2025年高考数学解密之平面向量及其应用

2025年高考数学解密之平面向量及其应用

一.选择题（共10小题）

1.2024•长沙模拟）在△ABC中，D为边BC上一点,上D4C=g,AD=4,AB=2BD,且△A。。的

面积为4J3,则sin上A3。=（）

AV15-V3岳+百「x/5-V3石+G

A.------------BD-------------C.-----------nD.-----------

RX44

2.2024•盐湖区一模）已知△4BC所在平面内一点P,满足P万+PC=0,则AP=（）

I——1——1——1一1——1——1—1一

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

22332332

3.Q024•平谷区模拟）在ZUBC中，"sinA=cosB”是“C=g”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.2024•和平区二模）平面四边形ABC。中，AB=2,AC=2百,AC±AB,J1ADC=—则而.方

的最小值为（）

A.-WB.-2x/3C.TD.-2

已知三个单位向量万，》，云满足石=〃+尸，则向量之，云的夹角为（）

5.（2024•扬州模拟）

开万乃

»I23

A・•B.-C.TD.二"

6-3?6

6.（2024•保定三模）已知△八8C是边长为4陋的正三角形，点尸是△八8c所在平面内的一点，且满足

\AP+BP+CP\=3,则IAPI的最小值是（）

8

A.1B.2C.3D.-

7.Q024•射洪市模拟）在A/16C中，点厂为线段6。上任一点（不含端点），若力尸=》45+2）/。、＞0」，＞0）,

则44_2的最小值为（）

xy

A.9B.8C.4D.2

8.0024•江西一模）如图，正六边形的边长为2）2,半径为1的圆0的圆心为正六边形的中心，若点何

在正六边形的边上运动，动点A,8在圆O上运动且关于圆心O对称，则M4.M8的取值范围为（)

A.[4,51B.[5,7jC.[4,6]D.[5,8]

9.（2024•浙江一模）设Z,Z是单位向量，则（行+1）2—不了的最小值是（）

A.TB.0C.-D.1

4

T■TT—T

10.（2024•重庆模拟）已知历|二J5,|〃|=1,a.b=0,|F+a|+|r—a|=4,才一4〃.d+3=0,则|三一d|

的最大值为（）

A271T,Drm、n3i

A.-----+1B.4C.-----+2D.一

33a

二.多选题（共5小题）

11.Q024•湖北模拟）在A/WC中，A,B,C所对的边为a,b,c,设6C边上的中点为M,A/18C的

血枳为S,其中a=2x/3,加+/=24,下列选项正确的是（）

A.若/=2,则S=3SB.S的最大值为3陋

C.AM=3D.角A的最小值为"

3

12.Q024啸泽模拟）已知向量方在向量1方向上的投影向量为（中,［）向量坂=（1,扬，且）与Z夹角二加

796

则向量不可以为（）

A.（0,2）B.（20）C.（1.73）D.（73.1）

mp

13.（2024•兰陵县模拟）定义运算在AABC中，角A,8,。的对边分别为a,b,c,

qn

|a+b+c3

若a,人。满利=0,则下列结论正确的是（）

\a+c-b1

A.sinA+sinC=2sinB

B.A-.C=］：2

C.角8的最大值为1

D.若asinA=4csinC,则AA3C为钝角三角形

14.（2024•博白县模拟）在A/18C中，。=2,4=J,则下列结论正确的是（）

n

2

A.若〃=3,则A48C有两解

B.AABC周长有最人值6

C.若△八6c是钝角三角形，则8c边上的高AO的范围为（0,26）

D.A48C面积有最大值2+J7

15.Q024•肇庆模拟）若ZU8C的三个内角A,B,C的正弦值为sinA,sinfi,sinC,则（）

A.sinA,sinB,sinC一定能构成三角形的三条边

B.—一定能构成三角形的三条边

sin«sinC

C.sin24»sin2B,sin?C一定能构成三角形的三条边

D.而?，炳:一定能构成三角形的三条边

三.填空题（共5小题）

16.Q024•河南模拟）已知AABC的内用A,B,C的对边分别为a,b,c,C=60o,c=7,若a—b=3,

。为AB中点，则CO=.

