2023年普通高等学校招生全国统一考试数学原创卷（二）（附答案解析）

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学原创卷（二）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

i.（X+；）工+四6的展开式中，vy项的系数为（）

A.1B.6C.20D.15

2.已知复数z=（g+乎i）,•且z>0,则〃的最小值为（）

A.1B.3C.6D.9

3.定义：若集合A8满足存在且。壬8,且存在〃且万史A,则

称集合AB为嵌套集合.已知集合A={x\2x-x2W0且xeR+},

8=卜,2_（34+1）X+2/+为<0},若集合46为嵌套集合，则实数。的取值范闱为（

A.（2,3）B.<-oo,l）C.（1,3）D.（1,2）

二、多选题

4.己知。为锐角，则下列说法错误的是（）

A.满足iane=cos6+sin。的8值有且仅有一个

B.满足sin。,tan。,cos®成等比数列的〃值有且仅有一个

C.sine、cos6,tan6三考可以以任意顺序构成等差数列

D.存在。使得tan。-$m6,8$，-$而仇85。-1211。成等比数列

三、单选题

5.键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物蔡可以

用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形.已知ABCH/J与

CDEFGH为全等的正六边形,且48=2,点P为该图形边界（包括顶点）上的一点，

A.[0,42]B.[-1,42]C.[0,36]D.[-1,36]

6.已知函数f（x）=e4,点（a〃）（a,bwR）为平面内一点，则下列说法错误的是（）

A.当〃>1,胞土时，过点（凡切可作曲线y=f*）的三条切线

2

B.当«石<5<也辿时，过点（品〃）可作曲线y=/*）的三条切线

2

C.若过点（&〃）不能作曲线），=/3）的切线，则“<0,也口

2

D.若过点S，〃）可作曲线），=/*）的两条切线，则〃〈电竺D

2

7.2023年高考考场的规格为每场30名考生，分为6排5列，依照下图所示的方式进行

座位号的编排.为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为A卷和B卷，座位号为奇数

的考生使用A卷，座位号为偶数的考生使用8卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考场

参加高考，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一

列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有（）

第五列第四列第三列第二列第一列

2524131201第一排

2623141102第二排

2722151003第三排

2821160904第四排

2920170805第五排

3019180706第六排

A.2016种B.1（X）8种C.1440种D.720种

8.已知双曲线C:x2-《=1,直线/经过点（0,白）且与双曲线C的右支交于A8两点.点

户为J轴上一点且满足归4|=|啊，则|0呼-|州『=（）

A.0B.1C.2D.3

四、多选题

9.已知正方体A8C。-A4GA的校长为1,则下列说法正确的有（）

4

A.从该正方体的所有棱中任选两条，则这两条棱所在的直线异面的概率为言

试卷第2页，共6页

B.将直线修。以直线BD为轴旋转任意角度得到直线。£,若直线OE与直线8G所

瓜+3

成的角为0，。假，贝iJcosOe0.

6

C.将正方体ABCD-A禺CR绕直线84旋转一周所得的旋转体的体枳为几

D.将正方体ABC。-AMGA绕直线旋转一周所得的旋转体的体积为逆兀（己

6

知若两个几何体的高度相同，在任一相同高度处的截面积均相等，则这两个几何体

的体积相等）

10.数学模型在生态学研究中具有重要作用.在研究某生物种群的数量变化时，该种群

经过一段时间的增长后，数量趋于稔定，增长曲线大致呈“S'形，这种类型的种群增长

称为，S'形增长，所能维持的种群最大数量称为环境容纳量，记作K值.现有一生物种

群符合，'夕形增长，初始种群数量大于0,现用x表示时间，/。）表示种群数量，己知当

种群数量为9时，种群数量的增长速率最大.则下列函数模型可用来大致刻画该种群

数量变化情况的有（）

A，小）=务（刖

C./(x)=WO注)-。)D./(x)=2K(|-^^^\x>0)

