2024-2025学年北京师大附中八年级（下）期中数学试卷及答案解析

2024-2025学年北京师大附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20分）1.(2分)下列四个式子中，最简二次根式为（）A.(−2B.12C.3D.72.(2分)以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（）A.1，2，5B.6，7，8C.1，1，2D.2，3.(2分)下列化简正确的是（）A.2B.(−7C.3D.274.(2分)矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等5.(2分)在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y=kx+b的图象由直线y=kx(k>0)向上平移3个单位长度得到，则一次函数y=kx+bA.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限6.(2分)如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=5，则菱形ABCD的周长为（）A.10B.20C.30D.40第6题图第8题图第9题图7.(2分)满足下列条件的四边形一定是正方形的是（）A.对角线互相平分的四边形B.有三个角是直角的四边形C.有一组邻边相等的平行四边形D.对角线相等的菱形8.(2分)如图，已知正比例函数y1=kx与一次函数y2①k>0；②b>0；③当x>0时，y1>0；④当x<−2时，A.①③B.②③C.③④D.①④9.(2分)如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，AB=CD，∠ABD=30∘，∠BDC=80A.15B.25C.30D.35∘10.(2分)如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上.在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（）A.逐渐增大B.逐渐减小C.不变D.先增大，再减小二、填空题（本大题共8小题，共16分）11.(2分)若二次根式x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是.12.(2分)已知P1(−1，y1)，P2(6，y2)是一次函数y=x+1图象上的两个点，则y113.(2分)如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是.14.(2分)如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E都是格点，则∠BAC+∠CDE=.(2分)如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，且AB=7，BC=4，∠DAB=60∘，那么图中阴影部分的面积为(2分)如图，已知菱形ABCD的边长为6，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是.17.(2分)小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7:40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校.如图是他们从家到学校已走的路程s(米)和所用时间t(分钟）的关系图.则下列说法：①小明家和学校距离1200米；②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；③小华乘坐公共汽车后7:50与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是120米/分时，他们可以同时到达学校.其中正确的是(填序号)。(2分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，BC=3.点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时，BD三、解答题（本大题共10小题，共64分）19.(8分)(1)(3(2)4820.(6分)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90∘，AC+AB=10，BC=4，求AC21.(6分)如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.(1)求证：四边形ABCD是菱形.(2)过点D作DH⊥BF，垂足为H点，连接OH，若CH=3，AB=5，求OH的长.22.(6分)一次函数y=−23x+b的图象与x轴交于点A(3,0)，与(1)求该直线的表达式，并画出该函数图象；(2)若x轴上有一点C，且S△ABC=4，直接写出点23.(6分)在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(3,7)，B(−1,−1)，且与y(1)求该函数的解析式及点C的坐标；(2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=−x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n24.(6分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图：(1)在图①中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，该矩形的面积为______.