2025届新高考数学热点专练07数列与不等式教师版

热点07数列与不等式

从新高考的考查状况来看，数列与不等式主要命题方向：通项与前〃项和的关系；通项

与递推式的关系；数列的单调性、周期性等；.等差数列、等比数列的推断；等差（比）数

列的基本运算；与不等式（最值、不等式的证明）的交汇问题；与函数、导数的交汇；一元

二次不等及其解法;均值不等式与基本不等式的运用：不等式与平面解析几何的交汇等问题。

满分技巧

1、解决等差（比）数列有关问题的常用思想方法

⑴方程的思想：等差（比）数列中有五个量0,〃，d⑷,如，S",一般可以“知三求二”，

通过列方程（组）求关键量g和"（?问题可迎刃而解.

（2）分类探讨的思想：在运用等比数列的前n项和公式的，应依据公比的取值状况进行分类

探讨，此外等差（比）数列在运算过程中，还应擅长运用整体代换思想简化运算.

2、证明等差（比）数列的用方法：证明一个数列为等差（比）数列常用定义法与等差（比）

中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等差（比）数列，则

只要证明存在连续三项不成等差（比）数列即可.

3、求等差数列前〃项和S“最值的两种方法

⑴函数法：利用等差数列前〃项和的函数S*=a〃2+勿?，通过配方或借助图象求二次函数最

值的方法求解.

4后0，

（2）邻项变号法：①当0>0,d<。时，满意八的项数机使得S”取得最大值S”.

而+W0

anl<0,

②当0<0,心。时，满意，八的项数小使得S〃取得最小值S”

。巾+120

4、常见数列求和的类型

1)分组转化法求和的常见类型

(1)若斯=打土c“，且｛儿｝,｛c〃｝为等差或等比数列，可采纳分组求和法求｛〃“｝的前〃项和.

b„,〃为奇数，

(2)通项公式为小=“如她的数列，其中数列｛儿｝,｛c〃｝是等比数列或等差数列，

Cn,〃为偶数

可采纳分组求和法求和.

2)错位相减法求和时两个留意点

(1)要擅长识别题目类型，特殊是等比数列公比为负数的情形；

⑵在写出“SJ与"qSj的表达式时应特殊留意将两式“错项对齐”，以便下一步精确写出

“Sn-qSn”的表达式.

(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两

种状况求解.

3)裂项相消法

(I)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

⑵常见的裂项技巧：①而〃+1)=7一②而拓=土一»工)③(2〃-1)(2〃+1)=2

(表一肃)④扃kg』

(3)利用裂项相消法求和时，应留意抵消后并不肯定只剩卜.第一项和最终一项，也有可能

前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候须要调整前面的系数，使裂

开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.

5、条件最值的求解通常有三种方法：

一是消元法，即依据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求

解：二是将条件敏捷变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不

等式求解最值；三是对条件运用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.

6、基本不等式的应用特别广泛，它可以和数学的其他学问交汇考查，解决这类问题的策略

是：

2

(1)先依据所交汇的学问进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用

基本不等式求解，这是难点.

(2)用基本不等式求最值，要有用基本不等式求最值的意识.

(3)检验.检验等号是否成立，完成后续问题.

热点L等差数列与不等式的交汇问题

等差数列与不等式的结合，一般涉及等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的常用性

质，如⑴通项公式的推广：4=%+(〃一相)&⑵若｛2｝为等差数列，且

p-\-q=tn+n=2r，则ap+a(/=am+a))=2ar；⑶若｛〃〃｝是等差数列，公差为d

%，%+巾，&+2〃r…，则是公差机d的等差数列；⑷数列5巾,$2”,—S叱Ss,”—S2,”…也是等差

数列.在解决等差数列的运算问题时，要留意采纳“巧用性质、整体考虑、削减运算量”的

方法.

热点2.等比数列与不等式的交汇问题

等比数列与不等式的结合，一般涉及等比数列的通项公式、求和公式以及等比数列的常用性

质.其中与“错位相减法”、“放缩法”相结合的情形较多.运算中要留意采纳“巧用性质、整

体考虑、削减运算量”的方法.

热点3.数列与函数、导数交汇问题

数列本身就是“特殊的函数”，因此，其更易于和函数相结合，一是数列的本身由函数呈现，

二是在处理数列问题的过程中，可通过构造函数，利用函数的性质、导数等达到解题目的.

