2021年中考数学复习《中考压轴题：圆的综合应用》提升练习（五）

2021年中考数学复习《中考压轴题：圆的综合应用》

经典题型提升练习（五）

1.△四C内接于。0,弦刃与/JC相交于点E连接故且Q80.

（1）如图1,求证：£OBC=4ABD、

（2）如图2,作CGJ■布于G,交劭于尸，若NBAC=NAB/30°,求证：BO=BF\

（3）如图3,在（2）的条件下，直线。尸与48相交于点K与8c相交于点乂若肌?：

物=5：3,且S△刖=1&四，求线段/1E的长.

2.如图1,形是。。的直径，眩CD1AB于G,点C是标的中点，点厂是仄质的中点，BC与

标交于点H,

(1)求证：FB=FH}

求需的值;

（2）如图2,当点6为半径）的中点时.

CT）

（3）如图3,当*•=时.弦）恰好经过圆心0.

图1国3

3.已知。。中，弦四=的点P是/仍C所对弧上一动点，连接如'PA、PC.

(1)如图①，把绕点/逆时针旋转到△彳CQ,求证：点P、C、。三点在同一直线上；

(2)如图②，若N847=60°,求吗乎的值；

PA

(3)若/847=120。时，(2)中的结论是否成立？若是，请证明.若不是，请探究它

们又有何数量关系.

4.已知，。。中两条弦4C、垃?交于点£

(1)如图1,求证：EA・EC=EB・ED:

(2)如图2,若点8是弧4c中点，初是。0直径，3W,CD=6,

①求8c的长;

图102

5.如图，在。。中，半径)=9,0C1AB于C,交劣弧于。，E是优弧形上一点，连接

DE交AB于F,延长彳8至0，处,PE=PF.

(1)求证：直线正与。0相切；

(2)连接。8,BE,若g=6,求。尸的值；

(3)在(2)的条件下，连接布，若CF=FB、求然的值.

6.如图，四边形力8CD内接于AD=243,对角线羔、8。相交于点£且对角线,4C是

。。的直径，延长劭至点内，使/70=/彳劭，连接®.

(1)求证：幺是。。的切线；

(2)过点。作。/〃行，交4c于点G,交AB于点、H,求彳//・四的值；

(3)在满足(2)的条件下，若4G：0G=2：1,GH=1,求四边形彳仇力的面积.

7.如图，直线V=/6分别交x轴，y轴于点4昆点。是直线布上的动点，点。在y轴

上（点8的上方），且AP=®BO,连接加、0P,以。为直径作。附

（D填空：点力的坐标为，点8的坐标为；

（2）当点户在线段48上时，若的面积是48%的面积3倍时，求8。的长;

（3）①当。树与△8%某一边所在的直线相切时，求此时8。的长；

②当。〃经过户。的中点时，请直接写出点P的坐标.

%

8.如图，已知直线/:卜=-^^3交x轴于点的,点力为x轴上的一个动点（点4不与点〃

重合），在直线/上取一点（点6在“轴上方）使*54/,连结彳6,以为边沿顺口寸

针方向作正方形力86仇连结08,以必为直径作。尺

（1）当点力在点制左侧时,

①若点8落在V轴上，则姐的长为，点。的坐标为.

②若点片的坐标为（2,0）,求正方形＞4仇力的边长.

（2）若。。与正方形四切的边相切于点8,求点8的坐标；

（3）。〃与直线8M的交点、为N、连接CN.当C7V平分N8C〃时，点8的坐标为.（直

接写出答案)

0~X

9.如图1,在平面直角坐标系中，直线48与x轴、y轴分别交于4(6,0),B(0,8),

点户的坐标为(m,0)(Z6),过点"作外_Lx轴交直线四于点。，点0为射线BO

上一动点，且满足8g2OP,连结约，PQ.

(1)当棺3时，求匹边形“约的面积；

(2)当0V/TT<6时，求tan/80c的值；

(3)如图2,作△夕"的外接圆。M

①当。〃与坐标轴相切时，求力的值；

②若。〃过0P的中点，请直接写出此时点P的坐标为______.

OP\xOP\

（图1）（图2）(备用图1)(备用图2)

10.已知如图，为。。的直径，弦加、龙相交于点G,AE.3的延长线相交于点R且

“=90°.

(1)连接维，求证：BE//CF-,

(2)连接此过点0作0//JL&?,垂足为〃，求证：5C；

(3)在(2)的条件下，连接0G,若FD=2GD、弧所=弧故EF=3、求GG的长.

