高二数学上学期期末真题分类汇编《数列》含答案

高中数学专题06数列（4种经典基础练+4种优选提升练）数列的概念（共13题）一、单选题1．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．2．（22-23高二上·天津和平·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足，则第六层球的个数为（

）A．28 B．21 C．15 D．103．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知数列，根据该数列的规律，8是该数列的（

）A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项4．（23-24高二上·云南昆明·期末）在数列中，若，，，则（

）A．2 B．1 C．0 D．5．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列的前项和，则（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）数列的递推公式可以是（

）A． B．C． D．7．（22-23高二上·北京·期末）如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（

）①若数列满足，则该数列是等比差数列；②数列是等比差数列；③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④8．（23-24高二上·河南开封·期末）某汽车集团从2023年开始大力发展新能源汽车，2023年全年生产新能源汽车2000辆，每辆车的利润为1万元.如果在后续的几年中，经过技术不断创新，后一年新能源汽车的产量都是前一年的，每辆车的利润都比前一年增加1000元，则生产新能源汽车6年的时间内，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去，参考数据：）（

）A．2.291亿 B．2.59亿 C．22.91亿 D．25.9亿二、多选题9．（23-24高二上·内蒙古·期末）数列的通项公式可能是（

）A． B．C． D．10．（22-23高二下·辽宁·期中）如果数列为递增数列，则的通项公式可以为（

）A． B． C． D．11．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知无穷数列，．性质，，；性质，，，下列说法中正确的有（

）A．若，则具有性质sB．若，则具有性质tC．若具有性质s，则D．若等比数列既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为三、填空题12．（22-23高二上·上海奉贤·期末）数列满足，若，则．13．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列的通项公式为，则的最小项的值为．等差数列（共17题）一、单选题1．（23-24高二上·天津·期末）若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则（

）A．10 B．8 C．6 D．43．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的通项公式，其前项和为，则取最小值时的值为（

）A．1012 B．1013 C．1014 D．10154．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（

）A．144 B．120 C．108 D．966．（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（

）A．27 B．31 C．35 D．39二、多选题7．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）A．数列是递增数列 B．C．数列的最小项为 D．数列是等差数列8．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题9．（23-24高二上·山东青岛·期末）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯组建的学派，他们长把沙滩上的沙粒或者小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究，如图，图形中的圆点数分别是1、5、12、22…，以此类推，第五个图形对应的圆点数为．10．（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则的值为．11．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则.12．（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则.四、解答题13．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和为，再从条件：①，②，③中选择两个作为已知，并完成解答.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前10项的和．14．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，.(1)若，求证：为等差数列.(2)求数列的前项和.15．（23-24高二上·福建南平·期末）已知数列为等差数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.16．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）（1）已知等差数列中，，，求．（2）已知数列的前项和为，且，求和．17．（23-24高二上·江苏镇江·期末）记数列的前n项和为，对任意满足：，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，，求的值．等比数列（共15题）一、单选题1．（23-24高二上·广东·期末）等比数列中，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·天津·期末）已知数列是等比数列，且，，则（

）A． B． C．或 D．或3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列为等比数列，公比为q，前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（

）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）A．42 B．43 C．35 D．495．（22-23高二上·浙江绍兴·期末）已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（

）A． B．C． D．6．（22-23高二上·广东深圳·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大值 D．7．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．二、多选题8．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（

）A． B．C． D．9．（23-24高二上·山东临沂·期末）设数列的前项和为的前项和为，满足，且且，则（

）A．是等差数列 B．时，的最大值为26C．若，则数列是递增数列 D．若，则10．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，下列命题正确的有（

）.A．若为等差数列，则一定是等差数列B．若为等比数列，则一定是等比数列C．若，则一定是等比数列D．若，则一定是等比数列三、填空题11．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知等比数列满足，，则．12．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）在数列中，，则与的等比中项为．13．（23-24高二上·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为.四、解答题14．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知数列中，，（，），且是和的等差中项．(1)求实数的值；(2)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式．15．（24-25高二上·广东江门·期末）已知等差数列和等比数列满足，，，，设数列的公比为.(1)求数列，的通项公式；(2)若，为数列的前项和，求.数学归纳法（共4题）一、单选题1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（

）A．1项 B．项 C．项 D．项二、多选题2．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知数列中，，，则下列结论正确的是（

）A．当时，数列为常数列B．当时，数列单调递减C．当时，数列单调递增D．当时，数列为摆动数列3．（23-24高二上·江苏无锡·期末）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了“数学之美”．斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列满足：，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．是奇数三、解答题4．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，.(1)求，，；(2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.数列求和的常用方法（共10题）一、填空题1．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为.2．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知数列满足．且，若，则．3．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知等差数列公差，由中的部分项组成的数列为等比数列，其中．则数列的前10项之和为．4．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知数列各项均为，在其第项和第项之间插入个，得到新数列，记新数列的前项和为，则，.5．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的前项和为，，，，则满足的正整数的所有取值为.6．（23-24高二上·江西宜春·期末）已知正项数列的前n项和满足（n为正整数），则；记，若函数的值域为，则实数k的取值范围是．7．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式，令，则数列的前n项和.二、解答题8．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知数列中．(1)证明：数列是等比数列；(2)若数列的通项公式为，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．9．（23-24高二上·安徽合肥·期末）对每个正整数是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点．(1)证明：；(2)取，并记，求数列的前项和．10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和，数列满足：b1=3,bn+1=2(1)证明：是等比数列；(2)设数列的前项和为，且cn=(−1)n2a(3)设数列满足：dn=an+1求数列通项的常用方法（共7题）一、填空题1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，若，则．2．（23-24高二上·福建福州·期末）瑞典数学家科赫在1904年构造能描述雪花形状的图案，就是数学中一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边数为，面积为，若正三角形的边长为，则=；