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A卷(建议用时60分钟)

3

一、单选题

1.(2024•四川•成都七中一模)记S”为等比数歹」｛%｝的前〃项和.若%一%=12,6一。4:24,

吟=()

A.2-2l-nB.2"-1C.2-2n~D.2'~n-1

【答案】A

【分析】依据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最终利用

等比数列的通项公式和前〃项和公式进行求解即可.

,42r

【详解】设等比数列的公比为七由%-%=12,%-。4=24可得：

相=24[q=l

所以《,=〃01=2e,5'=4山=二=2"-1,因此&=。=2-2~.故选：A

\-q1-2an2

2.(2024•吉林省试验模拟预料)相传国际象棋起源于古印度，国王要奖赏独创者，独创者

说：“请在棋盘第1个格子里放上1颗麦粒，请在棋盘第2个格子里放上2颗麦粒，请在棋

盘第3个格子里放上4颗麦粒……以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的

麦粒数的2倍.”已知棋盘共有64个格子，则最终一个格子的麦粒数是几位数？(例如：28

是2位数，1234是4位数，已知国2。0.301)()

A.17B.18C.19D.20

【答案】C

【分析】由每个格子里的麦粒数构成一个等比数列1222,2、…求解.

【详解】由题意得：每个格子里的麦粒数构成一个等比数列｛4｝,1222.21..,其中4=1国=2,

所以最终一个格子的麦粒数是%=2W=10,g2&，=I0<63ls2)«IO(63xO3o,)IO'8963,

所以最终一个格子的麦粒数是19位数，故选：C

3.(2024•吉林•长春外国语学校高三期中)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S.，若/+e=14,

则Sg=()

A.21B.63C.42D.126

4

【答案】B

【分析】依据等差数列求和公式结合等差数列性质得到答案.

【详解】S9=；（4+a））x9=；（/+%）x9=；xl4x9=63.故选：B.

4.（2024•辽宁•大连市第一中学高三期中）等比数列的前〃项和为S.,若S.=，-2"T-1,

则1=（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】A

【分析】依据等比数列前〃项和公式的结构求得/.

【详解】设等比数列的公比为％当4=1时，S—不合题意：

当尸1时，等比数列前〃项和公式5,=也二《!=_，!-./+，!-,

\-q\-q\-q

依题意S“=K2"T-1=—inJ+（—l）=0,f=2.故选：A

5.（2024•江苏镇江•高三期中）已知等比数列｛凡｝的前〃项和为S.,且几=1,S如=13,则

540-（）

A.-51B.-20C.27D.40

【答案】D

【分析】由条件可得SQS20f0，%-s20aLs3。成等比数列，S2G>0,首先解出S加,然

后可得答案.

【详解】因为等比数列｛q｝的前〃项和为s”，兀=1,%=13,

所以品）,520-510,SR-5^S40T前成等比数列，520>0

所以（SR-Siof=<0（30-520）,即⑪加一疗二门一品。，解得邑。=4（负值舍去）

所以鼠-$30=27,所以/=4（）故选：D

5

°（I

6.（2024•陕西安康•高三期中）已如数列｛。“｝满意4=2,则下列结论正晌的

是（）

A.数列•十,公差为g的等差数列B.数列•十[是公差为2的等差数列

C.数列I，-4是公比为;的等比数列D.数列I，-4是公比为2的等比数列

J一&J

【答案】C

【分析】依据递推关系式，化简变形可得一匚-1=4—-1即可推断数列是公比为

%+1214）[an

g的等比数列.

2an1+1111[1…

【详解】•・・。田=一^,J——=丁=3—+不，..・一既不是等比数列也不是等差数

〃”+1%2%2an2[an\

列；

•••」--i=:（'一il,数列是公比为;的等比数歹九故选：C

7.（2024•福建省泉州第一中学高三期中）若单调递减的等差数列｛q｝中的两项出,与是方

程12-10x+9=。的两个根,设数列｛〃“｝的前〃项和为S”，则使得5“<0的最小〃的值为（）

A.10B.18C.19D.20

【答案】C

3541354

【分析】利用已知求出4=（,4=-丁+13,再解不等式丁?+13）<0即得解.

【详解】解：因为数列单调递减，所以%=%+2〃=9,&=4+8"=1,

4353544

所以〃/.•.%=£+（〃-1）X（、）=V〃+13,所以

k-**»»

S=一〃（-----zz+13）<0,n>18一.