5e)12x+eJ

3

11.已知/BC,角人，B,C的对边分别为a,h,c,且a=4,tanBtanC=-,D,

E分别为8。边上靠近8,C的四等分点，则下列说法正确的有（）

A.二"C的面积的最大值为2&B.A3+AC为定值

3

C.AO+AE为定值D.若lan/OAE=：,则5人此=2

12.已知数列｛4｝满足=h"+l,，且6=2,记数列｛4｝的前〃项和为S“,

前〃项积为「，则下列说法正确的有（）

A.3neN\使得7；>2023B.*+1

C.%<7；+/?+1D.Tn<Sn

五、填空题

13.某校高三年级进行了高考适应性测试，考生的数学成绩（满分为150分）服从正态

分布N（9O,，），且成绩位干80100分的人数，成绩低于80分或高于100分的人数，

成绩低于100分的人数构成等差数列，现从所有考生中任选一人，其数学成绩高于100

分的概率为.

14.已知四而体A—3CO,其中4O=3C=2,CD=AB=6AC=RD=SH,E为CD

的中点，则直线与庞:所成角的余弦值为:四面体A-8CZ）外接球的表面

积为.

15.已知对于任意正数止/+岗/*-1”（/+2。）3'-2叫/双恒成立，则正数。

的取值范围为.

16.定义：过曲线上的某一点向曲线的凹侧作与曲线相切的圆，当该圆的半径最大时，

该圆的半径称为曲线在该点处的曲率半径.则下列说法正确H勺有.

①双曲线］■-/=1（。＞0,〃＞0）在顶点处的曲率半径为5；

②曲线丫=工+,*＞0）在点（1.2）处的曲率半径最小：

X

③若椭圆£+4=1（。＞力＞0）在上顶点处的曲率半径与在右顶点处的曲率半径之比为

a~b~

8,则该椭圆的离心率为正

2

六、解答题

17.己知函数f（x）=J5sin&xcos公t-sin（/x+：）sin（公t-：）,其中oeN'且在

10,2上有且仅有2个零点，2个极值点.

（1）求/（X）的最小正周期：

ZTT1

⑵设集合4=｛x|x=▽MeN•，且攵与18,/。）之力，已知△ABC,角4,B,C的对边

362

分别为小〃，C,其中a=2,c=4,现从集合A的所有元素中任取一值作为角A的值，

求使得△43c存在的概率.

18.已知数歹4｛勺｝的前“项和为"，.=1,%=3且数列，为等差数列.

un

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）定义：［幻表示不超过"的最大整数.设包=口。当4］,求数列｛2｝的前114项和小.

19.遗传学在培育作物新品种中有着重要的应用.已知某种农作物植株有A4,A”，aa

试卷第4页，共6页

三种基因型，根据遗传学定律可知，/团个体自交产生的子代全部为个体，的个体

自交产生的子代全部为(心个体，Aa个体自交产生的子代中，A4,Aa,na,个体均

有，且其数量比为L2L假设每个植株自交产生的子代数量相等，且所有个体均能正常

存活.

(1)现取个数比为2：4：1的/M，4,，的植株个体进行自交，从其子代所有植株中任选一

株，已知该植株的基因型为的，求该植株是由四个体自交得到的概率；

(2)已知基因型为AA的植株具备某种优良性状且能保持该优良性状的稳定遗传，是理想

的作物新品种.农科院研究人员为了获得更多的A4植株用于农业生产，将通过诱变育

种获得的4,植株进行第一次自交，根据植株表现型的差异将其子代中的四个体人工淘

汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第二次自交，再将第二次自交后代中的个体人

_L淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第三次自交……此类推，不断地重复此操作，

从第〃次自交产生的子代中任选一植株，该植株的基因型恰为AA的概率记为匕(〃22

且〃eN’)

①证明：数列1TL等为等比数列;

②求E。，并根据%的值解释该育种方案的可行性.