=.二、解答题3．（23-24高二上·河北承德·期末）已知正项数列满足，数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)证明：．4．（23-24高三上·安徽·期末）在数列中，，，且数列是等比数列．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，证明：．5．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层球数构成一个数列.(1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式；(2)记等比数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.6．（23-24高二上·江苏常州·期末）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于4，则称这个数列为“数列”.(1)已知等差数列的首项为1，其前项和满足对任意的都有，若数列为“数列”，求数列的通项公式；(2)已知等比数列的首项和公比均为正整数，若数列为“数列”，且，，设，若数列也为“数列”，求实数的取值范围.7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为．(1)求的值；(2)求出的通项公式；(3)设曲线在点处的切线斜率为，求证：．数列新定义（共7题）一、多选题1．（23-24高二上·江苏南京·期末）设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（

）A．B．C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数等于4044二、填空题2．（23-24高二上·山东菏泽·期末）如果数列满足以下两个条件，称该数列为“闭数列”.（1）已知数列各项均为正数，且单调递增；（2）数列的前项组成的集合记为，对于任意，如果、，则.已知数列为“闭数列”，且，则.3．（23-24高二上·北京顺义·期末）在数列中，若，（，，p为常数），则称为“等方差数列”，给出以下四个结论：①不是等方差数列；②若是等方差数列，则（，k为常数）是等差数列；③若是等方差数列，则（，k、l为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列.其中所有正确结论的序号是.三、解答题4．（23-24高二上·山东青岛·期末）在通信技术中由和组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个序列的长度如是一个长度为10的序列长为的序列中任何两个不相邻的序列个数设为，长度为的序列为：，，都满足数列，长度为且满足数列的序列为：，，10，．(1)求，(2)求数列中，，的递推关系(3)记Sn是数列的前项和，证明：为定值．5．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或(1)已知，数列，写出的所有“相邻数列”；(2)已知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数；(3)已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值．6．（23-24高二上·北京顺义·期末）设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”.(1)判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由；(2)设是等差数列，其首项.公差.且是“M数列”①求d的值和数列的通项公式：②设，直接写出数列中最小的项.7．（23-24高二上·广西玉林·期末）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，.(1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式；(2)若数列是“数列”，是否存在正整数，使得,若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.数列不等式（共7题）一、填空题1．（23-24高二上·吉林·期末）已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17其中正确命题的序号为.2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知数列的通项公式，记为在区间内项的个数，则；使得不等式成立的的最小值为．3．（23-24高二上·海南·期末）在数列中，.若对任意的，不等式恒成立，则实数二、解答题4．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．

(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，）6．（23-24高二下·贵州黔南·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”．(1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围．(2)是否存在首项为−2的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．(3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由．7．（22-23高二上·北京·期末）设满足以下两个条件的有穷数列,,…,为阶“Q数列”：①；②．(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q数列”；(2)若2018阶“Q数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；(3)记n阶“Q数列”的前k项和为，求证．

专题06数列（4种经典基础练+4种优选提升练）数列的概念（共13题）一、单选题1．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据递推公式逐项计算可得出的值.【详解】因为数列满足，，则，.故选：A.2．（22-23高二上·天津和平·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足，则第六层球的个数为（

）A．28 B．21 C．15 D．10【答案】B【分析】利用递推公式进行累加法求解.【详解】由题意得，，，，，以上式子累加可得，因为，所以，故选:B.3．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知数列，根据该数列的规律，8是该数列的（

）A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项【答案】A【分析】观察各项根据规律即可求解.【详解】，由此可知数列的规律是前后两项的比值为定值，故所以8是该数列的第7项，故选:A4．（23-24高二上·云南昆明·期末）在数列中，若，，，则（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再由此求出.【详解】在数列中，，则，因此数列数列的周期为3，所以.故选：D5．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列的前项和，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过赋值即可求解.【详解】由题意令，可得：，故选：B6．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）数列的递推公式可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，由此可以得到递推公式，得出结果.【详解】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误；观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，所以递推公式为，故C正确，D错误.故选：C.7．（22-23高二上·北京·期末）如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（

）①若数列满足，则该数列是等比差数列；②数列是等比差数列；③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】B【分析】根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列即可可得到答案.【详解】①数列满足，则，满足等比差数列的定义，故①正确；②数列，，不满足等比差数列的定义，故②错误；③设等比数列的公比为，则，满足等比差数列，故③正确；④设等差数列的公差为，则，故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；故答案为：①③④故选：B.8．（23-24高二上·河南开封·期末）某汽车集团从2023年开始大力发展新能源汽车，2023年全年生产新能源汽车2000辆，每辆车的利润为1万元.如果在后续的几年中，经过技术不断创新，后一年新能源汽车的产量都是前一年的，每辆车的利润都比前一年增加1000元，则生产新能源汽车6年的时间内，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去，参考数据：）（

