2025年高考预测猜题 数学（新高考Ⅱ卷专用）04 含解析

绝密★启用前

2025年高考考前信息必刷卷04（新高考II卷）

数学

考情速递

高考•新动向：新高考11卷考试题型为8（单选题）+3（多选题）+3（填空题）+5（解答题），其中最

后一道试题考查数列新定义，考查的动向有：新概念的理解与应用、新运算与新情景的迁移能力、综合推

理与存在性问题、数列与数学文化的结合、夏杂逻辑与计算能力，以解答题的方式进行考查。

高考•新情境：2025年新高考II卷数学试题将更加注重新情境的创设。试题将贴近实际生活•，融入更多具有

时代感和现实意义的元素，以考查学生在新情境下运用数学知识和方法解决问题的能力。这将要求学生不

仅掌握扎实的数学基础，还需具备灵活的思维和创新能力，能够迅速适应新情境，准确分析问题，并给出

有效的解决方案。考生需关注社会热点和科技发展，提升数学应用意识和实践能力。

命题,大预测：对于2025年新高考n卷数学命题的预测，整体难度可能会有所调整，更注重考查学生的综合

能力和创新思维。试题可能更加注重基础知识的灵活应用，同时融入更多新情境、新题型。预计会延续对

函数、数列、立体几何、概率统计•等主干知识的考查，注重通性通法，淡化特殊技巧。解析几何保持稳定,

重点考查曲线方程、最值问题等，可能减少计算量、增加思维深度，融合向量、方程等跨学科内容。考

生需扎实掌握基础知识，提高解题技巧和应变能力，以应对可能的命题变化。

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合人=卜产一3—4«0},B={y|.y=ln（x2+l）},则A|J8=（）

A.[-l,4<o)B.[0,1]

C.(0,4]D.(-<»,4]

【答案】A

[解析】因为A={X|X2-3X-4<0}={X|-I<J<4},

因为V+i之1,所以ln(/+i"o,故8=卜1=111(/+1)}={),卜20},

所以Au8=[-l,+a)),

故选：A

2.已知复数z满足土=-2i,则国=()

A202x/5

a.—nR.----

93

【答案】B

【解析】由二=一方，得z=-2iN十2，

z+i

设2=4+勿(。力€1<),则5=4-〃i,

.•.a+/?i=-2i(a-/?i)+2=2-27?-24zi,

4=2-2824

解得〃=4,h=lt

b=-2a

z|=Ja2+b2=~~~•

故选:B.

3.已知向量々=（8$0,1）,力=（-1,25访，）且向量。.〃方向相反，则e可以是（）

【答案】D

【解析】因为向量a=（cosai）,b=（-l,2sin。）且向量a,“方向相反,

当ccs0=0时，sin/9=±l,;=(0,1),方=(一1,±2)不满足题意，

当ccs0Ho时，一[=C<0,解得sin2〃=-l,且sinOvO,

cos<91

所以2。=包+2履，O=—+kn,且兀+2E<〃<2兀+2E,

24

经检验只有X=?满足题意，

4

故选:D

4.空间中有两个不同的平面以《和两条不同的直线相，〃，则下列命题为真命题的是()

A.若aJ■夕JLa,m_L〃,则■尸

B.若a■!_△，〃J_J■尸，则〃?JL〃

C.若nua,〃JIp,muB，mHa,议aIi0

D.若，i工。,且则〃//a

【答案】B

【解析】选项A,

若a_LA〃?_La,〃?_L〃，则〃与夕可以相交,也可以平行,不一定垂直,A错;

选项B,若&_1尸,m_1。,〃_14，则直线/«,〃的方向向量分别是平面。，户的法向量，两平面垂直，即为它

们的法向量垂直,则〃?1〃，B正确;

选项C,若〃ua.〃〃£.)?u氏o〃a,则可能有a〃尸,也可能a，£相交,C错:

选项D,若〃■!〃，且白，△，则〃〃a或〃ua,D错.