20.如图，在直三棱柱A3C-A,4c中，A3=AC=AA=1,AB1AC,A4,垂直于平

面48c.点。，E,尸分别为边AG，A4,AC上的动点(不包括顶点)，且满足

AE=AF=AiP,

(I)求三棱锥4-A/E的体积的最大值：

⑵记平面班尸与平面6a，所成的锐二面角为0,当0最小时，求cos。的值，并说明点

产所处的位置.

21.已知抛物线C：9=4x的焦点为F,过点E且斜率为上代。0)的直线与抛物线「交

于A、8两点，分别过A、B两点做抛物线的切线，两条切线分别与V轴交于C、。两

点，直线C尸与抛物线「交于M、N两点，直线OF与抛物线「交于尸、。两点，G为

线段MN的中点，，为线段PQ的中点.

11

⑴证明：丽+商为定伍

⑵设宜线GH的斜率为勺，证明：房为定值.

22.已知函数/(x)=e'-sinx.

⑴若+1对于任意田)恒成立，求a的取值范围；

(2)若函数/(幻的零点按照从大到小的顺序构成数列{<},〃cN•，证明：

Zz<-(2，/+力兀：

r=l

(3)对于任意正实数牛巧，证明：(e。-l)e">sin(x+^2)-8111^-X,COSA-J.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】根据题意，结合展开式的性质，以及组合数的计算方法，即可求解.

【详解】由多项式y)"的展开式中项为=15/y2,

所以项的系数为15.

故选：D.

2.C

【分析】计算出[十等“(”=234.5.6)的值，即可得解.

r.w.A,..f1乖>.113\/3.1y/3.

【详解】因为[-2+—2)144+—2!=22»

化乌口，十居心倒-t,

(22J(22人22J44

fl3丫1技11y/3.

—+——1--F--1=-------1

22\22/22

1x/3,y

一十——1--1=-I---1---1I=------i,

\22/V+李心22222

所以，当〃=6时，z>0,故〃的最小值为6.

故选：C.

3.A

【分析】作出函数)，=.一,)，=”的图象，结合函数图象即可求出集合A,分类讨论求出集合

B,再根据嵌套集合的定义即可得解..

【详解】因为所有

由2工一丁£0,得2YV，

如图,作出函数y=W,y=2”的图象,

答案第1页，共33页

由图可知，不等式21-A-2<0(x>0)的解集为[2,4],

所以4=k|2'-/«0且.8}=[2,4],

由x~-(3a+l)x+2a~+2a<0,得(x-2“儿x-(a+l)J<0,

当2a=a+l,即a=l时，则8=0,不符题意；

当2a>a+1,即a>l时，则8=(a+l,加)，

由，>1,得a+l>2,

a>\

根据嵌套集合得定义可得"+1<4,解得2<a<3：

2a>4

当加va+l,即a<1时，则8=(加M+I),

由a<1,得2«v2,

答案第2页，共33页

根据嵌套集合得定义可得。+1<4,无解，

«+1>2

综上所述，实数〃的取值范围为（2,3）.

故选：A.

4.CD

【分析】从前往后的顺序，利用三角函数公式，图象和性质，逐步判断，找到错误的C,利

用反证法可判断D的正误.

【详解】因为sine+cose=0sin（e+£〕,在同一坐标系内作y=ianx和y=VIsin|\+2］的

可知在（。於J上，方程Ian8=cos9+sine只有一■解，故A选项内容正确：

由sin。，⑶①，cos。成等比数列，可得ian*=sin/os。，，《°，］），得3。=上号丝,

答案第3页，共33页

可知方程lan。J+c；26,有且只有一解，所以B选项内容正确:

若sin。，cos。，tan。三者可以以任意顺序构成等差数列，则必有：sing=cos®=tan夕,且

。为锐角，

所以sin6=cos6=E,而tan〃=色丝=1,

2cos。

所以sin。，cos。，lan,三者不可能以任意顺序构成等差数列,,

所以C选项内容错误，

对于D,若存在，e(0卷)