“2332

所以使得S”<0的最小〃的值为19.故选：C

6

8.（2024•山东聊城•高三期中）设数列｛%｝满意4+2生+46+…+2"-&=彳，则数列｛q｝的

前〃项和5”为（）

If.1A1\,

A.—-T77B.1-rC.—•D.l-yr

212n~l）2"T2n）2

【答案】C

【分析】由题得4+2o>+46+…+2""a“_]=巳」（〃之2）（I）,6+26+4仆+…+2”&=：,

44

（2）,两式相减求出4=§）""即得解.

【详解】由题得4+2/+4/H=；1（〃之2）（1）,乂4+2a2+44+…+2"，&=彳

（2）,

（2）-（I）得2"-&二；,.♦.a“=（g严适合4=：.

所以为=（；严，所以数列｛%｝是以;为首项，以g的等比数列，

；"（；）"]।1j/]\

所以s,广——二5[1一（5）“]=£1一下）故选：c

I----

2

9.（2024•山东聊城•高三期中）《莱茵德纸草书》（RhindPapyss）是世界上最占老的数学著

作之一.书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数

列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（）个.

A.12B.24C.36D.48

【答案】D

4。+加a””

【分析】设等比数列｛q｝的首项为q>o,公比夕>1,依据题意，由求解.

【详解】设等比数列｛%｝的首项为％>（）,公比9>1,

7

…手,即.4=3

由题意得:〃/1〃5\，解得•,，所以/=%q=48,

“j)=93q=2

4+a2+%+4+%=93

i-q

故选：D

r2—4X'+3<0

10.（2024•山东蒲泽•高三期中）己知不等式组"；。八的解集是关于X的不等式

X--6x4-8<0

/一34+〃<0的解集的子集，则实数。的取值范围为（）

A.a<0B.6/<0C.«<-1D.a<-2

【答案】A

【分析】先求出不等式组的解集，然后依据不«2,3）是3x+a<0的解集的子集，用二次

函数的性质来列出不等式组，解出。的取值范围.

Y*—4Y+3Vo

【详解】：_6X+8<0,解得：X«2,3）,因为x«2,3）是不等式3x+a<0的解集的

/（2）<0

子集，故/（耳=/一3工+。要满意：/（3）<0,解得：«<0,故选：A

A>0

11.（2024•山东•枣庄市第三中学高三期中）若a>。,b>0,且a+匕=1,则（）

A.a2+b2<—B.4cib>—C.—>4D.—+—<4

22abab

【答案】C

【分析】依据已知条件利用基本不等式分析推断即可

【详解】因为a>0,b>D,且a+Z?=l,

所以l=a+此2疝，所以疝当且仅当a=〃=：时取等号，所以B错误，

所以由疝得，必所以4之4,当且仅当〃=/?=2时取等号，所以C正确,

24"2

所以02+"=3+份2一％洒=]_加力之]_；=；,当且仅当q=〃=g时取等号，所以A错误,

8

由a>0,b>0,Ha+b=\,—+—=—+—]（«+/?）=2+—+—>2+2./---=4>当且仅

abb）ahVab

当。=力=3时取等号，所以D错误，故选：C

12.（2024•江苏如皋•高三期中）已知关于工的不等式以二十次+4<（）的解集为（〃八其

km）

b4

中小v。，则丁+7的最小值为（）

4。b

A.-2B.1C.2D.8

【答案】C

【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数。=1,确定1注2,然后结合基本

不等式得最小值.

【详解】加+2区+4<0的解集为（或则尔+2法+4=0的两根为“，

\tn）m

4444

〃7———,a=1,/?｝+———2b,则2/?——m4----24,11[I/?>2,

niam-m

b4b4

-+-=-+-^2,当且仅当b=4时取“="，故选：C.

4ab4。

二、多选题

13.（2024•河北衡水中学模拟预料）已知等差数列｛《,｝的前〃项和为S"，若a,=5,6=9,

则（）

A.an=2n-\B.Sn=n'

S+29|

C.-——取得最小值时〃等于5D.设a=-----,乙为｛0｝的前〃项和，则

nnn+l

T<-

n2

【答案】ABD

【分析】依据给定条件求出等差数列｛〃“｝的公差乩再逐项分析计算即可推断作答.