(2)在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上，该菱形的面积为______.(3)在图③中画一个周长为45(4)在图④中画出面积为8的正方形.25.(5分)在Rt△ABC中，∠C=90∘，锐角∠A所对的直角边BC与∠A相邻的直角边AC的比值称为∠A的坡度，记为“(∠A)″，即(∠A)=BCAC，同样地，(∠B)=AC请回答以下问题：(1)在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=45(2)在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30(3)在△ABC中，AB=BC，∠A=15∘，则(4)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，D是AB的中点，过D点作AC的垂线交BC于点E，AB=6，(∠C)=3(5)如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点M，N分别为两个正六边形的中心，则(∠NAB)26.(7分)北京天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起，伴着太阳降落.下表是天安门广场2024年部分日期的升旗时间.2024年天安门广场部分日期升旗时间日期升旗时间日期升旗时间日期升旗时间日期升旗时间1月1日7:363月31日6:006月29日4:499月27日6:071月31日7:254月30日5:167月29日5:1010月27日6:383月1日6:485月30日4:498月28日5:3911月26日7:12(1)我们将升旗时间作为当日的日出时间来处理，研究一年内日出时间的变化规律，结合表中数据，在日期和升旗时间这两个变量中，确定______是自变量，______是自变量的函数；(2)将日期以1月1日为起点按1年366天依次排序，1月1日序号为0，以每一天的序号表示日期变量，日出时间整理为以“时”为单位的十进制数（保留两位小数），对上表进行转换，请补全下表，并建立合适的坐标系，描出表格中各对数值所对应的点.日期升旗时间日期升旗时间日期升旗时间日期升旗时间07.60906.001804.822706.12______7.421205.272105.173006.63606.801504.822405.65330______(3)用平滑的曲线连接坐标系中散点，结合函数图象回答问题：①2024年中太阳升起时间最早的一天大约在这一年中第______天；②2024年中太阳在6点钟以前（包含6点钟）升起的时间约有______天.27.(7分)正方形ABCD的边长为2，P是边BC上一点，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转90∘得到线段PE.(1)如图1，当点P为BC中点时，连接DE，求DE的长；(2)如图2，当点P为线段BC上任意一点时，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转90∘得到线段PE，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90∘得到线段PF，分别连接CE，BF，依题意补全图形，猜想CE与(3)在（2）的条件下，当点P在线段BC上运动，线段CE的最小值为______.28.(7分)对于图形G和点P，若图形G上存在三点M、Q和N，使以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则称点P是图形G的“▱点”.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0)，B(1,1)，C(1)在点P1(12，1)，P2(1,3)(2)点T在x轴上，以T为圆心，r为半径的圆记作⊙T.①当圆心T与原点O重合时，若⊙T上存在正方形OABC的“▱点”，直接写出r的取值范围______；②若r=1，且正方形OABC的每个点都是⊙T的“▱点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围______；③若r=1，若存在点P既是△ABC的“▱点”，也是⊙T的“▱点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围______.2024-2025学年北京师大附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析1、【答案】D【知识点】最简二次根式2、【答案】C【知识点】勾股定理的逆定理3、【答案】D【知识点】二次根式的性质与化简,二次根式的加减法4、【答案】B【知识点】菱形的性质,矩形的性质5、【答案】A【知识点】点的坐标,一次函数图象与几何变换6、【答案】D【知识点】三角形中位线定理,菱形的性质7、【答案】D【知识点】菱形的判定,正方形的判定8、【答案】A【知识点】一次函数与一元一次不等式,两条直线相交或平行问题9、【答案】B【知识点】三角形中位线定理10、【答案】C【知识点】平行四边形的性质,矩形的性质二、填空题（本大题共8小题，共16分）11、【答案】x⩾2【知识点】二次根式有意义的条件12、【答案】<【知识点】一次函数图象上点的坐标特征13、【答案】5【知识点】全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质14、【答案】45【知识点】相似三角形的判定与性质,勾股定理15、【答案】7【知识点】全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质16、【答案】6【知识点】菱形的