福建 莆田市城厢区南门学校2025-2026学年 九年级下学期第二次限时训练数学试卷(含答案)

一、单选题1．垃圾分类就是将垃圾分门别类地投放，并通过分类地清运和回收使之重新变成资源．对于下列垃圾分类的标志，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．2．如图是由两个圆柱组成的几何体，其主视图是（

）A． B． C． D．3．2023年5月21日，盐城市家长学校总校五月课堂正式开讲，直播点击量达105000人次．数据105000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．4．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．5．已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（

）A． B．5 C．和5 D．1和36．小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（

）

A． B． C． D．8．随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60，动车提速后行驶480与提速前行驶360所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x，则下列方程正确的是（

）A． B． C． D．9．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：画法图形1．以A为端点画一条射线；2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．

这一画图过程体现的数学依据是（

）A．两直线平行，同位角相等B．两条平行线之间的距离处处相等C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例10．已知抛物线，上有点，，，，则下列结论正确的是（）A．若，总有 B．若，总有C．若，总有 D．若，总有二、填空题11．分解因式：m2+9=12．菱形ABCD中，对角形AC，BD相交于点O，且AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积为13．如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是______．14．如图，△ABC的周长为12，D、E、F分别是边AB15．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是______米．16．物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线在点处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是__．（参考数据：，，．（题13）（题14）（题15）（题16）三、解答题17．计算：．18．先化简，再求值：，其中m=2．19．已知：如图，在菱形中，E，F是对角线上两点，连接．求证：．20．如图，四边形是平行四边形，以为直径的经过点，与交于点．连接，．作，与的延长线交于点．(1)求证：是的切线；(2)求的度数．21．杜甫是唐代伟大的现实主义诗人，被后人誉为“诗圣”．《绝句》是杜甫住在成都浣花溪草堂时写的，描写了草堂周围明媚秀丽的春天景色．如图，将这四句古诗分别写在编号为A，B，C，D的4张卡片上，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，小莉和小芳玩抽诗句的游戏．A两个黄鹂鸣翠柳，B一行白鹭上青天．C窗含西岭千秋雪，D门泊东吴万里船．(1)小莉从中抽取一张卡片，恰好抽到的是这首诗的首句的概率为___________．(2)小莉先抽一张卡片，接着小芳从剩下的卡片中抽一张，用画树状图法或列表法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联（注：A与B为一联，C与D为一联）的概率．22．在中，，．(1)在上求作点D，使得．(2)在（1）的条件下，若，求的值．23．根据以下素材，完成三个任务：以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形．素材一某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且．素材二将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片．素材三小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：．【问题解决】【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长；【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）；【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分．24．已知抛物线经过三点，顶点为P．(1)求抛物线的解析式；(2)如果是等边三角形，求的面积；(3)若直线与抛物线交于D，E两点，直线与抛物线交于F，G两点，的中点为M，的中点为N，且．求点P到直线距离的最大值．25．在中，，点在边上．以为斜边作，使得B、D两点在直线的异侧，且，与交于点．(1)求证：；(2)连接，若，判断与的数量关系；(3)若，过点作，垂足为．求证：．题号12345678910答案BAADCCBBDC11．（m+3）（m−3）12．2413．314．617．解：．18．解：原式，当m=2时，原式=2+219．【详解】证明：∵四边形是菱形，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∴．20．【详解】（1）证明：连接．如图：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的半径，∴是的切线．（2）解：连接，如图：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由（1）可得，∴．21．【详解】（1）小莉从中抽取一张卡片，恰好抽到的是这首诗的首句的概率为，故答案为：；（2）用列表法列举所有可能的结果：小芳小莉ABCDAA、BA、CA、DBB、AB、CB、DCC、AC、BC、DDD、AD、BD、C共有12种等可能的结果，其中抽到A、B（B、A）或C、D（D、C）的情况有4种，∴两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为．22．【详解】（1）解：如图所示：点D即为所求．（2）解：设，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，即，解得，∴，∴，∴，∴，∴．23．【详解】解：任务1：如图所示：周长为：；任务2：如图所示：，现共有9张型卡片，24张型卡片和16张型卡片；如图所示：，现共有1张型卡片，2张型卡片和1张型卡片；如图所示：，现共有4张型卡片，4张型卡片和1张型卡片；如图所示：，现共有1张型卡片，4张型卡片和4张型卡片；任务3：如图所示：．24．【详解】（1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（m，n），B（2﹣m，n），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2，∵抛抛物线y＝x2﹣2x+c经过C（2，﹣1），∴4﹣4+c＝﹣1，∴c＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣1；（2）解：由（1）得抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣1，对称轴为直线x＝1，令x＝1，则y＝1﹣2﹣1＝﹣2，∴P（1，﹣2），∵A（m，n），B（2﹣m，n），∴ABx轴，不妨设点A在点B左侧，如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，则AB＝2﹣2m，PQ＝n+2，且n＝m2﹣2m﹣1，∵△PAB是等边三角形，∴∠ABQ＝60°，BQ＝AB＝1﹣m，在Rt△BPQ中，∠ABQ＝60°，∴PQ＝BQ，即m2﹣2m﹣1+2＝（1﹣m），解得m＝1（舍）或m＝1﹣．∴AB＝2﹣2m＝2，BQ＝，∴PQ＝BQ＝3，∴S△PAB＝•AB•PQ＝×2×3＝3．（3）联立直线l1：y＝k1x﹣k1和抛物线y＝x2﹣2x﹣1，∴，整理得，y＝x2﹣（2+k1）x﹣1+k1，∴xD+xE＝2+k1，同理可得，xF+xG＝2+k2，∵点M是DE的中点，点N是FG的中点，∴xM＝

，xN＝，∴yM＝，yN＝，∴M（，），N（，），∴直线MN的解析式为：y＝（k1+k2）（x﹣1﹣）+，∵k1k2＝﹣3，∴直线MN的解析式为：y＝（k1﹣）（x﹣1