北京市西城区2026届高三下学期四月一模数学试题 含解析

第1页/共24页西城区高三统一测试试卷本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A={□x²43x<0,集合B=(坦r-①>0},则集合AUB)A.(0.3)B.(2.3)C.(0,+0)故AUB={xx>0.A.16B.32C.64第2页/共24页4.x(2+x)⁴=ax+a₂x²+a₃x³+ax⁴+a₃x⁵,则a+a₂+a₃+a₄=()A.16B.65则(2+x)⁴=a₁+a₂x+a,x²+ax³+a₃x⁴,令x=1.得a₁+a₂+a₃+a₄+ag=3⁴=81.所以a+a₂+a₃+a=80.5.若圆锥曲线C:x²+nn²+m=0的焦距为4.则其离心率为()【详解】由圆锥曲线C':x²+my²+m=0,可知型≠0.则所以醒<0,曲线为双曲线，第3页/共24页故f(-x)=sin(-2x)+sin(-x)=-s且f(x+2π)=sin(2x+4π)+sin(x+2π)=sin2x+sin第4页/共24页则问1-15|=-1,|+6|=3.满足l1-16|<la+6|.8.设关于x的不等式x²dx|+2”的解集为P,若Pc(-2,4),则实数m的取值范围是()由对称性可知5+1=0,由图可知，要使P=(s.t)c(-2,2),只需满足2"≤2.第5页/共24页细沙都在上方容器内，经过10分钟后上方沙堆的高度降为,此时将沙漏上下颠倒，若倒置后的上方容In2:0.69,In3=1.10【详解】初始时，上方沙堆高度为k.体积为.二经过10分钟后上方沙堆的高度降为h,上方剩余沙堆的体积二经过10分钟后上方剩余沙堆的体积P,=F,e⁻¹,∵经过10分钟后上方剩余沙堆的体积为∴倒置后的上方容器内沙堆高度再次降为h时，上方容器剩余沙设从倒置后到高度再次降为h需要的时间为4.第6页/共24页分钟.10.在平面直角坐标系xOr中，点M在圆心为C的圆x²+y²-2x-2=0上.若动点P满足A.√5+2?B.2+√2c.√5+√3D.1+√又CM·CP=|cM|cPlcos(CM,CP)=3,CM|=r所以CV1MP.又|MP|=1,所以P=√cMP+1P=第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.第7页/共24页根据抛物线的定义，可得点P到准线距离为4-(-2)=6.得：6-a=(3-(-1),-2)=(4,1-2). 第8页/共24页方断面的长与宽分别为0与b.若对任意币=1,2.,8),且a,a₂,马与%,,4都是公差为-0.75的等差数列.b,b₃,名是公差为-0.4的等差数列，已知4,=9.a-a=0.3,则a,b,=.u₃=a₂+(-0.75)=7.5.又a;-ag=0.3.所以a=a-0.3=7第9页/共24页④设a=2,b=3.则当x∈[0.1]时，函数f(x)的值域中有且仅有5个元素.取a=b=1.可得f(x)=[x]+[x]=2[x].对于任意reR.可得f(-x)=2[-x],-f(x)=-2[x|.对于任意正整数a.b,取且非整数，所以f(x)=0+0=0.可得ʃ(-x)=-1+(-1)=-2.此时f(-x)≠-f(x),对于③,当g=2,b=3时，f(x)=[2x]+[3设x=8+1,B∈Z,1e(0,1),可得[2x|=[2n+21|=2n+[21],[3x]=3n+[31]·解解第10页/共24页时，可得[21]=0,[3r]=0,可得[21]+[31|=0;当时，可得[21=0.[3]=1,可得[21+[3]=1;当时，可得[21]=1,[3]=1,可得[2]+[3|=2;当)时，可得[21=1.[3]=2.可得[21+[31|=3;当期=0时，可得n=2eZ;当m=1时，可得当m=2时，可;当醒=3时，可得所以当x=2+1且)时，满足f|=10,此时有无数个解。所以③正确；对于④,当a=2,b=3,且r∈[0.1]时，可得216(0.2).3re|0.31.时，可得[2x]=0,3x]=0,当时，可得[2当时，可得[2x]=1,[3x]=1,可得f(x)=[2x]+[3x]=0;可得f(x)=[2x]+[3x]=2;可得f(x)=[2x]+[3x]=3.所以f(x)在x∈(0,1)上的取值为|0,1.2.3,共有4个元素，所以④错误.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(2)记ABC的周长为f(A).给出f(A)的解析式，并求其最大值.【解析】第11页/共24页【分析】(1)利用余弦定理和面积公式即可得解；(2)利用正弦定理表示出f(A),化简，然后结合正弦函数性质求最值.【小问1详解】【小问2详解】17.如图、在四棱锥P-ABCD中、底面ABCD为平行四边形、且ABIAC.E为PD的中点，平面第12页/共24页(1)求证：ABIPA;条件①:CD1PD;条件②:AE=PE;答计分.