正弦定理课件2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

《

正弦定理》

人教版普通高中数学B版必修第四册第九章

不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。——罗巴切夫斯基

Независимооттого,насколькоабстрактнатаилиинаяветвьматематики,всегдаестьдень,которыйбудетпримененвэтомреальноммире.

——Лобачевский

发现问题，提出问题在实际生活中，土地的测量是重要的生产实践活动，包括距离、面积的测量与计算．因此，图形也成为数学的研究对象。在现代生活中，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成．请思考，在这些工具出现以前，人们是怎样间接获得两点间距离的呢？问题1发现问题，提出问题若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？实际问题发现问题，提出问题

数学问题发现问题，提出问题1.解三角形我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素．已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．分析问题，构建模型回顾旧知

ABCahbc(1)A+B+

C=180°；(2)a+b>c,a-b＜c；(3)A>B

的充要条件是a>b．

回顾旧知

CABbca一般化解三角形

探索新知

探索新知

探索新知猜想：任意三角形的面积这个猜想对于所有的三角形都适用吗？探索新知

探索新知1.三角形的面积公式从结构上看，已知两边及夹角，即可求出任意三角形的面积。思考：由这个连等式，你还能得到三角形的什么边角关系呢？探索新知

探索新知2.正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等.问题：你还有其他的方法证明这个结论吗？探索新知ABCbacABCbacABCbac方法二：几何法D

⇓

D

探索新知思考：正弦定理的比值是定值吗？有什么几何意义吗？=？探索新知证明：作ΔABC外接圆O,过B作直径BC'，连AC',OC′cbaCBAABCbacc

=2R(R为外接圆半径）探索新知探索新知思考：正弦定理有怎样的结构特点，它可以解决哪些问题？①结构特征：边角相对，体现数学的对称美；②方程观点：一对边角与外接圆半径，知二求一，任意两对边角，知三求一；③定理实质：刻画了边角的对应关系，已知任意两角及一边或两边及一边对角即可解出其他的量．探索新知探索新知

三边及其三边对角

两边及其两边对角方程：知三求一两角及一角对边两边及一边对角

解：∵∴==探索新知

探索新知

发现问题，提出问题

数学问题已知两角一边，三角形的解唯一三角形全等的判定定理AAS（或ASA）探索新知解：由正弦定理得

探索新知

探索新知

探索新知

又因为sinC≤1，所以这是不可能的，因此不存在这样的三角形.探索新知问题：对比例2，例3，例4，为什么解的个数不确定呢？两解一解无解探索新知已知两边及一边对角，此时三角形的形状不确定，所以解的个数不确定．SSA不能作为三角形全等的判定定理探索新知解：由正弦定理得

探索新知

探索新知

1

代数角度条件解的个数0，即无解1.

.

几何角度角的类型条件图形解的个数无解一解两解一解角的类型条件图形解的个数一解无解续表本节课你有哪些收获？你还想进一步了解哪些知识？课堂小结数学实例数学模型定理证明外延应用数学建模数学抽象特殊一般解决问题转化化归实