2024年数值分析知识点总结

数值分析知识黠^!结

阐明:本文只提供部分很好的例IS，更多例题参照老肺布置的作业II和牛有关例题。

一、第1章数值分析与科^计算引论

1.什么是绝封误差与相封误差？什么是近似数的有效数字？它与绝封误差和相封误差

有何关系？

答设工为准确值，工•为工的一个近似值，称e*=x*一］为近似值工•的绝对误差，简称

误差.近似值的误差e。与准魂值工的比值匚=匚=称为近似值小的相对误差•记作e；.

XX

通常我们无法知道误差的准确值,只能根据测址工具或计算情况估计出误差绝对值的一

个上界£•,€•叫做近似值的误差限.

相封误差限：£；=■的壹珅上界。

有效数字：假如近似值X,的误差限是某壹位的半彳固罩位,该位到F的第壹位非零数字

共有0位，就共有〃位有效数字。即父=土10mx(>+…+邛X2。介、,其中

用工0，并且।12。其中m位该数字在科擘计数法畴的次方数。例如9.80的m

值悬0,n值3,绝射误差限0"2切0.

2.壹种比很好用的公式：

的的误差限：

£(/(/)，|八©//)

例II：

5.计算球体积要使相对误差网为1%,向度量半径R时允许的相对误差限是多少？

解球体体积公式为体积计算的条件数

C一件卡“

铲R

・

所以e,(V)aC,•e,(R-)=3er(R-).

又因为金(V)=1%,所以度量半径R时允许的相对误差限

o=lCr(V-)=lxl%^0.0033.

，*>

二、第2章插值法

1.什么是拉格朗日插信M函数？它们是如何构造的？有何重要性质？

答若"次多项式2/r）G=0,l,…，”）在«+1个节点x3<x,<-<x.上满足条件

（1.*"J.

Z/x*）—{,.j.k=0.1»•••»«»

10.卜丰j,

则称这n+1个n次多项式，。（工），。（外，…,/・（£》为节点XO.JL-.X.上的«次拉格朗日播

值基函数.

以/，《外为例，由。（工）所满足的条件知。《外以4,…血T为零点,再考虑

到。Q）为"次多项式，故可设

Z*（x）A（x—x«）•••（.x—Xt-i）（x—xM）••,（x—x.）»

其中A为常数.利用，,（*）=】得

1—A（zt-Xo）-（X»-—£11〉”•（£'—占〉，

故

A=____________________1_____________________

5-No）…（N.-Ni）（N*-Ng）…5-X„）,

即

.>_（工一了<>"（土-工1）《工一小:）…G-N・）_rr工一工i.

fX

*（X4—x>）—（x,-x*jXx>-X^>>—（X|­X.）悬HA-

■I

对于Z.（x）（r=0.】•…，外），有=z"4=0,19…•加，特别当A=0时，有

<-c

.£?<力=i.

例题:

2.给出/（工）=后工的数值表;

X0.40.50.60.70.8

Inx-0.916291-0.693147.-0.S10826一0.356675-0.223H4

用线性插值及二次插值计算In0.51的近似值.

解线性播值.由于工-0.54,介于0.5和0.6之间,故取了。=0.5,j-0.6.这时插值余

项中的W<N）=（工一工。“工一上|）的绝对值最小.于是山二一0.693147,yi=-0.510826.代人

拉格朗日线性插值多项式，得

Li<0.54）=.y0+ZZLEL.v,

•Xo-XiXi—10

（）-（）

=■0.5[—一0廿.6:X-0.693147+需0.6—0^.5X-0.510826

«s-C.620219.

所以InO.54*sL,（O.54）^-0.620219.

当然还可以按其他方式取⑥.为，但近似程度可能差些.

二次插值.由于工=0.54与0.5,0.6及0.4的距志较近.故取xe-0.4,^=0,5.x：=0.6,这

时插值余项中的“（工）・（了一匹,）（了一为）（工一工，）的绝对俏境小.于是Jp=-0.916291,

>i--0.693147,y,=-0.510826.代入拉格朗H二次插值多项式,得

—=（工二:蚩黑”(Z—2c)(Z-H：),

(xj—XO)(X1—Xi)»

(X：—-Xi)"

(0.54-0.5)(0.54-0.6)

X(-0.916291)

(0.4-0.5)(0.4-0.6)

,(0.54—0.4)(0.54—0.6)r,..7.

