排列与组合课件-2026届高三数学二轮专题复习

数学

高考总复习第2节排列与组合第十章计数原理、概率、随机变量及其分布1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题.课标要求1.排列与组合的概念一定的顺序名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并按照_______________排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列组合作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

不同排列不同组合3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)=____________________=(2)===______________(n,m∈N*,且m≤n).特别地=1性质(1)0!=____;=______(2)=;=_______________n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

n!1

常用结论与微点提醒

常用结论与微点提醒2.解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组合混合问题要先选后排.(4)相邻问题捆绑处理.(5)不相邻问题插空处理.常用结论与微点提醒(6)定序问题倍缩法处理.(7)分排问题直排处理.(8)“小集团”排列问题先整体后局部.(9)构造模型.(10)正难则反，等价转化.

(2)中还可以是x＝y;(4)中(n＋1)!－n!＝(n＋1)·n!－n!＝n·n!.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×√√

C

3.(人教A选修三P27习题6.2T13改编)从2名女生，4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有______种(用数字作答).

16

330

例1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法数.(1)选5人排成一排;(2)排成前后两排，前排3人，后排4人;考点一简单的排列问题

(3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边;

(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.

感悟提升简单的排列问题的分类与解法对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.训练1(1)(2026·南京调研)甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次).甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说:“你俩名次相邻.”对丙说:“很遗憾，你没有得到第1名.”从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为(

)A.4 B.6 C.8

D.12C

(2)(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为____________.

288

例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?考点二简单的组合问题

(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种?(4)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?

感悟提升组合问题的两种题型与解法题型解法“含有”或“不含有”某些元素的组合“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足;“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少”或“至多”含有几个元素的组合解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理训练2(1)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有____________种(用数字作答).

64

3514

又到达右上角D必须最后经过B，所以满足题目条件的走法种数也是14.B考点三排列与组合的综合角度1

相邻、相间问题例3(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(

)A.12种 B.24种C.36种 D.48种

角度2

定序问题例4花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法种数为____________.

90

角度3

相同元素分配问题例5某高校举行一场智能机器人大赛，该高校理学院获得8个参赛名额.已知理学院共有4个班，每个班至少要有一个参赛名额，则理学院参赛名额的分配方法共有(

)A.20种 B.21种C.28种 D.35种D

角度4

不同元素分组分配问题例6按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法?(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本;(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;

(3)平均分成三份，每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本;(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.

感悟提升

感悟提升

ABD

(2)(2026·乌鲁木齐检测)新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有(

)A.54种 B.90种C.150种 D.540种C

(3)某农户用3000元的资金购买良种羊羔，共有肉用山羊、毛用绵羊、产奶山羊三种羊羔，价格均为每只300元，若要求每种羊羔至少买2只，则所有可能的购买方案种数为____________.

15

C

2.(2026·兰州诊断)某中学环保社团计划利用教学楼前空地栽种五棵高低不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法有(

)A.6种 B.12种C.24种 D.48种B

3.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(

)A.30种 B.60种C.120种 D.240种C

4.(2026·济南模拟)由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为(

)A.60 B.108C.132 D.144B

5.有4对双胞胎，共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为(

)A.40 B.48C.52 D.60B

6.(2026·南京调研)有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是(

)A.90 B.150C.390 D.420C

7.按照编码特点来分，条形码可以分为宽度调节法编码和模块组合法编码.最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有不同的编码的种数为(

)DA.120 B.60 C.40 D.10

8.“四平方和定理”最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.“四平方和定理”的内容是:任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数11＝32＋12＋12＋02.设36＝a2＋b2＋c2＋d2，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是(

)A.26 B.28C.29 D.30C

BCD

BD

AD

4∵m＋3≤2m，9－2