2025-2026学年下学期湖南衡阳八中高三数学2026年4月三模试卷（含解析）

衡阳市八中2026年高考适应性练习卷(三)数学时量120分钟满分150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,A=A.{x∣−1<x<C.{x∣−2.设z是复数，则“z−2=z−2i”是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BDC=θ1,∠BCD=θ2,CD=d，并在点C测得塔顶A.−dsinC.dcosθ4.已知a1,a2,a3,a4,A.-32B.-16C.132D.5.若存在θ∈R，使得点cosθ,sinθ在圆x−2A.5−1,+∞B.5+6.设A,B,C是半径为1的圆上三点,若AB=1A.1B.32C.37.明代墩式碗是永乐宣德年间青花瓷器的典范.如图所示的明代墩式碗，其内壁可以近似看作一个半径为10cm的半球面.现将碗平放于水平桌面上，在碗中注入少量水，静止时水面的面积为50πcm2，A.30∘8.已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点,A为椭圆C的上顶点,M为椭圆C的右顶点,连接A.2−1B.22C.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.记x表示不超过x的最大整数.若fx=sinA.fx为奇函数B.gx为偶函数C.f10.已知随机变量ξ−B2n,p,n∈N∗,n≥2A.t=0C.t=0nf2t<1211.若点N为点M在平面α上的正投影,则记N=fαM.如图,在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，记平面AB1D1为β，平面ABCD为γ，点A.Q2为△AB.Q1C.当CP=25时，PQ1//D.当三棱锥D1−APB1的体积最大时,三棱锥D三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1+x13.定长为1的线段AB的两个端点在抛物线y=12x2上移动,M为线段AB的中点,则点M14.已知函数fx=ex−x−1,将曲线y=fx绕坐标原点顺时针旋转四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)已知数列an满足a(1)证明:ann是等差数列，并求a(2)设m为整数，且对任意n∈N∗，m≥4a16.(本题满分15分)脑机接口,即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接,实现脑与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量的的_____，_____v_____增大。量x(人)的10组数据.现用模型①y=bx+a，②y=c根据收集到的数据,计算得到下表数据,其中tiytiiii7.52.2582.504.5012.142.88(1)根据残差图，判断应选择哪个模型，并说明理由.(2)根据(1)中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？(精确到1)附:对于一组具有线性相关关系的数据x1,y1,x2,y2,⋯,17.(本题满分15分)如图，在直角坐标系xOy中，A−1,0，B2,0，D−2,0，动点C与A，B两点构成B,C的对边分别为a,b,(1)当C点运动时，探究CD−CB是否为定值，并求出动点C(2)点M,N在点C的轨迹上且满足OM⊥ON,求坐标原点O到直线18.(本题满分17分)设函数fx(1)求gx(2)若x=2是函数f(i)求k的取值范围,并证明函数fx(ii)在(i)中,记函数fx的三个极值点中的最大者与最小者分别为M,m.19.(本题满分17分)如图1,圆内接四边形ABCD中,△BCD为等腰直角三角形,且∠图1图2(1)求AC的长；(2)如图2，将△ABD沿BD翻折，形成四面体ABCD，当AC=(i)求直线AD与平面BCD所成角的正弦值;(ii)找出一组依次排列的四个相互平行的平面α1,α2,α3,衡阳市八中2026年高考适应性练习卷(三)数学时量120分钟命题人:谢德斌满分150分审题人:彭韬题号1234567891011答案DCDBDBBABCABDABD题号121314答案1612一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,A=A.{x∣−1<x<C.{x∣−【答案】D【答案】A=x∣x>4或2.设z是复数，则“z−2=z−2i”是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C由复数模的几何意义知,复数z对应的点Z到点2,0距离与它到点0,2的距离相等,即Z的轨迹方程为y=x3.