）A．2.291亿 B．2.59亿 C．22.91亿 D．25.9亿【答案】B【分析】由题意可求得第n年每辆车的利润为万元，第n年新能源汽车的销量，从而利用错位相减法法求出6年的总利润.【详解】设第n年每辆车的利润为万元，则每辆车的利润构成首项为1，公差为的等差数列，所以，设第n年新能源汽车的销量为辆，则该汽车的销量构成首项为2000，公比为的等比数列，所以，设该汽车集团销售新能源汽车的总利润为S万元，则①，②，①﹣②得，所以万元即亿元，所以该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为亿元.故选：B【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据题意抽象出两个数列，再利用错位相减法即可得解.二、多选题9．（23-24高二上·内蒙古·期末）数列的通项公式可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】只需把分别代入数列通项公式检验即得.【详解】对于A项，分别把代入，即得，故A项正确；对于B项，把代入即得，与数列不符，故B项错误；对于C项，分别把代入，即得，故C项正确；对于D项，把代入即得，与数列不符，故D项错误.故选：AC.10．（22-23高二下·辽宁·期中）如果数列为递增数列，则的通项公式可以为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据作差法即可判断BCD，举反例即可判断A.【详解】对于A，当，故不是递增数列，故A不符合，对于B，，故是递增数列，故B符合，对于C,，故为递增数列，,C符合，对于D,，故为递增数列，D符合,故选：BCD11．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知无穷数列，．性质，，；性质，，，下列说法中正确的有（

）A．若，则具有性质sB．若，则具有性质tC．若具有性质s，则D．若等比数列既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为【答案】BCD【分析】根据性质的定义可判断选项A；根据性质的定义可判断选项B；根据性质的定义可得，，利用累加法可证选项C；对于D，结合选项C，可得，由满足性质，分和讨论求出，再由满足性质得，令，结合函数单调性可验证满足题意.【详解】对于A，因为，对，，即，所以不具有性质，故A错误；对于B，，对，，，，故B正确；对于C，若具有性质，令，则，即，，，又，所以，，故C正确；对于D，是等比数列，设其公比为，又，，若满足性质，由选项C得，即，，，由，，得，当时，得，即，对，又，，当时，不妨设，则，，解得，，综上，若满足性质，则.若满足性质，对，，，可得，即，令，则，又，所以函数在上单调递增，又由满足性质，，成立，所以等比数列既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为.故D正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：选项C，由题意可得，，累加法可得，结合，可判断；选项D，由满足性质，结合选项C得，分和讨论恒成立求出，又由满足性质，得，令，结合函数单调性可验证满足题意.三、填空题12．（22-23高二上·上海奉贤·期末）数列满足，若，则．【答案】2【分析】由递推公式即可求解【详解】由，可得，故答案为：213．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列的通项公式为，则的最小项的值为．【答案】【分析】利用二次函数的性质求最小项．【详解】因为函数的对称轴是，时取得最小值，而中，，时，，时，，所以中的最小项的值为．故答案为：．等差数列（共17题）一、单选题1．（23-24高二上·天津·期末）若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列前项和公式以及通项的性质，即可得出结果.【详解】由题知，设等差数列公差为，因为，所以，则由，得，又，得，所以，则当取得最小值时，.故选：C2．（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】根据条件，利用等差数的性质即可求出结果.【详解】由，得到，即，所以，故选：D.3．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的通项公式，其前项和为，则取最小值时的值为（

）A．1012 B．1013 C．1014 D．1015【答案】A【分析】根据给定条件，确定数列的单调性，再求出的的最大值即得.【详解】数列的通项公式，显然数列是递增数列，由，得，而，因此数列的前1012项均为负数，从第起为正，所以取最小值时的值为1012.故选：A4．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果.【详解】，数列是以为公差的等差数列，，数列是以为公差的等差数列，.故选：B.5．（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（

）A．144 B．120 C．108 D．96【答案】B【分析】根据等差数列的前项和性质解题即可.【详解】记为等差数列的前项和,则也是等差数列.由于，则成等差数列.则，解得.则成等差数列．故，则.故选：B.6．（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（

