2025年复试力学核心考点梳理二轮复习知识点

复诙面诙材力童点总秸

一.材料力学的某些基本概念

1.材料力学的任务：

处理安全可靠与经济合用的矛盾。

研究对象：杆件

强度：抵御破坏的能力

刚度：抵御变形的能力

稳定性：细长压杆不失稳。

2.材料力学中的物性假设

持续性：物体内部的各物理量可用持续函数表达。

均匀性：构件内各处的力学性能相似。

各向同性：物体内各方向力学性能相似。

3.材力与理力的关系，内力、应力、位移、变形、应变的概念

材力与理力：平衡问题，两者相似；

理力：刚体，材力：变形体。

内力：附加内力。应指明作用位置、作用截面、作用

方向、和符号规定。

应力：正应力、剪应力、一点处的应力。应理解作用

截面、作用位置（点）、作用方向、和符号规定。

J压应力

正应力拉应力

'线应变

应变：反应杆件的变形程度J角应变

变形基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。

4.物理关系、本构关系

虎克定律；剪切虎克定律：

拉压虎克定律：线段的拉伸或压缩。——M=—

EA

剪切虎克定律：两线映角的变化。r=Gr

合用条件：应力〜应变是线性关系：材料比例极限以内。

5.材料的力学性能（拉压）：

一张。-£图，两个塑性指标沙,三个应力特性点：

*、巴、外,四个变化阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶

段、颈缩阶段。

=E

拉压弹性模量笈剪切弹性模量G,泊松比/G^T7V）

塑性材料与脆性材料的比较：

变形强度抗冲击应力集中

塑性材料流动、断裂变形明显拉压q的基本相似很好地承受冲击不敏感

脆性无流动、脆断仅合用承压非常敏感

6.安全系数、许用应力、工作应力、应力集中系数

安全系数：不小于1的系数，使用材料时确定安全性与

经济性矛盾的关键。过小，使构件安全性下降；过大，

挥霍材料。

许用应力：极限应力除以安全系数。

塑性材料口］=}

ns

脆性材料匕］4b。=外

nb

7.材料力学的研究措施

1）所用材料的力学性能：通过试验获得。

2）对构件的力学规定：以试验为基础，运用力学及数学

分析措施建立理论，预测理论应用的未来状态。

3）截面法：将内力转化成“外力工运用力学原理分析计算。

8.材料力学中的平面假设

寻找应力的分布规律，通过对变形试验的观测、分析、

推论确定理论根据。

1）拉（压）杆的平面假设

试验：横截面各点变形相似，则内力均匀分布，即应力

到处相等。

2）圆轴扭转的平面假设

试验：圆轴横截面一直保持平面，但刚性地绕轴线转过

一种角度。横截面上正应力为零。

3）纯弯曲梁的平面假设

试验：梁横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于梁的

纵向纤维；正应力成线性分布规律。

二.杆件四种基本变形的公式及应用

1.四种基本变形:

基本变形截面几何刚度应力公式变形公式备注

性质

拉伸与压缩面积：抗拉（压）NA7Nl注意变截面及

A(T=——△/=——

AEA

刚度EA变轴力的状况

剪切面积：A—实用计算法

A

圆轴扭转极惯性矩抗扭刚度Ml

T(p=—T—

rax

wpGIP

2dA

GIP

2

纯弯曲惯性矩抗弯刚度dyM(x)挠度y

a二^•2

max%dx~EIy

“b2dA转角字;0

EI1M(x)

Zf=---ax

P

2.四种基本变形的刚度，都可以写成：

刚度=材料的物理常数X截面的几何性质

1）物理常数：

某种变形引起的正应力：抗拉（压）弹性模量用

某种变形引起的剪应力：抗剪（扭）弹性模量&

2）截面几何性质：

拉压和剪切：变形是截面的平移：取截面面积A；

扭转：各圆截面相对转动一角度或截面绕其形心转动:

取极惯性矩4；

梁弯曲：各截面绕轴转动一角度：取对轴的惯性矩右。

3.四种基本变形应力公式都可写成：

广力_内力

悭刀一截面几何性质

对扭转的最大应力：截面几何性质取抗扭截面模量%=4

卜,max

对弯曲的最大应力：截面几何性质取抗弯截面模量Wz=F

ymax

4.四种基本变形的变形公式，都可写成：

内力x长度

变形二刚度

因剪切变形为实用计算措施，不考虑计算变形。

弯曲变形的曲率『总=±务，一段长为，的纯弯曲梁有:

0二，*

p（x）EIZ

补充与阐明：

1、有关“拉伸与压缩”

指简朴拉伸与简朴压缩，即拉力或压力与杆的轴线重

叠；若外荷载作用线不与轴线重叠，就成为拉（压）与弯曲

的组合变形问题；杆的压缩问题，要注意它的长细比几（柔

度）。这里的简朴压缩是指“小柔度压缩问题”。

2、有关“剪切”

实用性的强度计算法，作了剪应力在受剪截面上均匀分

布的假设。要注意有不一样的受剪截面:

a.单面受剪：

受剪面积是钾钉杆的横截面积；

b.双面受剪：

受剪面积有两个：考虑整体构造，受剪面积为2倍销钉

截面积；运用截面法，外力一分为二，受剪面积为销钉截面

积。

c.圆柱面受剪：

受剪面积以冲头直径d为直径，冲板厚度t为高的圆柱

面面积。

3.有关扭转

表中公式只实用于圆形截面的直杆和空心圆轴。等直圆

杆扭转的应力和变形计算公式可近似分析螺旋弹簧的应力

和变形问题是应用杆件基本变形理论处理实际问题的很好

例子。

4.有关纯弯曲

纯弯曲，在梁某段剪力Q0时才发生，平面假设成立。

横力弯曲（剪切弯曲）可以视作剪切与纯弯曲的组合，因剪

应力平行于截面，弯曲正应力垂直于截面，两者正交无直接

联络，因此由纯弯曲推导出的正应力公式可以在剪切弯曲中

使用。

5.有关横力弯曲时梁截面上剪应力的计算问题

为计算剪应力，作为初等理论的材料力学措施作了某些

巧妙的假设和处理，在理解矩形截面梁剪应力公式时，要注

意如下几点：

1）无论作用于梁上的是集中力还是分布力，在梁的宽度上

都是均匀分布的。故剪应力在宽度上不变，方向与荷载（剪

力）平行。

2）分析剪应力沿梁截面高度分布变化规律时，若仅在截面

内，有］=因T=T（h）的函数形式未知，无法

积分。但由剪应力互等定理，考虑微梁段左、右内力的平衡,

可以得出：

QS；

T=----

U

剪应力在横截面上沿高度的变化规律就体目前静矩S；上，

s；总是正的。

剪应力公式及其假设：

a.矩形截面

假设L横截面上剪应力丁与矩形截面边界平行，与剪应力Q

的方向一致；

假设2：横截面上同一层高上的剪应力相等。

剪应力公式：

QS；(y)

Ky)=

Lb

s；（y）=?

3._e._3r

2bh2

b.非矩形截面积

假设1：同一层上的剪应力2■作用线通过这层两端边界的切

线交点，剪应力的方向与剪力的方向。

假设2：同一层上的剪应力在剪力Q方向上的分量与,相等。

剪应力公式：

7

C.薄壁截面

假设1：剪应力7与边界平行，与剪应力谐调。

假设2：沿薄壁3「均匀分布。剪应力公式:

学会运用“剪应力流”概念确定截面上剪应力的方向。

三.梁的内力方程，内力图，挠度，转角

□遵守材料力学中对剪力。和弯矩材的符号规定。

□在梁的横截面上，总是假定内力方向与规定方向一

致，从统一的坐标原点出发划分梁的区间，且把梁的

坐标原点放在梁的左端（或右端），使后一段的弯矩

方程中总包括前面各段。

□均布荷载久剪力0、弯矩区转角夕、挠度y间的

关系:

d2ydM

由:%A"，盂=2’务“

d3ydM

有=Q(x)

dx-dxE*3

设坐标原点在左端，则有:

E【U=q,

Q为常值

dx4

心

：EI=A

Qdx

2

M：=+Ax+B

dx22

aE/^=^x3+—x2+Bx+C

dx62

y：EI-y=—xA+—+—x~+Cx+D

2462

其中A、B、C、D四个积分常数由边界条件确定。

例如，如图示悬臂梁:

则边界条件为:

Mg=O-8=0

e"。­c=—幺尸

"X-IV

O

yli=0f。=?4

O

EI•y=—x4-—x+—

2468

ql4

y=-------

x=°SEI

截面法求内力方程：

内力是梁截面位置的函数，内力方程是分段函数，它们

以集中力偶的作用点，分布的起始、终止点为分段点；

1）在集中力作用处，剪力发生突变，变化值即集中力值，

而弯矩不变；

2）在集中力偶作用处，剪力不变，弯矩发生突变，变化值

即集中力偶值；

3）剪力等于脱离梁段上外力的代数和。脱离体截面以外另

一端，外力的符号同剪力符号规定，其他外力与其同向

则同号，反向则异号；

4）弯矩等于脱离体上的外力、外力偶对截面形心截面形心

的力矩的代数和。外力矩及外力偶的符号依弯矩符号规

则确定。

梁内力及内力图的解题环节:

1）建立坐标，求约束反力;

2）划分内力方程区段；

3）依内力方程规律写出内力方程;

4）运用分布荷载q、剪力Q、弯矩M的关系作内力图;

翳亨=*),竿处)

dx~axax

关系:

QD=2cMD=Me+jQ(x)d(x)

规定：①荷载的符号规定：分布荷载集度Q向上为正；

②坐标轴指向规定：梁左端为原点，X轴向右为正。

剪力图和弯矩图的规定：剪力图的0轴向上为正，弯矩图

的“轴向下为正。

5）作剪力图和弯矩图：

①无分布荷载的梁段，剪力为常数，弯矩为斜直线；Q>0,

M图有正斜率（\）；Q<0,有负斜率（/）；

②有分布荷载的梁段（设为常数），剪力图为一斜直线，弯

矩图为抛物线；q<0,Q图有负斜率（\）,M图下凹（〜）；

q>0,Q图有正斜率（/）,M图上凸（…）；

③Q=0的截面，弯矩可为极值；

④集中力作用处，剪力图有突变，突变值为集中力之值，

此处弯矩图的斜率也突变，弯矩图有尖角；

⑤集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变

值为力偶之矩；

⑥在剪力为零，剪力变化符号，和集中力偶作用的截面（包

括梁固定端截面），确定最大弯矩（M）；

IImax

⑦指定截面上的剪力等于前一截面的剪力与该两截面间分

布荷载图面积值的和；指定截面积上的弯矩等于前一截面的

弯矩与该两截面间剪力图面积值的和。

共甄梁法求梁的转角和挠度：

要领和注意事项：

1）首先根据实梁的支承状况，确定虚梁的支承状况

2）绘出实梁的弯矩图，作为虚梁的分布荷载图。尤其注意：实

梁的弯矩为正时，虚分布荷载方向向上；反之，则向下。

3）虚分布荷载7（工）的单位与实梁弯矩M（x）单位相似

（若为KN.”），虚剪力的单位则为KN.机2,虚弯矩的单

位是KN.m3

4）由于实梁弯矩图多为三角形、矩形、二次抛物线和三次

抛物线等。计算时需要这些图形的面积和形心位置。

叠加法求梁的转角和挠度：

各荷载对梁的变形的影响是独立的。当梁同步受〃种荷载作

用时.，任一截面的转角和挠度可根据线性关系的叠加原理，等于

荷载单独作用时该截面的转角或挠度的代数和。

四.应力状态分析

L单向拉伸和压缩

应力状态划分为单向、二向和三向应力状态。是根据一

点的三个主应力的状况而确定的。

如：5=%,5=6=0单向拉伸

有：£x=*，£Y-£z-~V£x

E

主应力只有5-但就应变，三个方向都存在。

TT

若沿a和。+不取出单元体，则在四个截面上的应力为：

2

6c,t=oxrCosa,a=—2Sin2a

2

on=^S/na,Tn=-^Sin2a

an-an-z

22

看起来似乎为二向应力状态，其实是单向应力状态。

2.二向应力状态.

有三种详细状况需注意

1）已知两个主应力的大小和方向，求指定截面上的应力

o,+o2+5-。2Cos2a

22

x=———Si，12a

a2

由任意互相垂直截面上的应力，求另一任意斜截面上的应力

=-------+-----------Cos2a-TrSin2a

a22x

a-a

x=------Svuilci+TCos2a

«(l2rX

由任意互相垂直截面上的应力，求这一点的主应力和主方向

2V2

（角度a和a。均以逆时针转动为正）

2）二向应力状态的应力圆

应力圆在分析中的应用：

a）应力圆上的点与单元体的截面及其上应力一一对应；

b）应力圆直径两端所在的点对应单元体的两个互相垂直的面;

c）应力圆上的两点所夹圆心角（锐角）是应力单元对应截面

外法线间夹角的两倍2；

d）应力圆与正应力轴的两交点对应单元体两主应力；

e）应力圆中过圆心且平行剪应力轴而交于应力圆的两点为

最大、最小剪应力及其作用面。

极点法：确定主应力及最大(小)剪应力的方向和作用面方向。

3)三方向应力状态，三向应力圆，一点的最大应力(最大

正应力、最大剪应力)