»使得tan夕-sin。,cos。-sinacos。-ian〃成等比数列,

则(cosO-sinO)?=((an-sin^)(cos-tan0),

而tan0-sin0=sin-------1>0,故cos®-tan®>0即cos®>tan。,

Icos6)

(。，：)且(：08夕一$皿8>0,

故cos，e>sin'。即cos6>sin。，所以

由cos。>lan，可得cos6^-sin0>tan6^-sin。>0,

而sin。<s"'"=tan0,故cos(?-sin0>costan。>0,

cos。

故(cos。-sin>(cos<9-tant?)(tan0-sin<9),

所以不存在8使得31。-5吊，,858-5吊，,8§，-31夕成等比数列

故选：CD.

【点睛】思路点睛：与三角有关的方程是否有解的问题，可根据代数式的特征选择合适的范

围，再根据范围判断一些特定代数式的符号，从而可判断方程是否有解.

5.B

【分析】取线段的中点M,可得出AP-8P=|PM『—1,求出的最大值和最小值，

即可得出APBP的取值范围.

【详解】取线段的中点M，则MB=-MA，

A尸.BP=PA.P8=(PM+M4：|•(PM+M3)=(P/W+AM)•(PM-M4)

=|PM|2-|A//A|2=|FM|2-I,

由图可知，当点P与点M重合时，AP.8P取最小值，且(ARBP)min=O-l=-l,

由图形可知，当卜M卜仅最大值时，点2在折线段CDEbG”上，

答案第4页，共33页

连接A"，则N/〃G=360-Z/HC-ZGA/C=360-2x120=120，

同理N8C£>=120，

由正六边形的几何性质可知，NAH/=-CHI=葭12。=60,

22

所以，ZAHG=/LAHl+Z.1HG=60+120=180,

则A、H、G三点共线，则NC”GvNA/"G<NA”G,即120<<180,

当点P在线段上从点H运动到点G的过程中，卜M|在逐渐增大，

同理可知，120<ZWCD<180,

当点P在线段C。上由点C到。的过程中，卜M|在逐渐增大，

所以，当卜取最大值时，点尸在折线段。加6上运动，

以线段CH的中点0为坐标原点，CH所在直线为J轴，

线段C”的垂直平分线所在直线为“轴建立如下图所示的平面宜角坐标系，

则人卜2月,-1）、8卜>/5,-2）、A/|JN7）（75,-2）、E（26,-1）、

尸（2瓜1）、G（V3,2）,设点尸（x,y）,

（1）当点P在线段G厂上运动时，%；=；2_更,

2V3-V33

直线AG的方程为），一2=-立1-6），即），=-近x+3»

33

所以，线段AG的方程为），=-且X+3（X/5WX«2Q）,

3

2

贝=，+乎+0+斗=x+半+„x+^=^+27G[3I,43]：

答案第5页，共33页

I35

（2）当点尸在线段痔上运动时，x=26，则

所以，|喇=（2.+暇［+（），+|J="+（尹|［#7.43］：

-1+2G

（3）当点P在线段OE上.运动时,听百万'

直线DE的方程为），+2=郛•-G）,即y=争-3，

所以，线段OE的方程为），=李％-3（百4XK2G）,

=—+2>/3x+9,

3

因为函数/（"=gf+2/r+9在［A26］上单调递增，

故|PM『=gf+2Gx+9w［19,37］.

综上所述，|PM『的最大值为43,故（AP8P）,=43-1=42,

故八P8P的取值范围是［T42］.

故选：B.

【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：

（1）利用定义：

（2）利用向量的坐标运算:

（3）利用数量积的几何意义.

具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.