）A．27 B．31 C．35 D．39【答案】C【分析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可.【详解】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为，则，解得，所以该问题中老人长子的岁数为35.故选：C二、多选题7．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）A．数列是递增数列 B．C．数列的最小项为 D．数列是等差数列【答案】AD【分析】利用可得，由可判断A；求出可判断B；利用配方法求最值可判断C；利用等差数列的定义可判断D.【详解】当时，，当时，，且，所以，对于A，时，，所以数列是递增数列，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，因为，所以当或时，最小，为，所以数列的最小项为或，故C错误；对于D，因为，且当时，，当时，，所以数列是以为首项1为公差的等差数列，故D正确.故选：AD.8．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用等差数列的性质及求和公式计算即可一一判定选项.【详解】由，得，故A、B正确；因为，所以公差.故C错误，D正确.故选：ABD三、填空题9．（23-24高二上·山东青岛·期末）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯组建的学派，他们长把沙滩上的沙粒或者小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究，如图，图形中的圆点数分别是1、5、12、22…，以此类推，第五个图形对应的圆点数为．【答案】【分析】根据给定条件，探求相邻两个图形对应圆点数的变化规律求解即得.【详解】依题意，由第一、二、三、四个图形的圆点数知，后面图形比相邻前一个图形多的圆点数依次为4，7，10，从第二个图形起，多的圆点数构成以4为首项，3为公差的等差数列，因此第五个图形的圆点数比第四个图形多13个，所以第五个图形对应的圆点数为.故答案为：3510．（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则的值为．【答案】3【分析】根据等差数列下标和性质运算求解.【详解】由题意可得：，则，所以.故答案为：3.11．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则.【答案】【分析】利用计算可得答案.【详解】因为，所以，所以，故.故答案为：.12．（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则.【答案】116【分析】为首项为2，公差为6的等差数列，利用等差数列求通项公式求出答案.【详解】与的所有公共项由小到大构成一个新的数列为，故为首项为2，公差为6的等差数列，所以，所以.故答案为：116四、解答题13．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和为，再从条件：①，②，③中选择两个作为已知，并完成解答.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前10项的和．【答案】(1)(2)68【分析】（1）根据所选条件，求出等差数列的首项和公差，可求数列通项；（2）由数列中各项的符号，利用分组求和求数列的前10项的和．【详解】（1）设等差数列的公差为，若选择①②，由①，②，则等差数列首项，公差，；若选择①③，由①，③，则，公差，所以等差数列首项，公差，；若选择②③，由②，③，得，所以等差数列首项，公差，；（2）令，得，则前2项为负数，从第3项起为正数，.14．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，.(1)若，求证：为等差数列.(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证；（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得.【详解】（1）因为，所以，即，，又，所以是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）可得，则，所以，所以.15．（23-24高二上·福建南平·期末）已知数列为等差数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）把等差数列中的项用基本量和表示，列方程组求解即可.（2）用裂项相消直接求解即可.【详解】（1）设数列的首项为，公差为，依题意得：解得：故.所以数列的通项公式为：.（2）由（1）知：，所以，.16．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）（1）已知等差数列中，，，求．（2）已知数列的前项和为，且，求和．【答案】（1）（2），.【分析】（1）利用等差中项的性质可求得的值，可求得等差数列的公差，进而可求得的值；（2）利用求出数列的通项公式，进而可求得的值.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，由等差中项的性质可得，可得，故，所以，；（2）因为数列的前项和，当时，，当时，，适合上式，故，．17．（23-24高二上·江苏镇江·期末）记数列的前n项和为，对任意满足：，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，，求的值．【答案】(1)，(2).【分析】（1）利用时，及等差数列的通项公式即可求解；（2）去绝对值后，利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】（1）因为，所以当时，，即，因为，所以，当时，，又，所以，化简得，即，即，所以，因为，所以，即，所以是首项，公差的等差数列，所以，故数列的通项公式；（2）因为，，所以，因为，所以，所以，所以，故.等比数列（共15题）一、单选题1．（23-24高二上·广东·期末）等比数列中，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，进而求出首项即可得解.【详解】依题意，等比数列的公比，则，解得，因此，所以.故选：B2．（23-24高二上·天津·期末）已知数列是等比数列，且，，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根据等比中项求出，再根据等比数列的奇数项同号即可确定的值.【详解】设等比数列的公比为，，，，，又，.故选：B.3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列为等比数列，公比为q，前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等比数列的定义和数列单调的定义求解即可.【详解】因为数列为等比数列，公比为q，前n项和为，若，即，则，即数列是单调递增数列；若数列是单调递增数列，则，所以；所以“”是“数列是单调递增数列”的充要条件.故选：C.4．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（

）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）A．42 B．43 C．35 D．49【答案】A【分析】由题意得感染人数形成等比数列，然后利用等比数列求和公式列不等式，结合指对互化解不等式即可求解.【详解】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，由，可得，两边取对数得，所以，所以，故需要的天数约为.故选：A5．（22-23高二上·浙江绍兴·期末）已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式确定正确答案.【详解】设等比数列的首项为，公比为，A选项，时，，图象符合.B选项，时，，图象符合.C选项，时，，图象符合.D选项，由图可知，都是负数，所以，但图象显示时，或为正数，矛盾，所以D选项图象不符合.故选：D6．（22-23高二上·广东深圳·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大值 D．【答案】C【分析】由已知结合等比数列的性质检验各选项即可判断.【详解】因为等比数列满足，又，所以，A错误；，即,B错误；当时，，当时，，即是数列中的最大值，C正确；由题意得，，则,D错误.故选：C.7．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由已知可求得，为奇数时，，根据单调性可得：，为偶数时，，根据单调性可得：，可得的最大值与最小值分别为2，，考虑到函数

在上单调递增，即可得出结论．【详解】等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，解得，所以，当为奇数时，，易得单调递减，且，所以；当为偶数时，，易得单调递增，且，所以．所以的最大值与最小值分别为2，．函数在上单调递增，所以．．所以的最小值．故选：B．【点睛】思路点睛：由已知条件求得等比数列的前n项和，通过分类讨论并利用函数单调性求得的最大值和最小值，再由函数在上单调递增且，可求取值范围.二、多选题8．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据题意，结合等比数列的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由等比数列的首项为，公比为，对于A中，若，可得，所以为递减数列，所以A错误；对于B中，若，可得，所以为递增数列，所以B正确；对于C中，若，可得，所以为递减数列，所以C错误；对于D中，若，可得，所以为递增数列，所以D正确.故选：BD.9．（23-24高二上·山东临沂·期末）设数列的前项和为的前项和为，满足，且且，则（

）A．是等差数列 B．时，的最大值为26C．若，则数列是递增数列 D．若，则【答案】ABD【分析】对于A，首先得，根据之间的关系得，由此即可判断；对于B，令，解不等式即可判断；对于C，由举出反例即可判断；对于D，代入即可验算.【详解】对于A，由题意，解得，所以，，当时，，当时，有，故，故A正确；对于B，令，解得，故B正确；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则，故D正确.故选：ABD.10．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，下列命题正确的有（

