用模型建构与运算意义贯通连除乘除混合问题-小学三年级数学下册单元教学设计

用模型建构与运算意义贯通连除乘除混合问题——小学三年级数学下册单元教学设计

一、教学背景分析

（一）学科核心素养视域下的课程定位

本教学设计对应人教版三年级数学下册第四单元例4及相应练习内容。三年级处于小学阶段“数与代数”领域的关键转折期：学生已掌握表内乘除法与一位数乘除两位数，但尚未正式建构“归一”“归总”等典型数量关系模型。本课从“运算技能训练”转向“数量关系分析”，是学生从“算术思维”向“代数思维”萌芽的重要节点。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本课核心素养培育指向“数感”“量感”“运算能力”的夯实与“模型意识”“应用意识”的启蒙。

（二）认知起点与学习路径建构

学生在二年级下册已学习表内除法、三年级上册接触乘加乘减两步混合运算，三年级下册第一单元掌握位置与方向，第二单元学习一位数除三位数。此时学生具备如下认知特征：能正确计算除数是一位数的除法式题，能借助直观情境列分步算式，但面对“连续等分”情境时，易出现“谁除以谁”顺序颠倒；对综合算式中的小括号必要性理解停留于“改变运算顺序”的技术层面，未能真正内化为表达先算总份数的逻辑工具；在问题解决过程中，多数学生习惯于“从已知推到未知”的综合法，较少主动使用从问题出发的分析法进行思路梳理。

（三）跨学科视野下的教学价值重构

数学是认识世界的工具。本课以“集体舞编排”“图书整理”“游泳训练”等真实情境为载体，与体育学科运动组织、美术学科队列构图、综合实践活动校园服务产生自然联结。通过“画图表征数量关系”这一核心策略，学生将语言文字转化为几何直观图形，实现数学与美术表达方式的融合；通过“计算泳道长度”等变式问题，将体育学科中“来回”的生活概念转化为“2倍”的数学抽象。这种跨学科视野不追求形式上的多学科拼盘，而是以数学学科为内核，以真实问题解决为主线，实现不同领域知识在思维层面的融会贯通。

二、教学目标矩阵

（一）基础性目标

第一，知识与技能维度。学生能结合具体情境，运用连除或乘除混合两步计算解决涉及“连续平均分”的实际问题；能正确列出分步算式与综合算式，理解连除算式与带小括号乘除混合算式之间的等价关系；掌握同级运算按从左到右顺序计算、有括号先算括号内的运算规则，计算正确率达到百分之九十五以上。

第二，过程与方法维度。学生能借助圆片摆一摆、直条图画一画、线段图标一标等多元表征方式，外显自己对“60人平均分成2队、每队再分3组”这一连续等分过程的理解；能在独立思考基础上与同伴交流两种不同解题思路——先求每队人数再求每组人数，以及先求总组数再求每组人数；能通过比较发现两种方法的内在联系，即无论从哪个角度切入，最终都是在求平均一份量。

（二）发展性目标

第一，模型意识启蒙。学生能从“集体舞分组”这一具体情境中提炼出“总数→两次均分→每份数”的结构特征，并能将该结构迁移至“装杯子”“运图书”“游泳池长度”等同类问题情境，初步感知连除问题的数学模型。

第二，逻辑思维可视化。学生能用自己的语言完整表述“第一步算的是什么、为什么先算这一步、第二步算的是什么、单位名称是什么”，实现内隐思维过程的外显化与条理化。这是三年级逻辑思维启蒙的核心抓手。

第三，策略优化意识。学生在经历多种方法解题后，能根据数据特征（如总组数是否为整除数）初步判断不同方法的简便性，不盲目追求方法数量，而关注方法选择的合理性。

（三）情意目标

第一，通过解决“集体舞表演”这一贴近校园生活的问题，感受数学在活动组织中的实用价值，增强用数学眼光观察校园生活的意识。

第二，在小组交流中学会倾听他人思路，尊重不同解题路径，体验“殊途同归”的思维乐趣，形成理性包容的学习品格。

三、教学重难点的深层解构

（一）核心教学重点

掌握用连除与乘除混合两步计算解决“连续平均分”问题的数量关系模型。其本质是理解“两次平均分”与“一次平均分”之间的等价转换。重点的突破不在于反复操练计算，而在于通过图形表征让学生看见：把60先分成2大份、每大份再分成3小份，等价于直接把60分成（2×3）小份。