故选:B.

r'

5.记数列｛q｝的前"项和为S“，若数列2是公差为1的等差数列，则等=()

A.1B.2C.2025D.2022

【答案】A

【解析】因为数列2是公差为1的等差数列，

1,J

所以=L=*'+lx("l)=/?,故5.=〃％,

ana\

当〃A2时，S“_]=(〃一I"”[，〃-1/0,

两式相减得，一S”」=〃凡一(〃一1)《一，

则a“=S-(〃T)%,

得到也“一见=("—1)4T，

故("T)a”=(〃T)1,即q=an-\,

故｛4｝为常数列,则限=%,即誓=1,故A正确.

a3

故选：A.

6.已知cos(g-a)+sin(与+a)=0,IjliJcosher--^1=()

A.|B.3C.--D.一直

2222

【答案】A

正c°sa+Lina」c°sa+且sine.

可得tana=l,

2222

a=：+E(&eZ),cos^2a-j=sin.

故选:A.

7.已知aeR,若实数无，），满足y=/+2]娥+；

则（4-.炉+（4+1-＞）2的最小值为（)

A.2>/2B.72C.2D.8

【答案】C

【解析】由题意，点（M），）在曲线y=-gx2+21nx+g上，点在直线y=x+l上，

（〃-+（a+1-»的几何意义就是曲线y=F+21at+g上的点P（i,力与直线y=x+1上的点Q（〃。+1）

两点间的距离的平方.

当点?为曲线了=-；/+2山+；平行于直线y=.r+l的切线的切点,

且直线P。垂直于自线y=x+i时，P,Q两点间的距离才可能最小.

22

又y=-x+-,令），=一3+-=1,解得％=1或一2（舍去），

xx

所以切点为〃（1，0）.切点尸（1,0）到直线y=x+1的距离

血,d就是所要求的曲线），=-耳/+212+5上的点与直线y=x+l上的点之间的最小距离,

故（a-x）2+（a+1—y）2的最小值为（a产=2.

故选：C.

22

8.在双曲线。:[-£=1卜，＞（）,〃＞0）的右支上有一点尸，过点P的直线交C的两条渐近线于两点（点

2

22

A6均在'轴的右侧）,^AP=-PB,^.-a<SOAB<a（。为坐标原点），则双曲线C的离心率的取值

范围是（）

A.Y'jB.y--ZC[”4]D.[A]

【答案】B

【解析】由双曲线的对称性，设4nx，，《马，一3占）.

由AP=，P8,nJ-WOP-OA=-[OB-OP）,

即OP=；OB+2•.倡玉，电汽.

将其坐标代入双曲线C的方程，得01+?）~_（3内：2）一=],

16/16/

化简得x也•因为双曲线的渐近线方程为：y=±-x,

3a

.•.侬=/（9）同=%,囱=/[£）闵=泊

因为tan/人Ox=2,所以sinN/lOx=—,cosNAOr=2，

acc

所以sinZAO8=2sin/AOxcosNAQr=-^-,

c-

・•・SQAB=；|3||O8|sin/AO4=14.中2•华畋

Lz\a）CD

-；小沁/+9）e[宪]

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知一组样本数据中与，”20,若0<用工m与4*20,则下列说法正确的是()

A.该样本数据的上四分位数为与

120

B.若样本数据的方差为/=右1>：-4,则这组样本数据的平均数为2

C.剔除某个数据$(i=12,20)后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差

D.若不再,,一的均值为2,方差为1；仆,*2,，%的均值为6,方差为2,则知为,No的方差为5

【答案】BC

【解析】对于A,由2()x75%=15,所以样本数据的上四分位数为七幺，故A错误：

120_I(20]20一、

对于B,由方差公式得A-2=—T)2=—XX<2-20V=右一/，

所以根据已知条件可知：？=4,因为7>0,所以最=2，故B正确；

对于C,剔除某个数据看后得到的新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，故C正确；

；-2"

।丁-10x2+10x6彳nl10xri+(2-4)|+10xr2+(6-4)|..“-

对于D,由于x=—————=4,则/=_L_1___LJ_____LJ：___LLU，故D错误：

20202

故选：BC.

