随机事件与概率（单元教学设计）（含第一课时）

随机事件与概率单元教学设计

一、内容和及其解析

本节知识结构图：

随机试验E随机现象

概率的基本性质

1.1内容

（1）随机现象、随机试验、样本点、有限样本空间;

（2）随机事件;

（3）事件关系与运算；

（4）事件的概率、古典概型、概率的基本性质。

1.2内容解析

内容本质：概率论是研究随机现象数最规律的数学分支，概率的研究对象是随机现象，

它是对随机事件发生可能性大小的度量，因为随机现象在现实世界中的普遍性，它已渗透到

我们的日常生活中.随着计算机科学、人工智能的迅猛发展，伴随着大数据的到来，面临的

随机现象越来越多，概率论的重要性也F1益突出.

本单元主要研究满足特殊条件的随机试验，抽象出样本点、有限样本空间的概念，

利用样本空间定义随机事件，在定义随机事件的概率的基础上，通过古典概型计

算随机事件发生的概率，研究概率的运第法则和性质，进一步认识和理解随机现

象；通过对有限个可能结果的随机现象（主要是古典概型）的分析，在构建研究

随机现象的路径，抽象概率的研究对象、建立概率的基本概念、发现和提出概率

的性质、探索和形成研究具体随机现象的思路和方法、提高应用概率知识解决实

际问题的能力。

本节课是本单元的起始课，要在建立单元学习框架的基础上，学习样本点、

有限样本空间、随机事件等概率的最基本概念.通过分析随机试验的可能结果，

用适当的字母、数字或数对表示结果，构建样本空间，这是将实际问题数学化的

关键步骤，也是提升学生数学抽象素养的重要途行.样本空间概念的作用体现在:

更深刻地理解随机事件的概念；通过与集合的关系与运算的类比，可以更好地理

解随机事件的关系和运算的意义；可以用符号语言准确而简练地表示求解概率问

题的过程；也有利于在选择性必修课程的概率内容中揭示随机变量的本质（样本

空间到实数集的映射）.

蕴含的思想方法：

（1）通过丰富的实例，建立正确的概率直观，发展学生认识不确定性现象的思维模

式，培养学生随机意识、发展随机思想：

（2）通过具体实例，研究随机试验，用符号表示试验的结果，抽象出样本点、样本

空间，由事件发生的意义油象出“随机事件”是样本空间的子集；抽象概括出随机试验的本

质特征，建立各种概率模型；借助树状图表示试验的所有可能结果，判断样本点的可能性等

等，发展了学生的类比、分类、归纳、特殊化思想等，提升了学生的数学抽象等素养.如，

类比函数的研究，确定概率的研究路，发现概率的性质：类比集合的关系和运算获得事件的

关系和运算等发展了学生的类比、归纳的思想.再如，对概率性质的研究采用由特殊到一般

的归纳方式，发展了学生的归纳、转化等思想.通过解决实际问题，教学古典概型，得到构

建概率模型的•般方法，理解事件概率的意义，渗透了模型化思想.在落实四基、发展四能

过程中，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数据分析、数学模型等数学学科核心素养.

知识的上下位关系：

在初中学习概率知识为基础上，结合具体实例，继续研究刻画随机事件的方法；通过古

典概型中随机事件的概率计算，加深对随机现象的认识和理解；通过建构概率模型解决实际

问题，提高用概率方法解决问题的能力。类比集合运算及性质，归纳用概率解决问题的方法，

为高二后续的学习奠定了基础。

育人价值：

概率课程承担的主要育人任务是培养学生分析随机现象的能力，提升学生的数学抽象、

数学建模、逻辑推理以及数学运算、数据分析等素养避过对随机现象的探索，主要是古典

概型为研究对象，在构建随机现象的研究路径、抽象概率的研究对象、建立概率的基本概念、

发现和提出概率的性质、探索和形成研究具体随机现象的思路和方法、应用概率知识解决实

际问题的过程中，发展学生认识不确定性现象的思维模式，使学生学会辩证地思考问题，成

为善十认识问题、善于解决问题的人才.