（二）教学难点及成因

难点一：问题解决策略中“先求总份数”思路的自主生成。学生受生活经验限制，容易感知“先分大组再分小组”的直观顺序，较难自发想到“先算一共分成多少个小组”。这一思路需要逆向重组信息，对三年级学生属较高阶思维活动。

难点二：综合算式60÷（3×2）中括号意义的深度理解。学生在三年级上册初步接触小括号，知道“括号改变运算顺序”，但对于此题中“为什么要先算乘法”缺乏运算意义层面的支撑——不是单纯为了改变顺序，而是因为逻辑上必须先算出“一共分成了6组”这一总量，才能用总数除以总份数得到每份数。括号在此处不仅是运算符号，更是思维顺序的标点符号。

四、教学准备与学具开发

（一）教师教学材料

开发结构化板书磁贴三组：第一组为“信息卡”（60人、2队、每队3组）；第二组为“运算符号卡”（÷、×、＝、（））；第三组为“单位名称卡”（队、组、人）。采用可移动磁贴，便于在师生对话中动态生成板书结构。

制作动态课件一帧：将集体舞队列抽象为可拖拽的长条模型。初始页面呈现一个代表60人的长条，鼠标拖动可将长条纵向分割为2段（每队），再次拖动可将其中一段横向分割为3小段（每组）。课件支持逆向操作：将60人长条一次性横向分割为6小段，再两两组合为2队。此动态表征为学生提供视觉化的数量关系锚点。

（二）学生学习材料

每人一张A4学习单，正面印有无分割的空白长方形三个，供自主画图；背面印制结构化的解题记录区，包含“我是这样画图的”“我的分步算式”“我的综合算式”“我的检验过程”四个模块。

每小组配备一个学具信封，内含60个圆形磁扣（代表60名女生）及2根皮筋（用于捆扎分队）、6个小型收纳盘（用于代表每组）。低门槛的实物操作材料保障所有学生均能参与意义建构。

五、教学实施过程

（一）启动阶段：先行组织者策略下的情境导入

上课伊始，课件呈现校园真实场景：六一儿童节集体舞彩排照片。教师以活动组织者身份发问：“三年级有60名女生参加集体舞表演。如果要把她们排成2个方队，每个方队排成3列，每列人数同样多。你能帮体育老师算一算，每列应该站多少人吗？”

此导入区别于教材直接呈现“平均分成2队，每队平均分成3组”的表述，刻意使用生活化语言“方队”“列”，旨在避免学生机械套用“先÷2再÷3”的程式，促使学生必须经历将生活情境转化为数学结构的思维加工过程。设计意图指向课标所强调的“从真实情境中提出数学问题”能力培养。

教师板书核心问题后，不急于要求学生列式，而是发布第一个认知指令：“不着急写算式。请你先用画图的方式，把‘60人、2个方队、每个方队3列’这些信息清清楚楚地画出来。画完以后，在小组里互相看一看，你画的图能让别人一眼看明白这些信息吗？”

此环节借鉴美术学科“信息可视化”原理，将文字语言转译为图形语言。学生画图可能出现三种水平层次：水平一为具象人物简笔画，画60个小人再圈圈分分；水平二为符号替代，用圆圈或三角形代表10人或5人，再用集合圈表示队与组；水平三为抽象直条图，用一个长方形代表总人数，通过纵向与横向分割表示层级关系。教师巡视时，有意识地收集第三种抽象水平的学生作品，用于全班分享，引导从“画得像”转向“画得清楚”。

（二）探究阶段：多元表征与策略对话

1.独立尝试与表征外显

学生画图完成后，教师组织全班聚焦一个典型的分步列式：60÷2＝30（人），30÷3＝10（人）。提问：“这位同学的第一步60÷2＝30，他在图上看的是哪一部分？请你到黑板前，用老师的磁力贴片，把这一步表示的意思摆出来。”

被邀请的学生需完成双重任务：先用手指在投影图或黑板上明确指出“第一步算的是哪个数量”，再将磁力信息卡“60人”“÷”“2队”排列并拖动得出“30人/队”。这一外显操作将抽象的算符还原为具体的动作，为全班学生建立“算式每一步对应图形哪一部分”的视觉锚点。

接着追问：“如果只列一个综合算式，怎么写？”学生自然生成60÷2÷3。教师板书并示范读法：“60除以2再除以3”。此处顺势完成运算顺序教学——没有括号的同级运算，从左往右依次计算。但此环节仅点到为止，不做过度操练，因为本课核心目标不是计算技能，而是数量关系理解。