6.D

【分析】设出切点，借助导数的几何意义可得切线方程，将（小力代入切线方程后构造相应

函数，对“进行分类讨论后结合导数求取方程〃=g（"的解的个数即可得切线条数.

【详解】令点（，儿/（，〃））在函数/（%）上，且其切线过点（d〃）,

f'(x)=e&=f(m)=-^=,f[,u)=，

故点（，〃"（〃?））的切线方程为F-

答案第6页，共33页

由点(。力)在该直线上，故有力-e6=$=(〃—〃?)，

即〃=黑〃一^+6后=号(〃一5+2诟)，

2而2加2后？1

令g(x)=--^=^£1—X+2.y/x^tA'>0»

则小人二^—冈+关卜+2)

-x+26-2五)

=总(1加一可

e

由人,>•0,故---7=>0,

4xyjx

令g'(x)=o,则％=]或4=%

①当4>0时，X-0时，g(.X)->+8,XTX时，g(.r)->YO,

(I)当”>1,时，#'(/)<。，

xe(La)时，g'(x)>0,

故g(x)在(0,1)、(4-)上单调递减，在(IM)上单调递增，

7

有g⑴="。_]+2)=当W,g(«)=^7=(«-a+2x/fl)=e",

222\Ja'7

故当a>],且詈<〃<e石时，b=g(x)有三个不同的解，

即过点32)可作曲线)，=/(*的三条切线，即A正确:

当〃=当3或b=c石时，》=g(x)有两个不同的解，

即过点(〃，〃)可作曲线)，=/(心的两条切线，故D错误；

(II)当x€(0,a)U(l，+QO)时,g(x)<0,xw(a,l)时,g[x)>0,

故g(x)在(0,a)、(1,y)上单调递减，在(41)上单调递增，

答案第7页，共33页

亦有41)=~|(。-1+2)=^-a+2右)=e",

故当e石<。<当？时，〃=g(x)有三个不同的解，

即过点3，〃)可作曲线J=f(x］的三条切线，

即B正确；

(HI)当4=1,g'(x)«O恒成立,即晨戈)在(0,田)上单调递减，

即力=屋刈有且仅有唯一解，

故此时可作)，=/*)的切线且只能作唯一一条，

当。>0时，对任意的b,〃=g(x)恒有解，

即过点S，〃)恒能作曲线>'=/'»的切线，

②当a40,xw(0,l)时，gz(.r)>0,XG(1,+CO)时，g<x)<0,

故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,位)上单调递增减，

有g⑴='，)''一+8时，

故当。40,人当由时，，；=g(x)无解，

即过点S，b)不能作曲线>'=户了)的切线，故C正确.

故选：D.

【点睛】关键点造：木题关键在于设出切点(丸/(〃?))，借助导数的几何意义得到切线方程，

则关于用的方程人/二系卜一〃。的解的个数即为过点(〃/)可作曲线y=“6的切线

的条数.

7.A

【分析】考虑甲、乙、丙三人使用A卷，则这三个人的座位号都为奇数，对三个人选择奇数

列的人数进行分类讨论，确定第一、二、三个人选择座位的种数，结合分步乘法和分类加法

计•数原理可得出三人使用A卷的座位排法种数，再由对称性可得出三人都使用8卷座位排法

种数，综合可得结果.