随机思想是概率论的核心思想，在教学中，要联系学生认知的发生过程，在基本活动

经验的基础上引发学生的随机性数学思维，训练学生观察概率与统计的联系达到灵活运用随

机性数学思维的能力，在解决实际问题中领悟与发展自身随机性数学思维.通过丰富的生活

实例，增强学生对随机现象不确定性的认识，如，抛•枚硬币哪面向上可能性大；掷一枚骰

子得到点数是大还是小；买彩票中奖机会有多大；两个人猜拳谁先连赢两局等类似问题的随

机性，在具体问题中建立学生的随机思想.

教学重点:

由实际问题抽象随机事件的概念，理解事件的关系和运算，通过古典概型理解概率的意

义、探究概率的性质。

二、目标及其解析

2.1单元目标

（1）结合具体生活隹例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系。

（2）结合具体生活实例，了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件

的并、交运算。

（3）结合具体生活实例，理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率。

（4）结合古典概型的具体生活实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则。

2.2目标解析

达成目标的标志：

（1）结合具体生活实例，归纳随机试验的基本特点，能用集合语言描述一个随机试验

的所有可能结果，并用有限样本空间表示，体会将随机现象数学化的思想方法，发展数

学抽象素养：会求试验结果有限的随机试验的样本空间；能举例说明由某些样本点组成

的随机事件的含义，能用样本空间的子集表示一个随机事件，提高应用数学语言表达与

交流的能力.

（2）结合具体生活实例，在样本点、样本空间的概念，定义随机事件的基础上，能够

通过类比集合关系和运算，探究“事件关系和运算”，进一步加深对随机事件的理解.，

它是占典概率一般定义、概率的性质和运算的研究基础，能够体会在知识结构上的更加

合理的逻辑关系.

（3）结合具体生活实例，能够归纳古典概型的特征、古典概型的定义、古典概型中简

单随机事件概率的计算等；通过古典概型解释相关概念，能够体会概率的意义；通过学

习能熟练用古典概型模型解决相关的实际问题，感悟由特殊到一般的思想方法，提高学

生的数学抽象、数学建模等素养.

（4）通过古典概型的具体实例，能够利用由特殊到一般的方法研究概率的非负性、规

范性、可加性、单调性、加法公式等性质，并利用概率的运算法则求随机事件的概率.

三、学情分析

3.1学生已有基础分析

知识准备：通过初中阶段学习，学生已经能够通过列表，画树状图等方法列出简单随机

事件所有可能结果，对事件的概率有了初步了解，并且知道通过大量重复试验，可以用频率

估计概率.但，所学的概率内容非常有限，只能通过简单的情境定性地解释随机事件，通过

直观手段，用枚举法解决简单的概率求解问题，学生的抽象思维水平较低，缺少抽象出概念

的经验，这将为之后的学习形成障碍.

（2）思维准备、研究方法：通过之前的学习，学生的随机意识及思想较少，积累经验

不多，数学抽象能力较低，在研究随机现象时，不易做到不确定的思维方式解决问题；建立

样本点、样本空间概念的过程中，数学语言表达能力不强，缺乏为一个随机试验构建样本空

方法的启发.类比函数的研究，建立概率教材的结构体系：预备知识一样本点、样本空间，

随机事件，事件的关系和运算；

概率的事实(随机现象)■一概率的定义及其表示一概率的性质、运算法则-一古典概型--

频率的稳定性等一一概率的计算、随机模拟试验……对于概率的基本概念、基本性质的研

究，相当于对于函数的一股概念与性质的研究，古典概型与函数中的辕函数、指数函数、三

角函数等的地位相当，为了使学生充分理解概率的概念和性质，先研究古典概型，降低了学

生学习的难度.(简单随机现象：如，抛掷硬币、抛掷散子、彩票、摸球实验等)