十(0.5-0.4)(0；5-0.6)*(一工693147)

,(0.54-0.4)(0.54-0.5),、...女永、

+7076-0.4)(0.6-0.5)Xv(f一工。10826)

内一0.615320

乔以InO.54««L：(O.S4)^*-0.615320.

Z.什么是牛顿基函数？它与单项式基（1，工•…，工”）有何不同？

答称<1,]一工0.（工一工0）（工一工1）,…・《工一工0）…（工一工・1））为节点工0，幻•…，工•上的

牛顿基函数.利用牛顿基函数•节点%>，E••••*,上函数/（工）的n次牛顿插值多项式P“（z）

可以表示为

P,（x）=Co十&（工一须）十4-a.（z-x0）••,（x-x>j）.

其中马，…，工门a=o,i,…，〃）.与拉格朗口插值多项式不同，牛顿插值基函数在增

加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如

Pf（工）=P，N）十即1（工—Nc）…（H—Z»），

其中是节点色出.・・・.3」的A+1阶差商，这一点要比使用牧项式茶口・工，方f

得多.

3.什么是函数的n阶均差？它有何重要性质？

答称人4,工门=^^包叱为函数〃工）关于点工。内,的一阶均差，称/［/，5，与1

N.—Xo

儿2，巴］二“色，王u为八公关于点工”,，力的二阶均差.一般地，称

“，，•••一―，4.2，儿］一/（>0"】「・，"】】

J\_X0»x）,,•,,X,J—，------------------,

工・~7«-l

为f工（）关于点No，工1，…，工.的〃阶均差.

均差具有如下基本性题I

（1）〃阶均差可以表示为函数值〃工。），/（石），…J（Z・）的线性组合，即

f.Xo,JC\,'N'=:但一丽〉…5一工厂\）5—…5X,）,

该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具甫•对称性.

（2）/u1，…血小仙,』，•二也H&kVL.

工一工。

（3）若，（彳）在［a,布上存在n阶精数，旦花点工o，z；，…,则n阶均差与n阶J

数的关系为

f［.x0,x}£61a，瓦.

4.写出”+1个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同？

答给定区间［。方］上”+1个点

。&NoV心<•••<Jr,C6

上的函数值y；=/Gc,）（iR）,l，…，n）,则这n+1个节点上的拉格以日插值多项式为

■

U（x）=S4*《工），

“0

其中

R

"（工）=JJ修,—［>=0.1

这n+l个节点上的牛银插值£藤式为

P.（x）=a0+a5（x-xa）4-,,•4-a.（x-xn）•,,（x-x^））,

共中ak=f\_x0,x!，…，工门3=0,1,…，N）为/（工）在点Jo»xt,•••,x（上的氏阶均差.

由插值多项式的唯一性,L.Cr）与巴（工）是相同的军项式，其差别只是使用的茶底不同，

牛顿插值多项式具有承袭性•当增加节点时只需增加一项,前面的工作依然有效，因而牛顿插

值比较方便计算,而拉格明日插值没有这个优点.

5,给出插值多项式的余项体现式,怎样用其估计截断误差？

答设厂'(］)在［。㈤上连续在Q⑻内存在•节点a<KVqV”Yz,46,

L.G)是满足条件L.Gr,)二y(j=O,l.…㈤的插值多项式，则对任何工6］。同.插值余项

&(z)=f(x)-L.U)=广：建”⑺，

(n+D!

这里FW(。,6)且与X有关3T(工)=(2—工;()(工一工1)…(N—工.).

若有明|"+”《幻则L.G)逼近八3的截断误差

IRQ)I4(急；川MG)I.