）.A．若为等差数列，则一定是等差数列B．若为等比数列，则一定是等比数列C．若，则一定是等比数列D．若，则一定是等比数列【答案】AC【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解A，举反例即可求解BD，根据的关系，结合等比数列的定义即可求解C.【详解】对于A，设等差数列的公差为，则，则，同理可得，所以，所以，，仍为等差数列，故A项正确；对于B,取数列为，1，，1，，，，不能成等比数列，故B项不正确；对于C，由可得时，，相减可得（），由可得，因此对任意都成立，故是等比数列，C正确，对于D，由可得，相减可得，若，不是等比数列，故D错误．故选：AC．三、填空题11．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知等比数列满足，，则．【答案】12【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算即可.【详解】等比数列满足，，由，得.故答案为：1212．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）在数列中，，则与的等比中项为．【答案】【分析】根据等比中项的性质即可得出答案.【详解】设与的等比中项为，则.故答案为：13．（23-24高二上·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为.【答案】【分析】变形得到，故为公比为2的等比数列，从而得到通项公式.【详解】，又，故为公比为2的等比数列，故，所以.故答案为：四、解答题14．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知数列中，，（，），且是和的等差中项．(1)求实数的值；(2)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式．【答案】(1)(2)证明见解析，【分析】（1）根据题意可得，再由是和的等差中项建立等式即可求解；（2）构造数列，根据等比数列定义及通项公式求解化简即可.【详解】（1）根据题意有，因为是和的等差中项，所以，解得．（2）由（1）知，所以，又，所以（常数），所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列．则，所以．15．（24-25高二上·广东江门·期末）已知等差数列和等比数列满足，，，，设数列的公比为.(1)求数列，的通项公式；(2)若，为数列的前项和，求.【答案】(1)，.(2)【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解；（2）由（1）得到，再利用等比数列的前n项和公式求解.【详解】（1）解：设的公差为，由，得，又，得，联立解得，或，因为，故舍去，所以，.（2）由（1）有，因为，所以数列是以首项为4，公比为的等比数列...数学归纳法（共4题）一、单选题1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（

）A．1项 B．项 C．项 D．项【答案】D【分析】分别计算出和的项数，进而作差即得结论．【详解】因为，所以，共项，则共项，所以比共增加了项，故选：D二、多选题2．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知数列中，，，则下列结论正确的是（