(5)概率的公理化结构，学生对于概率定义的产生和发展不够了解，总结前人研究成果

不到位，对概率的公理化结构缺乏深入理解。

破解得方法:通过实例，经历古典概率及概率的算法的形成的过程，加深对于概率的公

理化结构的理解；在学生已有知识和经验基础上，通过类比函数性质的研究思路发现和提出

概率的基本性质，教师引导学生从事件的关系和运算入手，类比长度或面积的度量性质、发

现概率的教材中的一些性质，还可以选择拓展研究概率以下性质：下为拓展，还可以研究概

率的如下性质：

(1)和事件:P(ADB);P(A)+P(B)-P(AB).

如果A,B互斥，即AcB二。，那么P(ADB)=P(A)+P(B).

一般地，如果用，A「…,A“是两两互斥的事件(。的互不相交的子集)，那么

P(AtUA2U…DA〃)=P(A[)+P(A2+…+P(A“).

⑵设｛3J,…，｛3“｝为所有的基本事件，那么fp｛例｝=1.

1=1

(3)互斥事件:P(B)=P(AB)+P(初).

发展学生直观想象、数学抽象及逻辑推理能力.

教学难点:抽象随机事件，求解古典概型的问题时，对所有样本点等可能的判断.

四、教学支持条件

通过信息技术展示现实世界、科学研究各种随机现象，让学生感受随机现象的普遍性；利用

信息技术互动平台开展课堂互动，提高教学效益，同时培养学生利用信息技术处理概率与统

计问题的习惯.GGB

五、课时教学设计

本单元共4课时，具体分配如下：

第1课时•，有限样本空间与随机事件

第2课时，事件的关系和运算

第R课时，古典概型

第4课时，概率的基本事件

六、单元目标检测

6.1教材习题10.1第244页7、9、10、11、12、13、15、16、17题

6.2综合题；

情境将一枚均匀骰子相继投掷两次，请回答以下问题:

（1）写出样本点和样本空间；

（2）用A表示随机事件“至少有一次掷出1点“，试用样本点表示事件人；

（3）用=1,2,3,4,5,6）表示随机事件”第一次掷出1点，第二次掷出/点”，月B表

示随机事件“第一次掷出1点“，试用随机事件4表示随机事件从

（4）用C表示随机事件”点数之和为7”，并求C发生的概率。

设计意图：充分理解样本点、样本量、有限样本空间的概念，以及有限样本空间中随机

事件的相关运算，理解随机时间的表达，体会随机思想。

解析：（1）首先确定样本点，用1，2,3,4,5,6表示掷出的点数，用"））表示"第

一次掷出，・点，第二次掷出/点”，则相继投掷两次的所有可能结果如F：

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

(6,1)(6»2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

注意到（1,2）和(2,1）是不同的样本点，分别表示“第一次掷出1点，第二次掷出2

点”和“第一次掷出2点,第二次掷出1点”这两个随机事件，因此样本空间共有36个样本点。

把每个样本点称为基本事件。样本空间为

=((i")|i"=l,2,3,4,5,6)。

(2)因为随机事件A=”至少有一次掷出1点“，则A包括上述样本空间中所有出现1的

样本点，因此

A[(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)1

[(2,1),(3,1),(4/),(5,1),(6,1)

(3)A,={(1,/)},/=1,2,3,4,5,6。因为这些事件任何一个发生事件B就发生，所以

8=AA,4A久A。

(4)因为C={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},包括6个样本点，样本空间共有

36个样本点，所以P(C)二9=工。

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点睛：通过上面的讨论得到，样本空间只与问题的背景有关。

课时教学设计

一、课题：有限样本空间与随机事件

二、教学内容

2.1内容

(1)随机试验的特点，样本点、有限样本空间的定义.

(2)随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件与样本点、样本空间的关系.