17.（2024•泸州模拟）已知向量了，，满足MgI,历卜括，1〃——*|=3,则「妙二_.

—■■■

18.0024•江西二模）在&18C中，已知。/=36。，。为线段AO的中点，若8P=48/+"BC，则

11

—+—=

KU

19.Q024•静安区二模）若单位向量小、，满足”-_LA,则力-四|=一.

20.Q024•重庆模拟）已知正三角形ABC的边长为2,点。满足CZT=〃JC77〃C万7且，〃>0,〃>0,

1m+〃=1,则「而I的取值范围是.

四.解答题（共5小题）

21.（2024•长安区一模）A/WC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设由sin力=a（2+cos8）.

（1）求B：

（2）若A/WC的面积等于、门，求AABC的周长的最小值.

22.Q024•一模拟）已知AABC的内角4,8,C的对边分别为a,h,c,且4D是边上的

高.（sin-sinB）（a+d）=（c--jib）sinC

（1）求角4:

（2：若sin（8-C）=今，a=5求4。.

3

23.(2024•大通县二模)在MBC中，内角A,B,C的对边分别为a,h,c,且

2、Qtcsin6=(〃+c+“X力+c——a),

(1)求角力的大小：

(2：若sinC=4sinB,a=\/\3求ZU8C的面枳.

24.«2024•江西一模)在A48C中，已知内角A、B、C的对边分别为〃、b、c,且A48C的面积为J1,

点。是线段8c上靠近点8的一个三等分点，AD=1.

(1)若_MOC=土，求c；

(2)若/+4?=11,求sin±.BAC的值.

25.Q024•曲靖模拟)在AAAC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且c=2acosC—2%.

(1)求A：

(2)线段"C上一点。满足丽=」前,|而|=|而|=1,求4B的长度.

4

2025年高考数学解密之平面向量及其应用

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.2024•长沙模拟)在△ABC中，D为边BC上一点,上。AC=5，A。=4,AB=2BD,且AA。。的

面积为4J5,则sin±ABD=()

AV15-V3D岳+君「石nV5+V3

A.--------------B--------------C.------------D.------------

8R44

【答案】人

【考点】正弦定理；余弦定理：三角形中的几何计算

【专题】数学运算：方程思想：数形结合法：解三角形

【分析】由已知，解得AC=4,得AAOC为等腰三角形，在△A8Q中，由正弦定理得sin上=•!■,从

4

而得cos上/MO=—再由两角差的正弦公式即可求得结论.

4

【解答】解：由题意，s=-xJDxJCxsin±^C

=-x4x/1Cx3=46解得AC=4,

2y

所以△AQC为等腰三角形，

则上4。。=土故上408="，

在△A3。中，由正弦定理得一^—=—^—,

sin/ADR<;in/RAD

2BDHD,1

即nn一j-=---------------得sinJzBAD=-,

1sinNBAD4

2

因为上JOB=如所以上孙。为锐角，

6

故cos上5/1。=,

4

故sin^ABD=sin(ZJDC-ZBzlD)=sm(--ZB/1D)

6

=-cosZBAD--sin/BAD=岳...

?7R

故选：A.

【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理的应用，属中档题.

2.2024•盐湖区一模)已知△ABC所在平面内一点P,满足PA12万+PC=0,贝ijAP=()

A.IjB+ijCB.l~AB+-ACC.方+•!■元D.+

22a?2?42

5

【答案】B

【考点】平面向量的基本定理

【专题】转化思想：向量法：平面向量及应用：运算求解

—-T-T

【分析】由已知条件结合平面向量的加法可得出AP关于A8、4c的表达式.

【解答】解：因为江AB+P=\

即T'+J-J+A’-Jn

_■_*

即MP=AB+AC,

—I—1—

^AP=-AB+-AC-

故选：B.

【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题.