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BDC=θ1,∠BCD=θ2,CD=d，并在点C测得塔顶A.−dsinC.dcosθ【答案】D在△CDB中利用正弦定理得,CD即dsinθ1+θ在RtΔABC中得,tanα=tan∠ACB故选:D4.已知a1,a2,a3,a4,A.-32B.-16C.132D.【答案】B由题意,要使a5最小,则a1则a2和a4选择2和8,设等比数列的公比为当a4=8,a2=2时,q2当a4=2,a2=4时,q2综上,a5的最小值为-16.故选:B5.若存在θ∈R,使得点cosθ,sinθ在圆x−2A.5−1,+∞B.5+【答案】D法1:令fθ=cosθ−22+sinθ则r2<fθmax法2:考虑反面:对∀θ∈R,圆O1:x2+y2=1内含或内切于圆O2:6.设A,B,C是半径为1的圆上三点,若AB=1A.1B.32C.3【答案】B法1:如图:设A则AB所以AB(当θ=π法2:由题画出图形，则向量AB，AC的夹角为锐角时适合题意，过C作CH⊥AB，交直线AB于点H，则AB故当AH取得最大值时,AB⋅AC设圆心为O,因为圆的半径为1,故△AOB是边长为1且当CH与圆O相切时,AH的值最大,过O作OD⊥AB,交AB于D,连接OC,则四边形ODHC所以DH=OC=1,则AH=AD+DH故AB⋅AC的最大值为32.7.明代墩式碗是永乐宣德年间青花瓷器的典范.如图所示的明代墩式碗，其内壁可以近似看作一个半径为10 cm的半球面.现将碗平放于水平桌面上,在碗中注入少量水，静止时水面的面积为50πc若将碗缓慢倾斜，使得水可以从碗口倒出，则至少需要将碗倾斜的角度为()A.30∘B.45∘C.60【答案】B图一如图一,由S圆O1=50π,则圆O1半径r=52,又球半径R=OD=10考虑临界状态,如图二,即倾斜后水面恰好经过A,由于水的体积没变,则球心O到水面的距离OO2=d=52,在RTΔO8.已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点,A为椭圆C的上顶点,M为椭圆C的右顶点,连接A.2−1B.22C.【答案】A方法一:如图，连接BF1，因为A为椭圆C的上顶点，所以AF1=A所以△A故aBF2=a设BF2=m,∠BF1=2a−m,由余弦定理有BF12因为BF2=m=aa−c即a+ca2+c2=12c,整理得e3+2e−1方法二:∵AF1//BM,∴AF∴cos∴a2+c2方法三:由lAF2:xc程可得:a2+2ac+c24a2可得e方法四:BxkBM=0−y1a−x1=−y二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.记x表示不超过x的最大整数.若fx=sinA.fx为奇函数B.gx为偶函数C.f【答案】BC对于A:取x=π6,则对于B:g−x=cos−x=cos对于C:显然fπ=对于D:显然gπ=故选BC.10.已知随机变量ξ∼B2n,p,n∈N∗,A.t=0C.t=0nf2t<12【答案】ABD对于A,t=02nf对于B,因为t=02ntft=对于C,当p=q=12时,t=对于D,因为2n+1p=12+p,所以当t=12证明如下:若ξ∼Bn,p若Pξ=k>Pξ=k−故当k<n+1p时,Pξ=k单调递增,当即当n+1p为整数时,k=n+1p或当n+1p不为整数,k为n+1p故选:ABD.11.若点N为点M在平面α上的正投影,则记N=faM.如图,在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,记平面AB1D1为β,平面ABCD为A.Q2为△AB.Q1C.当CP=25时，PQ1//D.当三棱锥D1−APB1的体积最大时，三棱锥D【答案】ABD因为fγP=C,连接CA1,则有CA1⊥平面AB1D1,CA1∩平面AB1D1=Q2,CA=CB1=CD1,△AB1D由BD⊥AC,BD⊥CC1,可得BD⊥平面ACC1A1,Q1,Q2∈平面ACC1A1,则由Rt△MACPQ=2−t3,易得Q1C=2由tan∠PQ1C=tan∠MAC得:t232−当P与C重合时,VDi−APBi=VP−ABiDi最大,P−AB故选ABD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1+x【答案】16展开式中的常数项为113.定长为1的线段AB的两个端点在抛物线y=12x2上移动,M为线段AB的中点,则点M【答案】1依题可设l由yAB所以yM=y1+y14.已知函数fx=ex−x−1,将曲线y=fx绕坐标原点顺时针旋转【答案】22−2ln易知f0=0,令f′x又fln2=1−ln2,所以曲线y=fx整理得x−y+1−即函数gx的最小值为−四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)已知数列an满足a(1)证明:ann是等差数列，并求a(2)设m为整数，且对任意n∈N∗，m≥4a(1)由已知得an所以ann是首项为1,公差为13的等差数列.