9

【详解】在等差数列｛4｝+＞,因为=5,%=9,则公差d=^¥=2,

5—3

则。“=。3+（〃-3），/=2〃-1,S,="（,。力二〃2,A,B正确；

5^29_^.1|(2.-1).1]^1161

=照]+；2n,

42«/1--14

当且仅当2〃小黑,即〃=呼时取“叫因〃工,且5〈匕等＜6'

+2954/S«+2965/S+29

——=—=6.」一=—<6,则」一取最小值时，〃等于6,C不正确;

%9a611an

=1(^---

因2=则7；=伉+。+…+〃

(2n-l)(2n+l)22n—12n+l

=夕（得）+（；4）++（七一六"51一占）＜（。正确.故选：ABD

14.（2024•福建•模拟预料）已知下图的一个数阵，该阵第〃行全部数的和记作为，4=1,

/=l+；+l,%=l+g+；+g+l，匕，数列｛4｝的前〃项和记作S”，则下列说法正确的是

（）

,11111,

,248421

_L_L_L_L_L_L_L

TTT16yTy

3

A.D.5,,=4/7-6+—

【答案】ABC

【分析】据数列特性结合等比数列的性质得凡，然后依据通项公式求出。向-q和S”，逐项

分析便可得答案.

10

【详解】解：由题意得：A选项：1=1+；+营+…+*+与+…+1

乙乙乙乙

，故A正确;B选项

故B正确;

3_227

选项〃4/3

DS“=4-3=4〃-6+尸故D错误：C选项:=4-6+梦二记

故C正确.

故选：ABC

15.（2024•山东临沂•高三期中）在等比数列｛%｝中，公比“0,S”是数列｛q｝的前〃项和,

若％=2,4+%=12,则下列结论正确的是（）

A.$5=63B.q=2C.数列⑸+2｝是等比数列D.数列｛电叫是公差为2的等差

数列

【答案】BC

【分析】利用已知结合等比数列的通项公式求公比9,进而写出通项公式、前〃项和公式,

结合各选项推断正误即可.

【详解】由题设，q(q+g2)=2(q+g2)=l2,即g，+夕一6=(q+3)(g-2)=0,

由。/>0可得：。/=2,.・・%=2",由=驾二由=2-一2,

i-q

・・.国为=〃怆2且公差为怆2；S“+2=2向且$=26-2=62.综上，A、D错误，B、C正确.

故选：BC

16.（2024•山东蒲泽•高三期中）下列函数中，最小值为4的是（）

4Ig.v12.4/小D.y=J/+I+/4

A.y=er+—B.>,=—+--C.y=sinx+--(x€(0,^-))

e31gxsinx''〃&+1

II

【答案】AD

【分析】依据均值不等式成立的条件可推断ABC,依据Igx可取负值推断B即可.

【详解】对于A,由均值不等式可得尸"+之？2〃=4,当且仅当/=2时等号成立，故A

e

正确；

]px12

对于B,rhigxvo时，明显）'=不-+；—＜。，故B不正确;

3lgX

对于C,由均值不等式可得y=sinx+/一之2〃=4,当且仅当sinx=2时等号成立，放4

sinx

不是最小值，故C错误;对于D,由均值不等式），=>2x/4=4,当且仅当

7771=2，即工=±6时，等号成立，故D正确.故选：AD

三、填空题

17.（2024•河北保定•高三期中）在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相

颉顽.《八验图》是徐悲鸿最闻名的作品之一，画中刚劲矫捷、剽悍的骏马，在人们心中是自

由和力气的象征，鼓舞人们主动向上.现有8匹擅长奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已

知第，3=1,2,…，7）匹马的最长日行路程是第注1匹马最长日行路程的1.1倍，旦第8

匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为里.（取

1.仅=2.14）

【答案】4560

【分析】干脆利用等比数列求和公式计算得到答案.

【详解】第8匹马、第7匹马.....第1匹马的最长日行路程里数依次成等比数列，且首项

为400,公比为1.1,故这8匹马的最长日行路程之和为竺”二宜2=4000x（2.14-1）=4560

1—1.1

里.故答案为：4560.

18.（2024•福建•模拟预料）已知数列｛q｝的前〃项和记作*,S”=/r-3〃+2,则%=

12

2n-4,n>2

【答案】

0,〃=1

S,〃=1

【分析】由c、。进行求解即可.