参考答案

1.解：（1）延长80交。。于点、K,连接次，则8K为。。的直径,

图1

ZBCK=90°,

N0打>N/T=90°,

'：ACLBD,

/.AAEB=W,

；,N48&N/l=90°,

VBC=BC>

：.£A=Z.K

：.Z.OBG=Z.ABD-,

(2)作0//_L8c于“，则员=2能

图2

,：HKBC=90°,

ZBAOZKBC=90°,

N/眦300+N依？=90°,

/.ZABC=6Q0

：.BC=2BG,

：.BG=BH,支NABD=tOBC,/BGF=4BHO=90°,

「.△8尸侬△80〃CAAS:

：.BO=BF}

(3)悴OHLBC于■H,

A

•「△8尸侬△80”,

：.BF=BO,

：.Z.MFB=/.BON,且讦=80,Z.ABD=^OBN,

:.XBF的WONCASA:

：.BM=BN,且N/1死=60°,

・•・△斯为等边三角形，

•••S△则=今碗=16a，

；・BM=BN=8,

,:NC：MA=5：3,

:.设NC=5x、AAf=3x,

,-.BC=8+5xiBH=^Y~=BG,CG=4^G=4^(号J

•ru-u/u-n8+5x8-5x

22

,：4MNB=60°,

:.OH=^HN=6,

乙

•/^0BC=/ABD=NACG,

「.tanZ030=tanZACG,

.OH^AG

一丽戏

l、,8-5x门8一5乂

.«义工3XF

2

.*.x=1,

oIq

：.AM=3,CN=5、HN=GM=^-,0H=—^~,BH=^-

222

••IBH2mH2=片第=7,

'.'sinZOBH=sinZABD,

.AE_QH

,'AB'BO

.AE—乎-33^3

一^―X(8+3)14

2.(1)证明：如图1,连结

••.点C是标的中点，

•*-BF=AF>

4ABF=4FEB、

二.点厂是不而的中点，

•■•AC=CE»

：.^ABC=Z.CBE,

ZABC+ZABF=ZCBB-ZFEB,

削4FHB=/FBH、

：.FB=FH}

<2)如图2,连结47,00,OF、

图2

•••点G为半径"的中点，CD10A,

•**AC=0C,

•：OA=OC,

AC=0C=OA、

.■.△/C是等边三角形，

ZCAO=ZA0C=6Qr）,

设AG=0G=x,则0A=AC=0B=2x,

CG=VAC2-AG2=小，

CD=2CG=2f

•二48是。。的直径，AF=BP，

二."=/08尸=45°,

:.BF=2yj2x,

,BF_2&X二遍

"CD=2A/3X=3；

（3），-*AC=CE，

：.Z.AOC=Z.COE,

•••点尸是仄而的中点，

Nf=/皈=45°,

，FOB=4A0E=9C,

AA0C=A5°,

•/CD1AB,

：.ZGCO=Z0CG=45°,

0C=CG,

设CG=a.

0C=0B=

BG=OG^OB=m■&a.

・•瓦CDF_2Ta?c亚f--2c,

故答案为：2后-2.

3.(1)证明：如图①，连接QC,

是由△/8户绕点/!逆时针旋转得到的,

/./A8P=NACQ,

•••点4B、P、，四点共圆，

/.ZACP-ZABP=]8Q°,

/.ZACP^ZACQ=]8Q0,

...点夕、C、。三点在同一直线上；

(2)解：PA=PB^PC.

理由如下：如图②，连接8C,延长BP至E,使PE=PC、连接

,；AB=AC,N840=60：

是等边三角形，

：.AC=BC,

•••4、B、P、。四点共圆，

BAC=/CPE=6C,

YPE=PC、

「.△户然是等边三角形，

:.CE=PC,4E=4ECP=2EPC=b¥,

4BCE=600+4BCP、ZACP=6Q°+4BCP,

：.，BCE=NACP、

在△©&?和△?1%中，

rBC=AC

\ZBCE=ZACP,

ICE=CP

:.^BEC^/\APC{SAS},

:.BE=PA,

；,PA=BE=P/PC、即空芈=1;

PA

(3)若N&U?=120°E寸，(2)中的结论不成立.避PA=P^PC.

理由如下：如图③，在线段外上截取使困=阿，连接40,AGLPC于点、G,

•：ABAC=nQ°,NBAa/BPC=W,

/.ZBPC=6Q°.

