北师大版八年级下学期数学第五章分式与分式方程单元知识点+单元练习试题以及答案

第五章分式与分式方程单元知识点+单元测试试题时间：40分钟满分：100分知识点(1)一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示为的形式，如果B中含有字母，那么称为分式，(3)分式的基本性质：分式的分子和分母都乘(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变。(4)把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。(5)两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。(6)两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。(7)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。(8)根据分式的基本性质，异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程称分式的通分。(9)异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母(简称最简公分母)作为它们的公共分母。(10)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算。(注意：不管分式的乘除还是加减，都记的要约分，化成最简分式或整式。)(11)分母中含有未知数的方程叫分式方程。(12)若方程的解使原分式方程的分母为零，把这样的解叫做原方程的增根，此方程无解。(注意：解分式方程不能忘了检验。)练习题一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)1.下列代数式中，是分式的是()3.下列分式的值可以是0的是()4.下列式子错误的是()DD用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.设未知数x,y,依题意列出方程y(x+1)=2y(x-3),则用一个未知数列出方程正确CC工2A.1B.-1C.1或-1D.m≠1且m≠-1数，则所有满足条件的整数a的值之和为()A.8三、解答题(共40分)50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.生产的数量增加恒定的数量，且每天生产甲种文创产天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文加的数量.32.A3.C7.C13解析(1)去分母，得2x=3x-9,解得x=9,∴原方程的解为x=9.∴x=2是分式方程的增根，∴原方程无解.16.解析(1)设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是(x-50)个，根据题意得3x-4(x-50)=100,解得x=100,答：该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个.(2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个，答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个.4分式与分式方程第1节：分式及其基本性质知识点(1)一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示为的形式，如果B中含有字母，那么其中A称为分式中的分子，B称为分式中的分母。(3)分式的基本性质：分式的分子和分母都乘(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变。(4)把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。练习题其销售额为n元.该书店这种图书的库存量是()A.1B.-2C.±8.对于分下列说法不正确的是()C.当m=-3时，分式的值为0D11.已知分(a,b为常数)满足表格中的信息.13无意义oc53.下列各式从左到右的变形，一定正确的是()5.不改变分式的值，把下列各分式中分子和分母的各项系数化为整数.6.下列分式是最简分式的是()7.将分约分时，分子、分母同时除以()A.5mB.5mxC.5m8.下列各式中，约分正确的是()10.化简下列分式.612.若分是最简分式，则△表示的整式可能是()A.2a+2bB.a²+b²C.a²+2ab+b²D.(a-b)²A.a+bB.2a+2bC.abD.16.数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，A=2x+2,B=x²-1,请同学们利用两个代数式决问题.17.我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如：,称分是“巧分式”,4x为它的“巧整式”.根据上述定义，解决下列问题.(2)若分m为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为x-7,求m的值.①求整式A.72.B4.B5.2(答案不唯一)7.D∴b=1.故答案为1.10.解析816.解析(1)A+B=2x+2+x²-1=x²+2x+1=(x+1)²,∵(x+1)²≥0,∴A+B的最小值为0.解得x=2或x=3.17.解析(1)①,是“巧分式”.②不能约分，不是“巧分式”.