⑸一S,』.〃22

【详解】当〃=1时，4=$=0,当〃22时，qf=S“一S“一］=2〃-4,

2〃一4〃222〃—4

当〃=1时，4=0,不符合上式.所以，。“=八；"’故答案为：八；

0,〃=1.0,/?=1

19.(2024•辽宁丹东•高三期中)数列｛%｝中，若％=1,〜=一三4,贝1」£4=___________1

〃+2y

【分析】依题意可得也=9,再利用累乘法求出数列的通项公式，最终利用裂项相消

法求和即可；

【详解】解：因为%所以％^白，所以区二〃-1%_n-2

〃+2ann+2%

詈=3,累乘可得詈*台x&x&=

UU

4］'n-\r-2a2qn+1n

即会=品？因为外川，所以所以

/=2(/)+2值」］++2化」］=小」+」+

£”［2)U3)11920)I2231920J(20)1(

故答案为：方19

20.(2024•重庆•模拟预料)等比数列｛%｝满意/+%=12,则%的最大值为.

【答案】6

【分析】依据等比数列的通项公式和基本不等式，即可求解.

【详解】设等比数列｛q｝的公比为心由%+%=12得，?+ad=12,即的=彳11

qq十的

13

由基本不等式得，d+?.2M.>2,当且仅当“=｝即4=±1时，等号成立，

/n12

所以^+―=2所以“一工X”当4=±1时，（％）a=6.故答案为：6.

21.（2024•湖南岳阳•一模）已知点C。；），）在线段A8:x+4y=l（“yeR+）上运动，则？的

最大值是.

【答案喋

【分析】干脆利用基本不等式计算可得：

【详解】解：由题设x+4y=l（x,），eR'）可得：工+4），=整2历，即历

A4^<j,即孙4白，当且仅当x=4），=4时取“=”，故答案为：

416216

【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项

均为正；二定一积或和为定值；三相等一等号能否取得“，若忽视了某个条件，就会出

现错误.

四、解答题

22.（2024•河北衡水中学模拟预料）在数列｛《,｝中，S”+=4《,+2,q=l.

（1）设%二箓,求证数列匕｝是等差数列；（2）求数列｛为｝的通项公式.

【答案】⑴证明见解析；（2）%=（3〃-1）-2『

【分析】（1）依据给定的递推公式结合册=Sn-，i（〃6N，,〃>2）进行变形，再将q=2V„代

入整理即可得解.

⑵利用（1）的结论求出数列｛&｝的通项公式即可计算作答.

（1）在数列｛%｝中，V〃EN・，5用=4。“+2,则当〃22时，有S“=44T+2,

两式相减得：。,川=4%-4%,而％=黑，即凡=2匕，则有2"+匕+1=4X2”%-4X2"T*,

14

整理得。W=2孰-。小，艮|.c”“+Cz=2c“，所以数列｛cj是等差数列.

（2）由5“+]=4%+2得：4+g=4q+2,而％=1,贝jl%=5,q=g=；,c2=^=-=p

乙乙I

因此，等差数列匕,｝公差"即｛cj是以3为首项，;为公差的等差数列，

则+-1）一4〃一!’即*—丁是得：/—（3〃-1）2-2,

244424

所以数列｛q｝的通项公式%二（3〃-1）・27.

23.（2024•四川南充一模）已知数列｛q｝的前〃项和为且52=5.+/+1,.

请在①《+%=13；②q,%，的成等比数列；③$。=65,这三个条件中任选一个补充在

上面题干中，并解答下面问题.

*'

（1）求数列｛为｝的通项公式：⑵设数列偿｝的前〃项和7；,求证：＜3.

注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴4=〃+1（2）见（2）详解

【分析】（1）依据题意得数列｛，”｝为公差为1的等差数列，再选条件①求出6，即可求解：

（2）依据题意，用错位和减法，可求。，进而得证.

（1）因为S"+|=S“+a“+l,所以5什1-50=4+1,即

所以数列｛%｝是首项为外,公差为1的等差数列.

选①.由4+弓=13,得q+3d+q+6d=13,即2q=13-9",所以2q=13-9x1=4,解得

%=2.

所以aa=%+（n-\）d=2-（n-\）x\=n+\,即数列｛qj的通项公式为=〃+1.

选②.由％,4,%成等匕数列，得（％+2d『=4（0+6"）,则+4qd+4d*=/+.0,

所以q=2.

