九年级 中考数学试题

第1页/共1页九年级（下）数学试题一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）1.数轴上，表示和两点之间的距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，用较大的数减去较小的数即可求解，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键．【详解】解：∵，∴数轴上，表示和两点之间的距离是，故选：．2.下列说法中错误的是（）A.掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是的概率是B.从装有个红球的袋子中，摸出个白球是不可能事件C.任意抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等D.某种彩票的中奖率为，买张彩票一定有张中奖【答案】D【解析】【分析】根据概率的定义可知正确；根据随机事件和必然事件可知正确，根据概率的意义可知错误．【详解】解：∵掷一枚普通的正六面体骰子，共有种等可能的结果，则出现向上一面点数是的概率是∴项的说法正确，故项不符合题意；∵从装有个红球的袋子中，摸出的应该都是红球，∴摸出个白球是不可能事件，∴项的说法正确，故项不符合题意；∵任意抛掷一枚图钉，共有两种可能的结果，但可能性不一样大，钉尖朝上的可能大，∴钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，∴项说法正确，故项不符合题意；∵某种彩票的中奖率为，是中奖频率接近，∴买张彩票一定有张可能中奖，也可能不中奖，∴项说法错误；故项符合题意，故选：．【点睛】本题考查了概率的定义，概率的意义，随机事件和必然事件，掌握概率的定义及概率的意义是解题的关键．3.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法的运算法则，逐项分析判断即可得出答案．【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意；B、，故此选项计算错误，不符合题意；C、，故此选项计算正确，符合题意；D、，故此选项计算错误，不符合题意；故选：C．4.如图1是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，在图1的基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2，则三视图发生改变的是（）A.主视图 B.左视图 C.俯视图 D.主视图和左视图【答案】C【解析】【分析】本题考查了三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图对两个组合体进行判断，可得答案．【详解】在图1基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2，则三视图发生改变的是俯视图，故选：C．5.某速度滑冰队从甲、乙、丙、丁四位选手中选派一名参加省冰雪运动会，对他们进行了十次测试，结果他们的平均成绩均相同，方差如下表：若决定发挥最稳定的丁参加省运会，则a的值可以是（）选手甲乙丙丁方差（秒）0.0950.0850.079aA.0.10 B.0.09 C.0.08 D.0.07【答案】D【解析】【分析】根据平均数相同，方差越小成绩越稳定求解即可．本题主要考查了方差的定义，解题的关键在于能够熟练掌握方差越小，稳定性越好．【详解】解：在平均成绩相同的情况下，方差越小说明成绩越稳定，∵选手甲、乙、丙、丁的成绩的方差分别为：0.095，0.085，0.079，a，选派选手丁去参加比赛，∴∴a的值应小于0.079，∴a的值可能是0.07．故选：D．6.如图，中，，根据图中尺规作图痕迹，的度数为（）A.100° B.115° C.125° D.135°【答案】B【解析】【分析】由作图可知，点为三条角平分线的交点，利用角平分线平分角和三角形的内角和定理进行求解即可．【详解】解：∵中，，∴，由作图可知，点为三条角平分线的交点，∴，∴，∴；故选B．【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和．解题的关键是确定点为三条角平分线的交点．7.如图，衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（）．（参考数据：，，）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质及，可得，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得的长度．【详解】解：∵等腰三角形，，为边上的高，∴，∵，∴．∵等腰三角形，，，∴．∵为边上的高，，∴在中，，∵，，∴．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．8.如图，把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图，的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，中心角的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．如图，设正n边形的边与内切圆相切于点M，连接，则，，根据求解即可．【详解】解：如图，设正n边形的边与内切圆相切于点M，连接，则，，由正多边形的性质可知，，∴，，∴，∴．故选：A．9.如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由线段垂直平分线的性质得出，，由三角形内角和定理得出，等量代换可得出，再利用角的和差关系即可得出答案．【详解】解：∵分别是线段的垂直平分线，∴，，∴，，∵，∴，∴，故选：A．10.已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点均在二次函数图象上，则；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根：⑤若是方程的两根，则方程的两根，满足其中正确结论的个数为()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】A【解析】【分析】根据对称轴、二次函数的性质，即可做出判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴在y轴左侧，∴，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴，∴，故①错误，∵对称轴为直线．