1.认知冲突诱发与第二路径建构

教师出示一个精心设计的问题：“同一个问题，小明列的算式却是60÷（3×2）＝10。他在第一步算的是3×2＝6，这个6表示什么？他为什么要先算乘法？你们能在图上也找到这个6吗？”

这个问题是突破本课难点的关键引爆点。三年级学生此前经验中，解决问题几乎都是按照事情发生的先后顺序列式——先分队再分组。现在有人“先算乘法”，打破了他们的思维定势。此时，实物学具操作的价值充分凸显。学生以小组为单位，取出学具信封中的60个磁扣与收纳盘，动手模拟分的过程。一部分小组按照先分2队、每队再分3组操作；另一部分小组尝试先算总组数——将6个收纳盘一次性摆开，再将60个磁扣平均放入6个盘中。

动手操作后，两组代表在全班进行“分法对比”。教师板书两种思路的核心区别：第一种是“分两次，每次分一份”；第二种是“先知道一共要分多少份，一次分完”。学生在对比中发现，无论分两次还是一次分，本质都是“总数除以份数等于每份数”，只不过份数的呈现方式不同——第一种份数隐藏在两步骤中，第二种份数直接用乘法算出。

此时，关于括号的教学从技术层面升华为意义层面：为什么要加括号？因为我们要在除法之前，先把“一共多少组”这个份数算出来。括号在这里不是“改变顺序”的符号，而是“我要先说哪件事”的逻辑标记。

1.算理融通与模型初建

教师呈现两组算式并置板书：

左侧：60÷2÷3＝10

右侧：60÷（3×2）＝10

提问：“从计算结果看，这两个算式是相等的。仔细观察，左边算式的后两个数2和3，到了右边算式发生了什么变化？为什么可以这样变？”

这个问题将学生思维引向运算规律的初步感知。学生通过观察发现：连续除以两个数，等于除以这两个数的乘积。教师不做过度拓展，仅将此发现作为“两种思路殊途同归”的数学印证，让学生感受数学内在的和谐统一，为进一步学习除法的运算性质埋下伏笔。

（三）深化阶段：变式对比与模型去情境化

1.变式一：总数改变，层级不变

呈现问题：“学校图书馆新购进840本书，准备摆放在同一个书架上。这个书架有3层，每层可以放7堆，每堆放的书一样多。每堆放多少本书？”

此题将人数置换为本数，“队”“组”置换为“层”“堆”，数量关系结构完全一致。学生独立完成后，重点交流“840÷（3×7）”这一步括号里的乘法表示什么。要求学生不重复“先算一共多少堆”这一表层表述，而是抽象表达：“第一步求的是总份数，第二步用总数除以总份数得到每份数。”

2.变式二：运算顺序不变，表征方式逆向

呈现问题：“王叔叔运一批货物，3辆卡车运2次，一共运了72吨货物。平均每辆卡车每次运多少吨？”

此题在结构上与例题同属“连续平均分”，但学生对“每辆每次”的复合单位理解存在认知跨度。此处引入线段图分层分析法：先用一条线段表示72吨，平均分成3大段（每辆车运的），再将每大段平均分成2小段（每次运的）。通过画图，学生自然生成72÷3÷2或72÷（3×2）的算式。此变式旨在强化“无论对象是人、书还是货物，只要经过两次等分，都可以用连除或乘除混合解决”的模型抽象。

3.变式三：先乘后除的乘除混合

呈现问题：“小军去游泳池游泳，他在泳道里游了4个来回，共游了400米。这个游泳池的泳道有多长？”

这是本课最具思维含金量的变式题。体育术语“来回”是生活语言，转化为数学语言即“2倍”。学生初次接触时，往往直接用400÷4＝100（米），误以为100米是泳道长度。教师不直接纠正，而是请理解“来回”含义的学生起立，在教室过道走一个来回，全班观察起点与终点的位置，数一数一个来回包括几段泳道长度。

通过身体参与，学生理解“一个来回＝2个泳道长度”，进而“4个来回＝8个泳道长度”。此时，数量关系转化为“8段共400米，每段多少米”，列式为400÷8＝50（米）。若列综合算式，则需先算4×2＝8，再算400÷8，即400÷（4×2）。此题的独特价值在于，它不是显性的“平均分成几队几组”，而是将“份数”隐藏在对术语的解读中，对学生模型识别能力提出更高要求。

（四）巩固阶段：练习设计的思维层级进阶

1.基础性练习：算理对应匹配题

呈现三个情境与六个算式的连线题。情境A：960个杯子，6个装一盒，8盒装一箱，求能装多少箱？情境B：576张照片，每本相册2页，每页放4张，求需要几本相册？情境C：4只燕子5天吃害虫480只，求每只燕子每天吃多少只？

