真题）如图,在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折直（点E在边DC上）,

折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为（10,8）,则点E的坐标为.

16.（2024•广东中考真题）如图，若菱形川加9的顶点44的地标分别为（3,0）,（-2,0）,点〃在y

轴上,则点，的坐标是

17.（2005•江苏中考真题）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCI）,将一块足够大的直角三角板的

直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F,与CB延长线交于点E.则四边形AECF的面积

二、解答题一（每小题6分，共18分）

18.（2013•山东中考真题）如图，四边形ABCD中,ZA=ZBCD=90°,BC=CD,CEXAD,垂足为E,求证:

AE=CE.

在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点0.过点C作BD的平行线，过

点D作AC的平行线，两直线相交于点E.

（1）求证：四边形OCE1）是矩形;

(2)若CE=1,DE=2,ABCD的面积是

20.（2013•江苏中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AD>AB.

D

B

（1）作出NABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若（1）中所作的角平分线交A1）于点E,AFJJ览，垂足为点0,交BC于点F,连接EF.求证：四边形

ABFE为菱形.

四、解答题二（每小题8分，共24分）

21.（2015•湖北中考真题）如图，AABC中，AB=AC=1,NBAC=45°,Z\AEF是由AABC绕点A按顺时针

方问旋转得到的，连接BE,CF相交于点D.

（1）求证：BE=CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.

22.（2015•甘肃中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,ZB=60°,G是CD的中点，E

是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）①当AI'=cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE=cm时;四边形CEDF是菱形；（干脆写出答案，不须要说明理由）

23.（2015•湖南中考真题）已知在RtZXABC中，ZACB=90°,现按如下步骤作图:

①分别以A,C为圆心，a为半径（a>,AC）作弧，两弧分别交于M,N两点；

②过M,N两点作直线MN交AB于点D,交AC于点E；

③将4ADE绕点E顺时针旋转180。，设点D的像为点F.

（1）请在图中直线标出点F并连接CF；

（2）求证：四边形BCFD是平行四边形；

（3）当NB为多少度时，四边形BCFD是菱形.

五、解答题三（每小题10分，共20分）

24.（2013•湖南中考真题）如图，△ABC中，点。是边AC上一个动点，过0作直线MN〃BC.设MN交NACB

的平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F.

（1）求证：0E=0F；

（2）若CE=12,CF=5,求OC的长；

（3）当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

25.（2024•吉林中考真题）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE.

图①图②图③

（感知）如图①，过点A作AF_LBE交BC于点F.易证AABFgZ\BCE.（不须要证明）

（探究）如图②，取BE的中点M,过点M作FG_LBE交BC于点F,交AD于点G.

(1)求证：BE=FG.

（2）连结CM,若CM=1,则FG的长为

（应用）如图③，取BE的中点连结CM.过点C作CGJ_BE交AD于点G,连结EG、MG.若CM=3,则四边

形GMCE的面积为-

15.1矩形菱形和正方形精选考点专项突破卷（一）参考答案

1.B

【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.

【详解】A、ZA=ZB,ZA+ZB=180°,所以NA=NB=90°,可以判定这个平行四边形为矩形，正

确；

B、/A=NC不能判定这个平行四边形为矩形，错误；

C、AC=BD,对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确：

D、AB_LBC,所以NB=90°,可以判定这个平行四边形为矩形，正确，

故选B.

【点睛】本题考查J'矩形的判定，娴熟驾驭“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等

的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键.

2.D

【解析】利用矩形的性质分别推断后即可确定正确的选项.

【详解】A、矩形的对角线相等，正确，是真命题；

8、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；

C、矩形的对角线相互平分，正确，是真命题：

。、矩形的对角线的交点到•组对边的距离相等，故错误，是假命题.

故选。.

【点睛】本题考查/命题与定理的学问.解题的关键是了解矩形的性质，难度不大.

3.A

【详解】菱形的对角线相互垂直平分，矩形的对角线相等相互平分.

则菱形具有而矩形不肯定具有的性质是：对角线相互垂直

故选A

4.D

【解析】利用旋转的性质得出四边形力的面积等于正方形月版的面积，进而可求

出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案.

【详解】・.・AADE绕点、A顺时针旋转90。到AA59的位置.

•••四边形AECr的面积等于正方形A3CO的面积等于20,

/.AD=DC=25

•：DE=2,

.•.RfAAQE中，AE=y）AD2+DE2=276

故选：D.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应

边关系是解题关键.