由(1)知AB1平面PAC.故CD1平面PAC.因此CD⊥PC,第13页/共24页若选条件②:AE=PE.由(1)知PA⊥AB,又ADnAB=A,AD,ABC平面ABCD.所以PA1平面ABCD.因为ACc平面ABCD,所以PA1AC,即P4.A8.AC两两垂直.则4(0.0,0),B(1.0,0),C(0,√3,0),D(-1,√3,0),P(0.0.1).设i=(x,y,2).取片₁=1,得x;=√3,所以=(√3.1.0).得!:=0,取x₂=1,得z₂=1,所以m=(1,0.1).若选条件③:△ABC≌△APC.由aABC三aAPC,得PA=AB=1.PC=BC=2.又平面PAC1平面ABCD,平面PACΩA(0,0,0,B(1,0,0).C(0,√3,0),D(-I,√3,0),P(0,0,1).AP=(0,0.1).设ii=(x₁,yY,z),则第14页/共24页第15页/共24页设两平面夹角为θ.则两平面夹角θ的余弦值为：18.某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a.bc,d(abed>0)表示，型数年人均(册)员Ω五中学生cd假设每位读者的每次借阅情况互不影响.用频率估计概率(1)在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由：(2)在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书.估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率；(3)为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”,其中为其图书借阅量分类占比值，均值，n为图书的类别个数.记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为,写出这三个“偏好度”的大小关系.(结论不要求证明)【答案】(1)在职人员借阅的文学类图书量更大第16页/共24页(2)先根据大学生各类借阅占比和为100%.求出a+b的值，得到大学生借阅科技类的概率；同理根据中学生各类借阅占比和为100%.求出c+d(3)根据偏好度的定义，计算各类读者的“偏好度”.可得答案.【小问1详解】因为3885>3040,所以这一年里在职人员借阅的文学类图书量更大；【小问2详解】①2名大学生均借科技.中学生不借科技：P=0.4²×(1-0.2)=0.128.②仅1名大学生借科技，中学生借科技：P₂=2×0.4×(1-0.4)×0.2=0.096③3人均借科技：P=0.4²×0.2=0.032.【小问3详解】在职人员的5个占比分别为：35%,25%,10%,20%,10%,即，=[0.35,0.25,0.10,0.20.0.10].=0.15+0.05+0.10+0+0.10=0.4,故大学生的已知占比为：30%,40%.13%.第17页/共24页由题设abed>0得a>0.b>0,因此a<0.17<0.2.b<0.17即a,b都小于均值0.2,因此鹎-0.2参0D-a,畅-0.2象0.D-b.=0.1+0.2+0.07+0.4-(a+b)=0.77-0.=0.05+0+0.2+0.4-(c+d)=0.65-0.15=0.5.(1)求椭圆E的方程；(2)设圆W的切线与椭圆E相交于C,D两点、点Q(x₀,y₀)(y₀>0)在第18页/共24页由(1)知F(-√3,0).B(0,-1),A(2.0).设C(x,y,J.D(x₂,Y₂).因为0Q10D.所以0Q·OD=x₂xo+Y.yo=0.第19页/共24页又圆与直线相切，所又m²-1=H,所以-3k²y+4k²=0.20.已知函数f(x)=x²Inx,直线1为曲线!=f(x)在点(x₀f(x。1)处的切线.0为坐标原点.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(r)=f(x)+x,研究函数g(x)的零点个数；(3)面第20页/共24页h'(x)=Inx+1,令h'(x)=0得x=e".x∈(0,e),h'(x)<0,h(x)第21页/共24页情况1:21+1≥0,即因为φ(0)=1·1-1=0,故唯一解1=0即x₀=e°=1,此时A(1,0).B(0.-1)设ψ(1)=-e'(21+1)-1.w'(1)=-e'(2t+1)-2e'=-e'(2t+3第22页/共24页(2)已知数列{a具有性质T(2)0分别取取#=1,1=1和=,1=1,再利用反证法即可证明；(ii)利用(i)中的结论证明得存在”.,满足A(n)=A(n+1,其中n22026.121.再分12i+2和数列{b具有性质T.即{b是周期为4的周期数列.第23页/共24页故数列b具有性质T.【小问2详解】(i)取=1