右侧呈现算式：576÷2÷4、576÷（4×2）、480÷4÷5、480÷5÷4、960÷6÷8、960÷（6×8）。学生需将算式与情境连线，并说明每个算式第一步求的是什么。此题剔除列式计算环节，直接聚焦于“算式意义”的理解，是对本课核心目标的高度聚焦。

2.结构性练习：补条件与提问题

呈现半结构化问题：“实验小学三年级有216名学生参加研学活动。，。平均每辆车坐多少人？”

要求学生补充两个条件，使问题能用连除或乘除混合解决，并列出综合算式。开放性任务促使学生主动调用本课所学模型。学生可能补充“租了4辆车，每辆车坐2组”，也可能补充“每辆车坐3组，租了6辆车”。此环节的价值在于，从“解题者”转向“命题者”，从被动应用模型转向主动建构模型。

3.拓展性练习：数据诊断与策略优化

呈现两名学生的作业。小明在解决“960个杯子装多少箱”时，列式为960÷6÷8＝20（箱）；小华列式为960÷（6×8）＝20（箱）。教师提问：“如果题目中的数据改为972个杯子，6个装一盒，8盒装一箱，你更愿意用哪种方法？为什么？”

学生通过估算发现，972÷6÷8需要两次笔算，而972÷（6×8）＝972÷48，除数48接近50，可用口算估算。此环节引导学生在方法多样化的基础上走向方法优化，初步感知根据数据特征灵活选择策略的运算智慧。

（五）总结阶段：从具体方法到思维图式

教师组织学生回顾本课学习历程，围绕三个层次展开梳理：

第一层，知识性回顾：“今天我们解决的这些问题，有什么共同的特点？”引导学生归纳出“都是把一个总数连续平均分成两份”。

第二层，策略性回顾：“当我们遇到连续平均分的问题时，可以从哪两个角度思考？”引导学生梳理出“一步一步分”和“先算一共分多少份”两种基本策略。

第三层，反思性回顾：“今天哪一道题让你印象最深？你原来是怎么想的，后来有什么变化？”鼓励学生用“我原来以为……后来发现……”的句式分享认知冲突与转变过程。这一元认知追问，正是逻辑思维能力从“外显操作”走向“内省反思”的关键一步。

六、板书设计逻辑架构

黑板主版面采用左右分栏结构。左侧区域标题为“一步一步分”，自上而下排列：60人→先÷2得30人/队→再÷3得10人/组，对应磁贴呈现60÷2÷3＝10。右侧区域标题为“先算一共多少份”，自上而下排列：2队×3组＝6组→60÷6＝10人/组，对应磁贴呈现60÷（3×2）＝10。黑板中下方为图形表征区，贴有两幅学生典型直条图：一幅为纵向分割2份后再横向分割3份，另一幅为横向分割6份后圈出2份为一队。

板书核心处用红色粉笔醒目书写核心关系式：总数÷份数＝每份数。并在“份数”二字下方，用箭头分别指向“2×3”与“2队→每队再分3组”。整幅板书呈现的是“一核二元”结构：一个核心数量关系，两种不同路径的份数求法。

七、教学评价设计

（一）过程性评价嵌入

本课不设终结性纸笔测试，采用嵌入式表现性评价。教师手持观察记录表，在小组合作环节重点记录三类表现：一是能否清晰解释自己每一步算式的含义；二是在他人呈现不同方法时，能否复述对方思路并比较异同；三是在实物操作中，能否正确将学具分配与算式书写对应起来。每类表现分三个等级，以描述性语言记录，不赋分不排名，作为后续教学调整依据。

（二）思维可视化评价

学习单背面“我的解题记录”模块本身就是评价载体。学生需要画图、列式并写一小段“方法自述”。教师收集典型作品，从“表征准确性——图与数是否对应”“表征结构性——是否体现层级关系”“表征抽象性——是否从具象图形走向直条模型”三个维度进行质性分析，用以诊断学生从直观思维向抽象思维过渡的个体差异。

（三）延迟评价与持续追踪

本课“先求总份数”思维属于高阶认知活动，部分学生无法当堂独立生成。教学设计明确采取“延迟评价”策略：不要求所有学生当堂必须独立列出带括号的综合算式，能理解、能在他人的思路启发下指认“这里先算的是总份数”即视为达标。允许部分学生在本单元后续练习及期末复习中逐步完成认知建构。

八、教学反思预设

本教学设计最大的突破在于将传