2024届贵州省高三适应性调研考试数学试题含解析

2024届贵州省遵义航天中学高三适应性调研考试数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=--j是正实数，则实数〃的值为（）

A.0D.±1

2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A.24+乃B.24—乃

C.24—2万D.24—3乃

3.已知函数/a）=（2a+2）lnx+2ad+5.设av-1,若对任意不相等的正数占，%,恒有/⑸一㈤洛

3r

则实数。的取值范围是（）

A.（-3,-1）B.(-2,-1)

C.（9,-3]D.(F-2]

4.已知，为等比数列｛”“｝的前〃项和,05=16,。3。4=-32,则§8=()

A.-21B.-24C.85D.-85

5.在一个数列中，如果XMwN”，都有〃“%+陷”+2=女（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的

公积.已知数列｛〃“｝是等积数列,且4=1,4=2,公积为8,则q+4+…+生so

A.4711B.4712C.4713D.4715

6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都

可以表示为两个素数的和，例如：4=2+2,6=3+3,8=3+5,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的

数，其和等于16的概率为（）

12-12

A.——C.—D.—

21211515

XCOSX7T7T

7.函数7在一彳，彳上的图象大致为（）

2+2二22

8.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）

A.8B.32C.64D.128

9.已知集合4=k|)，=也一£1B={x|^1<0),则Ap|8=()

A.[-1,2]B.[-1,721C.(-1,72]D.[-应,应]

10.设i为数单位，彳为Z的共枕复数,若7=「，则Z•彳=

3+i

I.

—I

10

11.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60。，则双曲线C的方程不可能为（）

12.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生

物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）

A.72种B.144种C.288种D.360种

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知集合A={/|工=2攵-1,&eZ},B={x\x=2k,k&Z]t则A0B=.

14.某几何体的三视图如图所示（单位：E），则该几何体的体积是___卅;最长棱的长度是cm.

俯视图

15.已知复数z=a+次（&OtR）,且满足iz=9+i（其中i为虚数单位），则a+b=

16.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.

/输出s/

"i

（结束）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱锥P—A8C0P—ABCD中，是等边三角形，BC上AB，BC=CD=l6

AB=AD=2.

Q）若PB=3BE,求证：AE力平面PO）；

（2）若PC=4,求二面角A-PC-8的正弦值.

（=0+ocos0

18.（12分）在平面直角坐标系中，曲线C：Y—）3=2,曲线G的参数方程为’一.."

y=2sin，

（。为参数）.以坐标原点。为极点，4轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线G、C2的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，射线。=［与曲线G，G分别交于A、B两点（异于极点。），定点”（3,0）,求AM48的面

••a

积

2

19.（12分）如图，已知抛物线E：），2=41与圆加：（工—3）2+y2=r（r>0）相交于4,B,C,。四个

点，

（1）求厂的取值范围；

（2）设四边形A8co的面积为S,当S最大时，求直线A。与直线BC的交点”的坐标.

20.（12分）如图，三棱锥尸—A8C中，PA=PB=PC=6,CA=CB=6,ACLBC

（1）证明：面抬3_1_面八8。；

（2）求二面角。一八4一8的余弦值.

21.（12分）在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个

分数，满分100分，按照大于或等于80分的为优秀，小于80分的为合格，为了解学生的在该维度的测评结果，在毕

业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生，得到如下的列联表：

优秀合格总计

男生6

女生18

合计60

己知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为

（1）完成上面的列联表;

(2)能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？

(3)现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况，采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析，请

你选择一个合适的抽样方法，并解释理由.

」(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2>k）0.250.100.025

k1.3232.7065.024

x=acoa(p

22.(10分)在平面直角坐标系，中，曲线G的参数方程为《，.'(。＞人＞0,。为参数)，在以。为极点,

y=bs\n(p

X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线G上的点MI,对应的

7T71

参数夕,射线，=：与曲线G交于点。h-

4JI3

(1)求曲线G，G的直角坐标方程;

(2)若点A,3为曲线C1上的两个点且OA_LO4,求不二+6占的值♦

I||Ob|

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.

【详解】

因为z=一2。一i=-2a+(/-l)i为正实数，

所以一2a＞0且〃一1=0,解得。=一1.

故选：c

【点睛】

本题考查复数的基本定义，属基础题.