【详解】先考虑甲、乙、丙三人使用A卷，则这三个人的座位号都为奇数，分以下几种情况

讨论：

答案第8页，共33页

(1)若这三人都在奇数列，则有一人需在第一列选一个奇数号的座位，有3种情况，

然后有一人在第三列要选一个奇数号的座位，但与第一人不能同在一排，只有2种情况，

最后一人只能在第五列选择一个奇数号的座位，但该人不能与前两人在同一排，最后一人的

座位只有一个，

此时，不同的排法有3x2xlxA；=36种：

(2)三人中只有两人在奇数列，首先在第一、三、五列中选两列，有C；种选择，

其次，第一个人在其中的第一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有3种选择，

第二个人在另一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有2种选择，

第三个人在两个偶数列中选择一个奇数号的位置，有6种选择，

此时，共有C；x(3x2x6)xA；=648种不同的排法：

(3)三人中只有一人在奇数列，第一个人在第一、三、五列中随便选择一个奇数号的位置，

有9种选择，

其次，第二个人在第二列中选择一个奇数号的位置，有3种选择，例如第二个人选择10号座

位，

由于第三个人不能与第二个人同排或同列，则第三个人只有2种选择，即20号和24号两个

位置可供选择，

此时，不同的排法种数为9x3x2xA；=324种不同的排法.

综上所述，当三个人都考A卷时，不同的排法种数为36+648+324=1(X)8.

由对称性可知，当三人都考B卷时，不同的排法种数也为1008种.

综上，当三人的考卷类型相同时，不同的座位安排方案种数为1(X)8x2=2016种.

故选：A.

【点睛】易错点点睛：求解分类、分步计数原理需要注意以下几点：

(1)处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题苜先弄清楚是“分类”还是“分步”，要

搞清楚“分类”或“分步”的具体标准：

(2)分类时要满足要满足两个条件；①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保

证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准；

(3)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，

并确保连续型.

答案第9页，共33页

8.D

【分析】设直线/的方程为1质+8，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出A3的中点N,

可得7W的直线方程，求出可得。点坐标可得|。可，再求出|人理、点?到直线/的距离＜/,

再由陷「=d1+；|AB『求出陷2,然后由口邛_眼广可得答案.

【详解】双曲线C:V-1=1的渐近线方程为y=±6x,

由已知直线/的斜率存在，且ivo,k手Y，

设直线/的方程为‘=心+6，与双曲线方程联立,

y=kx+\/3

\),2,整理得(3—公产―2x&r—6=0,设A(5,)。。(孙必)，

X~~=\

3

2疯-66"

=Mx+七)+26=

所以$+&—,x,x2=—.V.+y2

3-k2

瓜36)

则A8的中点N

3^'3^)

所以PN的直线方程为y-坐r=-斗大-坐

3-.rky3-K

令尸0,得产延，可得电,售］，

3-々I3fJ

48

IM=JU+(yff=,0+4)[.+无)2-4412]

=2竹号，

4#1万

点尸到直线/的距离，3T2币屈定,

VI7Fp-.

3(1+巧3(1+巧(6一230+巧(7一巧

所以PAM

|『=/+；M=(3一©2+(3—4(3-A2)2-

乙

答案第10页，共33页

483（1+用（7-二）3（9-6抬+了）

所以|o“2TpM3.

（3一公丫（3一公『一（3-/）2

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出|AB|、点。到直线i的距离"，再由勾股定理求

出附2,然后求|0呼_|%2.

9.AB

【分析】对于A：根据异面直线的概念结合古典概型运算求解；对于B：由题意可知：点E

在以8。为轴，为底面半径的圆锥的底面圆周上，建系，利用空间向量求异面直线夹角;

对于BD：根据题意结合圆柱、圆台的体积公式运算求解.

【详解】对于选项A：例如：八/1仅与BCBDqqBQ互为异而直线，

即每条棱均与4条棱互为异而直线，

4x12

94

所以这两条棱所在的直线异而的概率为0=7*77=77,故A正确；

1ZX11I|

2

对于选项B：由题意可知：点E在以8。为轴，84为底面半径的圆锥的底面圆周上,

旦5G与8。所成的角为

如图，建立空间之间坐标系，

答案第11页，共33页

z

则。（。，。人），设E（cosa,sina,0）,可得DE=（cosa,sina,,

因为/OBG=：,则直线8a的方向向量可以为。=倒,右,1）,

\DE-a\|后sina一因

则网呼但卜扁，生2、

当sina=-l时，cos夕取到最大值3+4；

6

当sina="时，cosL取到最小值0；

3

所以cos。e0,叱+3,故B正确：

O

对于选项C：所得的旋转体是以84为轴，底面半径为夜的圆柱，

所以体积为兀（&）葭1=2兀，故C错误；

对于选项D：所得的旋转体是以上底面半径为1,下底面半径为四，高为也的两个圆台

22

拼接而成，

所以体积为7C+-|rt+后卜（5向2砂

,故D错误：

故选：AB.