10.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐

美.定义：能够将圆。的周氏和面积同时等分成两部分的函数称为圆0的一个“太极函数''下列有关说法中正

确的是()

A.对圆O:/+),2=]的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数：

B.函数/(x)=sinx+l是圆。：/+(>-]/=1的一个太极函数：

C.存在圆。，使得=5是圆。的太极函数；

e-I

D.直线。〃+1卜-(2m+1万-1=0所对应的函数一定是圆0:*-2)2+()，-1)2=产(/?>())的太极函数

【答案】BD

【解析】对J-A,如图折线形成的函数/（刀）是偶函数,满•足S,WE=Sw=SPCO=SPDO

显然函数/*）的图象能将圆。的周长和面积同时等分成两部分，A错误:

对于B,将正弦函数），=sinx的图象向上平移1个单位即得/（x）=si3H的图象,

即fix）=sinx+1的图象关于点（0,1）成中心对称，而圆。:/+（y-1丫=1也关于点（0,1）中心对称,

因此函数/（幻的图象能将圆。的周长和面积同时等分成两部分，B正确；

对于C,的定义域为（YO,0）J（0,XO）,且/（_的=£二=二=一/（*），

即小）=u为奇函数’图象关于（。。对称,

若。幻=炉是圆。的太极函数，则圆。的圆心应为（0,0）,但是（0,。）不在/（X）的图象上,

e-1

因此函数/*）不能将圆。的周长和面积同时等分成两部分，C错误：

对于D,直线Q〃+l）x-（2m+l）y-l=0,g|Jm（x-2y）+x-y-l=0,

由k2OV="0叫/x册—2则直线d2,W)I=0恒过定点⑶),

显然直线。〃+1»-（2加+1）），-1=0经过圆0:*-2）2+（），-1）2=/?2（/?>0）的圆心，

该直线能将圆。的周长和面积同时等分成两部分，D正确，

故选：BD

II.己知f（x）是定义在R上的函数，对于任意实数〃力满足/（"）=640+"（〃），当—>1时,/*）>（）,

则＜)

A./(D=0B./(H)=/(x)

C./(x)有3个零点D.若/(x)>0,则一1vx<()或x>l

【答案】ACD

【解析】对于A,已知/(帅)=歹。)+⑺⑷,

令a=〃=0,j|lij/(0)=0x/(0)+0x/(0)=0,

故」[0)=0；令a=〃=l,则/。)=/⑴+/(1),解得/⑴=0,故A正确;

对于B,令a=b=7,则f(T)=(T)x/(T)+(T)xf(T),

解得了(-1)=。；令a=-l，〃=x,则/一#=一/。)，

得到/(x)是奇函数,不满足八国)=/(%),故B错误;

对于C,令则f⑴=.炉(1]+，/*)=0,

x\x)X

而。-x)=-/(x)，得到/(x)是奇函数，且在R上有定义,

则00)=0,/(-I)=-/(D=0.得到/(%)有3个零点，故C正确,

对于D,结合^《卜卜。"。，解得/(')=—//(；),

显然xoO,而‘=一/<0,若/。)>0,则/(十)<0即可，

当3>1时，此时/(x)>(),则/([〈O,符合题意，

而在0<x<l时，:>1,则〃x)<0,不符合题意,排除，

当-1<XVO时，0<-x<1.一;>1，故/(一：)>0，

由奇函数性质得£]<0,符合题意，

当x<—l时，-x>\,此时〃T)>0,

由奇函数性质得J(X)=-/(T)VO,不符合题意,排除,

综上，若则-IvxvO或x>l,故D正确.