'：AB=AC,

：.ZAPB=ZAPQ=3Q°.

在△?!酎和△42"中，

'PB=PQ

<ZAPB=ZAPQ,

AP=AP

：.^ABP^/\AQP(SAS：,

：.AB=AO,

*'-AQ=AC,

,：AGA.PC,

：.QG=CG.

在RtZU%中，ZAPG=30°,则｛々24G,PG=^G.

：.PB^PC=PG-QG^PG^CG=PG-QG^PG^0G=2PG=2^G,

；,聪》=2蓝AG,即«21=WC.

oQ

4.(1)证明：连接四、CD,如图1所示：

则N8AC=NCD&

,/Z.BEA=4CED、

:.MEABSMEDC、

.EA=EB

"ED-EC1

；.EA・EC=EB・ED；

(2)解：①连接仍交47于点肌如图2所示:

•••点8是弧47中点，08是。。的半径，

C.OBLAC,AM=CM=^AC,

.•F。是。0直径，

/.^ACD=90°,

A/,^7AD2-DC2=V102-62=8»

：.CM=AM=41

2222

在Rt△0%中，由勾股定理得：0M=7QA-AM=7B-4=3

：.BM=OB-OAf=5-3=2,

22

在RtZ\8伙;中，BC=7BM-<M=722+42=2V5；

-yAE^BM

②：BM_21

S^ABE而—==.

yAE-CD

B

D

•:PE=PF,

，PEF=4PFE=，CFD、

,：OCA.AB,

/.ZCDF+ZCFD=ZCDF-ZPEF=9Q°,

•：OE=OD,

ODE=/OED、

/.ZOECh-ZPEF=ZCDPrZPEF=9Q0,

即N00=90°,

OE工EP,

•••哇与G)0相切；

(2)'：OCA.AB,

：.AC=BC,AD=BD，

/FBD=々BED、

又,：/FDB=/BDE、

:、XBDFs[\EDB、

.BD^DF

"ED"BD,

：WDE=Ba=6=36,

(3)AD=BD»

：.AD=BD=6,

设宓=x,则CD=9-x、

.­.92-^=62-(9-x)\

•*.x=7,AC=BC=4y[2>

:.CD=2,CF=BF=2瓜

22

••・DF=7CD<F=/2+(2弧)2=25,

：.DF*DE=36,

•■-DEW=6^-

6.解：(1),.YC是。。的直径，

/.ZABC=9Q°,

AZABD^ZCBD=90°,

•/Z.FAD=ZLABD.

「・NN仆/网=90°,

'：Z.CBD=CAD,

:./CAN/FAD=qN,

J.N。1厂=90°,

•••点/在。0上,

〃是。。的切线；

(2).・•〃1是。0直径，

AZADC=9Q°,

'：D!//AF,

：.NCGD=4AGD=90°=ADC,

Z.DAG=Z.CAD,

:、XAGMl\ADC、

.AG_AD

"AD=AC1

：.AG*AC=A[f=ni

.・YC是。。直径，

；・NA8g900=2AGH、

':/HAG=/CAB、

:.△AGMRABC、

.AH_AG

「而而

：.AH^AB=AG*AC=n^

（3）设OG=x,

'.'AG：0G=2：1,

：.AG=2xi

0C=OA—AG^-0G=3x,

.,.AC=AG^OG^OC=2x^x^3x=6xy

由（2）知，AG*AC=n,

...2x・6x=12,

.'.x=-1（舍）或x=\,

.,.AG=2x=2,AC=6x=6、

22=2

在Rtzvi。。中，根据勾股定理得，^=7AC-ADV6,

在RtZ\4/G中，

根据勾股定理得，＞4//=7AG2+HG2=V5»

由（2）知，AeAB=12,

,但噌

0

在Rt△彳8C中，根据勾股定理得，BC=yjAC2-AB2=—W，

•••S四边形3=s△板-8C+g0・CD=4X"5xX2«X

NNNb3ND

+6加.