10.AB

【分析】对各项的函数求导数，并对导数值进行研究（必要时再求导数的导数），先检验导函

数是否先增后减，然后对于先增后减型，求得导数最大时自变量的值代入函数表达式,

看函数值是否满足/（与）=5、进而作出判定即可.

答案第12页，共33页

【详解】对于AJ(x)=r-(x20),'⑶一往+ef一,ce?，当e'==,即x=l时

e'+e\c+叼ex+2e+—e*

e

K

增长率取得最大值，/(0=1，符合题意，故A正确；

对于BJ(%)=

当xN2时，/'("=与单调递减，且最大值为幺，当时，0</Cv<2,

Kx'4K

“、犬K2K29

/(幻=,丫\2单调递增,且小2<7，所以当X=7时，f(X)取到最大值，此时

(4-Kr)(4-Kx)4K

/倍)=长-3=9，符合题急，故B正确；

ri•十c一\4cK(5x+lY、小Q,、4eKxrH4eK1-x

MTC./U)-^---Ja>o),/u)=—.—,[./(,v)f=-.-,

OKx<l时[r(明>oj'(x)单调递增,X>1时，[;(x)]'<0,尸⑺单调递减,X=1时

K

广(力最大，此时/(1)了；,不合题意，故c错误：

对于口小)=2小-3除。)，N=2K.产袈，

(2x+e)(%+c)-

[人加=2K.亨罕1.

(X+e)

当OG<J-庚>[/'(切'>0,/")单调递增;

当时，[/'")]'<0，/'(x)单调递减.

故当旦仅当x=1_e时，rw取得最大值，

(3)(、

Z?rz,3K

fe-e=2K---y=K1--,

I，e2e2J

z

不合题意，故D错误.

故选：AB

II.AD

答案第13页，共33页

【分析】以8c的中点。为坐标原点，建立平面直角坐标系，设4(%)，)，由tan氏tanC=；

求出点A的轨迹方程，再由椭圆的性质对选项一一判断即可得出答案.

【详解】以BC的中点。为坐标原点，建立平面直角坐标系，

所以B(-2,0),C(2,0),设A(2),

tanB=&A8,tanC=-kAC,

所以由tan岳ianC=W可得：—^―•—=

4x+2x-24'

化简可得1+!=I(XW±2),

22

故点A的轨迹方程为?+]■=l(x工±2),则q=2,〃=x/3,c,=1»

对于A,当A在短轴的端点时，A8C的面积有最大值为g|8C|4=26,

故A正确；

对千B,由椭圆的性质知.AB+AC不为定值,故B错误：

对于C；由椭圆的定义知，因为。(T,O),E(1,O),所以。/为椭圆的焦点，

AO+/1E=24=4,故C正确;

/DAE

2tan

23

对于tanZDAE=

D,,,ZDAE

1-tair--------4

2

、乙DAE°ZDAE.八m但ZDAE1-、，一、

所以3tan----+8tan------3=0,解得*tan---=-^-3（舍去）,

设忸制=同产用=〃,由椭圆的定义可得：|尸制+|质|=加+〃=的,

则（《7+=nr+n2+2mn=（2《）一①,

由余弦定理可得:nr+n2-2rwzcosZ.DAE=4c2②，

2b；

①减②得：〃?〃=

1+cosZDAE'

.NDAE乙DAE

因为SADE=L〃〃sinN/）4E=■!■.说sm乙DAE=?二__2一二2

22UcosZDAE]+2c。/四生7

2

＞，^.DAE.1cAyrzrai

=斤311—=]=5・2q・）％=）u，解得：以二1,

答案第14页，共33页

5A8c=g2qf=2,故D正确.