三、教学目标

(1)结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义

(2)理解随机事作与样本点的关系

(3)经历用集合语言描述一个随机试验的所有可能结果，发展学生的数学抽象素养.

四、教学重点与教学难点

教学重点：能抽象出样本空间概念，会用集合语言表示一个随机试验的样本空间与随机

事件.

教学难点：用适当的集合语言表示一个随机试验的样本空间，以及表示一个随机事件的

自然语言与集合语言之间的相互转换.

五、教学过程设计

课堂引入：我们知道，像抽签、抛硬币、掷骰子等试验，在一定条件下重复进行试验

时，有些事件有可能发生也有可能不发生，这就是随机事件.如何进一步刻画随机事件呢？

今天我们就来一起探索.

我们先看下面一组问题:

5.1探索、建构有限样本空间的概念

问题1：前面我们学习了统计，知道其中重要的思想是用样本估计总体，如，可以用样

本均值估计总体均值.你认为这样的估计会出现什么问题？

师生活动：学生回顾统计的学习过程，说明由样本的随机性决定了样本均值的随机竹：“

因此会导致

估计偏差.在此基础上教师指出，这就需要对估计效果进行评价，而评价需要概率知识.

追问：同学们在初中阶段已经学过概率，请大家回忆，概率是研究什么问题的?初中学

了哪些内容？

师生活动：先让学生回顾、回答，估计学生能回忆起来的内容不多，教师可以加强引导：

概率从数值上

刻画了随机事件发生的可能性大小，揭示了随机现象中存在的规律；初中阶段了解了什

么叫随机事件，

学习/用列举法求概率和用频率估计概率.然后教师指出：不仅评估样本估计总体的效

果要用到概率知

识，现实世界中到处存在着复杂的随机现象，认识和刻画这些随机现象的规律也需要更

多的概率知识.

下面从理解概率的研究对象开始，先看实例.

设计意图:联系统计中样本估计总体的过程，由样本的随机性提出估计效果的评价问题,

进而引发学习概率的必要性，再回顾初中阶段学过的概率内容，引出本节的学习课题。

问题2：（1）有位同学为了掌握从家到学校所需时间,他记录了两周的数据（精确到1分）,

如下表10.1.1所示，你能帮助他分析所用时间的特点吗？

表10.1.1（单位：分）

第一周2526302427

第二周2425292828

（2）为了更好地把握到校所需时间的规律性，这位同学在某一学期内共记录了

100次,并依据记录的数据绘制了如图10.1.1所示的直方图。从这个图中你看到

了什么规律？（图10.1.1）

师生活动：先让学生思考，再师生一起归纳:所需时间不可预测，具有随机性，

每次观测都不完全相同；大量重复记录数据，所用时间的分布具有相对确定的规

律性。

（3）从装有10个红球和5个白球的袋子中随机摸出一个，事先能确定它的颜色吗?

如果有放回地重复摸球300次，记录摸到的球的颜色，你觉得会出现什么现象？

师生活动：学生独立思考后选代表回答.有初中的基础及生活经验，学生应该能

答出要点。教师在学生回答后再帮助其完善表达:事先不能预知摸到的球的颜色,

但如果大量重复摸球，会出现摸出的红球和白球的比例大约为2:1,即每次摸出

2和！

红球、白球的可能性大小各为33

追问L你能归纳上述例子的共同特征吗？

师生活动：先由学生独立思考归纳出共同特征，然后小组交流,再进行全班交流。

在充分交流的基础上，教师和学生一起作出归纳：

生活中存在这样一类现象：就一次观测而言，出现哪种结果具有随机性，但

大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性.这类现象叫做随机现象，

它是概率论的现象.

追问2:根据随机现象的特点，你认为我们可以怎样展开研究？

师生活动：学生根据实例及已有的学习经验进行分析、讨论，得出结论：

（1）先进行大量重复试验（2）观察所有的结果（3）再根据试验数据计算相应

的结果出现的可能性大小

设计意图：通过具体问题，引导学生初步归纳随机现象的特征，并从宏观上构建

研究路径.