3.Q024•平谷区模拟）在ZUBC中，"$皿八=8$3"是“。=1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件

【专题】11：计算题：35：转化思想；4R：转化法：56：三角函数的求值：5L：简易逻辑：62：逻辑推

理；65：数学运算

【分析】在ZU8C中，由“sinA=cos8"一力+8=日或4-8=三即。=£或/-8=£;由“。=工

00000

一.4+3=三，则sin月=sin（卫-6）=cos8根据充分必要条件的定义判断即可.

77

【解答】解：在A/WC中，若sin4=cos8,则4+8=色或4-8=%即。=二或力-8=±,

2222

故在MBC中，"sinA=cosB”推不出UC=-“；

2

若C=],则4+8=msinA=sin（y-B）=cosBt

故在A/18C中，“C=X"一<4sinA=cos6”：

故在AA8C中，"sin4=cosB”是”必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考存了三角函数在三角形中应用，及充分必要条件的定义，属于中档题.

6

4.2024•和平区二模）平面四边形八6c。中，AB=2,AC=2&,AC±AB,上则AH.AR

的最小值为（）

A.—x/3B.—2\fiC.—ID.—2

【答案】。

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】综合法：数学运算：转化思想：平面向量及应用

【分析】由已知，得A,B,C,。四点共圆，从而判断点。的轨迹是以AC为弦，圆周角为的劣弧

（不含A,C两点），根据数量积的；I何意义，得出结论.

【解答】解：由48=2,AC=26ACA.AB,

可得tan±8Cq=6故上4BC《

又上4。。=彳，所以上ADC+±ABC=",

以8C为直径作圆，则A,B,C,。四点共圆，

如图所示，故点。的轨迹是以AC为鬼，圆周先为2K的劣弧（不含A,C两点），

3

则八万.户=|户|.|4^|.cos±BJD=2lJ£）ICOS±/MD,

又1|.cos上/M。表示AD在AI3上的投影数量,

由图可知，|AD|.cos上网。0—1,C）,

故4力.A饼一2（此时点。在劣弧AC的中点位置），

即AD.AB的最小值为一2.

故选：。.

D

【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题.

-4-♦

5.（2024•扬州模拟）已知三个单位向量方，》，方满足方=/，+云，则向量方，云的夹角为（）

7

A.匹B.匹C.—D.—

6346

【答案】C

【考点】数量积表示两个平面向量的夹角

【专题】转化思想；转化法：平面向量及应用；数学运算

【分析】将"-二人+(一两边同时平方，再结合平面向量的数量积运算，即可求解.

【解答】解：设向量石，屋的夹角为88@[(),兀1，

由题意可知,\a|=|^|=|^|=1,

a=b-+c，

则a~2=+(Tf=层+P+A屋=2+2x1x1xcos8=1,解得cos9=

故夕=更.

故选：C.

【点评】本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题.

6.(2024•保定三横)已知是功长为4、石的正三角形，点P是△A/?。所在平面内的一点，口满邢

|4P+BP+CP\=3,则|而|的最小值是()

Q

A.IB.2C.3D.-

3

【答案】C

【考点】两个平面向量的和或差的模的最值：平面向量数量积的性质及其运算

【专题】数形结合；综合法：平面向量及应用：数学运算

【分析】建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解.

【解答】解：以人。所在直线为x轴，以AC中垂线为)，轴建立直角坐标系，

则第-2后0),6(0,6),。(2亚0)

设P(x,y),因为|辞+而+万|=3所以J(3x+2&-0-26)2+(3y-6)2=3,

化窗得：f+。-2)2=1,所以点P的轨迹方程为W+(v-2)2=I,

设园心为G，则G(0.2),由圆的性质可知当AP过圆心时，|河最小，

乂区为0G|=也？+(26)2=4,所以辞I得最小值为|AG|—1=4—1=3.

故选：C.

8

【点评】本题考查平面向量的坐标运算和圆的相关知识，属于中档题.

7.Q024•射洪市模拟)在AWC中，点”为线段上任一点(不含端点)，若万=+2yX(x>0,y>0),

则J.+2的最小值为()

x>'

A.9B.8C.4D.2

【答案】A

【考点】平面向量的基本定理

【专题】计算题：对应思想：综合法：平面向量及应用；数学运算

【分析】利用产，B,C三点共线，得到x+2y=1,再利用基本不等式求最值即可.