故选：AD.

【分析】根据递推关系结合导数可证为21+工，从而可判断ABC的正误，利用指对数的性

H

质可判断L5〈生<1.6,据此可判断D的正误.

【详解】数列｛4｝满足。,向=、4+1,neN"若。”>1,则*=坨4+1>1,

而q=2>1,所以>l,〃eN‘，

下证：—<ln.t^x-l,(x>0).

令/(x)=lnx+l—x,则r(x)=?,

当x«O,l)时，/'(x)>o,当时，r(.r)<Or

故/W在(1,+e)上减函数，在(0.1)上为增函数，

故/(x)"(l)=0即ln0-l,

\nx>-t故不等式皿VlnxVx-l,(x>0)成立.

XXXX

下面讨论原问题.

由题设有4,3-a”=Ina”+1-4<0,即a,z<a„,

所以l<a“<2,〃eN'且单调递减，

我们用数学归纳法证明：421+：,

答案第15页，共33页

当〃=1时，q=2Nl+；,此时不等式成立;

设当〃=2时，＞1+1,

,1,

/.\1+——1.

则当〃=k+1时,4+i=lnq+121n1+工+12—^—+1=1+—

\)1+AK+1

k

故％*磊

由数学归纳法可得为21+■!■成立.

n

对于A,则7；=6%一（x^」=〃+l,

12n

故当”22024时，4>2023,故A成立，

对于B,当“22时，2"7=(1+1广/1+@_|=〃，故+白，

而％=221+丁",故。“21+Jr对任意的〃eN.恒成立，故B成立.

对于CS”.1=4+&+q+i=2+(lnq+l)+-+(lnan+l)

=〃+2+111(4%a〃)&〃+2+4%。“-1=。】&q+〃+l,

但4%%＞2,故等号不成立，故5向＜7；+〃+1成立，故C成立.

对于D,由题设可得。2=卜】2+1,

2

因为e2<2£2=7£4<23,故］n2>.,Wc7>2.77=7.29'x2.7>387x2.7>1014,

J

故9>2附，所以hi2<0.7,所以g<%<L7，

5I753-3

而l+ln；<6=lnG+l<l+lnL7,K|Jl+l|n^<«3<l+^lnl.7,

因为接>U=2.75>e,故I层>1,故6>1.5,

949

而1.7,=2.89x2.89x1.7<2.9x2.9x1.7=8.4lx1,7<14.3,

而e'>2.5'=尊>15,故©a>175即9故

故l+ln?<a4<1+lnL6即l+：］n(|j</<l+$nl.62，

因为16=2.56<e»故。4<1+5=1.5,

答案第16页，共33页

e2<2.742<7.51<^,故即呜j>l，故L4<q<l.5,

所以邑<2+1.7+1.6+1.5=6.8,

jfU7；>2x1.7x1.6x1.5=8.16,故£>54,故D错误.

故选：ABC.

【点睛】关键点睛：通过数列的递推关系研究数列的性质时，可先由特殊情况猜想数列的一

般性质，再利用数学归纳法去证明，对于在分析过程中涉及到的函数不等式，可利用导数去

处理.

【分析】设已知三个段成绩的概率分别为4R，A，根据正态分布的性质将2,A分别用々表

东，再根据题意可得2〃=6+4,求出再根据正态分布的对称性即可得解.

【详解】设成绩位于80100分的概率为匕，成绩低于80分或高于100分的概率为〃，

成绩低于100分的概率为B,

则6=1一的=界=苧，

设总人数为x人，

由题意可得2.*=.出+工《，即2鸟=，+优，

即2（『用=/:+苧,解得耳=，,

所以成绩高于loo分的概