我们先看下面一组试验：

问题3：考察下列试验:

(1)将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面朝上的情况；

(2)从你所在的班级随机选择5名学生，观察近视的人数.

观察这些随机现象，分别说一说(D和(2)有哪些可能的结果？

师生活动：提出问题后，让学生独立思考后回答问题.对于问题(2),如果学生感到

困难，可以采取计算机模拟的方法，边试验边讨论，在此基础上，教师指出随机试验的概念.

设计意图：通过问萩1,激活学生已有的经验，并促使学生明确随机试验的所有何能

结果，并用适当的字母、数字或数对表示结果.

问题4:考察下列随机试验：

在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；

从一批发芽的水稻种子中随机抽取一些，观察分篥数；

记录某地区7月份的降雨量等，你能归纳它们的共同特点吗？

师生活动：师生归纳试验的共同特点：

(1)试验可以在相同条件下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

(3)每次试验总是怡好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.

归纳：我们把对随机现象的实验和对它的观察成为随机试验，简称试验，常用字母E

表示.

追问：你还能举出一些随机试验的实例吗？

师生活动：学生独立思考后尝试举例，教师根据随机试验的三个特点分析学生的回答,

引导学生把握随机试验的实质.学生所举例了•可能表现为“从整体中取出一些个体的试验，

如问题1(2)”，或者“每个结果出现的可能性相同的:式验”，前者可能受到了随机抽样的

影响，后者把古典概型的特殊试验看成是一般的随机试验，教师对此应有预案准备.

设计意图：通过问题2,归纳出随机试验的特点；通过追问，帮助学生巩固对随机试验

特点的认识.

问题5：体育彩票摇奖时，将1()个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2,…，9的

球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码.

(1)这个随机试验共有多少个可能结果？

(2)如何用集合语言表示所有可能的结果？

师生活动：学生一般能说出10个可能的结果，教师强调“所有可能的结果”的意义，

然后把思考引向用集合语言描述所有可能的结果，使学生对问题的意义与思考方向更加明确,

最后，师生简要探讨何种符号表示更明确简洁.

教师总结：观察球的号码，共有10种可能结果.用数字m表示“摇出的球的号码为m”

这一结果,那么所有可能结果可用集合表示为：｛0,1,2,3,4,06,7,8,9｝

设计意图：通过问题3,促使学生思考本节的核心问题：如何用集合语言表示这些随机

试验的所有可能的结果？

追问1:类比上面的例子，请你根据前面的各个随机试验实例，讨论如何用集合语言

表示这些随机试验中所有可能的结果，并说--说你是如何思考和解决问题的？

师生活动:教师可以组织小组合作探究学习，对于前面问题1,2中的实例，以及教师、

学生举出的•些其它随机试验的实例，尝试用集合语言描述•个随机试验的所有可能的结果.

教师应关注学生如何解释他们对结果的表示的思考过程.此时不必强调书写的规范性.

学生展示:教师给出要求：阅读教材626,给出概念及表示：

数学上，我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，

全体样本点的集合称为试验E的样本空间。一般地，我们用Q表示样本空间，用a表示

样本点

当前，我们只讨论Q为有限集的情况，如果一个随机试验有n个可能结果助，

则称样本空间Q:｛用，①？，…,为有限样本空间.

教师强调：当前，我们只讨论。为有限集的情况

追问2:能借助符号语言，把刚才用集合语言表示的结果再进行修改完善吗？

师生活动:学生刚开始学习用集合语言表示样本空间，一般要经历两个步骤：（1）对可能

结果先用文字语言描述，并用集合形式表示；（2）通过讨论，对文字语言描述的结果用更简洁

的符号表示，这里的符号可能是字母或者数字。教师应引导学生使•个随机试验结果的表示

体现数学语言的特点.