5.D

【详解】•・•四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，・・.DM=LDC=1。

2

•••CM=VDC2+DM2=V22+l2=75ME=MC=a

AED=EM-DM=V5-1°

•••四边形EDGF是正方形，・・・DG=DE=J^—1。

故选D.

6.D

试题分析：•••AD〃BC,・・・/AFE=NFEC,VZAEF=ZFEC,AZAFE=ZAEF,AAF=AE,・••选项A正确；

•••ABCD是矩形，・・・AB=CD,ZB=ZC=90°,VAG=DC,ZG=ZC,AZB=ZG=90°,AB=AG,VAE=AF,

AAABE^AAGF,，选项B正确：

设BE=x,则CE=BC・BE=8・x,'・•沿EF翻折后点C与点A重合，.'.AE=CE=8・x,在RtZXABE中，

AB2+BE2=AE2»即42+/=（8-幻2,解得x=3,.・.AE=8-3=5,由翻折的性质得，ZAEF=ZCEF,V

矩形ABC1）的对边AD〃BC,AZAFE=ZCEF,工NAEF=NAFE,.,.AE=AF=5,过点E作EH_LA【）于H,则四边形

ABEH是矩形，/.EH=AB=4,AH=BE=3,/.FH=AF-AH=5-3=2,在Rt^EFH中，EF=2x/J，，选项C正确：

由已知条件无法确定AF和EF的关系，故选D.

D1

A-•多------\D

BEC

考点：翻折变换（折叠问题）.

7.B

【解析】先依据四边形ABCD是菱形可知，AD〃BC,由NA=120°可知NB=60°,作点P关于直线BD的对称

点P',连接P'Q,PC,贝UP'Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP'_LAB时

PK+QK的值最小，再在RtZXBCP'中利用锐角三角函数的定义求出P'C的长即可.

【详解】解：•・•四边形ABCD是菱形，

AAD//BC,

VZA=120°,

・・・NB=180°-ZA=180°-120°=63°,

作点P关于直线B1）的对称点P'，连接P'Q，P'C,则P'Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q

与点C重合，CP'J_AB时PK+QK的值最小，

在Rtz^BCP'中，

VBC=AB=2,NB=60°,

,PQ=CP=8Csin3=2x弓=6故选B.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路途问题及菱形的性质，依据题意作出协助线，构造出直角三角形是解

答此题的关键.

8.A

分析：本题考查的是菱形的性质，直角三角形的性质解决即可.

解析：因为菱形周长为24米，所以边长为6米，因为/=60。，所以NBA0=30°,・・・0人=姬米，・・・AC=

6^.

B

故选A.

9.D

【解析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出

正方形的边长，再利用勾股定理得出答案.

【详解】•・•把AADE顺时针旋转AABF的位置，

・•・西边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25,

AAD=DC=5,

VDE=2,

・••Rt△ADE中，AE=yjAD2^DE2=回，

放选D.

【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关

诞.

10.C

分析：延长GH交AD于点P,先证△APHgZkFGH得AP=GF=1,GH-PH--PG,再利用勾股定理求得PG二应，

从而得出答案.

•・•四边形ABCI）和四边形CEFG都是矩形，

AZADC=ZADG=ZCGF=90°,AD=BC=2、GF=CE=1,

・・,AD〃GF,

AZGFH=ZPAH,

又1・H是AF的中点,

••・AH=FH,

在aAPH和aFGH中,

'乙PAH=ZGFH

,:<AH=FH,

NAHP=NFHG

/.△APH^AFGH(ASA),

1

AAP=GF=1,GH=PH=-PG,

2

.\FD=AD-AP=1,

•・・CG=2、CD=1,

ADG=1,

则GH二;PG二;X」PD?+DG?二孝.

故选：C.

点睹：本题主要考杳矩形的性质，解题的关键是驾驭全等二角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等

学问点.

11.5.

【详解】试题分析：•・•直角三角形的两条直角边长为6,8,・••由勾股定理得，斜边=10.

，斜边上的中线长=,X10=5.

2

考点：1.勾股定理；2.直角三角形斜边上的中线性质.

12.16

试题分析•：先利用三角形中位线性质得到AB=4,然后依据菱形的性质计算菱形ABCD的周长.

VE,F分别是AD,BD的中点，，EF为aABD的中位线，.*.AB=2EFM,

:四边形ABCI)为菱形，I.AB=BC=CD=DA=4,，菱形ABCI)的周长=4X4=16.

考点：(1)菱形的性质；(2)三角形中位线定理.

13.45°

试题分析：依据正方形及等边三角形的性质可得NBAD=90°,ZDAE=ZADE=60°,AB=AE,即可求得NBEA

的度数，从而求得结果.