15

所以4“=a}+(7l-l)J=2-(zz-1)X1=71+I.

选③.因为S|o=lOq+*10宁x9xd=10q+45d,所以10%+45x1=65,所以q=2.

所以a”=4+(〃-l)d=2+(〃-1)1=〃+1.

,一、》/.、/曰(〃+l234〃+11P234n〃+l

(2)由(1)得/二二］，所以［=3+齐+^+…+▼，所以弓4二歹+不•+7r+…+不；+诉，

乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙N乙

两寸式4相2减，3得/1.=1।+尹1+»1+>+1一,+1^一〃下+1=51+51“。+51+齐1+了1+.1而1卜An尸+\

।__L

1I2"〃+13〃+3....__〃+3_

=7+7x--j-一宝T=H方了，所tr以(=3--—<3.

~2

n+2

1川一(=3-赛—(3—>0

2^+1

{1}是递增数列，7；<7；=1,故1W7；<3.

24.(2024•山东荷泽•高三期中)解关于工的不等式：ar+(l-6/)x-l<0(a<0).

【答案】答案见解析

【分析】由原不等式可得(衣+。(1-1)<0(〃<0),探讨-5与1的大小关系即可得出不等式

的解.

【详解】由52+(l-6z)x-l<0(6/<0)^(av+l)(x-l)<0(6Z<0),

V---l=--(^<0),当一IvavO,即一,>1时，不等式的解为xvi或X>—

aaaa

当a<-l,即一!<1时，不等式的解为或x>l,

aa

当。=一1,即一'=1时，不等式的解XH1,

a

所以当一1<。<0时原不等式的解集为(-8，1)［-±+8|,

Ia/

16

当时原不等式的解集为「8,-,JU（l，+8）,

当〃=-1时不等式的解集为（7>,1）（1,48）.

25.（2024•重庆市第七中学校高三期中）己知等差数列乩｝的前〃项和为S",且S?=8,

59=11«4.

（1）求勺；（2）若5.=M,+2,求〃.

【答案】（1）q=2/1+1（2）〃=5

【分析】（1）设公差为依据S?=8,59=11«4,列出方程组，求得首项跟公差，即可得

出答案；

（2）利用等差数列前〃项和的公式求得S“，再依据，=3。“+2，即可的解.

S、=8（2a.+d=Sfa=3

（I）解：设公差为4,由已知;，得：\;忆llf八，解得：〈」所

Sq=1\a4+36d=11（q+3d）[d=2

以a”=2n+1；

（2）解：.（3+2.+1）〃=〃、2〃,

2

因为S”=3an+2,即〃-+2〃=3（2屋+1）+2,z/2—4/z—5=0,解得〃=5,或〃=—1（舍去），

所以〃=5.

26.（2024•福建•永安市第三中学中学校高三期中）己知数列｛%｝是前〃项和为S“=2"+-2

（1）求数列｛叫的通项公式；（2）令b.=4+l。及外,求数列出｝的前〃项和

2

【答案】（1）%=2"（2）2"'十二^一2

2

【分析】（1）减项作差即可，留意对首项单独探讨；（2）先求出｛4｝的通项公式，再分组求

和.

n+in+[nn

（1）VStl=2-2当〃22时，an=Sn-Sn_i=2-2-（2-2）=2

当〃=1时，q=2满意上式，所以数列｛q｝的通项公式为4=2”.

17

(2)由(1)得，包=2"+1叫(2")=2"+〃,

贝IJ7；=(2+1)+(22+2)+(23+3)++(2"+〃)

=（2+22+23++2"）+（1+2+3++〃）

_2。+”（I+〃）_2”+i+1/+〃_2

1-22~~^L—一,

27.（2024•江苏镇江•高三期中）已知在各项均为正数的等差数列｛q｝中，生+4+《=21,

且%-1,4+1,4+%构成等比数列也｝的前三项.（1）求数列｛《,｝,也｝的通项公式；（2）

设数列%=，求数列｛&｝的前〃项和S”.请在①〃也；②a-③

（-1）”勺+〃这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.

【答案】（1）a”=2〃+l,b“=2"”；（2）详见解析:

【分析】（1）设等差数列M”｝的公差为"，依据/+/+%=21,且生-1,%+1,&+%成

等比数列求得〃产3,d二2即可；（2）当ca=4e=（2〃+1）22时，利用错位相减法求解；当

h„_2rt+,_11

一(〃一1)(%-1)-(2M+,-l)(2rt+2-l)-2,,+,-1-2,,+2-1时，利用裂项相消法求解；当

q=（-i）Z+〃=（T）”（2〃+i）+〃时，利用分组并项法求解.