【解答】解：：尸，B,C三点共线，AF=xAB+2vAC(x>0,v>0)

：x+2y=1,

:,-+—=(-+—)(j+2y)=-+—+5fS^+5=9t

XvXvXv

当且仅当?Z=立，即x=y=L时取等号，

xva

•lu.Z的最小值为9,

X5'

故选rA.

【点评】本题考查平面向量共线定理，基本不等式的应用，属于中档题.

8.Q024•江西一模)如图，正六边形的边长为2)2,半径为1的圆0的圆心为正六边形的中心，若点M

在正六边形的边上运动，动点八，8在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为()

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.(5,8]

9

【答案】B

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】数学运算；整体思想：平面向量及应用：综合法

【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得MTHW乔一1,再由।企।的范围，即可得

到结果.

【解答】解：由题意可得：MA.MB=(MO+OA)".(MO+OB)=(MO+OA).(MO—OA)

=|血F-I丽2=|砺2-1

当OM与正六边形的边垂直时，A/d|_=>/6，

当点”运动到正六边形的顶点时，|丽|_=2族，

所以|荻怛[«,2应]，

则I丽FW[6.8]，

即.MB=(|M。FT)G[5.7].

故选：B.

【点评】本题考查了平面向量数量枳的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题.

9.Q024•浙江一模)设为，人是单位向量，则(万+〃)2一万.力的最小值是()

A.TB.0C.-D.1

4

【答案】。

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】综合法；数学运算；对应思想：平面向量及应用

【分析】由向量的数量积运算及三角函数的有界性计算即可.

【解答】解：因为石.1是单位向量，

TT—TT-

所以(方+Z?):—n.b=|万f+37./?+\bf-ri.b=2+n.b,

T.1T

又因为万,方=1万|.|。|・COS<a。>,且—1.cos<n,b>.1,

T

所以T.n.b.1,

TT

所以(n+b)2—n.b的最小值为2T=1.

故选：。.

【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题.

10（2024•重庆模拟）已知111=8，向=1,1.5=0,|r+1|+-—了|=4,层一宓.2+3=0,则

的最大值为（）

A.①IB.4C.诙+2D.21

33a

【答案】\

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】转化思想：转化法：平面向量及应用：数学运算

【分析】由题意首先得出i。——M为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换

为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.

【解答】解：如图所示：

满足汴5屏1,ab=Q

又|e+G|+M-d|=4即J（，〃+G）2+/+J（加一#/+/=4=2°>2c=2.=|4/1|,

由柄圆的定义可知点。在以4,4为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，

a=2,c==yja'-c2=J4-3=1

所以该椭圆方程为二+V=1,

4-

而言—4b.2+3=0,即p?+?-4q4-3=0,即+（q-2f=1,

这表明了点。在圆.F+。-2>=1上面运动，其中点E（0,2）为圆心，「二1为半径,

11

又|尸-4|=|0「-0D|=|GD|」CE|+|EO|=|CE|+I,等号成立当且仅当C,D,E三点共线，

故只需求ICE|的最大值即nJ,

2

因为点C工+，=1在椭圆上面运动，所以不妨设C（2co$asin6）,

4

蒯|CE|=J4cos汨+（sin6-2）?="4（1一m汨）+而旃n9+4=V-3s/n:9-4sin9+8,

_40

所以当sin6=-------------=-一且C,0,E三点共线时，

2x（-3）?

|尸一二|有最大值|。£扃+1=/-3、（一；）2-4乂（一：）+8=^^+1

故选：A.

【点评】本题主要考查平面向量的数量枳运算，考查转化能力，属于中档题.

