广东省河源市四校联考高二上学期期末数学试卷

河源市四校联考学年高二上学期期末数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式、指数不等式求集合，再由集合的交运算求交集即可.【详解】由，，所以.故选：A2.已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（）A.或 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由纯虚数的概念，列得方程组，从而可求出的值.【详解】因为复数（）是纯虚数，所以，由，得或，由，得，所以.故选：D.3.已知，，向量在方向上投影向量是，则为（）A.12 B.8 C.8 D.2【答案】A【解析】【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.【详解】在方向上投影向量为，，.故选：A4.已知锐角满足，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由两角差的正弦、正切，两角和的正切，二倍角的正切结合已知计算可得.【详解】由可得，即，而，所以，移项得，即，又，是锐角，所以，则，所以，即，且，所以，解得，因为，所以，又，所以.故选：D5.已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由在R上单调递增求得的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得.【详解】由在上单调递增，得，解得，故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.6.等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，可得出的通项公式，再利用裂项相消法可求得.【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，所以，因为，可得，所以，所以，所以，，即数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，因此.故选：B.7.在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且，，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面距离.【详解】由题意，以为原点建立如图空间直角坐标系，，，，，.，，，，，，，设平面的法向量为，则，，令，解得，，得到，设点到平面的距离为，.故选：D8.已知数列满足且，其前n项和为，则满足不等式的最小整数n为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得，利用分组求和法可求得，然后解不等式即可.【详解】因为，所以，且，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则，所以.所以，由，即，所以，因为，所以满足不等式的最小整数n为9.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分）9.已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线（为切点），则下列结论正确的是（）A.的最小值为B.当轴时，四边形的面积为C.原点到直线距离的最大值为D.的外接圆恒过两个定点【答案】AD【解析】【分析】直接证明切线长可判断A，举反例判断B，用求两圆公共弦所在直线方程法求出直线方程，然后求点到直线的距离可判断C，用参数表示求出的外接圆方程，利用恒等式知识求得两定点坐标后判断D．【详解】A选项，由题意得，，则．设，所以，故A正确；B选项，由于满足条件，但此时，故B错误；C选项，设点到的距离为，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减得的方程为，所以，故C错误；D选项，由可知，的外接圆是以为直径的圆，由C可知圆的方程为，即，由，解得或，故该圆恒过和，故D正确．故选：AD．10.如图，已知正方体棱长为2，，分别为，的中点，为线段上的动点，下列选项正确的是（）A.不存在使得 B.存在使面C.存在两个使与成角 D.任意满足【答案】BD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，根据条件，求得，选项A，通过计算，即可求解；选项B，易得平面的一个法向量为，利用线面位置关系判断的向量法，即可求解；选项C，求得，，利用，即可求解；选项D，利用，求得，即可求解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为，又为的中点，则，设，又，由，得到，对于选项A，因为，又，所以，故选项A错误，对于选项B，易知平面的一个法向量为，由选项A知，由，得到，解得，所以当为中点时，面，所以选项B正确，对于选项C，因为，，则由，整理得到，解得或（舍去），即存在1个使与成角，所以选项C错误；对于选项D，因为，得，当时，等号成立，所以选项D正确，故选：BD.11.过抛物线焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（）A.B.以为直径的圆与准线相切C.直线斜率为D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题意作图，利用抛物线的定义，结合直角三角形的性质以及圆与直线的位置关系，可得答案.【详解】由题意，不妨设在第一象限，分别过作垂直于准线，垂足分别为，作图如下：对于A，由图可知，，在中，由，则，易知，在中，，由，则为线段的中点，即在中，，所以，故A正确；对于B，由A易知，由，则，即，所以以为直径的圆的半径，在直角梯形中，中位线的长度为，则以为直径的圆的圆心到准线的距离，故B正确；对于C，由A可得，则直线的倾斜角为，即斜率为，当在第四象限时，同理可得斜率为，故C错误；对于D，，故D正确；故选：ABD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设双曲线：两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则C的离心率为______.