设计意图：两个追问旨在引导学生关注把一个随机试验的结果进行数学化的思考路径与

关键步骤.

追问3：从集合角度你能辨析:样本点、有限样本空间的关系吗？你能用数学语言进行

表示吗？

师生活动：使学生迁移集合的元素与集合之间的关系，能够顺利得出结论.

设计意图：学生通过对追问3的思考，进一步对概念之间的关系有一个更深入的认识，

为概念的正确应用奠定基础；通过类比，用数学语言表示样本点与样本空间的从属关系，加

深了对概念特征理解，发展了学生的抽象思维素养.

例1.抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出这个试验的样本空间.

师生活动:教师要求学生给出多种表示方法，由学生独立完成，这个题目看上去简单，

却是随机试验数学化的典型事例，多种方法表达，特别是用字母符号、数字进行表达，在发

展数学抽象素养的同时也为后续学习打下一些基础.

学生容易说出，因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，

所以，试验的样本空间可以表示为。二｛正面朝上，反面朝上｝,如果用h表示“正面朝

卜”.t表示“反面朝卜”,则样本空间｛h,t｝.

追问1:你用几种语言描述了此试验的样本空间？你喜欢哪种表示方法？为什么？

师生活动：两种，分别为文字语言和符号语言、喜欢符号语言，因为，体现了数学的简洁

美

文字语言符号语言

追问2：你能用韦恩图来表示以上试验结果吗？

师生活动：教师提问，学生画图操作，积累活动经验.

追问3：你能规范例1的解题过程吗？

师生活动：教师追问，学生规范展示问题答案.

设计意图：韦恩图更加形象直观理解样本点和样本空间的关系，同时对这个试验结果有

个更直观感知，便于后面的学习，数学语言的互化，进一步发展了学生的数学抽象素养，从

中感悟不同数学语言表达的效果；规范解答过程，使学生形成良好的解题习惯和严谭的思维

表达.

例2.抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.

师生活动：教师倾听，学生解答：用i表示朝上面的“点数为i”，因为落地时朝上面

的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为。=｛1,

2,3,4,5,6).

设计意图：通过实例.学生独立思考，并展示答案，提高学生分析问题、解决问题的能

力，数学语言表达能力，发展学生数学抽象、数学模型等素养.

例3.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.

师生活动:先由学生独立思考解决问题，再进行交流，完善问题的解答与符号表示的

规范性.解答中可能会出现两种观点，一种是有4个样本点，另一种是有3个样本点，这

是要让学生讨论两者的差异，可以通过树状图进行分析，帮助学生认识到，如果是3个样

本点，就不是等可能的；为了帮助学生热练掌握用集合语言表示样本点和样本空间，可引

导学生，先用文字语言描述可能的结果，并用集合的形式表示，然后再用简洁的字母符号

或数字进行，从而逐步走向数学化.此时，要让学生注意，用1、0分别表示正面朝上、反

面朝上，只是一种符号.

学生展示1：如图10.1T所示，画出树状图可以帮助理解例3的解答过程，

学生展示2：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的

基本结果用y表示，那么试验的样本点可用（x,y）表示.于是，试验的样本空间

Q=｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝文字表示

学生展示3：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝”，那么样本空

间还可以简单表示为Q:｛（1,1）,（1,0）,（0,1）,（0,0）｝.

数对表示

学生展示4：Q=｛hh,ht,th,tt）

字母表示

学生展示5：Q=｛11,10,01,00）

数串表示

设计意图：样本空间可以用不同的数学语言表达，从文字语言到符号语言，抽象程度

不同，让学生感受到用符号语言和数字语言表达的简介性，在后续学习中突显数字表达的优

越性，多种表示方法，锻炼学生的抽象、发散思维，以初中学习树状图列出所有可能结果，

可以做到不重不漏.提醒学生树状图是列举法中很重要的一种方法，韦恩图便于对概念的理

解，为后学习奠定基础，对培养学生的逻辑思维能力有很大帮助.