③是“巧分式”.故答案为①③.(2)∵分(m为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为x-7,是“巧分式”.分式与分式方程第2节：分式的运算知识点(1)两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。(2)两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。(3)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。(4)根据分式的基本性质，异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程称分式的通分。(5)异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母(简称最简公分母)作为它们的公共分母。(6)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算。注意：不管分式的乘除还是加减，都记的要约分，化成最简分式或整式。练习题第1课时分式的乘除与乘方1.化简的结果是()A.a²B4.计算2的结果是()A.2m²n⁶B.4m²n⁶C.4m²n³DA.x-2B.x(x-2)C7.陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”.过程如图：丁丙整个游戏过程，负责的那一步出现了错误.8.计算.③②10.佳琪在做作业时发现一道题有一部分被墨滴遮住了，如图所示.(1)佳琪猜测，墨滴遮住的内容是“2a”,请你根据佳琪的猜测完成计算.通过计算说明墨滴遮住的内容是什么.程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的倍.法取得的结果”.请对淇淇的说法进行说理。16.现有两块钢板，甲钢板是半径为(a-1)m(a>1)的圆，如图1,乙钢板是半径为am的圆去掉中间半径为1m的小圆后剩下的圆环部分，如图2.(1)在钢板的外圈围上一圈铁片，甲、乙钢板所围铁片的总价分别为18元和42元，乙钢板所围铁片每米的价格是甲钢板所围铁片每米价格的2倍，求a的值.(2)当压力F(N)一定时，物体所受的压强p(Pa)与受力面积S(m²)的关系式).现测试甲、乙两块钢两块钢板施加相同的压力F(N),受力面积均为钢板的面积.①甲钢板所受的压强p甲=_Pa,乙钢板所受的压强pz=__Pa.第2课时同分母分式的加减A.3B.xC.2.化的结果是()A.x+1B.xC.x-13.下列计算正确的是()ABA②6.如图，一个正确的运算被盖住了一部分，则被盖住的部分是()9.定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”,这个常数称为A关于B的“雅中值”.例如分式则A是B的“雅中式”,A关于B的“雅中值”为4.(1)若分式,请判断C是不是D的“雅中式”.若是，请求出C关于D的“雅中值”;若不是，请说明理由.(2)已知分式1是N的“雅中式”,且M关于N的“雅中值”为3,试用含x的式子表示E.第3课时异分母分式的加减A.4m²B.4m³8.已知等式”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是10.先化简，再求值.A.a-bB.a+b12.如果,那么代数式A与B之间的关系是()A.A+B=0B.A=BC.A13.定义：若两个分式A与B满足|A-B|=3,则称A与B这两个分式互为“美妙分式”,且a,b均为不等于0的实数，则分16.小明在探究并联电路的总电阻时，发现总电阻R(Ω)的倒数等于各并联电阻R1,(1)请用含R和R₁的式子表示R₂.(2)若R₁1,R₂均为正整数，探究R₁,R₂的值分别为多少时，总电阻R恰好为2Ω.17.已知a>b>0.,判断M与N的大小并证明.7.请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成任务.任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值.任务三：根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议.17.先化简，再求值：18.先化简，再求值：,其中a,b满足3ab-3b²-2=0.(1)化简A.(2)若x的值刚好使分的值为0,求A的值.21.先化简，再求值：中x与1,3为△ABC的三边长，且x为整23.先化简,再从1,2,3三个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值.24.先化简)÷,再从3,-3,-1,2中选一个合适的数作为x的值代入求值.的值.26.阅读理解.【提出问题】已,求分的值.参数k,得出x,y,z与k的关系，然后再代入待求的分式化简即可.(1)【解决问题】设则x=4k,y=3k,z=2k,将它们分别代中并化简，可 28.在一条河里，甲、乙两船从A港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为v₁,乙船在静水中的速度为v₂,水流速度为vo(v₁>V₂>Vo>0),甲、乙两船是否同时返回A港?为什么?答案2分式的运算2.D5.A,丁负责的那一步错误.∴游戏过程中，乙、丁负责的那一步出现了错误.故答案为乙、丁.9.解析15.解析(1).又∵≠0.,∴墨滴遮住的内容是2a²-2a.16.解析(1)设甲钢板所围铁片每米价格为x元，则乙钢板所围铁片每米价格为2x元，由题意解得a=7.(2)①甲钢板所受的压Pa.