∴，∵当时，，∴，故②错误，∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧随的增大而减小，∵关于直线对称的点为，又∵，∴，故③正确，方程的解可看做抛物线与直线的交点，由图象可知抛物线与直线有两个交点，∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④错误，方程可看做抛物线的图象与直线的交点，∵与轴有交点，∴表示与直线的交点，所以，故⑤正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11.函数的定义域是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了函数的定义域、二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0求解即可得．【详解】解：由题意得：，解得，所以函数的定义域是，故答案为：．12.由我国自主研制的大型灭火、水上救援水陆两栖飞机“鲲龙－600”（AG600），可在20秒内汲水12000千克.数据12000用科学记数法表示为_________.【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13.如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分的面积为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数的概念．由圆周角定理可得，在中，利用三角函数求出、的长，然后根据求解即可．【详解】解：连接，∵，∴是直径，根据同弧所对的圆周角相等得，∵点B坐标为，∴，∴，，即圆的半径为4，∴．故答案为：．14.如果飞镖随意的投向下图所示的木板上且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的概率是_____．【答案】【解析】【分析】本题考查可能性的大小，分数的认识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．求出阴影部分的面积与大正方形的面积比即可．【详解】解：大正方形的面积，阴影部分的面积，飞镖落在木板上阴影部分的可能性．故答案为：．15.如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，于点C，P是线段上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为________．【答案】【解析】【分析】由点的运动轨迹确定在与轴平行的直线上运动，当线段与垂直时，线段的值最小，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解．【详解】解：对于直线，令，则；令，则∴，，三角形是等腰直角三角形，，∴点C是的中点，，，即，在上取点，使，又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，在与轴平行直线上运动，当线段与垂直时，线段的值最小，在中，，，，．16.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作，交x轴于点B；作，交反比例函数图象于点；过点作交x轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，…，则点的坐标为_________．【答案】【解析】【分析】由一次函数与反比例函数的图象交于点，可得；易得是等腰直角三角形，则分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，则是等腰直角三角形，设则则在反比例函数上，可得的值，求出点的坐标，同理可得的坐标，以此类推，可得结论．【详解】解：如图，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为．

∵一次函数与反比例函数的图象交于点，∴联立，解得，∴点的坐标为．，，∴是等腰直角三角形．，，，设则∴点的坐标为，∵点在反比例函数上，，解得或(负值舍去)，∴点的坐标为；，，，，，设则∴点的坐标为∵点在反比例函数上，，解得，(负值舍去)，∴点的坐标为；同理点的坐标为；以此类推，可得点的坐标为．三．解答题（共8小题，满分72分）17.化简求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，灵活运用分式的混合运算法则化简分式成为解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后再计算即可．详解】解：，当时，原式18.我们都知道，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．小明在探究这个结论时，他的思路是：如图，在中，点D是的中点．过点D作的垂线，然后证明该垂线是的垂直平分线，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点D作的垂线，垂足为E（只保留作图痕迹）．∵，∴①__________∵在中，，∴②__________∴③__________．又∵，∴④__________．∴．【答案】①；②；③；④【解析】【分析】先根据题中步骤作图，再根据三角形中位线的性质和判定证明．【详解】作图如下：证明：过点D作的垂线，垂足为E，∵，∴，∵在中，，∴，∴，又∵，∴，∴．故答案是①；②；③；④．【点睛】本题主要考查了尺规作图，三角形中位线的判定和性质，掌握三角形中位线的判定和性质是解题的关键．19.据观察，很多同学的草稿本没有用完便被扔掉，造成了较大的纸张浪费．学期末某“数学兴趣”小组为了解本学期七年级学生草稿本的使用情况，随机抽查了一个班进行调查，经过数据整理，学生的草稿本使用情况大致可分为下面四类：A．全部用完；B．剩约；C．剩约一半；D．基本未用．兴趣小组成员根据统计结果绘制了如下两个不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）这个班共有人，在图2中D所在扇形的圆心角是度，“数学兴趣”小组采用的调查方式是；（2）请补全图1中条形统计图；（3）七年级共有560人，若每本草稿本以50页纸张计算，试估算七年级学生中使用草稿本“剩约一半”的同学本学期剩余的纸张共有张．（4）学校随机抽取7位同学草稿本的使用情况（单位：本），数据为：7，5，6，8，9，9，10．这组数据的中位数和众数分别是（5）若从对节约资源达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加“节约资源，从我做起”知识竞赛，则恰好抽到1个男生和1个女生的概率是．【答案】（1）48，30，抽样调查（2）见解析（3）3500（4）8；9（5）【解析】【分析】本题主要考查概率、扇形统计图与条形统计图、中位数及众数，熟练掌握概率、扇形统计图与条形统计图、中位数及众数是解题的关键；（1）根据A所在的圆心角的度数及人数可得总人数，然后问题可求解；（2）根据（1）可得C的人数，然后可画条形统计图；（3）根据题意可直接进行求解；（4）根据中位数与众数的定义可进行求解；（5）根据树状图可进行求解．【小问1详解】解：这个班的总人数为：（人）在图2中D所在扇形的圆心角为度数为：，“数学兴趣”小组采用的调查方式是抽样调查，故答案为：48，30，抽样调查；【小问2详解】解：C所代表的人数为：（人）条形统计图如下：【小问3详解】解：（张）；故答案为：3500．【小问4详解】解：7，5，6，8，9，9，10中9出现次数最多，因此众数为9；从小到大进行排序为5，6，7，8，9，9，10，中间位置的数为8，因此中位数是8．【小问5详解】解：画树状图得：