6.三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪壹种更优越？

答三次样条插值要求插值函数SGr)在整个区间上是二次连续可微的，即SGOeC^a”］,

且在每个小区网Dr,,巧“It是三次多项式,插值条件为

SG,)=_y,,j-0,1,

三次分段埃尔米特插值多项式L(z)是插值区间［。，幻上的分段三次多项式，且八(外在

整个区间上是一次连续可微的,即八(工)€C［a.口，插值条件为

Z*(x»)=/(x*)«K(n)=/(h・),k=0,1,•••♦«.

分段一次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值•而且还需要节点

处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的.三次样条函数只需给出节点处的函

数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微,所以相比之下•三次样条插值

更优越一些(注意要添加边界条件).

7.确定n+1值I节黠的三次样条插值函数需要多少他参数？^确定ig些参数，需加上

什么条件？

答由于三次洋条函数S(z)在每个小区间上是三次多项式，共形式为。+酎+6‘+

所以在每个小区间［巧.巧♦门上要确定4个待定参数，〃+1个节点共有〃个小区间，故应

确定4”个参数,而根据插值条件,S(工“=»,(/=0.1,…・n)和一次连续可微所戢含的条件

S'(z,-0)=S'(工,+0)(1=：,2"“，〃-1》,共有4n2个条件,因此还需要加上2个条件，通常

可在区间［。,切的端点。一久》=区上各加一个边界条件，常用的边界条件有3种：

<1)已知两端的一阶导数值.即

s,(.xo)=A*(x.)=A.

(2)已知两端的二阶号数值,即

5*(10)=，，S*(J：.)—f..

特殊情况为自然边界条件

S*(xo)=0，S*(x.)-0.

(3)当/(幻是以工,一工。为周期的周期函数时,要求SQ)也是周期函数,这时边界条件就

满足

S(xo+0)=S(x.-0),3(%+0)=S'(H.-O),5*(x0+0)-S*(r.-0).

这时SCz)称为周期样条函数.

8.三弯矩法:

^了得到三次样条体现式，我优需规定某些参数：

S(x)=My包*4+M”十(y—誓)理二

0/1,b/\0/nf

/M八—_r,.,,.

+("---冒工)一厂"/=0.1，•”,”1.

这里M,(j=0・l是未知的.为了确定M,(j=0J•…・E)・对SGr)求导得

由此可求得

S%,+0)=_.M,+町-X.

O0h,

类似地可求出S0)在区间Dr,一可]上的表达式,进而得

s'5-o>=2Ml+与M

63hj।

利用S'(.+0)=S'Cr'-0)可得

।+2M,+3M,T=d,,j=1.2,…，〃一I.

其中

„_忙ij_〃，

%j+hj…;丁”；’

d,=6E"，*，；1：4rL口/=6/E.I/-1.z,,巧,i].j=1,2,…，”一1,

tt于第壹种边界条件，可导出两彳固方程：

2M0-Mi=m(/O。，工J—/：)・

/in

■

M2M.=^-(/^，―f\_xH।»x„]).

如果令入o=l.d。=，(/Oo,1J—=1".=，一(/：—/[/.i,x,])

,那么写成矩阵形式：

2Ao&

2A14

P-1A.-M..乩

2M.

公式1

封于第一种边界条件，直接得端黠方程：

M。=M»M1t=M

如果令解=产.=0，&>=2,,4”=2/”

，则在道彳固条件下也可以写成如上公式1的形式。

封于第三种边界条件，可得：

M,>=MK,A,M)+““Mi+2MK=d.

其中

乐

h„-i+h0

4=6

儿+心1

也可以写成如下矩阵形式:

式

公2

求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。（追赶法详见第五章）

例题：数值分析第5版清华大擘出版社第44页例7

三、第3章函数迫近与迅速傅更叶变换

】•设)€同，写出三种常用范数|/八，||/1|z及||)1|8.

答若/(G€Cta">1则

il/II!-£Ir(x)Idr,

：|/h=(£|^(x)|dr)\

UfII-=max|/(x)|.

2./・《GC「a"］,它们的内积是什么？如何判断函数族｛物，/，…•外)WC［a,名在［a同

上线性无关？

答若/Q),展工)6。［>,编印(幻是［a.6］上给定的权函数，定义f与g的内积为

</<x),g(x))=jp(x)/(x)g(x)<Lr,

特别常用的是展外三1的情形，即

(/(x),g(x))=17<^>X(x)dx.