二.多选题（共5小题）

11.（2024•湖北模拟）在A/18C中，A,B,。所对的边为i,b,c,设8c边上的中点为M,△八8。的

面积为S,其中《=2J3,"+/=24,下列选项正确的是（）

A.若/=g,则S=3JiB.S的最大值为3/

C.AM=3D.角A的最小值为

3

【答案】ABC

【考点】正弦定理

【专题】转化思想；计算题；数学运算：解三角形：综合法

【分析】对于4,由余弦定理可求加的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

对于“，山已知利用基本不等式可求得反.12,进而根据三角形的面积公式即可求解.

r-»r—>I

对于C,山题意可得2AM=48+AC,两边平方，利用平面向量数量积的运算，余弦定理即可求解.

对于。，利用基本不等式可求得儿.12,利用余弦定理可求cosA开g,结合范围A6（0,乃），利用余弦函数

的性质即可求解.

【解答】解：对于A,若力=（,。=2白，/+/=24,

由余弦定理a?=b2+c2-2bccos4,可得12=b2+c2-be=24-be,可得be=12,

所以△八AC的面将l为S=；bc$in/=；xl2x冬36故A正确；

对于3,因为24=^+d开&c,可得柝.12,当且仅当/>=C=2j§时等号成立，此时a=b=c,可得4=三，

所以A/3C的面积为S=1bcsin/・1）d2x正=3&故8正确；

222

12

对于C,因为8c边上的中点为M,可得24M=48+AC,

所以两边平方，可得4而二+#二+2蒜.了?

可得4|AMf=c2+b2+2bccosA=(r+b2+2bc-+C———=2(b2+c2)-a2=2x24-12=36解得

2bc

|AW|=3，故C正确：

对于。，因为24=〃+/开幼。，可得儿.12,当且仅当b=c=2j］时等号成立,

所以，0S/1=

2bc2x122

因为4£(0,"),可得力e(0,*],

所以人的最大值为二■，故。错误.

3

故选：ABC.

【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，平面向量数量积的运算以及余弦函

数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，屈于中档题.

12.（2024•荷泽模拟）已知向量方在向量〃方向上的投影向量为（三",彳）向量6=（1,百），且不与人夹角z，

A

则向量不可以为（）

A.(0.2)B.(20)C.(1,73)D.(V3.1)

【答案】AD

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的含义与物理意义：平面向量的投影向量

【专题】平面向量及应用：转化法；转化思想；数学运算

【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，以及向量的数量积运算，即可求解.

【解答】解：向量6=（1,6），

则|，卜JF+（C）2=2,

-3-万

向量行在向量。方向上的投影向量为（二-,不）,6与〃夹角37,

77A

则iMcosg•且二中坂解得|=2

6\b|2

13

故片.〃=|^||/?|cos—=273，

A

对于A,满题7=26,|方|=2,符合题意，故A正确；

对于B,11=2,不符合题意，故B错误；

对于C,片）=4,不符合题意，故C错误：

对于。，满足行，坂=？/,|K|=2,符合题意，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题主要考查向量的投影公工3以及向量的数量积运算，是基础题.

13.Q024•兰陵县模拟）定义运算机口=mn-pq.在A/WC中，角4,3,C的对边分别为“,b,c,

q〃

3

若。，b,。满+=Ot则下列结论正确的是（）

\a+c-bI

A.sinA+sinC=2sinB

B.A:C=1:2

C.角6的最大值为g

D.若asinA=4csinC,则A/WC为钝角三角形

【答案】ACD

【考点】行列式；正弦定理；解三角形

【专题】解三角形：整体思想：数学运算；综合法

【分析】由新定义运算得a+c=28,对于选项4：由正弦定理边化角后知sinA+sinC=2sin3正确：对于

选项8：可举反例进行判断：对于选项C：结合余弦定理及基本不等式，可求得cosB开1,可知C正确；

2

对于选项。：结合条件可得c=2仇。=±八计算cosA即可判断出人为钝角.