追问：例举下列试脸的样本空间，比较与例3的样本空间的异同

（1）向一个目标射击两次，考察命中目标的情况；

（2）两位同学独立各猜一道谜语，考察猜中的情况.

师生活动：先由学生回答，再由教师带领学生进行分析.这里，因为射中的概率不一定

是0.5,所以尽管样本空间的结构、样本点的个数与例3一样，但样本点发生的可能性大小

是不一样的;猜谜语的问题也同理.

设计意图：通过例题帮助学生进一步理解样本点和样本空间概念,使学生掌握根据具体

随机试验的特点,选择适当的语言表达样本空间的技能.追问目的，是要让学生关注样本点发

生的等可能性问题，这对古典概型非常重要.

引导语：为了研究随机现象，我们用集合语言表示随机试验的所有可能结果，引入了样

本点和样本空间的概念，接下来我们要学习如何利用这些概念表示随机事件，一起看下面问

题：

5.2探索、建构随机事件的概念

问题5变式：已知条件不变，添加问题为：在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为

奇数”是随机事件吗?摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？

师生活动：首先引导学生回顾初中学过的随机事件的概念，然后用集合语言描述两个随

机事件，并从一个随机事件所包含的可能结果的角度，引导学生用自然语言解释随机事件的

意义，体会两种语言的不同特点.

学生展示：用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为

1,3,5.7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合A={1,3,5,7,9},同理，

B={0,3,6,9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”发生.因此可以用样本空间。={0,1,

2,3,4,5,6,7,8,91的子集{1,3,5,7,9}表示隙机事件A.类似地，可以用样本空

间的子集B;{0,3,6,9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”.

追问1：这两个随机事件的集合与这个随机试验的样本空间是什么关系？你能将上述表

示随机事件的方法推广到一般吗？

师生活动：先由学生用自己的语言表达，再让学生阅读教教材鸟”.228进行对照以明确结

论.

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.将样本

空间的。子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机

事件一般用大写字母A,B,C,…表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，

称为事件A发生.

设计意图：促进学生建构随机事件与样本点、样本空间概念的联系.

问题6：根据随机事件与样本点的关系，你能说说必然事件与不可能事件如何用集合语

言表示吗？

学生阅读教材鸟27-2”后展示：

师生活动：在学生独立思考的基础上，关注学生回答问题时如何解释、推理、表示.

。作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以。

总会发生，我们称。为必然事件.而空集。不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，

我们称。为不可能事件，必然事件与不可能事件不具备随机性.为了方便统一处理，将必然

事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，有限样本空间。的每个子集都是事

件.

设计意图；一个随机试验中的某些结果组成了随机事件,我们用样本点表示可能发生的

结果,所以随机事件就可以用样本点的集合来表示,而样本空间包含了所有可能的结果，所以

随机事件可以看成是样本空间的子集，这样我们就将随机现象数学化了.这个思考过程的逻

辑性很强，其中明确随机事件和样本点的关系是关键，而理解“随机事件A发生”的含义是

难点.由上面解答问题的方法，使学生明白可以用样本空间的子集表示随机事件，又突破了

“随机事件发生”的含义这个难点。随后再从样本空间特殊子集的角度提出问题。引导学生

思考全集C及空集对应于什么事件，从而完成了用样本点概念重新建构随机事件概念的任务。

例4如图10.1-2,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能

失效。把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常：

(1)写出试验的样本空间;

(2)川集合表示下列事件：

行“恰好两个元件正常”；N=”电路是通路"；T:”电路是断路”.

图10.1-2

师生活动：先由学生独立完成，再展示学生的各种解答，组长进行适当点评，教师进行点拨，

教师重点引导学生对随机试验”这个电路中各元件是否王常”进行数学化，引导学生思考:

这个随机事件的观察点是什么？有多少个可能的结果，怎样表示.对于用集合表示的事件，

应让学生能够进行自然语言与集合语言之间的相互解释，发展学生数学抽象素养.

