数学罗星三模试题（教师版）

第1页/共1页2025年上海市罗星中学九年级中考三模数学试卷（完成时间：100分钟满分：150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意；B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意；C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意；D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意．

故选：C

．2.用换元法解方程时，若设则原方程可化为关于y的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设，则，∴原方程为，即，故选：A．3.我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是()A.条形图 B.扇形图C.折线图 D.频数分布直方图【答案】B【解析】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图．故选：B．4.如果反比例函数图象经过点，则这个反比例函数的解析式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设这个反比例函数的解析式为，由题意，将点代入得：，则这个反比例函数的解析式为，故选：C．5.下列命题中，真命题是()A.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形C.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D.对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【答案】C【解析】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误；B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误；C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，正确；D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误．故选：C．6.如图，在中，，．点是边上的中点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，延长交于点，连接，过点作，交于点．现有如下四个结论：①；②；③；④中正确的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】解：∵由题可知，，，∴，，，，，∵，∴，∵，∴，在与中，∵，∴，∴，，，∴是等腰直角三角形，即，故①正确；如图，过点A作，垂足为点H，∵是等腰直角三角形，∴，∵点是边上的中点，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，故②正确；∴，故③正确；∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，则，故④错误；故选C二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：_________．【答案】【解析】解：，故答案为：．8.因式分解：______．【答案】【解析】解∶原式，故答案为：．9.公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将175亿表示为科学记数法为______个．【答案】【解析】解：175亿．

故答案为：

．10.关于的一元二次方程没有实数根，那么取到最小整数是______．【答案】【解析】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，∴，且，解得：；∴的最小整数值为；故答案为：．11.在最近上映的《哪吒之魔童闹海》已经突破百亿票房，剧中太乙真人送哪吒的风火轮可以看成两个等圆，那这两个等圆不可能存在的位置关系是______．【答案】内切与内含【解析】解：剧中太乙真人送哪吒的风火轮可以看成两个等圆，那这两个等圆不可能存在的位置关系是：内切与内含；故答案为：内切与内含12.某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是________．【答案】##0.6【解析】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，选出的2位同学恰好为一男一女的有12种，则主持人是一男一女的概率为．故答案为：．13.为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为_____人．【答案】1500【解析】解∶由图可知：体重不小于60千克的学生人数占总人数的1-(0.02+0.03+0.04+0.05)×5=0.3，所以全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数为5000×0.3=1500（人）故答案为∶1500．14.温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为______米．【答案】20【解析】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，，设半径为米，则米，∵跨度为24米，，∴米，由勾股定理得：，∴，解得：，∴这个弧形石拱桥设计的半径为米，故答案为：．15.如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设=，=，那么向量用向量表示为____．【答案】2+．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，∴==，∵=+=+，∴==+，∵=+，∴=++=+．故答案为：+．16.小明从家步行到学校需走路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米．【答案】350．【解析】解：当8≤t≤20时，设s=kt+b，将(8，960)、(20，1800)代入，得：，解得：，∴s=70t+400；当t=15时，s=1450，1800﹣1450=350，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．故答案为：350．17.如图，在中，，，点D在边上，，连接，如果将沿直线翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线的距离为___________．【答案】【解析】解：如图所示，过点E作于H，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，由折叠的性质可得，∴，∴，∴点E到直线的距离为，故答案为：．18.如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为的相似三角形，那么称这个四边形为“相似分割四边形”，已知一个梯形是“相似分割四边形”，且这个梯形有两条边相等，最大边是最小边的倍，那么该梯形最小内角的余弦值是______．【答案】【解析】解：假设，，，则，，即，，，过点作于点，则，该梯形最小内角的余弦值为，故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算：．【答案】【解析】解：原式．20.解方程组：【答案】或【解析】解：由（1）得或，或，解方程组得：，，则原方程组的解为和.21.已知：如图，矩形的对角线相交于点O，．（1）求矩形对角线的长．（2）过O作于点E，连结BE．记，求的值．【答案】（1）4；（2）【解析】解：（1）∵四边形是矩形，是等边三角形，，所以．故答案为：4．（2）在矩形中，．由（1）得，．又在中，．故答案为：．22.如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角．如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为.（参考数据：，，）（1）点到平面镜的距离是______厘米．（2）移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数．（3）在（2）条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_____厘米．【答案】（1）（2）入射角的度数为（3）【解析】（1）解：如图所示，作于点，且，∴，∴，∴，∴；故答案为：40；（2）解：如图所示，作于，使得，同理可得，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，则入射角为；（3）解：如图所示，作关于的对称点，连接，并延长交分别为，∴，∵，∴，，∴，，∴，，∴．故答案为：35．23.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2=OB·OE．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求证：△ABE∽△ACD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明：（1）∵OD2=OE·OB，∴．∵AD//BC，∴．∴．∴AF//CD．∴四边形AFCD是平行四边形．（2）∵AF//CD，∴∠AED=∠BDC，．∵BC=BD，∴BE=BF，∠BDC=∠BCD∴∠AED=∠BCD．∵∠AEB=180°∠AED，∠ADC=180°∠BCD，∴∠AEB=∠ADC．∵AE·AF=AD·BF，∴．∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF=CD．∴．∴△ABE∽△ADC．24.已知平面直角坐标系，抛物线：与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点与点重合时，求平移的距离；（3）连接，如果与互补，求点的坐标．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）解：∵点和点在抛物线：上，∴，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）∵抛物线：，，∴对称轴为，顶点，把抛物线向下平移得到抛物线，当点与点重合，设平移的距离为，设对称轴交轴于点，∴抛物线的表达式为，∴抛物线的顶点为，∴，，对于抛物线：，当时，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，解得：，∴当点与点重合时，平移的距离是；（3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，∵，，，对称轴为，∴，，，，四边形为矩形，∴，，∴，∵抛物线：与轴交于点和点，当时，得，解得：或，∴，∴，∴，∵把抛物线向下平移得到抛物线，抛物线的顶点为，∴，∵对称轴与轴平行，即，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∵轴，∴轴，∴，，∴，∵与互补，即，∴，∴，∴，∴，∴．25.已知是的一条弦，点在上，联结并延长，交弦于点，且．（1）如图1，如果平分，求证：；（2）如图2，如果，求的值；（3）延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于，求弦的长．【答案】（1）证明见解析；（2）（3）和【解析】（1）过点O作OP⊥AB，垂足为点P；OQ⊥BC，垂足为点Q，∵BO平分∠ABC，∴OP=OQ，∵OP，OQ分别是弦AB、BC的弦心距，∴AB=BC；（2）∵OA=OB，∴∠A=∠OBD，∵CD=CB，∴∠CDB=∠CBD，∴∠A+∠AOD=∠CBO+∠OBD，∴∠AOD=∠CBO，∵OC=OB，∴∠C=∠CBO，∴∠DOB=∠C+∠CBO=2∠CBO=2∠AOD，∵AO⊥OB，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=3∠AOD=90°，∴∠AOD=30°，过点D作DH⊥AO，垂足为点H，∴∠AHD=∠DHO=90°，∴tan∠AOD==，∵∠AHD=∠AOB=90°，∴HD‖OB，∴，∵OA=OB，∴HD=AH，∵HD‖OB，∴；（3）∵∠C=∠CBO，∴∠OEB=∠C+∠COE>∠CBO，∴OE≠