2、B

【解析】

由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体为边长为2正方体ABCD-A,B,CD,挖去一个以8为球心以2为半径球体的|,

O

如图，故其表面积为24-3%+"x4x乃x2?=24-不，

故选：B.

【点睛】

(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元

素间的位置关系及数量关系.

⑵多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.

⑶圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的

面积之和.

3、I)

【解析】

求解了(M的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数.多，构造新函数，讨论其单调性即可求解.

【详解】

/（X）的定义域为（0,+8）,/（x）=生心+4av=2（2401）,

XX

当av-1时,/（x）<0,故/（可在（0,+力）单调递减；

不妨设不（公，而…L知/（X）在（0,田）单调递减，

从而对任意为、Ww（（）,+«））,恒有./（/）]/（/）>8,

人火,

即|/&）-/（占）|之8四一引,

/（N）一/（吃）N8（通一石）,/（N）+之〃*2）+8/，

令g（x）=/（x）+8x,则/（司=吆二+4依+8,原不等式等价于g（x）在（0,+e）单调递减，即

X）

—+2ar+4<0,

x

U而-4x-l（2x—1）mji（2A-1）"

从而a<—；——=--；——-2»因为^—；——一22-2，

2X2+12X2+12A*-+1

所以实数。的取值范围是（-8,-2]

故选：D.

【点睛】

此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.

4、D

【解析】

由等比数列的性质求得力/=16,a/g5=-32,通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前〃项

和公式解答即可.

【详解】

设等比数列｛斯｝的公比为q,

V«5=16,。3。4=-32,

16»0\~（^--32,

:.q=-2,则4=1,

区1一（一2力

则Ss

1+2

故选：D.

【点睛】

本题主要考查等比数列的前〃项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.

5、B

【解析】

计算出由的值，推导出q+3=q(，"叱)，再由2020=3x673+1,结合数列的周期性可求得数列｛4｝的前2020项

和.

【详解】

84

由题意可知%。”+同〃+2=8,则对任意的〃wN*,《产。，则4生％=8,---=4,

由44+0+2=8,得勺・。+2q+3=8，，%。“+q+2=%+4+2%3，,%.3=凡，

•.•2020=3x673+1,因此，4+%+…+/2。=673(。1+&+q)+4=673x7+1=4712.

故选：B.

【点睛】

本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等

题.

6、B

【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事

件的概率公式可求.

【详解】

解：不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共7个，从中随机选取两个不同的数共有C；=21,

其和等于16的结果(3,13),(5,11)共2种等可能的结果，

故概率

21

故选：B.

【点睛】

古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础

题.

7、C

【解析】

根据函数的奇偶性及函数在Ovrv1时的符号，即可求解.

【详解】

XCOSX

由/（T）=-=-fM可知函数/（戈）为奇函数.

2、+2-

所以函数图象关于原点对称，排除选项A,B;

当0<x<：时，cosx>0,

：./(x)=——^>0,排除选项O,

2+2T

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.

8、C

【解析】

根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.

【详解】

由题意，执行上述程序框图,可得

第I次循环，满足判断条件,S=\,k=\；

第2次循环,满足判断条件,S=Zk=2；

第3次循环,满足判断条件,S=8M=3；

第4次循环,满足判断条件,S=64"=4；

不满足判断条件，输出S=64.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关

键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

9、C

【解析】

二近,&],B=（-l,2],再计算交集得到答案.

计算A=

【详解】

x-2

4=卜1y=八一/}二卜,B={X|<0)=(-1,2],故AD8=(-1,&].

x+1

故选：c.

【点睛】

本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.

10、A

【解析】

由复数的除法求出z,然后计算z.)

【详解】

__1_3-i=31.

Z-3+7-(3+f)(3-z)-Kj-To^

z，z=舄W*+'，）=（舒+（台2='

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的乘除法运算，考查共观复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键.

11、C

【解析】

判断出已知条件中双曲线。的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.

【详解】

两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与工轴的夹角时要分为两种情况.依题意，双曲渐近线与X轴的夹角为30。或60。,

双曲线C的渐近线方程为)，=±^X或)，=±411&选项渐近线为)，=±¥工，B选项渐近线为)，=±VIJC选项

1Lv2X2

渐近线为y=±-x,D选项渐近线为)，=二氐.所以双曲线C的方程不可能为、咤=1

故选：C

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.