设计意图：本题与抛掷3枚硬币的试验是同构的。考虑3个元件的所有可能状态，建立样本

空间，在具体问题情境中，理解随机事件的意义，促进学生初步掌握用样本空间的子集表示事

件的方法。

追问：通过例4的解答，你能总经结一下引进有限样本空间概念的好处吗？

师生活动：让学生独立思考后进行小组交流,再让学生代表发言。这里只要让学生联系集合

的相关知识，能够说出引进有限样本空间，可以用有限样本空间的子集表示随机事件，可以

利用集合的关系和运算讨论事件的关系等.

设计意图：“电路”情境属于科学情境，让学生在一种新的情境下巩固样本空间的概念，进

一步发展用集合语言描述遁机试验、随机事件的程序性的、策略性的知识，发展学生数学抽

象素养.

解析：(1)分别用X—X?和X二表示元件A,B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用

(x1,X2,X3)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则

样本空间

法一：Q={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),

(1,1,1)}.

法二：如图10.1-3,还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果

图10.1-3(10.1-3)图10.1-2

（2）如图10.1-2”恰好两个元件正常”等价与（内占，刍）£。，且“修，看中恰有两个L，

所以，M=｛（14,0）,（1,0,1），（0,1,1）｝,

“电路是通路”等价于（占%2，%3）€。，％=1,且修，西中至少有一个是L所以

N=｛（1,1,0）,（1,0,1），（1,1,1）｝,同理，

“电路是断路”等价卜（x,x2,x3）wC,x,=0或X]=1,Hr,=x3=0.所以，

r=｛（o,o,o）,（0,1,0）,（O,O,D,,（i,o,o）｝

注：教师规范答案

课堂小结：

问题7：请你带着如下闰题回顾一下本节课的学习内容，并给出回答：

（1）本节课我们是按怎样的路径构建概念体系的？

（2）不确定现象随处可见，我们感兴趣的随机现象有什么特点？你能举例说明吗？

（3）你能举例说明样本点和样本空间的含义吗？

（4）随机事件和样本点有怎样的关系？你能举例说明什么叫“随机事件发生吗”

师生活动：学生独立思考，合作交流后回答问题，教师应关注学生的解释，对于一些错误

的方面，应先让其他的学生来评价，并最终通过举例、辨析或者追问帮助学生澄清.

设计意图：（1）学习任何内容，理解研究对象是非常关键的一步。本节课是高概率课程的起

始课,按照

“随机现象一随机试验的基本特点一随机试验的数学表示（样本点和样本空间）-随机事件

的集合表示”

的路径展开，在一个新的高度认识随机现象，并用数学的方式作出表示，这对接下来的研

究非常关键。

虽然研究对象与确定性数学的对象完全不同，但概率的研究路径与函数具有可类比性。“随

机事件与概率”

这个单元按“有限样本空间与随机事件一事件的关系和运算一古典概型一概率的基本性质”

的结构展开，

前两小节相当于“预备知识”，古典概型相当于“函数的概念”，概念之后研究性质是数

学的基本之道。

这个类比可以在适当的时候（例如本单元结束时）教给学生。

（2）本节课中出现的概念是概率中最基本的，也是抽象程度非常高的,理解这类概念的最

好方法是举例子，检验学生是否理解的方法也是看学生是否能举出适当的例子。所以，对随

机现象（试验）的特点、样本点和样本空间的含义以及随机事件与样本点的关系等，都采用让

学生举例说明的方法进行小结。另外，“事件A发生”，就是A中某个样本点出现了，这与

随机试验的特点有关系，需要在小结时再次强调。

六、课堂检测与评价

6.1布置作业：教材9练习1、2、3题

1.写出下列各随机试脸的样本空间：

（1）采用抽签的方式.随机选择一名同学，并记录其性别；

（2）采用抽签的方式，随机选择