【答案】【解析】【分析】求出因为，再由可得答案.【详解】因为，，所以，双曲线：的两条渐近线方程分别为，若，则的倾斜角为，的倾斜角为，即，解得，则C的离心率为.故答案为：.13.已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数________．【答案】【解析】【分析】先设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出两曲线在切点处的切线方程，再根据公切线过原点这一条件，联立切线方程求解切点坐标，进而求出实数的值.【详解】设直线与曲线相切于点，由，得，因为与曲线相切，所以，消去，得，解得，所以，设与曲线相切于点，由，得，即，解得，因为是与曲线的公共点，所以，消去，得，即，解得．故答案为：14.若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】由题意知直线过圆心，则，利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.【详解】由，则圆心为，半径为2，由直线被圆所截得的弦长为，故直线过圆心，所以且，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知二次函数f（x）=ax2+ax﹣2b，其图象过点（2，﹣4），且f′（1）=﹣3．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设函数h（x）=xlnx+f（x），求曲线h（x）在x=1处的切线方程．【答案】（Ⅰ）a=b=﹣1；（Ⅱ）2x+y﹣2=0．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由题意可得f（2）=﹣4，代入f（x）解析式，求出f（x）的导数，代入x=1，解方程可得a=b=﹣1；（Ⅱ）求出h（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方程．解：（Ⅰ）由题意可得f（2）=﹣4，即为4a+2a﹣2b=﹣4，又f′（x）=2ax+a，可得f′（1）=3a=﹣3，解方程可得a=b=﹣1；（Ⅱ）函数h（x）=xlnx+f（x）=xlnx﹣x2﹣x+2，导数h′（x）=lnx+1﹣2x﹣1=lnx﹣2x，即有曲线h（x）在x=1处的切线斜率为ln1﹣2=﹣2，切点为（1，0），则曲线h（x）在x=1处的切线方程为y﹣0=﹣2（x﹣1），即为2x+y﹣2=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．16.设的内角所对边分别为，若.（1）求证：成等差数列；（2）若为整数，，且三个内角中最大角是最小角的两倍，求周长的最小值.【答案】（1）证明见详解（2）15【解析】【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换结合正弦定理可得，即可得结果；（2）根据题意利用正、余弦定理可得，进而可得结果.【小问1详解】因为，整理得，即，由正弦定理可得：，即成等差数列.【小问2详解】由题意可得：，则，不妨设，因为，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，即，整理得，所以，可得周长，可知当时，周长的取到最小值15.17.如图，在四棱锥中，，，，，.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证明出平面，可得出，利用勾股定理得出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）由结合等体积法可求得点到平面的距离.【小问1详解】因为，，，所以，故，取的中点，连接，如图所示：因为，故，又因为，即，故四边形为平行四边形，所以且，因为，故，即，所以，因为，所以，故，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，因为，且，故，则，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.【小问2详解】设点到平面的距离为，则，取的中点，连接，如下图所示：因为，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，所以，因为，故，因为平面，平面，所以，故，由得，解得，故点到平面的距离为.18.已知椭圆：的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，．（1）求的标准方程；（2）若为坐标原点，的面积为，求直线的方程；（3）记直线与直线的交点为，求的最小值．【答案】（1）（2）或或或（3）【解析】【分析】（1）根据题中条件得到关于的等量关系，再结合的关系进行求解即可；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系将的面积表示出来，结合的面积为，求出直线的斜率，即可得到直线的方程；（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用，，在同一条直线上得到，利用，，在同一条直线上，所以，结合根与系数的关系得到，即，所以点在直线上，即可求出的最小值．【小问1详解】由题意知，解得，，，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】由题意知直线的方程为，设，，由，得，所以，解得，所以，，所以，又点到直线的距离，所以的面积，解得或，所以或或或，所以直线的方程为或或或；【小问3详解】由题意知直线的方程为，设，，由，得，所以，解得，所以，，设，因为，，在同一条直线上，所以，又，，在同一条直线上，所以，所以，所以，所以点在直线上，所以．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．19.设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为.（1）求的和公比;（2）求;（3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）4