乙钢板所受的压强即第2课时同分母分式的加减7.3(答案不唯一)8.解析当x=-3时，原式=2×(-3)²=2×9=18.∴C是D的“雅中式”,C关于D的“雅中值”为1.(2)∵M是N的“雅中式”,且M关于N的“雅中值”为3,第3课时异分母分式的加减3.解析(1)分与.的最简公分母是a²b²,(2)∵x²-y²=(x+y)(x-y),x²∴两分式的最简公分母是x(x+y)(x-y),9.解析(1)15.解析(1)原∴结果不会等于0.16.解析(1)由题意可17.解析(1)证明：∵a>b>0,m>0,∴a-第4课时分式的运算5.解析6.解析7.解析任务一：四；分式的基本性质.当x=-3时，原式=-3+2=-1.任务三：答案不唯一，如去括号时不要漏乘，注意变号，结果要化成最简分式或整式.12.解析14.解法15.解析16.解析18.解析(2)∵分的值为0,20.解析25.解析【解法一】变形代入法：【解法二】设参数法：设a=3k,b=2k(k≠0),则26.解析(1)∵x=4k,y=3k,z=2k,27.解析(1)当x=1时，答：当x为非负整数时，y的整数值为0或2.28.解析甲、乙两船不能同时返回A港.知识点(1)分母中含有未知数的方程叫分式方程。(2)若方程的解使原分式方程的分母为零，把这样的解叫做原方程的增根，此方程无解。注意：解分式方程不能忘了检验。2.用A,B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨化工原料所用时间与B货车运输300吨化工原料所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为A.BCD3.某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵.若设原计划种植人数为x,则下列方程正确的是()DABDA4.马拉松不仅是一项体育赛事，更是融合历史、健康、文化等多维度的社会活动.在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙30米，已知乙的平均速度为2.8米/秒，若甲计划跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒?设甲接下来的平均速度为x米/秒，则下列方程正确的是()5.斐波那奇编写的如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得钱数与第一次相同，求第一次分钱的人数.设第一次分钱的人数为x,则可列方程为6.小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百千米的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百千米的耗电费.设纯电汽车每百千米的耗电费为x元，可列分式方程为7.东营是一个富饶美丽的地方，是黄河入海之地.它有中国暖温带保存最完整、最广阔、最年轻的湿地生态系统，其中著名的黄河三角洲湿地被人们誉为“鸟类的国际机场”.九年级(1)班的学生周末从学校出发至黄河入海口研学，两地相距180千米.一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达.已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，若设慢车的速度为x千米/时，则可列方程为第2课时分式方程的解法1.将分式方去分母后得到的整式方程为()A.x+1=2xB.x+2=1C.1=2xD.x=2(2.已知x=3是关于x的方的解，则m=()3.若关于x的方有增根，则增根为()5.方的解为7.小颖在解分式方时，△处被污染看不清，但正确答案是此方程无解.请你帮小颖解答一下△处的数应是·8.解分式方程.②下面是小丽同学解这个方程的部分过程.(1)小丽第二步在方程的两边同乘2(x-2),这样做的依据是__(填序号).①等式的基本性质；②分式的基本性质；③因式分解.(2)请将解方程的过程补充完整.10.关于x的分式方的解是正数，则a的取值范围是()A.a<-1且a≠-2B.a≠1C.a>-1且a≠013.定义一种新运算，对于任意非零实数a,b满足,若的值为14.照相机成像应用了一个重要原理，即(v≠f),其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.一架照相机f已固定，那么就要依靠调整u,v来使成像清晰.(1)用焦距f=40mm的相机，拍摄到镜头的距离u=0.2m的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离v是多少?的分式方程的一个“关联数对”.例如：a=2,b=-5时，关于x的分式方的解是x=一1.赛龙舟是端午节的重要习俗之一，蕴含着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A,B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的1.25倍，A队比B队提前25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为()ABAB对气缸顶部的活塞加压，当气缸内气体的体积减小20%时加压前气缸内气体的体积为xml,则可列方程为()A3.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为()尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何?”其大意是：现在有绫布和罗布共3丈(1丈