【解答】解：由"003=0可知伍+/>+c）-3（a+c-方）=0

a+c-b1

整理可知a+c=2b,

由正弦定理可知:sinA+sinC=2sin3,

即选项4正确：

因为/=8=。=4满足a+c=2/2,

但不满足A:C=1:2,

即选项8不正确;

22_（a+C\l

小…A«+c23（a2+c2）-2ac6ac-2ac]…目旧*，，”\

由cos8=----------=---------------=-------------7T--------=—（当且仅当a=c时取=）,

Jar2/ir?，

又0<B（兀,

所以8的最大值为《，

即选项C正确：

由asinA=4csinC可得tr=4c2,

解得a=2c,

叉a+c=劝，

24

从而可得c=—b,a=—b,a为最大边，

74

,222b2+（-/>）2-（-bY.

则cosA------W-=------——---——=一一<0,4e（0,乃）

2bc力x（：b）4

即角A为钝角，

即选项力正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了正弦定理，重点考查了余弦定理及基本不等式的应用，属中档题.

14.（2024•博白县模拟）在A/WC中，a=2,4=£,则下列结论正确的是（）

6

A.若〃=3,则AWC有两解

B.AABC周长有最大值6

C.若ZUBC是钝角三角形，则8c边上的高八。的范围为（O、2jj）

D.A48C面积有最大值2+

【答案】ACD

【考点】正弦定理.：三角形中的几何计算：解三角形

【专题】分类讨论：解三角形：数学运算：综合法

【分析】A选项，根据〃sinA<。<〃得到结论，判断出A的真假：8比项，由余弦定理和基本不等式求出

周长的最大值，判断出A的真假：C选项，求出三角形的外接圆半径，画出图形，数形结合得A在方或

片•上，AC边上的高A。的范围为（0.2JJ）：。选项，在C选项的基础上求出面积最大值.

【解答】解：A选项，bsinA=3sin—=—»故）sin4<a<〃，故有两解，A正确；

62

B选项，由余弦定理得从+c2-a2=2bccosA,

即(b+cf-2bc-4=2/>ccos-,化简得(5+c)2-4=(2+@)bc

A

由基本不等式得儿•©!立，故仍+介-4•竺亘也立，

44

当且仅当〃=c时，等号成立，

解得b+c・2#+2及，故AWC的周长最大值为2遥+2&+2,3错误:

C选项，由正弦定理得，一=二_=4,故A/3C的外接圆半径为2,

sin/1.不

sin—

A

如图所示，将A4BC放入半径为2的圆中，其中AC=/)E=2,±B£>C=-,

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故BE=CD=2c，

△八8c是钝角三角形，故A在db或8上,

故EC边上的高A。的范围为(O,2JJ),C正确;

。选项，由C选项可知，当A落在OE的中点时，AABC边8。上的高A/F最大，

其中。E=O6sing=V5

此时高A/F为2+J5面积最大值为』6C•4/=2+6,£正确.

2

故选：ACD.

【点评】本题考查余弦定理及基本不等式的性质的应用，属于中档题.

15.Q024•肇庆模拟)若A/WC的三个内角4,B,C的正弦值为sinA,sinB,sinC,则()

A.sin4.sin/?,sinC一定能构成三角形的三条边

B.L,_!_一定能构成三角形的三条边

sinAsinHsinC

C.sin'A,sinzB,sin'C一定能构成三角形的三条边

D.砧麻一定能构成三角形的三条边

【答案】AD

【考点】正弦定理；解三角形：余弦定理

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【专题】逻辑推理.；转化思想：计算题：解三角形；综合法：三角困数的求值；数学运算

【分析】根据正弦定理边化角，结合三角形三边满足的关系即可根据选项逐一求解.

【解答】解：对于A,由正弦定理得sinA:sin8:sinC=a:b:c,

所以sinA,sinfi,sinC作为三条线段的长一定能构成三角形，故A正确，

对于由正弦定理得

sinAsinBsinCabc

例如a=5,b=12,c=13»则［,

a5b12c13

由于上=4」+9=且，-+故不能构成三角形的三条边长，故8错误，

a125cb156cba

对于C,由正弦定理得sin2A:sin?B:sitrC=a2:b2:c2,

例如：a=3、〃=4、c=5,贝ij『=9、=16、c2=25,

则"+廿=25=d,si-A,sin2B,sin2c作为三条线段的长不能构成三角形，故。不正确：

对于。，由正弦定理可得Jsin4:Jsin8:JsinC=石:而不妨设a<〃<c,则a+〃:*c,故

,、G<Jb<.、"且+扬?=a+b-c-^2yjab>2\/ab>0

所以（\la+Jb）>'Jr,故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

三.填空题（共5小题）

16.（2024•河南模拟）已知△人8c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=60o,c=7,若a—b=3,

。为八8中点，则C0=_^S_.