广义虎克定律：

弹性体的一种特点是，当它在某一方向受拉时，与它垂直的

此外方向就会收缩。反之，沿一种方向缩短，此外两个方向

就拉长。

主轴方向：

片=兀[必一口(。2+。3)]%=0+二1一2口"一十电2+5)]

Mg[。2-MA+5)]或,5=(1+/_2耳KifK+亚3+£1)]

+a

X=)卜3―452)]5=73J(l+V)s3+^(8(+82)]

32v

E(l+vX1-)

非主轴方向:

“凯一®+，

£三卜广立+oJ]

1

8=­O

EL

体积应变:

五.强度理论

1.计算公式.

强度理论可以写成如下统一形式：

6＜同

其中：:相称应力，由三个主应力根据各强度理论按一

定形式组合而成。

M：许用应力，〃）：单向拉伸时的极限应力，

n：安全系数。

1）最大拉应力理论（第一强度理论）

2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）

%=6_&+%），一般：同二孑

n

3）最大剪应力理论（第三强度理论）

%=，十%,一般：口］二亍

4）形状变化比能理论（第四强度理论）

64='J［（巧-“》+（%-%）2+（」丫］，一般：M="7

5）莫尔强度理论

b。

%=5-囹，，M=-^,成：材料抗拉极限应力

强度理论的选用：

1）一般，

脆性材料应采用第一和第二强度理论；

塑性材料应采用第三和第四强度理论。

2）对于抗拉和抗压强度不一样的材料，可采用最大拉应力理论

3）三向拉应力靠近相等时，宜采用最大拉应力理论；

4）三向压应力靠近相等时，宜应用第三或第四强度理论。

六.分析组合形变的要领

材料服从虎克定律且杆件形变很小，则各基本形变在杆

件内引起的应力和形变可以进行叠加，即叠加原理或力作用

的独立性原理。

分析计算组合变形问题的要领是分与合：

分：即将同步作用的几组荷载或几种形变分解成若干种基本

荷载与基本形变，分别计算应力和位移。

合：即将各基本变形引起的应力和位移叠加，一般是几何和。

分与合过程中发现的概念性或规律性的东西要概念清晰、

牢记。

斜弯曲：

平面弯曲时，梁的挠曲线是荷载平面内的一条曲线，故称平

面弯曲；斜弯曲时，梁的挠曲线不在荷载平面内，因此称斜

弯曲。

斜弯曲时几种角度间的关系要清晰：

力作用角（力作用平面）：。

斜弯曲中性轴的倾角：a

斜弯曲挠曲线平面的倾角：0

1y

1y

，a=。即：挠度方向垂直于中性轴

一般，（pwe或（pwa即：挠曲线平面与荷载平面不重叠。

强度刚度计算公式：

cos（p+斯in（p<[a]

fz\'cJ

八3EIZ3EIZ

z3EIy3EIV

拉（压）与弯曲的组合:

拉（压）与弯曲组合，中性轴一般不再通过形心，截面

上有拉应力和压应力之区别

偏心拉压问题，有时规定截面上下只有一种应力，这时

载荷的作用中心与截面形心不能差得太远，而只能作用在一

种较小的范围内这个范围称为截面的关键。

强度计算公式及截面关键的求解:

max

Ofnax4卜］

minAW.

A#

“儿+ZpZ。

1+•7=0

I;¥

4

a二

y

“z

Zp

扭转与弯曲的组合形变:

机械工程中常见的一种杆件组合形变，故常为圆轴。

分析环节:

根据杆件的受力状况分析出扭矩和弯矩和剪力。

找出危险截面：即扭矩和弯矩均较大的截面。由扭转和弯曲

形变的特点，危险点在轴的表面。

剪力产生的剪应力一般相对较小并且在中性轴上（弯曲

正应力为零）。一般可不考虑剪力的作用。

弯扭组合一般为复杂应力状态，应采用合适的强度理论

作强度分析，强度计算公式：

2

G.，J+4T<同aJ

2

or4=Vcy2+3T<同

扭转与拉压的组合：

杆件内最大正应力与最大剪应力一般不在横截面或纵

截面上，应选用合适强度理论作强度分析。

强度计算公式

2M

a=Va2+4T=

r3w

+M；([a]

=7a2+3T2+0.75<[a]

七.超静定问题:

