2024年微积分初步期末考试复习指导

《微积分初步》期末考试复习指引

一、课程的考核阐明

考查对象：中央广播电视大学数控技术等专业的学生.

考核形式：平时作业考核和期末考试相结合.

考核成绩：满分为100分，60分为及格，其中平时作业成绩占考核成绩的30%,期末

考试成绩占考核成绩的70%.

考试范围：期末考试命题限定在《微积分初步》课程教学要求所指定的范围.

考试目标：意在测试学生对微积分初步课程所包括的数学基本知识的了解，以及利用

所学习的数学措施处理实际问题的能力.

命题标准：在课程教学要求所要求的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，并在此基

础上突出重点.

考试形式：期末考试采取闭卷笔试形式，卷面满分为HX）分，考试时间为90分钟.

考试要求：考生不得携带除书写用具以外的其他任何用具.

参考教材：本课程的文字教材《微积分初步》（赵坚顾静相主编，中央电大出版社出

版〉参考资料：课程作业（四次），课程教学辅导文章、IP课件及

课程期末复习指引.

试题类型：单项选择题、填空题、计算题和应用题.

单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题

只要求直接填写成果，无须写出计算过程和推理过程：计算题和应用题要求写出演算步骤。

四种题型分数的百分比为：单项选择题20%,填空题20%,计算题44%,应用题16%.

二、课程的考核要求及经典例题

一、函数、极限与连续

（-）考核要求

1.了解常量和变量的概念；了解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.纯熟学

握求函数的定义域、函数值的措施；掌握将复合函数分解成较简单函数的措施.

2.了解极限概念，会求简单极限.

3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点.

（二）经典例题

1.填空题

(1)函数/(幻=--------的定义域是_________________.

ln(x-2)

答案：x>2且x#3.

(2)函数/(x)=一!—十，4一%2的定义域是________________.

ln(x+2)

答案:(一2,—1)D(—1,2]

(3)函数/。+2)=42+4工-7,则/(x)=

答案：f(x)=x2-\\

'.3

(4)若函数/*)=产叼+1，在大=0处连续，则攵=.

k,x>0

答案；k=\

(5)函数/(工-1)=工2-2_¥,则/(x)=.

答案：/(x)=x2-l

r4-1

(6)函数)，=-F-2—的间断点是

X2-2X-3

答案：x=-l,x=3

(7)limxsin—=_________.

X-KOx

答案：1

(8)若lim^^=2,则攵=__________.

iosinkx

答案；k=2

2.单项选择题

(1)设函数y=e,则该函数是().

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

答案：A

(2)下列函数中为奇函数是().

T

2

A.xsinxC.ln(x+71+x)D.x+x

2

答案：c

x

(3)函数)，=」一+111a+5)的定义域为().

x+4

A.x>—5B.xhTC.X>—5且XW()D.X>—5且xhY

答案：D

(4)设/*+1)=工2一］,则/(幻=()

A.x(x+1)B.x2

C.x(x-2)D.(x+2)(x—1)

答案：C

）时，函数/"）=[e"；2，:在工=（）处连续.

(5)当&=(

A.0B.1C.2D.3

答案：D

(6)当&=()时，函数f(x)=4',在x=O处连续.

k,x=O

A.0B.1C.2D.-1

答案：B

（7）函数/。）=2，-3的间断点是（）

x-3x4-2

A.x=l,x=2B.x=3

C.x—1,A,—2,x=3D.无间断点

答案：A

3.计算题

，—3x+2

(1)lim

2

XT2x-4

解：Hm-二37+2=］际-2)*—1)

x->2x--4x-2*_2)(x+2)12x+24

2

z3X-2X-3

...x2-9..(x-3)(x+3)x+363

解Az：lim---------=hm------------=hm----=-=-

x-»3x~-2x-3'->3(x-3)(x+1)r-»3x+142

/c、r/—6x+8

(3)lim---------

Ix-5x+4

◎..x'—6x+8..(x-4)(x—2).x—22

解：hm---------=lim-----------=hm----=-

I厂一5x+4x->4(X-4)(X_J)A->4x-13

二、导数与微分

(一)考核要求

1.了解导数概念，会求曲线的切线方程.

2.纯熟掌握求导数的措施(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则),

会求简单的隐函数的导数.

3.了解微分的概念，掌握求微分的措施.

4.了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的措施.

(二)经典例题

1.填空题

(1)曲线/(x)=JI+1在(1,2)点的切斜率是.

答案：一

2

(2)曲线/(x)=e'在(0,1)点的切线方程是.

答案：y=x+\

(3)已知/(%)=33+3"贝iJ/'(3)=.

答案；f(x)=3x2+3x\n3

773)=27(l+ln3)

(4)已知/(x)=lnx,则/"(x)=.

答案：fXx)=—,/"a)=--V

Xx~

(5)若/(x)=xe^,贝J/"(0)=

答案：fnM=-2e~x+xe~x

r(o)=-2

2.单项选择题

(1)若,f(x)=eTcosx,则广(0)=

A.2B.1C.-1D.-2

答案：C

<2)设〉=lg2x,则dy二()

1B.—!—drIn10,

A.—dvC.-----dvI).-cLv

2xjlnlOxx

答案：B

(3)设)，=/(x)是可微函数,则d/'(cos2.r)=().

A.2/'(cos2x)&B./r(cos2x)sin2xd2x

C.2/'(cos2x)sin2xdrD.-/*(cos2x)sin2xd2x

答案：D

3.计算题

(1)设y=，求y.

11i1

解:y'=2xe*+x%\(——-)=e'(2x-l)

x~

(2)设y=sin4x+cos3x,求y‘.