所以故an的通项公式是nn(2)由(1)得4an=12nn+2=61n−1S=632−1n又S11=9−12−6注:先说Sn是递增数列,再说Sn→9n→∞,从而m的最小值为9,也可以。如果没说Sn是递增数列,直接从Sn16.(本题满分15分)脑机接口,即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接,实现脑与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量y(单位:亿元)与研发人员增量x(人)的10组数据.现用模型①y=bx+a，②y=c+dx分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程,ytiiii7.52.2582.504.5012.142.88(1)根据残差图，判断应选择哪个模型，并说明理由.(2)根据(1)中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人?(精确到1)附:对于一组具有线性相关关系的数据x1,y1,x2,y【答案】(1)选择模型②(2)y=0.64(1)选择模型②，理由如下:由于模型②残差点比较均匀在落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以模型②比较合适.4分(2)根据模型②，令t=x,y与t则d=i所以c=则y关于t的经验回归方程为y=0.64t+6.06,所以y关于x由题意,y=0.64x+6.06>8,解得x>97所以,要使年收益增量超过8亿元,研发人员增量至少为10人.-15分17.(本题满分15分)如图，在直角坐标系xOy中，A−1,0，B2,0，D−2,0，动点C与A，B两点构成△ABC，△ABC中角A(1)当C点运动时,探究CD−CB是否为定值，并求出动点C(2)点M,N在点C的轨迹上且满足OM⊥ON,求坐标原点O到直线解:(1)在△ΛBC中，由正弦定理有:a-3分而cos∠CAD+cos∠CAB=01+b2−C∴CD=a+2根据双曲线定义,点C的轨迹为x2−(2)由题直线MN斜率不为0,设其方程为x3Δ=又OM⊥即x1x2+y1y2=m点O到直线MN的距离d=n18.(本题满分17分)设函数fx(1)求gx(2)若x=2是函数f(i)求k的取值范围,并证明函数fx(ii)在(i)中,记函数fx的三个极值点中的最大者与最小者分别为M,m.证明:fM−fmM−m<k2e−k1g′(2)(i)f′x=x1∘.当k≤e时,gx≥0,得exx−k≥0,所以fx在0,2∘.当e<k<e22时,gx在0,又g1k=ke1k−k=ke1k−1>0,g2=e22当0<x<x1时,gx当x1<x<x2时,g当x2<x<2时,gx当x>2时,gx>0,此时x=23∘.当k=e22时,g2=0当0<x<x1时,gx当x1<x<2时,gx当x>2时,gx>0,此时x=24∘.当k>e22时,则由2当0<x<x1时,gx当x1<x<2时,gx当2<x<x2时,gx当x>x2时,gx>0此时x=2是fx的极大值点,x1及x2综上得k>e(ii)由(i)的讨论知,fx的三个极值点分别为x1,2所以m=x1,M=x2,而gx=0的两根为fx1=ex1x12−k2x1+lnx1即证k1x1x3−1<k2e−k,即转化为证明x1x2>ek即可;只需证要证:0<e1−x2<x1<1,由(1)知gx=exx在0,1上单调递减;即证可得ex2<ee1−x2令hx=1−lnx令ux=xe1−x−1,x>1即ux<u1=0,所以h′x<0因此hx<h119.(本题满分17分)如图1,圆内接四边形ABCD中,△BCD为等腰直角三角形,且∠图1图2(1)求AC的长；(2)如图2，将△ABD沿BD翻折，形成四面体ABCD，当AC=(i)求直线AD与平面BCD所成角的正弦值；(ii)找出一组依次排列的四个相互平行的平面α1,α2,α3,(方法一)(1)在圆内接四边形ABCD中，△BCD为等腰直角三角形，∠BCD所以∠BAD=90∘，在Rt△ABD中，因为ABBD=AB2+在△ABC中,cos∠由余弦定理得AC所以AC=3(2)以BD的中点O为原点，以OB，OC方向为x，y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz,则(i)设Ax,y,z,由又因为AC=所以x解得x=−22,y则AD=−22,22,−1.取平面BCD的一个法向量n=0,0,1,设直线所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为22.-10(ii)如图所示,取AB的三等分点P,Q,AC的中点M,过三点D,P,M作平面α2,过三点O,Q,C作平面α3,因为DP//OQ,DP⊄平面α3,OQ⊂平面α3,所以DP//平面α3,同理PM//平面α3