）A．当时，数列为常数列B．当时，数列单调递减C．当时，数列单调递增D．当时，数列为摆动数列【答案】ABC【分析】求出数列各项的值，可判断A选项；利用数列的单调性可判断B选项；利用数学归纳法推导出，结合数列的单调性可判断C选项；取，求出数列各项的值，可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，由可得，，，，以此类推可知，对任意的，，此时，数列为常数列，A对；对于B选项，当时，则，此时，数列单调递减，B对；对于C选项，因为，，且，则，猜想，，，当时，猜想成立，假设当时，猜想成立，即，则当时，，因为，则，则函数在上单调递增，所以，，即成立，由数学归纳法可知，对任意的，，所以，，此时，数列单调递增，C对；对于D选项，当时，取，则且，则，，，，以此类推可知，当且时，，即，此时，数列不是摆动数列，D错.故选：ABC.【点睛】方法点睛：判断数列单调性的方法有：（1）利用数列对应的函数的单调性判断；（2）对数列的前后项作差（或作商），利用比较法判断.3．（23-24高二上·江苏无锡·期末）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了“数学之美”．斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列满足：，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．是奇数【答案】ACD【分析】根据递推公式判断选项A，利用累加判断选项BC，利用数学归纳法证明结论3的倍数项为偶数，其他项为奇数证明选项D.【详解】对A：由，可得，即有，故A正确；对于B：由题意，，，，以上式子累加得：，故B不正确；对于C：因为，则，则，故C正确；对于D：根据通项公式可得斐波那契数列为，3的倍数项为偶数，其他项为奇数，下面用数学归纳法证明：①当，2，3时，，，满足规律，②假设当，，时满足为偶数，，为奇数，③当，，时，，因为，为奇数，所以为偶数，，因为为奇数，为偶数，所以为奇数，，因为为奇数，为偶数，所以为奇数，故3的倍数项为偶数，其他项为奇数得证，2024项是非3的倍数项，故D正确；故选：ACD【点睛】方法点睛：本题A选项的判断比较常规，选项BC的关键是要通过适当的变形然后利用累加法判断，选项D根据数列规律猜想3的倍数项为偶数，其他项为奇数，利用数学归纳法证明.三、解答题4．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，.(1)求，，；(2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）首先根据题意得到，再求，，即可.（2）首先猜想数列的通项公式为，再利用数学归纳法证明即可.【详解】（1）由可知，当时，代入，解得；当时，代入，解得；当时，代入，解得；（2）猜想数列的通项公式为.当时，左边，右边，成立.（2）假设当时，成立.则当时，有，即当时，也成立.所以对任何都成立.数列求和的常用方法（共10题）一、填空题1．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为.【答案】【知识点】求等差数列前n项和、倒序相加法求和【分析】利用倒序相加法可得到，即可求得前16项的和.【详解】，①，②两式相加，又因为，故，所以，所以的前16项的和为故答案为：2．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知数列满足．且，若，则．【答案】2024【知识点】由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和【分析】利用构造法与迭代法求得，从而利用并项求和法即可得解.【详解】因为，所以，又，则，所以，故，则，所以，则的各项分别为，所以.故答案为：2024【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将推递关系式化得，从而求得，由此得解.3．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知等差数列公差，由中的部分项组成的数列为等比数列，其中．则数列的前10项之和为．【答案】【知识点】分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和【分析】由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，求得，进而得到的公比和通项公式，求得，由等比数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】由题意可得，，成等比数列，即有，由等差数列的通项公式可得，解得，则，由的公比，则，可得，则数列的前10项之和为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查等差等比数列通项及求和公式，理解的含义是本题关键.4．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知数列各项均为，在其第项和第项之间插入个，得到新数列，记新数列的前项和为，则，.【答案】【知识点】数列综合、分组（并项）法求和【分析】将数列各项排成三角数阵，确定的位置，可得出的值，确定数列的前项中，项的值为、的项数，即可求得的值.【详解】由题意，将数列各项按如下数阵排列：其中第行有项，则该数阵中第行最后一项对应数列中的对应的第项，因为，且，所以，位于数阵的第行第项，故，数列的前项中，项的值为的共项，项的值为的项共项，因此，.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查数列求和与求某项的问题，解题的关键就是确定各项的位置，以及数列中各项的值，对于这种有规律性的数列问题，可以将其转化为三角数阵，确定相应项的位置即可.5．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的前项和为，，，，则满足的正整数的所有取值为.【答案】、【知识点】求等比数列前n项和、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和【分析】由题意可知，数列中的奇数项和偶数项分别成等差数列和等比数列，根据为奇数和偶数分别利用求出，结合单调性代值计算可得结果.【详解】当为奇数时，，所以，数列中的奇数项构成以为首项，公差为的等差数列，当为偶数时，，所以，数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列，所以数列中的每一项均为整数，故数列为递增数列，当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则，因为，，，，因此，满足的正整数的所有取值集合为.故答案为：、.【点睛】关键点点睛：本题的解决关键是，分析得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列与等比数列，从而得解.6．（23-24高二上·江西宜春·期末）已知正项数列的前n项和满足（n为正整数），则；记，若函数的值域为，则实数k的取值范围是．【答案】【知识点】根据值域求参数的值或者范围、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】因式分解即可求出，再利用求出数列的通项公式，由裂项相消求和法计算可得.设函数，将函数写出分段函数，根据函数的值域为R和极限的思想可得当时、当时，解不等式即可求解.【详解】因为，所以，又因为是正项数列，所以，即，当得，当得，经检验符合上式，所以.所以.设函数，当时，；同理可得，当时，，当时，，当时，，当时，，即，其中，由函数的值域为R知，当时，，所以，即，解得；当时，，所以，即，解得，综上，实数k的取值范围为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是将函数转化为分段函数，利用函数的值域确定关于k的不等式即可求解，其中涉及到极限思想以及数列的求通项公式和求和知识点，平时练习都要熟练应用.7．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式，令，则数列的前n项和.【答案】.【知识点】裂项相消法求和、构造法求数列通项、由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式【分析】利用比例的性质与待定系数法，解方程可得，从而利用构造法求得；再利用裂项相消求和法求得，从而得解.【详解】依题意，设，，，又，又，，所以，解得，则，即有，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，则；所以，则数列的前n项和.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题第2问解决的关键是观察，发现其可以裂项展开，从而得解.二、解答题8．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知数列中．(1)证明：数列是等比数列；(2)若数列的通项公式为，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．【答案】(1)证明见解析(2)1【知识点】数列不等式恒成立问题、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、由递推关系证明等比数列【分析】（1）变形给定等式，利用等比数列定义推理即得.（2）由（1）求出，再利用错位相减法求和，结合恒成立即可求解.【详解】（1）当时，，则，即，又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1）知，，，则，两式相减得，因此，而，则，又恒成立，因此，所以最小的整数为1.9．（23-24高二上·安徽合肥·期末）对每个正整数是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点．(1)证明：；(2)取，并记，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】分组（并项）法求和、根据韦达定理求参数、求等比数列前n项和、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题【分析】（1）设直线，联立方程结合韦达定理分析证明；（2）根据抛物线的定义结合（1）可得，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解.【详解】（1）由题意可知：抛物线的焦点F0,1，且直线的斜率存在，设直线，联立方程，消去y得，可得，所以.

（2）因为，由（1）可得，则，可得，设数列的前项和为，则，所以.【点睛】关键点点睛：利用韦达定理证明关系，并根据抛物线的定义求.10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和，数列满足：b1=3,bn+1=2(1)证明：是等比数列；(2)设数列的前项和为，且cn=(−1)n2a(3)设数列满足：dn=an+1【答案】(1)证明见解析；(2)Tn(3)证明见解析.【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）根据满足的递推公式，结合等比数列定义即可证明；（2）根据与的关系求得，结合（1）中所证求得，再利用裂项求和法求即可；（3）求得的通项公式，采用分组求和，利用裂项求和以及错位相减法，结合适度放缩，即可求证.【详解】（1）因为，故可得，因为，故数列为首项，公比2的等比数列.（2）因为，故可得当时，；当时，；综上所述：；由（1）可得：，故；故；当为偶数时，；当为奇数时，；故.（3）由题可得设；设记则，，，则，故.【点睛】关键点点睛：本题综合考察数列知识的应用和掌握；（1）解决第二问的关键是，裂项的处理，以及对为奇数和偶数时，不同的处理手段；（2）解决第三问的关键是能够合理利用分组求和，并且对进行放缩；属综合困难题.求数列通项的常用方法（共7题）一、填空题1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，若，则．【答案】【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项【分析】用累乘法，结合余弦函数的周期性求解.【详解】因为的最小正周期为，且余，由已知可得，故答案为：.【点睛】关键点点睛：数列中带有三角函数且求数列中较大的某一项时，通常想到用周期函数的性质求解.2．（23-24高二上·福建福州·期末）瑞典数学家科赫在1904年构造能描述雪花形状的图案，就是数学中一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边数为，面积为，若正三角形的边长为，则=；

