初中数学七年级下册《整式除法进阶：多项式除以多项式（长除法）》探究型导学案

初中数学七年级下册《整式除法进阶：多项式除以多项式（长除法）》探究型导学案

一、课程定位与核心素养导向设计

（一）学科与学段：初中数学七年级下学期（北师大版·2024版）

（二）课时性质：单元复习深化课·项目拓展学习（1课时）

（三）内容定位分析

本学案定位于北师大版七年级下册第一章《整式的乘除》第7节“整式的除法”的深度学习环节。针对当前教材正文仅涉及单项式除以单项式及多项式除以单项式的学情，本设计通过“类比迁移”与“算法重构”两大策略，将认知边界拓展至“多项式除以多项式”。本内容虽非课标规定的七年级必考范畴，但却是打通小学算术（竖式除法）、初中代数（整式运算）与高中数学（多项式除法、余数定理、高次方程因式分解）的关键枢纽，属于典型的“承上启下、化蝶破茧”型思维进阶课。【非常重要·学科融合枢纽】

（四）核心素养靶向

1、抽象能力：从数的竖式除法运算中抽象出式的竖式除法通法，理解“缺项补零”、“按降幂排列”的形式化意义。【基础】

2、运算能力：掌握多项式除以多项式（被除式次数≥除式次数）的长除法算法，能准确计算商式与余式。【重要·技能核心】

3、推理意识：基于除法是乘法的逆运算，验证长除法结果的正确性，形成自检习惯。

4、模型观念：将整式的除法运算模型化，形成统一的“被除式=除式×商式+余式（余式次数<除式次数）”的代数模型。【高频考点·高中衔接热点】

二、学习目标分层叙写（基于UbD理解逆向设计）

1、知识技能层：掌握多项式除以多项式的竖式书写规范（降幂排列、对齐同类项、缺项补零）；能准确执行试除、相乘、相减、下落的四步循环操作，求出商式和余式。【基础】

2、过程方法层：通过类比小学数学“除数×商+余数=被除数”的原理，迁移建构“整式长除法”的算法体系，体会从特殊到一般、从算法到算理的数学思想。【重要】

3、情态价值层：破除对“超纲题”的畏难情绪，建立“用旧知解新题”的探究自信，感受代数形式与算术本质的统一美。【难点突破】

三、学习重点与难点精析

1、教学重点：长除法竖式的规范书写流程——特别是如何通过“试除首项”确定商式的首项，以及“缺项补零”对位齐整的必要性。【非常重要·操作基准】

2、教学难点：理解“为什么每次余式的次数必须低于除式的次数才能终止运算”，以及“余式为零时，除式与被除式存在整除关系”的逻辑内涵。【难点·深度学习标尺】

四、教学实施过程（核心环节，占比80%篇幅）

（一）课前微项目：唤醒经验，架设类比之桥（时长：预学5分钟）

【任务驱动】

请同学们独立完成以下两组除法计算，并尝试用语言描述：数的除法与式的除法，在计算形式上有什么相似之处？

1、数的竖式计算：7236÷18=？

2、式的除法计算（已学知识）：(24a³b-16a²b²+8ab)÷(8ab)=？

【设计逻辑】

此处故意设置认知差。学生能轻易完成第2题（多项式除以单项式，逐项相除），但第一题数的竖式除法的过程（试商、乘、减、落位）被有意识唤醒。教师不急于纠正，而是抛出核心问题：“如果除式不再是单项式，而是一个多项式，例如(2x²+3x-2)÷(x+2)，我们还能用逐项相除的方法吗？”以此制造认知冲突，触发深度学习动机。

（二）课中探究场：算法重构，思维可视化（时长：32分钟）

【环节一】冲突爆发——当“逐项除”失效时（时长：3分钟）

【情境呈现】

板书问题：计算(2x²+3x-2)÷(x+2)。

学生尝试用多项式除以单项式的方法，发现(x+2)不是单项式，无法分配。陷入思维困境。

【教师介入】

教师展示小学四年级数学竖式除法的图片（7236÷18）。提问：72个百除以18，我们是怎么试商的？是把18看作一个整体，而不是把1和8拆开去除。今天，整式家族遇到了同样的问题——除数变成了一个整体（多项式），我们该怎么办？

