余弦定理课件2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

《余弦定理》

人教版普通高中数学B版必修第四册第九章正弦定理：（R为△ABC外接圆半径）如何证明正弦定理？在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，等于外接

圆的直径。回顾旧知利用任意三角形的面积正弦定理可以解决三角形中的哪两类问题：(1)已知两角和任意一边，求其它的边角(2)已知两边和其中一边的对角，求其它边角回顾旧知已知三角形中的哪些元素可以利用正弦定理解三角形？①AAS②ASA

③SSA

④SAS发现问题，提出问题

解三角形：已知两边及其夹角（SAS）.

正弦定理这类解三角形问题能否运用正弦定理求解？不能.因为无论运用哪一个等式，方程都至少有两个未知数.发现问题，提出问题如图所示，设无法到达的两个山峰的顶点分别为A，B.其中利用现代化的测量工具可以测得地面上可到达的一点和其它任意一点的距离，也可以测得地面上可到达的一点和其它任意两点连线的夹角.那么我们如何获得A，B两点间的距离呢？数学抽象：在△ABC中，已知a,b

和C，求c.

2c

发现问题，提出问题过点A作AD垂直于BC，D

探究：如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？发现问题，提出问题过点A作AD垂直于BC，D

bca余弦定理

探究：如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？bca发现问题，提出问题D过点A作AD垂直于BC，

探究：如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？bca发现问题，提出问题

思考?：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系。你能说说这两个定理之间的关系吗？勾股定理令C＝900由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。探索新知向量法图9.1.2-1

探索新知

ABCabc结构特征：

（1）每一个等式都有四个量：三条边和一个角；（2）等式左侧：其中一边的平方；

等式右侧：另外两边的平方

和减去这两边与它们夹角余

弦的积的2倍.探索新知

ABCabc文字语言：三角形任何一边的平方，等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍.探索新知余弦定理的公式变形a2=b2+c2－2bccosAb2=a2+c2－2accosBc2=a2+b2－2abcosC（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角(SAS)；（2）已知三边，求三个角(SSS)。探索新知

例1：已知△ABC

中，a

=3，b

=6，C=60°，求c.BAC探索新知

又因为0°＜C＜180°，所以C=120°.探索新知

探索新知

探索新知例3变式.在△ABC中，若a2>b2+c2,试判断△ABC的形状.解：

<0，A是钝角所以,△ABC是钝角三角形探索新知探索新知如何判断三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？(1)锐角三角形

探索新知如何判断三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？(1)锐角三角形

(2)直角三角形

(3)钝角三角形

BDAC

探索新知探索新知

探索新知

ABCabc

证毕探索新知

ABCabc

证毕数学文化“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的(如图所示),其实质是