（1）解：设等差数列｛q｝的公差为乩

因为的+%+。4=21,且%+1,%+生成等比数列，

所以4+21=7/_|，(4+21+1)2=(4+d—l)(2e+5d),解得q=3"/=2.

所以4=4+(〃-1)〃=2〃+1,则々=4也=8,g=2,所以"=厢"7=2向；

234rt+,

(2)当加=。也=(2〃+1)2向时，5H=3x2+5x2+7x2+...+(2«+l)2,

则2s〃=3X23+5X24+7X2'+…+(2〃+1)2,

两式相减得：—S“=3x22+2(23+24+...+2"M)-(2〃+l)2"c=-4+(l-2〃)2""，所以

S”=4+(2〃—1)22；

18

b2n+111

当c=------------=---------------=--------------时

“("-l)("+1T)(2""-1)(2/2—1)2,,+'-12,,+2-1

而］」______1__J______1_11_11

，｛'22-1-23-1+2,-1-24-1+'"+2,,+,-1-2,,+2-1~22-l~2n+2-l：

当c”=+n=(-1)”(2〃+1)+〃时，则S”=-3+1+5+1+...+(-1)"(2〃+1)+〃，

当〃为偶数时，S.=(—3+5)+(—7+9)+...+(1+2+...+〃),=4X2+^^=^^

222

当〃为奇数时，S”=FX2+(1+2+...+〃)-(2〃+1),二〃;L4,

立即，〃为偶数

所以邑二22

〃为奇数

19

B卷(建议用时90分钟)

一、单选题

1.(2024•湖北•汉阳一中模拟预料)已知正数x,z满意“In)，=)/=〃，则x,J,z

的大小关系为()

A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.以上均不对

【答案】A

【分析】将z看成常数，然后依据题意表示出乂儿再作差比较出大小即可

【详解】解：由xl”=泗：=zx,得X1"=Z¥,则z=lny,得y=e"所以，/=zx，所

VXx=—

令/(z)=e-z(z>0),则八z)="-l>0,所以函数/(z)在(0,y)上单调递增，所以

/(z)>/(0)=^°-0=l,

所以，>z,即y>z所以工_),二£1_炉="一"二'("一二)>0,

ZZZ

所以x>y,综上x>y>z,故选：A

2.(2024•山东文登•高三期中)关于x的不等式a/-|x|+2aN0的解集是(r,*o),则实数

〃的取值范围为()

.，

【答案】A

【分析】不等式次|+2心。的解集是(F,y),即对于DxeR,"一次|+2心0下成

立，即分x=0和。工。两种状况探讨，结合基本不等式即可得出答案.

【详解】解：不等式aP-|x|+2a20的解集是(ro,*o),即对于VxwR,aP-|x|+2a20恒

20

成立，即

X2+2

、W1

2

当x=0时，«>0,当4/0时，x+2小11.同2,

因为+『I2=了,所以也，综上所述事,.].故选：A.

W+4

HTNL4j

3.（2024•福建省福州第一中学高三期中）已知数列｛〃“｝满意：

q=%=l，4t+2=〃”+|+可（"£"）.若1+/+%+%+…+《9+4产见，则々=（）

A.2024B.2024C.62D.63

【答案】C

【分析】利用数列的递推关系式即可求解•.

【详解】1+4+%++…+生9+a6l=%+4+%++…+。59+。61

=/+/+%+…+%9+。61=必+%+…+%9+牝1=462，所以2=62.故选：C

4.（2024•福建•福州三中模拟预料）已知在等差数列｛（｝中，%=3,%=□，数列也｝的

通项a=loga1+，（a>1）,s”是数列也｝的前〃项和，若T”=l0tgiM+1，则5”与，的大小关

系是（）

A.>TnB.S.>T“C.Sn<TrD.Sn<Ttl

【答案】B

【分析】先由己知求出等差数列｛q｝的通项公式，然后可得数列｛"｝的通项公式，从而可求

出数列｛bn｝的前〃项和S”，再利用不等式放缩法可比较出S.与Tn的大小.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,由题意得〃=呼生==