2026年新课标全国卷高考数学数列易错点专题卷含解析

2026年新课标全国卷高考数学数列易错点专题卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_n+2(n≥1)，则a_3等于（）A.7B.9C.11D.132.在等差数列{b_n}中，b_1=-10，公差d=3，则S_9的值等于（）A.81B.90C.-171D.-1623.设数列{c_n}的通项公式为c_n=(-1)^(n+1)*(n+1)/n，则该数列的前8项之和等于（）A.1B.2C.-1D.04.若等比数列{a_m}的前3项依次为x,2x+2,10x+20(x≠0)，则该数列的公比q等于（）A.2B.3C.4D.55.已知数列{d_n}满足d_1=2，d_n+1=d_n/(d_n+1)(n≥1)，则d_4的值等于（）A.1/8B.1/3C.2/5D.1/2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）6.已知等差数列{a_n}中，a_5=0，a_10=15，则该数列的通项公式a_n=__________。7.已知数列{b_n}的通项公式b_n=n(n+1)/2，则该数列的前n项和S_n=__________。8.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=c_n+n(n≥1)，则c_6的值等于__________。9.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_5=81，则该数列的前5项和S_5=__________。三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）10.（本小题满分12分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，对于任意正整数n，都有S_n=2a_n-1。（1）求证：数列{a_n}是等比数列；（2）若数列{a_n}的前3项和为14，求该数列的通项公式a_n。11.（本小题满分12分）设等差数列{b_n}的前n项和为S_n，公差d≠0。已知S_5=10，S_10=55。（1）求等差数列{b_n}的首项b_1和公差d；（2）记T_n=b_1+b_3+...+b_{2n-1}，求T_n的表达式。12.（本小题满分13分）设数列{c_n}的通项公式为c_n=n*(-1)^(n+1)/(n+1)。（1）求证：数列{c_n}不是等差数列；（2）求该数列的前2k项和S_{2k}(k∈N*)，并由此猜想S_{2k+1}的表达式，并加以证明。13.（本小题满分13分）已知等比数列{a_m}的公比为q(q≠1)，前n项和为S_n。若S_3=3+q，S_5=15+q^2。（1）求公比q的值；（2）设b_n=logbaseq(a_n)，求数列{b_n}的前n项和B_n。14.（本小题满分12分）设数列{d_n}满足d_1=1，对于任意正整数n，都有d_{n+1}=d_n+1/n。（1）求证：数列{d_n}是递增数列；（2）是否存在正整数m，使得d_m≤3？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由。15.（本小题满分13分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，对于任意正整数n，都有a_n+S_n=2*3^n。（1）求a_2的值；（2）求证：数列{a_n/3^n}是等差数列；（3）求a_n的表达式。试卷答案1.B2.C3.B4.A5.D6.a_n=5n-257.S_n=n(n+1)(n+2)/68.c_6=219.S_5=12110.（1）证明：由S_n=2a_n-1，得S_{n-1}=2a_{n-1}-1(n≥2)。两式相减，整理得a_n=2a_{n-1}(n≥2)。又a_1=2，故数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列。（2）解：由（1）知a_n=2*2^(n-1)=2^n。S_3=2^1+2^2+2^3=14。所以通项公式a_n=2^n。11.（1）解：由S_5=10，S_10=55，得5b_1+10d=10，10b_1+45d=55。解得b_1=0，d=2。或解得b_1=-4，d=2。故{b_n}的首项b_1=0，公差d=2。或首项b_1=-4，公差d=2。（2）解：若b_1=0，d=2，则T_n=0+2+4+...+2(n-1)=2(1+2+...+(n-1))=n(n-1)。若b_1=-4，d=2，则T_n=-4+(-2)+0+...+2(n-1)=-4n+n(n-1)=n^2-5n。12.（1）证明：假设数列{c_n}是等差数列，公差为d。则c_2-c_1=c_3-c_2=d。计算得c_2=1/2，c_3=-2/3。c_3-c_2=-2/3-1/2=-7/6≠c_2-c_1=1/2。故假设不成立，数列{c_n}不是等差数列。（2）解：S_{2k}=1-1/2+2-1/3+...+(2k-1)-1/(2k)=(1+2+...+(2k-1))-(1/2+1/3+...+1/(2k))=k^2-(1/2+1/3+...+1/(2k))。猜想S_{2k+1}=k^2+k-(1/2+1/3+...+1/(2k+1))。证明略（可用数学归纳法或直接推导）。13.（1）解：由S_3=3+q，S_5=15+q^2，得q^3=5q+6。解得q=3(舍去q=-2，因为q≠1)。（2）解：由q=3，S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)=1*(3^n-1)/2。a_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)/2-(3^{n-1}-1)/2=3^{n-1}。b_n=logbase3(3^{n-1})=n-1。B_n=0+1+2+...+(n-2)=n(n-1)/2。14.（1）证明：对于任意正整数n，有d_{n+1}-d_n=1/n>0。故d_{n+1}>d_n，即数列{d_n}是递增数列。（2）解：d_n=d_1+(d_2-d_1)+...+(d_n-d_{n-1})=1+1/2+...+1/(n-1)=1+(1/2)+(1/3)+...+1/(n-1)。若存在m，使得d_m≤3，则1+(1/2)+(1/3)+...+1/(m-1)≤3。当m=3时，d_3=1+1/2=3/2≤3。当m=4时，d_4=3/2+1/3=11/6≤3。当m=5时，d_5=11/6+1/4=31/12>3。故存在正整数m=4或m=5满足d_m≤3。m的最大值为5。15.（1）解：由a_1+S_1=2*3^1，得1+a_1=6。解得a_1=5。由a_n+S_n=2*3^n，得a_{n+1}+S_{n+1}=2*3^{n+1}。两式相减，整理得a_{n+1}=2*3^{n+1}-3*3^n=3^{n+1}*2-3^n*3=3^n*(6-3)=3^n*3。又a_1=5≠3。故a_n/3^n=5/