解：y'=4cos4x+3cos2x(-sinx)

-4cos4x-3sinxcos2x

,—2

(3)设)，=e、0i+-,求)，'.

x

解：)/=广12

2Jx+1x

(4)设y=xy[x+incosx,求yr.

3-13-

解：y=-x2+----(-sinx)=-x2-tanx

2cosx2

(5)设y=e-2r+sin4x,求y'.

解：yf=-2e-2'+4COS4JT

(6)设)，=3'+宇，求dy.

解：y=3，+4+《

yjx

11--

y'=-sin3v(3lIn3)H---———x2

Mx2

11—

dy=(———(3In3)sin3a---x?)<Lv

2dx2

三、导数应用

(一)考核要求

1.掌握函数单调性的判别措施.

2.了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的措施.

3.掌握求函数最人值和最小值的措施.

(二)经典例题

1.填空题

(1)函数)，=30--1)2的单调增加区间是.

答案：(1,+8)

(2)函数/(x)=ad+l在区间(0,+8)内单调增加，贝必应满足

答案：a>0

2.单项选择题

(1)函数)，=(x+1)2在区间(-2,2)是()

A.单调增加B.单调减少

C.先增后减D.先减后增

答案：D

（2）满足方程/'（©=0的点一定是函数y=/（x）的（）.

A.极值点B.最值点C.驻点I）.间断点

答案：C

（3）下列结论中（）不正确.

A./（X）在工二4处连续，则一定在须）处可微.

B.f（x）在x=x0处不连续，则一定在的处不可导.

C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上.

D.函数的极值点也许发生在不可导点上.

答案：A

（4）下列函数在指定区间（-8,+8）上单调增加的是（）.

A.sinxB.e*C.x2D.3-x

答案：B

3.应用题（以几何应用为主）

（1）某制罐厂要生产一个体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少

时可使用料最省？

解：设容器的底半径为，・，高为力，则其表面积为

cr2r,c22V

S=2兀厂+2兀rh=2兀厂+——

由S'=0,得唯一驻点当初/*=可使用料最省,

此时〃=,即当容器的底半径与高分别为,用料最省.

（2）用钢板焊接一个容积为4m3的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费

40元，间水箱的尺寸怎样选摇，可使总费最低？最低总费是多少？

4

解：设水箱的底边长为上，高为/?,表面积为S,且有力二一二

x

因此5(A)=X2+4.rA=.r2+—,

x

S，(x)=2x-巧

x

令S'(x)=O,得x=2,

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，因此，当初工=2,〃=1水箱的面积最小.

此时的费用为5(2)x10+40=160(元)

(3)欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

32

解：设底边的边长为x,高为力，用材料为)，，由已知x%=32,〃=—

x

…2+41+4冷…空

x~X

102

令V=2x-±q=0,解得x=4是惟一驻点，易知工二4是函数的极小值点，此时有

x~

3?

。=与=2,因此当x=4,〃=2时用料最省.

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请结合作业中的题目进行复习。

四、一元函数积分

(一)考核要求

1.了解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一

换元积分法和分部积分法求不定积分的措施.

2.了解定积分的概念、性质，会计算某些简单的定积分.

3.了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。

(二)经典例题

1.填空题

(1)若/1)的一个原函数为InY,则/*)=.

2

答案：-

x

(2)若J/(x)dr=sin2x+c,则f(x).

答案：2cos2x

(3)若JcosM(=

答案：sinx+c

(4)Jde-丁=________________________

答案：e-x+c

(5)J(sinx)/dr=•

答案：sinx+c

(6)若J/(x)dx=F(x)+c,则j/(2x-3)dr=.

答案：1F(2X-3)+C

2

(7)若]7(x)dx=F(x)+c,则JV(l-/)&r=

答案：一,/(1一/)+。

2

(8)['(sinxcos2x-x2+x)dx=

…2

答案：——

3

(9)—fln(x2+l)dx=_

dx

答案：0

(10)]/0•二.

1

答案：T

2

2.单项选择题

(1)下列等式成立的是()

A.djf(x)dx=f(x)B.jf'(x)6x=fM

C.^J/(x)dx=/(x)D.jdf(x)=/(xi

答案：C

(2)如下等式成立的是()

A.Inxdx=d(—)B.sinxdr=d(cosx)

x

心空

c.=dVxD.3vd.v=

五ln3

答案：D

(3)JC=(

A.xfXx)-f(x)+cB.+c

C.^x2ff(x)+c

D.(x+\)r(x)+c

答案：A

（4）下列定积分中积分值为0的是（）.

t-xcT

、f1e-eriev+e-x,

A.j]——-dxB.[———dx

"2

C.[7(x3+cos.v)dvI),f，+sinx)dx

JrrJ-汉

答案：A

(5)设/(x)是连续的奇函数，则定积分工/。)心=()

A.0B.[°/(x)dvC.£*f(x)dvD.2^f(.r)df

答案：A

(6)下列无穷积分收敛的是().

/••KO笛|

A.J。jin.rdxB.

C.f+ro—d.rD.[e2'dx

JlxJ。

答案：D

3.计算题

(1)J(2x-l)lodr

x

(4)£*er(4+ev)2dx

fin2ofin2今

解：|eJ(4+et)2dx=f(4+er)2d(4+er)

JoJo

Iw.1111211

三(4+叫=-(216-125)=30-

JJJ

rel+51nx.

(5)-------dx

解：「"5M"心，「(1+5InxW(l+5Inx)=二(1+5Inx)，=—(36-1)=-

解：J；xe'dx=xe，—J()el(Lv=e-e'|^=1

(7)^2xsinxdx

解："2xsinxdx=-2.rcos用+2如cos.rdv=2sin用=2

re1,1re1,1,1,1

(8)pxlnxdx=—In.v——f.xdr=—e~