=.【答案】【知识点】求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、累加法求数列通项【分析】根据图形，得出成等比数列，从而可得通项公式，再由图形的形成过程得出边长也成等比数列，而是在的基础上每条边向外增加一个小正三角形，由此可得面积间的关系，利用累加法求得通项公式．【详解】由题意，，，即是等比数列，公比是4，所以，设雪花曲线的边长为，则，，所以，因为，当时，，所以．故答案为：；.【点睛】方法点睛：本题考查归纳猜想，考查数列的应用，解题方法是观察图形，通过图形的形成归纳总结出与的关系：边数间的关系，边长的关系，面积的关系，从而利用数列的知识求得结论．二、解答题3．（23-24高二上·河北承德·期末）已知正项数列满足，数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)，(2)证明见解析【知识点】累乘法求数列通项、数列不等式恒成立问题、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）利用对数运算，得，再运用累乘法可求，由与的关系可得，则时，数列是以为首项的常数列，可求的通项公式；（2）利用错位相减法求，从而得证.【详解】（1）因为，且，所以，所以，即，所以．当时，所以，所以．因为，所以，所以．也符合上式，所以．当时，．因为，所以当时，，所以当时，，即，所以当时，数列是以为首项的常数列，即（），所以（），所以的通项公式为（2）因为，所以，两式相减得，所以．【点睛】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.4．（23-24高三上·安徽·期末）在数列中，，，且数列是等比数列．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、等比数列的定义【分析】（1）结合题意，借助等比数列定义计算即可得；（2）借助两次错位相减法计算即可得，即可得证.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，则，即，，即，又，故有，解得，故，；（2），则，，有，即，令，则，则有，即有，即，故，又，故.5．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层球数构成一个数列.(1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式；(2)记等比数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【知识点】累加法求数列通项、错位相减法求和、由递推关系式求通项公式、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）根据题意得到，，再利用累加法即可得解；（2）利用与的关系，结合为等比数列求得，进而利用等差数列的通项公式求得，再利用错位相减法即可得解.【详解】（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数，所以有，又，所以.（2）由，得，两式相减得，则，因为为等比数列，则公比为，当时，，解得，，则，，，，，则，两式相减，得，.【点睛】关键点点睛：本题第2小题解决的关键是利用等差数列的通项公式求得，从而得解.6．（23-24高二上·江苏常州·期末）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于4，则称这个数列为“数列”.(1)已知等差数列的首项为1，其前项和满足对任意的都有，若数列为“数列”，求数列的通项公式；(2)已知等比数列的首项和公比均为正整数，若数列为“数列”，且，，设，若数列也为“数列”，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】写出等比数列的通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、根据数列的单调性求参数、数列新定义【分析】（1）通过题干所给不等式可求出的范围，在根据，得出，进而求出（2）通过判断数列的单调性可得：要对恒成立，只需，从而求出，同理判断数列的单调性可得：要对恒成立，只需，从而求出的范围.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，由，得.由题意得，对均成立，当时，上式成立.当时，，又，等差数列的通项公式为.（2）等比数列得，由于数列为“数列”，且为正整数，，.在数列中，为最小项，由数列为“数列”可知，要对恒成立，只需.又，即.，，，，，.当，时，，则.令.数列为递增数列，即.若数列是“数列”，则对任意的都有，即对任意的恒成立，即，解得.7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为．(1)求的值；(2)求出的通项公式；(3)设曲线在点处的切线斜率为，求证：．【答案】(1)，；(2)；(3)证明见解析.【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据规律填写数列中的某项【分析】（1）根据给定条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，计算作答.（2）令为数列的前n项和，利用与表示出点的坐标，代入曲线方程即可得与的关系，再利用递推关系求出通项.（3）由（2）求出点的横坐标，利用导数的几何意义求出，再利用裂项相消法求和即得.【详解】（1）依题意，为正三角形，且，观察图象得，而点在曲线上，即，解得，为正三角形，且，点在曲线上，，整理得，解得，所以，.（2）令为数列的前n项和，是正三角形，点，，于是点在曲线上，则，即，当时，，两式相减得：，整理得，则，而满足上式，因此，，即数列是首项为，公差的等差数列，，所以数列的通项公式是.（3）由（2）知，当时，，则点的横坐标，显然满足上式，因此，由求导得，，于是，当时，，所以.【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．数列新定义（共7题）一、多选题1．（23-24高二上·江苏南京·期末）设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（