设(a，伊，…，他>WC［Q,乃,定义其格拉姆矩阵为

L(p..yo)(外，初)•••:.竽.，不).

物，伊，…，物在b，>上线性无关的充要条件是detG(的，物，…，仍)声0.

3.什么是⑶句上带权P(x)的正交多项式？什么是［-LU上的勒让德多项式？它有什么

重要唾？

答设中.(公是0，瓦)上A项系数«.#0的n次多项式,p(N)为上,6］上的权南数,如果多

项式序列(竹(工〉疗满足

「fO,j#h,

(e，a)=J.paR,Cr)a・Q)dN=i,>o,j=3

则称多项式序列”.(*))；'在0间上带权律工)正交，称物(工)为［。，制上带权雇工)的n次正交

多项式.

当区间町为［一1・1：,权函数pGr)=l时•由｛l,z,…*"，…)正交化得到的多项式称为

勒让德多项式,通常用P.Gri.BCr式…,P.GP…表示，其性质如E：

(1)正交性

(09m^4m

fP.(x)P«(x)dx皿v2

J1l^Ti-m'n-

(2)奇偶性

p.c-x)=(-irp.tx).

(3)递推关系

(n+l)P»i(x)=(2n+I)NP.(I)—nP--i(x)«〃=1.2■….

(4)P.(外在区间［-1,1］内由F个不同的实零点.

4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？

答当权函数•区间为［一1・1］时•由序列U,z,…・尸•…〉正交化得到的

Vl-jr

正交多项式称为切比雪夫多项式，可表示为

T.(x)=cos(narccosxf,|工|01,

其重要性质如下，

(1)递推关系

/T0(x)=•1,Tt(x)=x,

iT^Xx)=2MT.G)-TIQ),n=1,2,-.

（2）正交性

0,n#nt：

['T.（x）T,（x）.x一外

—".芸—dx=,丁,n=m0i

入yrr?2

*，n=m=0.

（3）T“（z）只含工的偈次幕.T“+i（z）只含工的奇次赛.

（4）T,（z）在区间上有”个零点

24-1..

x=cos--—次,k=1,Q2,…

k2n

⑸T.Gr）的首项系数为2丁】5=1,2,…）.

（6）设亍.（1）是首项系数为1的切比雪夫多项式,行.为首项系数为1的次数不超过”次

多项式构成的集合,则

maxT（X）Imax|P（x）|.VP（x）CH«.

-1WR

且

maxJf.Cx）1-Ap.

5.用切比雪夫多项式零黠做插值黠得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不壹样?

答切比雪夫多项式零点（切比雪夫点）是单位圆周上等距分布点的横坐标，这些点的横

坐标在接近区间的端点处是宙集的，利用切比=夫点做插他.可使插色区间最大误差

最小化，同时还可以避免高次拉格朗日插值所出现的龙格现象，在一定条件F可以保证插值

多项式在整个区间匕收敛于被捕值函数.

6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线畤，常次数n较大畤,^何不

直接求解法方程？

答在最小二乘拟合中.利用求多元的数极位的必要条件并记

（6，牛》）=佻《工，），

.

（/•^*）=工3（工（）/（工,）供《工.）=4,人―0」

«*»

则称关于…，K）的奴性方程密

.

Z（。勺/）。，="■・*=0J，…，刀

/•«

为法方程，也可以写成矩阵形式

Ga=d・

其中0=（%,«|,二,q）T,d=（de",•­•rf,）T»

（仍，他）（白，物）

（仲,中1）（伊，灸）

*■

—（伙・3）（外，@）,■,（佚，外）,

当拟合多项式的次数〃较大时•法方程的系数矩阵G一般是病态的，数值求解法方程不

稳定，因此不直接求解法方程.

例题^参照第3章耆上的作业题和^件上的例题。

四、第4章数值积分与数值微分

1.给出计算枳分的梯形公式及中矩形公式.说明它们的几何意义..

答梯形公式J：/Gr）dT%宁［/Q）+/«）］，其几何意义是用上底为/（a）,下底为

八6）,高为b—a的梯形面积近似曲边梯形的面积（积分值）.