12、B

【解析】

利用分步计数原理结合排列求解即可

【详解】

第一步排语文，英语,化学，生物4种,且化学排在生物前面，有4=12种排法：第二步将数学和物理插入前4科

除最后位置外的4个空挡中的2个，有=12种排法，所以不同的排表方法共有12x12=144种.

选3.

【点睛】

本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0

【解析】

利用交集定义直接求解.

【详解】

解：集合4=｛犬卜=22-1,&62｝=｛奇数｝,

3=｛x|x=2A,AwZ｝=｛偶数｝,

/.AnB=0.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

14、22x/3

【解析】

由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面A3CO为直角梯形，ADHBC,AOJ_侧棱底面A5CD,

由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度.

【详解】

由三视图还原原几何体如下图所示：

该几何体为四棱锥，底面ABCQ为直角梯形，AD//BC,ADLAB,侧棱PA_L底面A8CO,

则该几何体的体积为V=1x。+?x2x2=2卜〃")，

PB=d展+*=2啦(cm),PC=A/22+22+22=273(c?w),

因此，该棱锥的最长棱的长度为2G

故答案为：2;2石.

【点睛】

本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

15、-8

【解析】

计算出iz=ai+4々=-8+川，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.

【详解】

iz=ai+bi1=-b+ai>所以。=1/=一9,所以。+8二一8.

故答案为：-8

【点睛】

此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.

5

16、—

2

【解析】

根据流程图，运行程序即得.

【详解】

第一次运行S=15,%=1；

第二次运行S=I5,k=2；

第三次运行S=蓝，&=3；

第四次运行5==<3；所以输出的5的值是!■.

22

故答案为：!

2

【点睛】

本题考查算法流程图，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)详见解析(2)巫

5

【解析】

(O如图，作防〃PC,交BC于F,连接4尸.

因为PB=3BE,所以石是P3的三等分点，可得辿.

3

因为AB=AT>=2,BC=CD=2>/5,AC=AC,所以八48(卫八4。。，

因为8C_L/W,所以NABC=90。，

因为tan/AC8=d^=3=@,所以NACH=NAa)=3O°,所以N8C£>=60°,

BC2x/33

482

因为tan/4"'"而"云万=6,所以Z4网=60。，所以AE7CO,

3

因为4b<z平面PCD,COu平面PC。，所以4斤||平面「。。.

又EF〃PC,Ma平面PC。，尸Cu平面PC。，所以以“I平面PCO.

因为AF、n"=尸，A尸、£F'u平面AE尸，所以平面AEF〃平面PC。，所以AE,平面PCD.

(2)因为△PA8是等边三角形，AB=2,所以总=2.

又因为W=4,BC=2x/3，所以+所以BC工PB.

又BC工AB,人及P8u平面R43,=所以BC_L平面RW.

因为BCu平面ABCD,所以平面PAB_L平面人3CZ).在平面B钻内作BzJ_平面ABCD.

以5点为坐标原点，分别以BC.BAB二所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系8-芝丹，

则C(2x/l0,0),40.2,0),P(0,l,x/3).

所以8C=(2G,0,0),BP=(0、l、氏,/AC=(273,-2.0),4P=(0,-l,>/3).

\m-BC=()|2岛=0

设,"(Mm)为平面4PC的法向量，贝叫，即•，

m-BP=0[)，]+6马=0

令4=-1,可得利=(o,G,-i).

n-AC=0[2\/3x,-2y,=0

设〃=(8,必,z,)为平面APC的法向量，贝〃，即-,

[〃.AP=0[_%+岛=0

令z2=1,可得〃=(1,61).

所以cos(加,〃)=»则sin(/〃,〃)=^1-，

所以二面角A—PC-8的正弦值为毡.

5

22

18、(1)C(:p~cos0-p~sin0=2,G：/=4cos。：(2)-3.

2

【解析】

(1)先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程;

(2)先利用极坐标求出弦长|AB|,再求高，最后求AM44的面积.

【详解】

(1)曲线G的极坐标方程为：p2cos2^-p2sin2(9=2,

因为曲线C?的普通方程为：(工一2『+V=4,..x2+y2-4x=0.

「•曲线G的极坐标方程为p=4cos0；

(2)由(1)得：点A的极坐标为(2,看)，点8的极坐标为(26^),

/=|2-2百卜26-2,

加(3,0)点到射线/9=230)的距离为〃=34吟二T

・••的面积为1|/\/?|j=1x(2>/3-2)x|=3^-3.