【类比支架搭建】

教师板书对应关系：除号“厂”→竖式除法符号；被除数（整数）→被除式（多项式）；除数（整数）→除式（多项式）；试商（从高位起）→试商（从首项起）。

【重要提示】此处教师必须明确指出：核心数学思想是【类比】与【整体思想】。【非常重要·思想奠基】

【环节二】微课嵌入——长除法“四步循环”解剖（时长：5分钟）

【示范操作】

以标准例题(2x²+3x-2)÷(x+2)为蓝本，教师通过板书分步演示“长除法四步循环法”：

第一步：排与补。【基础·操作前提】

将被除式2x²+3x-2与除式x+2均按x的指数从高到低排列（降幂排列）。

检查：被除式次数2次，除式次数1次，格式正确。此处无缺项，直接进入竖式书写：

x+2)2x²+3x-2

第二步：试商。【非常重要·核心算法】

观察被除式首项2x²，除式首项x。2x²÷x=2x。此即商的第一项。

将2x写在商的位置（对齐x项）。

第三步：乘与减。【难点·符号易错】

用商的第一项2x乘以除式(x+2)：2x·x=2x²，2x·2=4x。

将乘积2x²+4x写在被除式下方（注意同类项对齐：2x²对2x²，4x对+3x）。

做减法：(2x²+3x-2)-(2x²+4x)=(3x-4x)-2=-x-2。余式次数为1。

第四步：落位循环。

将余式-x-2作为新的被除式。重复第一步：-x÷x=-1。此即商的第二项。

(-1)×(x+2)=-x-2。对齐相减：(-x-2)-(-x-2)=0。余式为0。

【结论呈现】

商式=2x-1，余式=0。即：(2x²+3x-2)÷(x+2)=2x-1。

【验算】(x+2)(2x-1)=2x²-x+4x-2=2x²+3x-2，与被除式一致，运算正确。

【环节三】深度辨析——缺项补零与次数判定（时长：6分钟）

【变式探究·高频易错点】

【例2】（教材拓展改编）计算：(6x³-x+4)÷(2x-1)。

【预设陷阱】

学生直接照搬上例，竖式中出现严重对位错误：被除式6x³-x+4缺少x²项，容易把-x错写在常数项对齐位置，导致后续减法混乱。

【精准干预】

教师强制引入【缺项补零】技术：

将6x³-x+4重写为：6x³+0x²-x+4。

将2x-1保持不变（即2x-1）。

竖式执行：

3x²+1.5x+0.25?（此处可能产生小数系数）

2x-1)6x³+0x²-x+4

6x³-3x²(3x²×)

——————————

3x²-x

3x²-1.5x(1.5x×)

——————————

0.5x+4

0.5x-0.25(0.25×)