【考点】余弦定理।制三角形

【专题】整体思想：综合法：解三角形：平面向量及应用；数学运算

【分析】由己知结合余弦定理先求出面，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.

【解答】解：因为△"（；中，C=60o,c=l,a—b=3,

由余弦定理得，（T=a2+lr-2zz/?cos6DO=（a-bf+ab,

即49=9+ab,

所以/=40.

。为A8中点，则丽=1（5+而），

所以I而『=■!•（*：+荏，+2》•在）=■!■（/+/+而）

44

ilop

=-[（o-ft）2+3a6]=-（9+120）=—

444

所以。。=叵.

7

故答案为：叵.

【点评】本题主要考查了余弦定理，向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题.

17,（2024•泸州模拟）已知向量I,3满足1，门=1,同=.、万，|«-26|=3,则〃一d1.

【答案】1.

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】整体思想；转化法；平面向量及应用；数学运算

【分析】对I/—2々=3两边平方结合已知化简可求出1.人的值.

【解答】解：因为历卜解|昨布,|a-2d|=3

所以k~—2^f=!?—4〃-5+0=9,

一

所以1一“■.人+4x3=9,解得不力二1,

故答案为：1.

【点评】本题考查平面向量的数量积及其运用，考查运算求解能力，属于基础题.

18.2124•江西二模）在AML中,已知£＞厂=38D,尸为线段M的中点，若BP=/4+湎C,则；+二二

10.

【考点】平面向量的数乘与线性运算；平面向量的基本定理

【专题】转化思想：方程思想：计算即；数学运算；平面向量及应用：综合法

【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得而=，丽+:而由平面向量基本定理可得X、〃的值,

进而计算可得答案.

【解答】解：根据题意，在A4AC中，已知方芸一二3晨「，则

由于p为线段a。的中点，则而=丽+丽=而+'E=丽+,（互5-而）=,瓦5+1而=!瓦5+1丽,

?7?778

故％=-，〃=L

28

则有_L+_L=2+8=1C.

A〃

故答案为：10.

18

A

【点评】本题考查平面向量基本定理，涉及向量的线性运算，属于基础题.

19.Q024•静安区二模)若单位向量〃一..G满足则技|=2.

【答案】2.

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】综合法；数学运算：平面向量及应用：整体思想

【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解.

【解答】解：单位向量“、石满足〃

则屋立=0,

则|。一屉卜折-2折4+3户=41-0+3=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题.

20.Q024•重庆模拟)已知正三角形ABC的边长为2,点。满足。万=mCA^nClF,且/〃>0,〃>0,

为+〃=1,则正亍|的取值范围是_(1,2)_.

【答案】(1,7).

【考点】平面向量的基本定理

【专题】数学运算：转化思想：平面向量及应用：向量法

【分析】取4c的中点E,由题意得。。=2/nCE+nCB，从而推得8,D,E三点共线，进而得出

|C£|<|五VCBI,即可求得结论.

【解答】解：取AC的中点E,则<77-=2CE~,

又而=而，则而=2朗而+〃而

又2〃+〃=1,故8,D,E三点共线,

即点。在中线BE上运动，

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在正三角形ABC中，BE_LAC,

又犷>0,n>0,贝山。£|<|而|<|「8|，

故|⑦£(1.2).

故答案为：(1,2).

【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题.

四.解答题(共5小题)

21.Q024•长安区一模)A48C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设屈sin/l=a2+COSB).

(1)求A；

(2)若A1SC的面积等于求AWC的周氏的最小值.

【考点】基本不等式及其应用：解三角形

【专