【点睛】

本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力,

属于中等题.

19、（1）2V2<r<3（2）点尸的坐标为（—§,（））

【解析】

（1）将抛物线方程=4八•与圆方程（..3）2+丁=/联立，消去），得到关于x的一元二次方程，抛物线石与圆M有

四个交点需满足关于X的一元二次方程在（0,+8）上有两个不等的实数根，根据二次函数的有关性质即可得到关于/•的

不等式组，解不等式即可.

（2）不妨设抛物线£与圆历的四个交点坐标为4（芭,2禽），伙芭,一2禽），C（占,一2森），2n），据此可

表示出直线AD，BC的方程,联立方程即可表示出点〃坐标，再根据等腰梯形的面积公式可得四边形A8CO的面积S

的表达式，令t=卮，由,=内二/及（1）知0</<1，对关于t的面积函数进行求导，判断其单调性和最值，即可求出

四边形ABCD的面积取得最大值时/的值，进而求出点P坐标.

【详解】

>,2=4%,

（I）联立抛物线与圆的方程,、2,,

［（x-3）+/=r,

消去y,得f-2x+9-r=0.

由题意可知f-2x+9-r=0在（0,+8）上有两个不等的实数根.

A=4-4（9-r2）>0,广

所以），、）解得2上<”3，

|.9-r2>0,

所以，•的取值范围为尸e（2&,3）.

（2）根据（1）可设方程/一2工+9-r=0的两个根分别为为，吃（0<内<%），

则4X,2后），坛）,C®，-2氐），。（工2,2口），

2

且.\+/=2,x（x2=9-r,

所以直线A。、BC的方程分别为

），—262牛2&,

%一看

），+2惠J2衣+2嘉QTJ,

西一看

联立方程可得，点。的坐标为（一衣£,o）,

因为四边形A8CO为等腰梯形，

所以S=g（|阴+|田）6-与）=，4"+4后）（电-n）

2

=21Xi+々+2y]xix2•J（X[+4）2-4中2=2也+219-产•小4-4（9-r）,

令/=^?7£（0,1）,则/（/）=S2=4（2+2/）（4-4/）=_32（/

所以/'（"=_32（3『+2/_1）=_32（/+1）（3/_1）,

因为Ovzcl,所以当0<1<1时,/'。）>0；当:</<1时,/'（f）vO,

JJ

所以函数/（，）在（o,i）上单调递增，在4,1）上单调递减，

即当，=：时，四边形A8CQ的面积S取得最大值，

因为一毒E=-，,点0的坐标为卜>/焉，°）,

所以当四边形A4CZ）的面积S取得最大值时，点尸的坐标为（-g,0）.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、

转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、

难度大型试题.

20、（1）证明见解析（2）叵

5

【解析】

（1）取A8中点O,连结P。,。。，证明PO_L平面A8c得到答案.

（2）如图所示，建立空间直角坐标系。一不2,/〃=。。=（0』,0）为平面夕/3的一个法向量，平面PAC的一个法向

量为〃=（四，夜,1）,计算夹角得到答案.

【详解】

（1）取48中点O,连结P。,。。，•;PK=PB、：.POA.AB,AB=y/2AC=2^

•：PB=AP=6,:.PO=&,co=i,；./POC为直角,..po±oc,

「.PO_L平面ABC,POu平面・•.面PABJ•面ABC.

（2）如图所示，建立空间直角坐标系。一02,则A（l,0,0）,尸（0,建71）,。。1,0）,

可取m=0C=（0,1,0）为平面的一个法向量.

设平面PAC的一个法向量为n=(/,in,n).

贝1JPA〃=O,AC〃=O,其中PA=(l,0.-&),AC=(-lJ0),

.1-"?=0,.卜争,，不妨取/=&,贝次=(五.⑸).

-l+//t=0.,

[〃？=I.

Ifj.12Oxy/2,十1Xy/2+0x1->/]0

•・・。一24-3为锐二面角，工二面角C—P4-5的余弦值为叵.

【点睛】

本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

21、（1）见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”（3）见解析.

【解析】

（1）由已知抽取的人中优秀人数为20,这样结合已知可得列联表：

（2）根据列联表计算K"比较后可得；

（3）由于性别对结果有影响，因此用分层抽样法.

【详解】

解:（1）

优秀合格总计

男生62228

女生141