中矩阵公式=3-。）/（宁），其几何意义是用长为6」•宽为/（空）的

矩形面积近似曲边梯形面积（积分值）.

2.什么是求积公式的代数精确度？梯形公式及中矩形公式的代数精确度是多少？

答着某个求枳公式对于次数不超过m的多项式均能准班成立，但对于加十1次多项式

不准确成立，则称该求积公式具有，"次代数精度，梯形公式的代数精度为1,中矩形公式的代

数精度也为1.

3.对给定求积公式的节点，给出两种计算求积系数的方法.

答给定求枳公式的节点《+1个），可取代数精度桁=〃，令求积公式对八幻=1,H,…，

x-都精照成立•然后求解关于加+1个求积系数的线性方程组.确定求积系数.

也可以利用求积节点构造关于被积函数的插值多项式，用插值多项式的枳分作为枳分的

近似值.从而构造出插值型求积公式,事实上这种方法中的求积系数就是插值基函数的积分.

4.什么是牛顿―柯特斯求积？它的求积节点如何分布？它的代数精确度是多少？

答将积分区间作等分，由等距节点构造出的插侑刑求和公式源为牛顿一柯特斯公式.由

于是插值型的，所以n阶牛顿柯特斯公式至少其有n次代数精度.但实际上，当”为偶数时,

牛顿―柯特斯公式至少具有«+1次代数精度.

5.什么是辛普森求积公式？它的余项是什么？它的代数精确度是多少？

答”=2时的牛顿―利特斯公式为辛普森公式，即

S一平7（a）+4f（空）+f（b）］,

箕余项

R［/］/"卬,96（a.W»

辛普森求积公式的代数精度为3.

6.什么是亚合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式.

答为了提育精度，通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），在每个子区间上用

低阶求积公式，这种方法称为复合求积法.若将积分区间〔八打分成”个小区间，在每个小区

间上使用睇形公式•则为亚合梯形公式.即

・1

T.=芸/Q)+2工/5)+/3)],

余项

R.S，卬，r)e(«.*).

7.给出复合辛普森公式及其余项表达式.如何估计它的截断误差？

答友合辛普森公式

,LIir-l

s.=f[/(a)+4X1/2)+2Sf(.xj4-7(W].

余项表达式

凡S=-需修丫厂'卬，”3b).

若/Gr)€C[a,刈，则更合辛普森公式的截断误差

I。—&I&镐田'蟆।尸⑺i.

8.什么是龙贝格求积?它有什么优点？

答龙贝格求积是从梯形公式出发,将区间逐次二分.通过外推算法，逐步提高求积公式

的精度，其优点在于通过一次次的加工,用阶数较低的求枳公式得到超精度的结果•便于编程

计算.

9,什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精确度是多少？为

何称它是具有最高代数精确度的求积公式？

答高斯型求枳公式是适当选取求机节点和求机系数4，4。=0,1,…，冷.使求积公式

具有2n+l次代数精度,高薪求积公式的求积竹点称为高斯点.昔点工一不，…,小是高斯点的

充分必要条件是以这些黄点为零点的多项式

■(H--H|)…《工一工.〉

与任何次数不超过”•的多项式外力带权P(力正交，即

j/•(x)w,.|(x)p(x)dz=0,

所以通常将求积节点取为”+1次带权正交多项式的零点.

10.什么叫高斯-勒让德求积公式？什么叫做高斯-切比雪夫求积公式？

在高斯求积公式中，若取权函数夕(\"1,区间^[-1,1],则得公式:

/(z)cLr*〉：A

公式3

勒让德多项式的零黠就是公式3的高斯黠。形如公式3的高斯公式尤其地称剁高斯-

勒让德求积公式。

若取巳（力=工的零点工。=0做节点构造求枳公式

J/（T）drAo/（O）,

令它对人力=1准确成立,即可定出A>=2.这样构造出的一点高斯勒让谯求枳公式是中

俎形公式.