7.解：(1)当卢6=0时，x=-6,

：.A(-6,0)

当x=0时，y=0+6=6,

'.B(0,6)

故答案为：(-6,0)(0,6)

(2)过点户作户CJLx轴于点QQaLy轴于点。(如图1)

'：OA=OB=6,ZAOB=9Qa

/.ZO4P=45°

・•・RtZ\4PC中,AP=^C

'：AP=^BO

：.BQ=PC

设线段四上的点户坐标为(a,K6)(-6<a<0)

:.BQ=PC=>6、PD=\a\=-a

••・％^=，“0%=,X6X(>6)=3(>6)

乙乙

PD=•(>6)•(-a)

乙乙

S4Ap产3s48PQ

3

.".3(a+6)=—*(/6),(-a)

解得：a=-2

：.BO=-2+6=4

（3）①、/）。及与直线8。相切

：.OPLBQ即轴

二。在x轴上，BQ=PC=O、不存在

•••不存在

//）。"与直线48相切

：.OPLAB,ZAPO=9QC

••・△彳"0是等腰直角三角形

'：PCLAO

：.PC=^-A0=3

2

：.B0=PC=3

///）。附与直线。。相切

/.OPLPQ、Z0P0=ZOPAzQPD=90°

'CPDLOQ

/.N。。—NZW=90°

卯=90°

：.Z.DOP=^DPO

:.△D0gXDPQ

.DO_DP

"DP'DQ

:.DP=DSDQ

设直线丝上的点。坐标为(a,>6)时

BQ=PC=^6,PD=\a\

：.D0=PC=>6,DQ=BDyBO=OB-OABQ=08=6

.'.a=6(>6)

解得：a=3+&/^,色=3-3>/5

：・80=9+&[^9_3A/5

综上所述，80的长等于3或9+&乓或9-

由题意外=80.当点P在第一象限时，设点P的坐标为(&>6)则a=亡，PC=»b,

0Q=0ByBQ=0B^PC=6+>6=12+1,

设交PQ干点、N,若/V为00的中点，则由0MLQ0知密曲

即(12+t)2=t2+(6+t)2,

解得£=18或2=-6(舍去)，

此时点P的坐标为(18,24)

故答案为：(-6,0)或(18,24).

8.解：(1)①如图1中,

D

O

图］

•••直线/：尸-今/3交x轴于点的(4,0),交v轴于(0,3),

：.B(0,3)

0M=4,OB=3,BM={§2+42=5,

'：BM=5AM.

：.AM=\,

：.OA=3,

：.OA=OB,^BAO=^C,

作力＜Lx轴于小则是等腰直角三角形，易证△力，侬△力故可得例=33,

:.D(6,3).

②如图2中，设例/交v轴于M

人C

「・的=10,

•.•郴=5,

：.BN=MN,

：.B(-4,6),

-AB=7(2+4)2+62=6正,

・.•正方形的边长为6亚.

(2)①当点力与0重合时，。。与宓相切于点8,此时加5。420,8(-12,12).

当必_L/8时，(DP与直线粕相切于点8,此时点力与点"重合，B5)

乙乙

综上所述，满足条件的点8坐标为(-12,12)或(*-1).

乙乙

(3)如图4中，作协_Lx轴于小连接如设⑷/=他则8仁5m,BH=3m,MH=4m,

：.AH=BH=3m,

ZBAH=45°,

•「CW平分N86步,

N,C共线,

；.N8Ag45°,

：.AC1.OA,

〈OB是直径,

：.40NB=9G,

192_256

__.Mn-__

_期期

6(25,25),

故答案为(-嘿，崇).

9.解:(1)如图1中，

'：A(6,0),B(0,8),

==

*'•OA6,OB81

•：OP=PA=3,PC//OB,

:.PC：OB=APzAO,

：.PC=4,

YBQ=2OP,

:.BQ=6、OQ=2,

(2)如图2中，作CG±08于G.

\'CG=OP=m,CG//OA,

.CG=BG

,,赢一丽’

._m_BG

,,-6=T,

4

'：BQ=2OP=2m,

42

/.QG=2m--r-m=—m,

33

3

­=2

QG-m2

o

(3)①如图3中，当。"与x轴相切时,

・"C是。附的直径，

/.ZPQC=9Q0,

/.ZBOOZPQO=9Q°,

•：4PQ侪4OPQ=9Q°,

/.Z.BQC=Z.OPQ,

・，.tanN。%=tanN8比=鸟=g",

2OP

.8~2m_3

m=~2r

._16

如图4中，当。附与v轴相切时，易证N8仇=/"做

m_3

8-2m2

•*-777—3,

综上所，满足条件的力的值为竿或3.

②如图5中，设。的中点为£连接&2,CE.

•:/EPC=9N,

•••&?是。附的直径,

ZC0E=9QQ,

.:乙BQ6■乙EQO=QG,NQE8N0EQ=9G0,

NQBC=ZOEO,

3

.'.tanZ^£6?=—,

.0Q=2