•••正方形A3CD,等边△AOE

/.ZBAD=90°,ZDAE=ZADE=60°,AB=AE

/.ZBAE=150°

/.ZBEA=15°

・•・/DEB=45.

考点：正方形的性质，等边三角形的性质

点评：本题属于基础应用题，只需学生娴熟驾驭正方形及等边三角形的性质，即可完成.

14.20o

【详解】•・・AB=5,AD=12,

•••依据矩形的性质和勾股定理，得AC=13.

VBO为RtAABC斜边上的中线

AB0=6.5

VC是AC的中点，M是AD的中点，

ACM是AACD的中位线

..•CM=2.5

・•・四边形ABOM的周长为：6.5I2,5I6I5=20

故答案为：20

15.(10,3)

【解析】依据折叠的性质得到AF=A【)，所以在直角△A()F中，利用勾股定理求得()F=6,然后设EC=x，则

EF=DE=8-x,CF=10-6=4,依据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标.

【详解】•・•四边形、皈为矩形，。的坐标为(10,8),

，触BgQ,游册8,

•・•矩形沿//折叠，使〃落在阳上的点尸处，

；・加D5EF,

在右△/8中，。六八严-AO?=6,

・••心10与=4,

设EC=x,则DE=EF=^-x,

在近△呼中，EP=EC”C,

即(8w):ZM?,

解得年3,即用的长为3.

・・・点£的坐标为(10,3).

16.(-5,4).

【解析】首先由A、B两点坐标，求出AB的长，依据菱形的性质可得AD=CD=AB,从而可得到点C的横坐标;

接下来在aAOD中，利用勾股定理求出DO的长，结合上面的结戾，即可确定出C点的坐标.

【详解】由题知A(3,0),B(-2,0),D在y轴上，

/.AB=3-(-2)=5,0A=3,BO=2,

由菱形邻边相等可得AD=AB=5,

在RlZ\A()D中，由勾股定理得：

0D-VAD2-OA2=正与一%

由菱形对边相等且平行得CD=BA=5,

所以C(-5,4).

故答案为(-5,4).

【点睛】本题考查了菱形的性质及坐标与图形的性质，运用勾股定理求出0D的长是解答本题的关键.

17.16

【详解】・・•四边形ABCD为正方形,

/.ZD=ZABC=90°,AD二AB,

.,.ZABE=ZD=90°,

VZEAF=90°,

AZDAF+ZBAF=90°,ZBAE+ZBAF=90°,

:.ZDAF=ZBAE,

/.△AEB^AAFD,

••SA^B=S△AID*

・•・它们都加上四边形ABCF的面积，

可得到四边形AECF的面积;正方形的面积=16.

18.证明见解析.

【解析】过点B作BFJ_CE于F,依据同角的余角相等求出NBCF=ND,再利用“角角边”证明ABCF和4CDE

全等，依据全等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩形，依据矩形的对边相等可得AE=BF,

从而得证.

c

证明：如图，过点、B作BFLCE于F,

•:CELAD,

・•・/沙■/加层90°,

V4BC290。,

・•・/&★/宛自90°

:ZBg/D,

在△灰尸和△口城中，

NBCF=ND

«NCED=NBFC=90。

BC=CD

:.区BCP^ACDElAAG,

：,BF=CEy

又•••/启90°,CEA,AD,BFICE,

・•・四边形/!叫乃是矩形，

:,A扭BF,

:.A舁CE.

19.（1）证明见解析;（2）4.

【分析】（1）欲证明四边形0CEI）是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为9（）度即可;

（2）由菱形的对角线相互垂直平分和菱形的面积公式解答.

【详解】（1）,・,四边形ABCD是菱形,

AACXBD,

AZC0D=90°.

VCEZ/OD,DE/70C,

・・・四边形OCED是平行四边形，

又/C0D=90°,

・•・平行四边形OCED是矩形：

(2)由(1)知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1,DE=OC=2.

•・,四边形ABCD是菱形，

/.AC=2OC=4,BD=2OD=2,

J菱形ABCD的面积为：-AC*BD=-X4X2=4,

22

故答案为4.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，娴熟驾驭矩形的判定及性质、菱形的性质

是解题的关键.