故选：ACD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若(a-x)(x+l)s的展开式中父的系数是20,则实数。的值为

【答案】6

［解析］・・•(。-X)(x+1)5的展开式中f的系数是-C；=20,/.5a=30./.47=6.

故答案为：6

13.在V/WC中，角A,及。的对边分别为aej且B=］，若点M是6c的中点，AM=；AC,则

【答案】3

4

【解析】

J------------J

在中，因B=~,由余弦定理可得：AM2=AB2+BM2-2ABBMcosB=c2+-a2--ac,

2342

在VA8c中，由余弦定理可得：

AC2=AB2+BC2-2ABZ?CcosB=c2+a2-ac，

因为AM=gAC,AC2=4AM2,

可得c?+a2-ac=4\c2+—a2-—ac|=4c:+a2-2ac,解得N=3.

42)c

故答案为：3.

14.三棱锥S—A8c中，SC_L平面A8C,SC=AB=3,平面A8c内动点。的轨迹是集合

A/={D||DA|=2|DB|},已知c、D,wM,且。在AH所在直线上，i=l,2.则三棱锥S-外接球的表

面积为.

【答案】2571

【解析】以八8中点为原点建立直角坐标系，不妨设{-豹}呜①}

设双乂旧由|图=2|。同可得，/+1J+丁=2J1］—,j+V化简，

(x—|J+y2=4,所以外接圆半径为2,

n75

设三棱锥s-aac的外接球半径为R,由*=4+：=f,S球=4击」=25几.

44

故答案为：25兀.

四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知函数/。）=1一,一上+lnL

XX

（1）求曲线y=/（幻在点（1J⑴）处的切线方程；

（2）求/（幻的最值.

【解析】（1）函数=-V—Inx,求导得r（x）=4+N—_L,则f⑴=2,而/⑴=一1,

XXXXX

所以曲线y=f（x）在点（1J（1））处的切线方程为y+l=2（x-l）,即y=2x-3.（5分）

（2）函数/。）=1一,-4-111工的定义域为（0,”），r（x）=」2=_（X+1）（J-2）,（8分）

XXx3JT

当0cx＜2时，尸（幻＞0,当尤＞2时，/VX0,

因此函数，6）在（0,2）上单调递增，在（2,+co）上单调递减，/U）max=/（2）=i-ln2,（12分）

所以/3）的最大值为1-In2,无最小值.（13分）

4

16.（15分）

算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直

杜（简称档），自右向左分别表不个位、十位、白位....梁上【由一粒珠于（简称上珠）代表5,梁下面一粒

珠子（简称下珠）代表1,五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.（例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动

（2）求随机变量”表示的三位数除以3的余数（能整除时记余数为0）”的概率分布列及数学期望.

【解析】（1）将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁匕

因此各位上数字可以是L2.5.6,三位数的个数是4、=64,

要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，

而这些数中个位数是5的数的个数为4?=16，

所以事件A发生的概率P（A）=/=：（3分）

要使得组成的三位数能被3整除，

贝U数字组合有126,156,225,552,111,222,555,666共8种,

因此满足条件的三位数有2A；+2A；+4=22个,

,、2211

所以事件“发生的概率P（8）===.

6432

故尸（A）=（,P（8）=芸（7分）

（2）记三位数除以3的余数为X，则X的可能取值为0J2,：8分）

由⑴知P（X=O）W，X=1时数字组合有256,112,115,226,556,661共6种,

因此被3整除余1的三位数有A；+5A；=21个，所以P（X=1）=?

71

P（X=2）=l-P（X=0）-P（X=l）=—,（12分）

X的概率分布列为:

X012

112121

P

32M64

数学期望E（X）=。吟+喋+逮嘿公分）

17.（15分）

已知四棱柱人BC。-AqGR如图所示，底面A8C。为平行四边形，其中点。在平面A4GA内的投影

!

为点4，AB=AA]=2AD,^ABC=\2).