∵可能的情况一共有种，抽到“一男一女”学生的情况有种，∴抽到“一男一女”学生的概率是：；故答案为．20.为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向．测量方案与数据如下表：课题测量河流宽度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意图说明点B，C在点A的正东方向点B，D在点A的正东方向点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向测量数据，，．，，．，，．（1）第_________小组的数据无法计算出河宽；（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（结果保留小数点后一位）．参考数据：，，，，，【答案】（1）二（2）【解析】【分析】（1）第一小组和第三小组提供的测量数据可以通过解直角三角形求出的长，而第二小组提供的测量数据不能求出的长；（2）若选第一小组，可根据三角形的外角性质和直角三角形的性质求出，判断出是等腰三角形，得，解求出；如果选第三组测量数据，可设用含有的式子表示，再解，用含有的式子表示，再根据列出方程求出的值即可解决问题【小问1详解】第一小组和第三小组提供的测量数据可以通过解直角三角形求出AH的长，而第二小组提供的测量数据不能求出AH的长，故第二小组的数据无法计算出河宽，故答案为：二；【小问2详解】①选第一组数据：∵是的外角，∴∵，∴，∴，∴，中，；②设在中，在中，又∴，解得，，∴【点睛】本题考查过一点作已知直线的垂线，解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．21.鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？（3）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？【答案】（1）（2）当每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4000元（3）当每件童装售价定为47元或53元时，该店一星期可获得3910元的利润【解析】【分析】（1）根据每降价1元，每星期可多卖10件列出对应的函数关系式即可；（2）设每星期利润为w元，根据利润（售价进价）销售量列出w关于x的关系式，利用二次函数的性质求解即可；（3）利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．【小问1详解】解：由题意得，；【小问2详解】解：设每星期利润为w元，根据题意，得，∵，∴当时，w有最大值为4000元，∴当每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4000元．【小问3详解】解：由题意得，，整理得：，解得或，∴当每件童装售价定为47元或53元时，该店一星期可获得3910元的利润．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列函数关系式等等，正确理解题意列出对应的函数关系式和方程是解题的关键．22.如图所示，是上的弦（点C异于点A），连接，，，E为上一点，连接，且，F是延长线上的一点，使得，连接，交于点G．（1）求证：是的切线．（2）若，求．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）如图1：连接，根据得为的直径，根据得，再根据得，则，然后根据得，再根据三角形内角和定理可得，由此即可得出结论；（2）如图2：连接交于K，连接交于H，连接，先证明，根据垂径定理得，由勾股定理求出，则，进而由勾股定理分别求出；再证明得，则，再证明得，然后在中由锐角三角函数定义可求出的值即可．【小问1详解】证明：如图1：连接，∵，∴为的直径，即经过点O，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵为的直径，∴是的切线；【小问2详解】解：如图2：连接交于K，连接交于H，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∵为的直径，∴，在中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵∴，∴，在中，【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的性质及勾股定理进进行计算是解决问题的关键．23.在中，，，，将绕点B顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点分别是，连接．（1）如图1，当点E恰好在上时，求的大小；（2）如图2，若，点F是的中点，判断四边形的形状，并证明你的结论．（3）如图3，若点F为中点，求证：C、E、F三点共线．【答案】（1）（2）平行四边形，见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可求，即可求解；（2）由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，即可求解；（3）通过证明点、点、点、点四点共圆，点，点，点，点四点共圆，可得，，可得结论；【小问1详解】【小问1详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到，，，，，；【小问2详解】解：四边形是平行四边形，理由如下：点是边的中点，，，，，是等边三角形，，绕点顺时针旋转得到，，，，，，为等边三角形，，，，，，，，而，四边形是平行四边形；【小问3详解】证明：如图，连接，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，，，为中点，，，而，点、点、点、点四点共圆，，，点，点，点，点四点共圆，，，点，点，点三点共线；【点睛】本题是四边形