性质,轴对称-最短路线问题17、【答案】①②③④【知识点】函数的图象18、【答案】1或2【知识点】含30度角的直角三角形,翻折变换（折叠问题）三、解答题（本大题共10小题，共64分）19、【解答】解：（1）(=3−2=−23(2)==4+2【知识点】平方差公式,二次根式的混合运算20、【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90∴AC∵AC+AB=10，BC=4，设AC=x，则AB=10−x，∴x解得：x=21答：AC的长为215【知识点】勾股定理的应用21、【解答】(1)证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∴∠BAC=∠BCA，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD，∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CD=AB=BC=5，OB=OD，∴BH=BC+CH=5+3=8，∵DH⊥CH，∴DH=C∴BD=B∵OB=OD，∴OH=1【知识点】菱形的判定与性质22、【解答】解：(1)∵一次函数y=−23x+b的图象与∴0=−23×3+b，解得∴一次函数解析式为y=−2(2)设点C的坐标为(m,0)，∴12×|3−m|×2=4，解得m=7∴C(7,0)或(−1,0)故答案为：(7,0)或(−1,0).【知识点】点的坐标23、【解答】解：（1）把点A(3,7)，B(−1,−1)代入y=kx+b得解得&k=2&∴该函数的解析式为y=2x+1，当x=0时，y=1，∴C(0,1)(2)把x=1代入y=2x+1，得y=3，把点(1,3)代入y=−x+n，得n=4.∵当x<1时，对于x的每一个值，函数y=−x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)∴n的取值范围是n⩾4.【知识点】点的坐标24、【解答】解：（1）如图①，矩形ABCD即为所求（答案不唯一)。矩形ABCD的面积为2×4=8.故答案为：8.(2)如图②，菱形ABCD即为所求.由勾股定理得，BD=42+∴该菱形的面积为12故答案为：8.(3)如图③所示.(4)如图④所示.【知识点】平方根,勾股定理,菱形的性质,菱形的判定与性质,作图—应用与设计作图25、【解答】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90∘，∴∠B=45∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴(∠A)=BC故答案为：1；(2)在Rt△ABC中，∠C=90∘，∴BC=1∵AB∴BC=3∴(∠A)=BC故答案为：33(3)过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，∵AB=BC，∠A=15∴∠ACB=∠A=15∴∠CBD=∠A+∠ACB=30设CD=a，则BC=AB=2a，BD=3∴AD=(2+3∴(∠A)=故答案为：2−3(4)连接AE，∵D是AB的中点，∴AD=CD，∵DE⊥AC，∴AE=CE，∠CDE=90∵(∠C)=3∴DE∴设DE=3x，CD=4x，∴CE=C∴AE=CE=5x，AC=2CD=8x，∵S∴8x·3x=6×5x，∴x=4∴DE=3x=3×4故答案为：125(5)如图，设正六边形的边长为a，过点N，作NH⊥AC于点H，则BH=CH=12a，连接NB∴NH=B∵MA=MB=a，∴AH=2a+1∴(∠NAB)=故答案为：35【知识点】平方根,锐角三角函数的定义26、【解答】解：(1)根据题意可得，升旗时间随着日期的改变而改变，故日期是自变量，升旗时间是自变量.故答案为：日期；升旗时间.(2)7+12故答案为：30；7.20.(3)如图所示：①根据图象可知，在第180天附近曲线处于最低点，即这一天太阳升起的时间最早.故答案为：180.②从图象可知，从第90天到第270天左右，升旗时间都小于等于6.00，则270−90=180(天)。故答案为：180.【知识点】有序数对27、【解答】解：(1)∵四边形ABCD∴CD=BC=2，∠C=90∵点P为BC中点，∴CP=1∴PD=C∵将线段PD绕点P顺时针旋转90∘得到线段PE∴PD=PE，∠DPE=90∴DE=2(2)CE=BF，证明：如图2，作EL⊥BC交BC的延长线于点L，FH⊥BC交CB的延长线于点H，则∠L=∠H=90∵∠L=∠DCP=90∘，∠LPE=∠CDP=90∴△LPE≌△CDP(AAS)∴LE=CP，PL=DC=BC，∴CL=PL−CP=BC−CP=PB，同理△HPF≌△BAP(AAS)∴FH=PB，PH=AB=BC，∴CL=FH，HB=PH−PB=BC−PB=CP，∴LE=HB，∴△CLE≌△FHB(SAS)∴CE=BF；(3)如图，当点P与点B重合时，则点E与点G重合，当点P与点C重合时，则点E与点H重合，∴点P在BC上运动时，则点E在GH上运动，过C作CM⊥GH于点M，则CE最小值即为CM，∵BG=BD=2BC，∴BH=2∴△BGH是等腰直角三角形，∴∠H=45∴CM=2∴CE最小值为2，故答案为：2.【知识点】四边形综合题28、【解答】解：(1)如图，∵在正方形OABC上存在点Q、M、N使得四边形P1QMN为平行四边形，存在点P1、O、N∴点P1、P4是正方形故答案为：P1、P(2)①已知点A(1,0)，B(1,1)，∴正方形OABC的边长为1，连接OB，∴OA=AB=BC=CO=1，∴由勾股定理得OB=1如图，延长OC到C1使CC1=OC=1，连接OB，并延长OB到B1，使BB1=OB=2当点P在正方形CBB2C1区域时，连接PC，过点P作PM∥CO交BC于点M，过点M作MN∥PC交CO于点同理当点P在△BB1B2区域时（不包含点B1)，∴当点P在