（1）求证：平面AB。！平面AORA；

⑵已知点E在线段CJ）上（不含端点位置），且平面A8E与平面8CC4的夹角的余弦值为坐，求而

的值及直线3E与平面BCG4所成角的正弦值.

【解析】（1）不妨设人0=1,因为•平面ABCDAOu平面ABCO,故

在4A£)3中，AR=2,AD=\,ZDAI3=60,由余弦定理得

RD2=AB2+AD1-2ABAD-cos^DAB=22+l2-2x2xlxcos60=3,

得81）=6，故AO?+802=AQ，则AO_LO8,（3分）

因为其。门。8=。，42。8匚平面48。，所以AO_L平面A8D,

而AOu平面人。。,，所以平面八产3平面43。入：（5分）

（2）由（I）知，D4,O8,D4,两两垂直，如图所示，以。为坐标原点,

。4。£。人所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设4）=1,

则O（O,O,O）,A（I,O,O）,网O,GO），A（O,O，G），C（T，6,O），

故AC=h2,x/5,O），AG=AC，（7分）

.■.C,（-2,x/3,V3）,所以48=（0,6，-吟、DC.=（-2,瓜⑻,

设OE=/iDC1（Ov/l<l）,则OE=2QG=（—24仞,疯），

即网-22，同&b

所以4七=（一2464包-百）；（9分）

设〃=（5,％zJ为平面AE8的一个法向量，

“48=Gy-&Z|=0

则〃•4后=-2无』+6办-6）马二（/

令马=2"则y=24内=2&-6，所以〃=（2&-75,22,22）,

因为）‘轴1平面"CG妫，则可取，〃=（OJO）为平面3CG妫的一个法向量,

设平面与平面8CC圈的夹角为a,

，八w|221DEI

则cosa=—走解得2==,故=W（13分）

lwHwl。20储-12/1+3.54tCjJ

2f4'4

3x/3

,3,〃，踮=耳=-巫，

喟34

设8E与平面BCC出所成角为0,

(15分)

18.（17分）

已知圆C：x2+(y-l)2=r2(r>l),A：为圆。与y轴负半轴的交点，过点A作圆。的弦AM,并使弦AM

的中点8恰好落在4轴上，点M的轨迹为曲线&。为直线)=-1上的动点.

(1)求曲线E的方程：

(2)过点。作曲线E的切线，切点分别为。，G.

①求C0OG的值：

②求面积的最小值.

【解析】(1)设用。>，)6，>0),而A(0.1—r),则弦儿必的中点小存0),乂C(O,l),

V—«Y・•产

于是8C=(一不1),™=(-,>-),由得3。3M=0,RP--+y=0,

224

所以曲线E的方程为f=4y(y>0).(4分)

(2)①由(1)知，曲线E：产%2(户0),求导得);=],

设。(内,)口，G(x2,y2),。(%,-1),切线。。的方程为：)，-x=?(xf),

即尸巨一)1，同理得切线B的方程为：>吟工-%，(6分)

.%

一X

又两切线都过点Q（天,-1），因此，则直线。G的方程为y=9x+l,

由），吟X+1消门-%—,则卜+七言，则02中_,_|）,

"ylg=T2

于是CQ=（A1^,_2）,QG=5T"2-M）=（X2fH），

2222

所以。。。6=工上一王二五=0.（9分）

22

②由①知，直线。G恒过抛物线的焦点C（0J）,CQA.IXJ,

由抛物线定义得：|左|=）1+%-2=:父+:4+2=%（％+巧）2-2工声］+2=1（占+%2）2+4,

|°Q卜+4=J*M『+4.

（13分）

2

因此的面积s00c=GC@|OG|=，J-（^+X2）+4>4.

22Al4

当且仅当M+£=0时取等号，

所以AQDG面积的最小值为4.（17分）

19.（17分）

已知数列｛4｝,｛&｝的前〃项和分别为己，纥,定义数列｛〃“｝,（"｝的“关联数列”为｛%｝,且

G=%纥+44-a也.

⑴若（也=2"