再取巴（公=[（3/-1）的两个零点±-\构造求根公式

4J3

f/<X）dja人/（一%）+AJ（表卜

在例8中巳经科到A6=A=1.向此求枳公式为

。/⑺业、，（-*）+/信）.

三点高斯勒让德公式的形式是

[J-RQ（-率）+|/（0）+打（冬）.

表4-7列出高斯勒让德求积公式（6.11）的节点和系数.

*4-7高斯-独让・求职公式的节点和系数

rt

1•・A・XiAt

±0.86113630.3478548

00.00000002.00000003

±0.33998100.6521452

±0.9M17980.2369269

1±0.57735031.00000004±0.53846930.4786287

0.00000000.5688889

±0.93246950.1713245

±0.77459670.5555556

25±0.66120940.3607616

0.000OCX)00.8888889

±0.23861920.4679139

若。=-1力=1,且取权函数

■/1—x1

则所建立的高斯公式

(6.14)

称为高斯切比雷夫求积公式.由于区间［1，口上关于权曲数十=0的正交多项式是切

，1一丁

比雪夫多项式（见3.2节＞,因此求积公式（6.14）的高斯点是”+1次切比雪夫多项式的零

点.即为

工，…（飘江A-。」—

他过计算（见文献［2»则如（6.14）式的系数使用时将”+1个节点公式改为n个

,点,于是高斯切比雪夫求积公式”成

<6.15)

（2—1）

l4.cos__K,

公式余项由（6.10）式可算得,即

风刀=齐篇?尸'卬'"（一1・1）.(6.16)

带权的高斯求枳公式可用于计算奇异积分.

11.什么叫做中黠措施？

数值微分就是用雨数值的线性绢合近似函数在某点的导数值.按导致定义可以简单地

用差商近似导数,这样立即得到几种数值微分公式

/（a）＜gI（£.±A）-/（a）t

fl

3"。）一11）＜8.）＞

/（a）a/Q+./Qi），

其中/1为一增段，称为步长.后构数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算

术平均•但它的误差阶即由oa）提四列。（小）.上面给出的三个公式是很实用的.尤其是中

点公式更为砧用.

中黠公式：

G(h\—A。+h)-JXa-h)

G")-Zh--------

12.插值型的求导公式：

(1)两黠公式：

设已给出两个节点天,为上的函数值八》)),/(').做线性捕值得公式

n3_士工L/S)+三*八了).

xo-X1Xj-To

对上式两端求导，记Zi-=人，有

P'](x)=nJ(x(i)4-/(xi)]»

F是有下列求导公式：

Pi(Zo)=^-[/(Xi)p；(r)=

而利用余项公式(8.4)知.带余项的两点公式是

「(」。)■：「r《Mi)/(x(j)j—gyz,(«)•

f(.x\)=:]/5)—+.■(£).

(2)三黠公式:

设已给出三个节点《・》=工。+八八2A上的函数值,做二次插(ft

PS二产一弋…々+产7。L/5)

<X>-X|)(X»—xz)《Z|-工0)《工1―工；)

+产二段二R/g

\x-i-XoJQxx—1।)

令*=1。+〃，.上式可人亦为

P式4+小)-y«-1)0-2)/(x.)-t(t-2)/(J,)+1r(r-1)/(X,).

两端对/求导•有

Pt(x.4-th)=^[(2/-3)/(x<)-(4/-4)/(J-1)+<2r-1)/(T2)].(8.5)

乙h

这里撤号(')共示对变ht，求号数.上式分别取，=。・1・2.得到三种三点公式：

PZCTO)=3/(xe)+4/(x1)-/(x2)].

PKn>=A[-/<.*■»>

p；<4)=知(工。>-4/3)+3人工2)].

Ln

而带余项的三点求导公式如下：

—=*[-3八看)+4/5)一/5〉]+?"(&)；

<，5)=息一人工.)+〃工力一.广(&),(8.6)

Ln0

Z<X,>-■/《->-4/5)+3/(xt)]+(广(&).

•cho

其中的公式(&6)是我们所熟悉的中点公式.在三点公式中.它由于少用r一个函数值

/(」)而引人注目.

用插位多项式p.a)作为外力的近似函数•还可以建立高阶数值微分公式；