————————

4.25

【核心追问】

1、商式中的系数出现了小数（1.5与0.25），这合理吗？——合理，因为整式的除法不一定都是整式商，允许出现分数系数，这是代数式运算的一般化特征。

2、为什么余式4.25的次数是0（常数项），而除式2x-1的次数是1，因为0<1，所以运算终止。

3、若被除式与除式均有公因式，可否先约分再除？——可以，但必须在掌握长除法基础上灵活选用。本例若将除式与被除式视为整体，无公因式，长除法是通用解法。

【环节四】高阶建模——商式与余式的代数关系（时长：6分钟）

【本质提炼】

无论被除式A、除式B（B≠0）的次数高低如何，总存在唯一的多项式Q（商式）和R（余式），使得：

A=B·Q+R

其中R的次数<B的次数，或R=0（此时称B整除A）。

【非常重要·核心定理雏形】

此即多项式除法的带余除法基本定理。教师引导学生将此公式与小学“被除数=除数×商+余数”进行结构映射，实现算术到代数的彻底打通。

【即时训练·脑力激荡】

已知多项式A除以多项式B，商为2x+1，余式为-3，且B=x²-1，求多项式A。

【解析】直接代入公式：A=(x²-1)(2x+1)+(-3)=2x³+x²-2x-1-3=2x³+x²-2x-4。

【设计意图】逆向运用模型，强化对A=BQ+R结构的深层理解，为高中学习余数定理（将x换为具体数值求余数）做铺垫。【热点·高中先修】

【环节五】项目挑战——整除性判定与含参问题（时长：6分钟）

【拔高任务·深度学习】

【例3】已知关于x的二次三项式ax²+bx+1除以(x-2)，余式为15；除以(x+1)，余式为0。求a、b的值。

【策略引导】

1、翻译条件：

ax²+bx+1=(x-2)·Q₁(x)+15

ax²+bx+1=(x+1)·Q₂(x)+0（即整除，x+1是被除式的一个因式）

2、赋值法（特殊化思想）：

由整除条件（x+1）是因式→当x=-1时，多项式的值为0。

代入得：a(-1)²+b(-1)+1=a-b+1=0…①

由余式条件：当x=2时，多项式的值为15。

代入得：a(2)²+b(2)+1=4a+2b+1=15→4a+2b=14→2a+b=7…②

3、解方程组：①+②：(a-b)+(2a+b)=0+7→3a=7→a=7/3，代入①得b=a+1=10/3。

【难点化解】

此处并未真正进行多项式竖式除法，而是利用了“除式是一次式时，余式是常数，且等于当x等于除式根时的被除式的值”这一未来定理（余数定理的雏形）。这是基于本节课“A=BQ+R”模型的进一步推理。对于学有余力的学生，这是极佳的思维跳板。【非常重要·思维进阶】

（三）课堂即时诊断与精准反馈（时长：6分钟）

【分层闯关训练】

A级题【基础达标】：

用竖式计算(4x²-9)÷(2x+3)。（考察缺项补零与符号处理）

B级题【重要巩固】：

已知多项式2x³-3x²+mx+n除以x²+x-2后，余式为5x+7，求m、n的值。

（提示：设商式为ax+b，利用恒等式对应项系数相等求解，或使用长除法待定系数）

C级题【热点挑战·项目学习】：

组卷网原题改编-3：阅读材料指出，多项式除法可以像数的除法一样列竖式。请你模仿该方法，计算(x⁴-1)÷(x-1)，并观察商式的系数规律，说明你发现了什么数学公式？

（预设发现：x³+x²+x+1，即乘法公式中x⁴-1=(x-1)(x³+x²+x+1)的逆向体现）

【实施形式】

学生独立书写于学案空白处，教师巡回指导，重点关注A级题中“4x²+0x-9”的补零是否规范，以及B级题中待定系数法的设而不求思想是否贯通。

五、板书结构化设计（思维可视化）

主黑板布局：

左1/3：类比迁移区

数的竖式→式的竖式

除数一位看一位

除到哪位商哪位

余数要比除数小

右2/3：核心操作区

【范式】长除法四步循环

1、排：降幂排列

2、补：缺项补零

3、除：首项除首项→定商项

4、减：乘全式，对齐减

5、落：余式循环

【模型】A=B·Q+R（R次数＜B次数）

副黑板：学生易错现场纠正区

展示典型错例（如对位不齐、减法未变号），红色粉笔标注。

六、作业设计体系（弹性化·可选择）

（一）基础巩固类（必做，预计时长12分钟）

1、用竖式计算：

(1)(3x³-4x²+5x-2)÷(x-1)

(2)(x³+8)÷(x+2)【提示：缺项需补零】

2、已知多项式A除以B得商Q余R，若将A、B均扩大2倍，商Q与余R是否会变化？请举例说明。（渗透数域扩充中的不变性与线性变换思想）

（二）综合应用类（选做，预计时长15分钟）

3、已知关于x的二次多项式x²+px+q，当除以x-3时余4；除以x-1时余-2。求这个二次多项式。

4、是否存在整数m，使得多项式x³-x²+mx+6能被x+2整除？若存在，请求出m的值及此时的商式；若不存在，请说明理由。

（三）项目探究类（小组合作·周内完成）

5、【微课题】“综合除法”的秘密

阅读资料：当除式为一次式(x-a)时，有一种更快捷的除法叫“综合除法”。

任务：以(x³-2x²-5x+6)÷(x-1)为例，自学综合除法的计算方法。

思考：综合除法的系数提取规则与长除法有何联系？它为什么能省略字母只算系数？

【评价标准】能独立完成至少2道综合除法计算题，并能用长除法解释综合除法每一步的代数意义。【重要·初高衔接】

七、教学反思前瞻（预设与生成策略）

1、关于“形式与本质”的平衡：本课聚焦长除法竖式的规范书写，极易滑入机械操练的泥潭。因此在每一个例题结束后，均强行嵌入“验算环节”，强调用(BQ+R)展开回归A，确保学生知晓“算理永远高于算法”。

2、关于“余式”的认知冲突：学生易混淆“余式”与“差式”。在减法环节，必须反复强调“减去整个多项式”意味着括号外变号，这是七年级整式运算的核心易错点，也是本节课运算正确率的决定性因素。【高频错点】

3、关于“超纲”的尺度的把握：多项式除以多项式（非整除）在教材正文中无明确要求，本设计将其定