拉压压杆的超静定问

简单超静定梁问题——力力总结：分析步骤

关键点：变形协调条件

求解简朴超静定梁重要有三个环节：

1）解得超静定梁的多出约束而以其反力替代；

2）求解原多出约束处由已知荷载及“多出”约束反力产生的

变形；

3）由原多出支座处找出变形协调条件，重立补充方程。

能量法求超静定问题：

=「内力2

U一J。2x冈U度X

1N2」/M21」rzkQ2

Ur7—I------dx+If-----dx+I-------dx+I-------dJx

J。2EAJ。2EIJ。2GlpJ。2GA

卡氏第一定理：应变能对某作用力作用点上该力作用方向上

的位移的偏导数等于该作用力，即：

注1：卡氏第一定理也合用于非线性弹性体；

注2：应变能必须用诸荷载作用点的位移来表达。

卡氏第二定理：线弹性系统的应变能对某集中荷载的偏导数

等于该荷载作用点上沿该荷载方向上的位移，即

dU*,

----二0；

dB1

若系统为线性体，则：U*=U

注1：卡氏第二定理仅合用于线弹性系统；

卡氏第二定理的应变能须用独立荷载表达。

注2：用卡氏定理计算，若得正号，表达位移与荷载同向;

若得负号，表达位移与荷载反向。计算的正负与坐标系无关。

用卡氏第二定理解超静定问题，可以采用第八章介绍的方法,

即去掉“多余”约束，代之约束反力和约束给定的位移条件,此时约

束给定的位移条件可用卡氏第二定理表达c如图9・I0a）所示超

静定折杆，是三次超群定，去掉C端“多余”的固定端约束，代之以

约束反力标，与，Me，静定基如图6）所示，对应的谐调方程（约束

限定的位移条件）用卡氏第二定理表示为

。匕3U力U

.—一n，］___InI-——（9-20）

dx¥c-aYe

运用卡氏第二定理还可有另一种解法，即把超静定结构“截”成若

干个平衡的或静定的部分，在截面两侧脱离体截面匕的成对内力以外

图9To两类静定基

力形式出现，如图9-10c）所示，用卡氏第二定理表示的截面的连续条

件就是变形谐调方程，如图9-10a）所示的超静定结构,化成图c）所示

的两个价定梁，应变能U=4C，在B点处折梁是连续的，即AB

梁的B面与BC梁的B面间相对位移为零，故有

地一0四一0辿-0（92）

W。a0晒

第二种解法，在书写内力方程，计算应变能时都比较方便，所以用

连续条件作为谐调方程也是常用的解超静定方法。

八.压杆稳定性的重要概念

压杆失稳破坏时横截面上的正应力不不小于屈服极限

（或强度极限），甚至不不小于比例极限。即失稳破坏与强

度局限性的破坏是两种性质完全不一样的破坏。

临界力是压杆固有特性，与材料的物性有关（重要是庾,

重要与压杆截面的形状和尺寸，杆的长度，杆的支承状况亲

密有关。

计算临界力要注意两个主惯性平面内惯矩/和长度系

数〃的对应。

压杆的长细比或柔度体现了欧拉公式的运用范围。细长

杆（大柔度杆）运用欧拉公式鉴定杆的稳定性，短压杆（小

柔度杆）只发生强度破坏而一般不会发生失稳破坏；中长杆

（中柔度杆）既有强度破坏又有较明显失稳现象，一般根据

试验数据处理此类问题，直线经验公式是最简朴实用的一

种。

折剪系数沙是柔度4的函数，这是由于柔度不一样,

临界应力也不一样。且柔度不一样，安全系数也不一样。

压杆稳定性的计算公式：欧拉公式及力系数法（略）

九.动荷载、交变应力及疲劳强度

1.动荷载分析的基本原理和基本措施：

1)动静法，其根据是达朗贝尔原理。这个措施把动荷

的问题转化为静荷的问题。

2)能量分析法，其根据是能量守恒原理。这个措施为

分析复杂的冲击问题提供了简略的计算手段。在运

用此法分析计算实际工程问题时应注意回到其基本

假设逐项进行考察与分析，否则有时将得出不合理

的成果。

n构件作等加速运动或等角速转动时的动载荷系K为：

这个式子是动荷系数的定义式，它给出了心的内涵和外延。

心的计算式，则要根据构件的详细运动方式，经分析推导而

定。

□构件受冲击时的冲击动荷系数的为：

k二区』

这个式子是冲击动荷系数的定义式