）A．B．C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数等于4044【答案】AD【分析】先由条件分类讨论得到，，再利用等比数列的性质即可求解.【详解】，，，同号，且或，若，则不同号；若，则，不满足要求；故可得，，故A正确；，且，可得，故B错；，又，且最大，故C错；，且为等比数列，由等比数列的性质可得，，使成立的最大自然数等于4044，故D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于推得，进而得到，从而得解.二、填空题2．（23-24高二上·山东菏泽·期末）如果数列满足以下两个条件，称该数列为“闭数列”.（1）已知数列各项均为正数，且单调递增；（2）数列的前项组成的集合记为，对于任意，如果、，则.已知数列为“闭数列”，且，则.【答案】【分析】利用“闭数列”的定义结合累加法可求出的值，再次利用“闭数列”的定义结合累加法可求出的值.【详解】因为数列为“闭数列”，且，由题意得，，，……，，等式两边叠加，即，所以，，同理可得，，，……，，等式两边叠加得，即，所以，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用“闭数列”的新定义，充分利用累加法，转化为关系与某些特殊项的方程进行求解.3．（23-24高二上·北京顺义·期末）在数列中，若，（，，p为常数），则称为“等方差数列”，给出以下四个结论：①不是等方差数列；②若是等方差数列，则（，k为常数）是等差数列；③若是等方差数列，则（，k、l为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列.其中所有正确结论的序号是.【答案】②③【分析】根据等方差数列定义可判断①③；根据等方差数列定义结合等差数列的定义判断③④.【详解】对于①，时，为常数，故是等方差数列，①错误；对于②，若是等方差数列，即有，（，，p为常数）则为常数，故（，k为常数）是等差数列，②正确；对于③，若是等方差数列，即有，（，，p为常数），则，故为常数，则（，k、l为常数）也是等方差数列，③正确；对于④，若既是等方差数列，又是等差数列，则时，，且（d为常数），则，当时，则为常数列，满足是等方差数列，若，则不为等比数列，④错误；故答案为：②③【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解等方差数列的定义，明确其含义，并由此结合等差数列以及等比数列的定义求解即可.三、解答题4．（23-24高二上·山东青岛·期末）在通信技术中由和组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个序列的长度如是一个长度为10的序列长为的序列中任何两个不相邻的序列个数设为，长度为的序列为：，，都满足数列，长度为且满足数列的序列为：，，10，．(1)求，(2)求数列中，，的递推关系(3)记Sn是数列的前项和，证明：为定值．【答案】(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据已知得到，然后分类讨论最后一个数求解即可；（2）考虑长度为的序列最后一个数，观察即可求得递推关系；（3）根据前两问求得，证明数列是常数列即可．【详解】（1）由题意知，长为3的序列中任何两个不相邻的序列为：，所以.设长为的序列中任何两个不相邻的序列有个，考虑最后一个数：若最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个；若最后一位是，则倒数第二位是，只要前位任何两个不相邻即可，满足要求的序列有个，所以；（2）考虑长度为的序列最后一个数：若最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个；若最后一位是，则倒数第二位是，只要前位任何两个不相邻即可，则满足要求的序列有个，所以；（3）由（2）知，，所以，所以，所以数列是常数列，所以为定值.【点睛】方法点睛：在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和.5．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或(1)已知，数列，写出的所有“相邻数列”；(2)已知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数；(3)已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值．【答案】(1)；；；.(2)11个(3)37【分析】（1）根据相邻数列的概念直接求解即可；（2）任取的一个“相邻数列”，根据相邻数列的概念可得且，对于的取值分情况讨论，利用为递增数列可得是公差为1的等差数列，列不等式组求解即可；（3）令可得对任意，设，证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，进而根据定义求解即可.【详解】（1）根据“相邻数列”的概念可知，，或，或，所以的所有“相邻数列”有；；；.（2）任取的一个“相邻数列”，因为或，或，所以有且，对于的取值分以下4种情形：（a），（b），（c），（d）由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到，所以只需考虑第4种情形，递增，，即，由是递增的整数数列得，从而是公差为1的等差数列，于是，则，即满足数列的有11个.（3）令，所以对任意，设，则且，先证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，若，令，则，由得，所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合．若，令，则，由得，所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合，因此，的分布只可能是如下三种情况：（i），此时，对任意的，由得，所以对任意的，注意到，所以，等号当且仅当时取到；（ii）存在整数，使得对任意的，对任意的，所以（iii）．此时，对任意的，与情形1类似，对任意的，注意到，所以，综上，的最小值为．【点睛】思路点睛：根据“相邻数列”的定义，按照或分类讨论不同情形，结合数列的定义求解即可.6．（23-24高二上·北京顺义·期末）设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”.(1)判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由；(2)设是等差数列，其首项.公差.且是“M数列”①求d的值和数列的通项公式：②设，直接写出数列中最小的项.【答案】(1)不是，理由见解析(2)①，；②【分析】（1）直接由“M数列”的定义进行判断即可.（2）①由题意关于的方程即恒有正整数解，结合数论知识即可求解出；②由题意得，故当当时或当时，取最小值.【详解】（1）数列不是“M数列”，理由如下：∵，当时，，此时找不到，使得.所以数列不是“M数列”.（2）①是等差数列，且首项，公差，则，故对任意，总存在，使得成立，则，其中为非负整数，要使，需要恒为整数，即d为所有非负整数的公约数，又，所以，所以.②∵，所以.由的单调性知在为减函数，在为增函数，当时，；当时，.所以，当时，有最小值.即数列中最小的项为.【点睛】关键点睛：第二问的关键是得到关于的方程恒有正整数解，由此得出，从而顺利得解.7．（23-24高二上·广西玉林·期末）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，.(1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式；(2)若数列是“数列”，是否存在正整数，使得,若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据且数列为“数列”可知，，即，判断数列为等差数列，从而求得通项公式；（2）结合题中定义可求得，不等式化为，利用得，利用得，从而解得不等式组即可.【详解】（1