20.解：(1)如图所示：

(2)首先依据角平分线的性质以及平行线的性质得出NABE=NAEB,进而得出△ABOgAFBO,进而利用

AFJ.BE,BO=EO,AO=FO,得出即可。

分析：(1)依据角平分线的作法径出NABC的平分线即可。

(2)首先依据角平分线的性质以及平行线的性质得出NABE=NAEB,进而得出△ABOgAFBO,进而利用

AF_LBE,BO=EO,AO=FO,得出即可。

解.：(1)如图所示：

VZEBF=ZAEB,AZABE=ZAEBoAAB=AEo

VAOXBE,ABO=EOo

•・•在ZkABO和△FBO中，ZAB0=ZFB0,BO=EO,ZA0B=ZF0B,

/.△ABO^AFBO(ASA)oAA0=F0o

VAF±BE,BO=EO,AO=FO<>・••四边形ABFE为菱形。

21.（1）证明见解析（2）V2-1

【解析】（1）先由旋转的性质得AE二AB,AF=AC,NEAF=NBAC,则NEAF+NBAF=NBAC+NBAF,即NEAB=/FAC,

利用AB=AC可得AE=AF,得出△ACF/Z\ABE,从而得出BEXF；

（2）由菱形的性质得到DE二AE二AC=AB=1,AC〃DE,依据等腰三角形的性质得NAEB二NABE,依据平行线得性

质得NABE二/BAC=45°,所以NAEB-NABE=45°,于是可推断aABE为等腰直角三角形，所以BE=0AC=J^,

于是利用BD=BE-DE求解.

【详解】（1）•••△AEF是由AABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，

・・・AE=AB,AF=AC,ZEAF=ZBAC,

:.ZEAF+ZBAF=ZBAC+ZBAF,

即NEAB=NFAC,

AC=AB

在4ACF和AABE中，，NCAF=NBAE

AF=AE

/.AACF^AABE

/.BE=CF.

（2）,・,四边形ACDE为菱形，AB=AC=L

ADE=AE=AC=AB=1,AC/7DE,

/.ZAEB=ZABE,ZABE=ZBAC=45°,

/.ZAEB=ZABE=45°,

•••△ABE为等腰直角三角形，

r.EE=V2AC=V2，

.\ED=BE-DE=V2-1.

考点：1.旋转的性质；2.勾股定理；3.菱形的性质.

22.（1）证明见解析；

（2）①当AE=3.5cm时，四边形CEDF是矩形.

②当AE=2cm时，四边形CEDF是菱形.

【详解】（1）四边形ABCD是平行四边形，JCF〃ED,NFCG=NEDG,丁G是CD的中点，，CG

/FCG=/EDG

=DG,在△FCG和AEDG中，｛CG=DG,AAFCG^AEDG(ASA),AFG=EG,VCG=DG,:.四

Z.CGF=/DGE

边形CEDF是平行四边形；

(2)①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形,

理由是:过A作AM_LBC于M,

VZB=60°,AB=3,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

/.ZCDA=ZB=60°,DC=AB=3,BC=AD=5,

VAE=3.5,

/.DE=1.5=BM,

在△MBA和aEDC中，

BM=DE

<ZB=NCDA

AB=CD

/.△MBA^AEDC(SAS),

AZCED=ZAMB=90°,

•・•四边形CEDF是平行四边形，

.••四边形CEDF是矩形，

故答案为3.5；

②当AE=2时,四边形CEDF是菱形,

ADE=3,

VCD=3,ZCDE=60°,

•••△CDE是等边三角形,

・・・CE;DE,

•・•四边形CEDF是平行四边形,

・•・四边形CEDF是菱形，

故答案为2.

考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.矩形的判定；4.菱形的判定.

23.见解析；见解析；60。

试题分析：(1)依据题意作出图形即可；

(2)首先依据作图得到MN是AC的垂直平分线，然后得到DE等于BC的一半，从而得到DE=EF,即DF=BC,

然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；

(3)得到BD=CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可

试题解析：(1)如图所示:

(2)•・・依据作图可知：MN垂直平分线段AC,.・・D、E为线段AB和AC的中点,

ADE是z^ABC的中位线,.-.DE-

:将绕点E顺时针旋转180°,点D的像为点F,AEF=ED,ADF=BC,

VDE/7BC,J四边形BCFD是平行四边形；

(3)当NB=60。时，四边形BCFD是菱形；VZB=60°,ABC^AB,

・・・DB二今B,ADB=CB,:四边形BCFD是平行四边形，/.四边形BCFD是菱形.

考点：菱形的判定；平行四边形的判定；作图-旋转变换

24.解：(1)证明：如图，・・・MN交NACB的平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F,

BD

AZ2=Z5,4=Z6.

VMN/7BC,AZ1=Z5,3=Z6.

.-.Z1=Z2,Z3=Z4.AEO-CO,FO=C