专题04平行线拐点模型综合压轴（期中真题）北京专用人教版七年级数学下册 含答案

/专题04平行线拐点模型综合压轴（期中真题汇编，北京专用人教版）七年级数学下学期一、解答题

1.如图，直线MN∥PQ，直线l与MN，PQ分别交于点G，H，∠GHP=α(0∘<α<90∘)．将一个含30∘角的直角三角板ABC按如图1放置，使点B，C在直线（1）如图1，∠MDB=________．（用含（2）直线AC分别与直线MN，PQ交于点F，E．

①如图2，作∠CFN的平分线FK交直线PQ于点K，若恰有FK // GH，求α的度数；

②从图1的位置开始，将三角板ABC沿直线l

2.如图，过点P作直线分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFC的角平分线交直线AB于点M，射线MP交直线CD于点N．设∠EPN=x∘，∠PEB=y（1）x=___________，y=___________，（2）求证：AB∥（3）过点P作直线QR分别交直线AB于点Q，交直线CD于点R，且Q不与M重合，R不与N重合．作∠MQR的角平分线交线段MF于点S，直接写出∠FSQ与

3.下图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出∠AOB=60∘（1）①如图1，点O在一条格线上，当∠1=22∘时，∠2=_____°；

②如图2，点（2）在图3中，小明作射线OC，使得∠COB=40∘．记OA与图中一条格线形成的锐角为α，OC与图中另一条格线形成的锐角为β，请直接用等式表示

4.如图，直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点M为两平行线内部一点，∠MEA和∠MFC（1）直接写出∠P与∠M的数量关系；（2）点G是射线FD上的一个点（不与点F重合），连接EG，EH平分∠MEG交射线FD于点H，作HN∥EP交直线AB于点N．

①补全图形；

②用等式表示∠

5.问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”为主题开展数学活动．

操作发现：

（1）如图1，小文把三角尺的30∘角的顶点E放在CD上，若∠2=（2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，

①在图2的基础上，∠AEF与∠CGF的角平分线交于点M，若∠AEF=60∘，请画出图形并直接写出∠CGM的度数________；

②在图2的基础上，小亮把三角尺60∘角的顶点放在点F处，即∠PFQ=60∘．如图3，FM平分∠EFP交直线AB于点M，FN平分∠QFG交直线

6.直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分∠MND．（1）如图1，若MR平分∠EMB，则MR∥NP．请你把下面的解答过程补充完整：

解：∵AB∥CD（已知）

∴∠EMB=∠END(________)

∵MR平分∠EMB，NP平分∠MND（已知）（2）如图2，若MR平分∠AMN，则MR与NP（3）如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP

7.如图1，台球比赛中，一个球从桌面上的点A滚向桌边PQ，碰到PQ上的点B后便反弹滚向桌边SR，碰到SR上的点C后再反弹滚向点D．已知PQ∥SR，BN、CM分别平分∠ABC、∠BCD，且在球碰到桌边时始终有BN⊥PQ（1）如果球反弹一次就“落入球网”，即球A滚向桌边PQ上的点B处，直接反弹到R处的球洞中，若∠ABP=40∘，则（2）判断图1中球经过两次反弹后的路径CD与原来的路径AB的位置关系，并证明；（3）如图2，为增加比赛难度，在桌面的转角处放置一个可以转动的小木条GH，从桌边PQ上的点E沿EO方向击中球O后落在小木条上的点F处，再反弹到桌边PQ上的点K处．

已知∠PEF=35∘，∠GHS=α，∠EKF=

8.在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道AB与CD，即AB // CD，将机械臂与轨道AB的接触点记为M，机械臂与轨道CD的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂PM、PQ和QN的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂PM、PQ和QN（1）如图1所示，当机械臂PM∥QN时，证明（2）如图2所示，当∠AMP=30∘，∠QND=45（3）当∠AMP=β(0∘<β<

9.已知AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1=∠（1）如图1，求证：EF∥（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P．

①请你依据题意，补全图形；

10.如图1，将支架平面镜AB放置在水平桌面MN上，激光笔PD与水平天花板EF的夹角(∠EPG)始终为30∘，激光笔发出的入射光线DG射到AB上后，反射光线GH与EF形成∠PHG，由光的反射定律可知，DG，GH与AB的垂线GK所形成的夹角始终相等，即∠（1）∠GHF（2）如图2，点B固定不动，调节支架平面镜AB，调节角为∠ABM．

①若∠ABM=30∘，求∠PHG的度数；

②若反射光线

参考答案与试题解析专题04平行线拐点模型综合压轴（期中真题汇编，北京专用人教版）七年级数学下学期一、解答题1.【答案】90①α=60∘；②【解析】（1）过点B作BL∥PQ，即可得到BL∥PQ∥（2）①过点A作AJ∥MN，可以得到AJ∥MN∥PQ，进而得到∠GDB=∠JAD=90∘−α，∠JAF+∠AFG【解答】（1）解：过点B作BL∥PQ，

∵MN∥PQ，

∴BL∥PQ∥MN，

∴∠HBL=∠BHP=α（2）解：①过点A作AJ∥MN，

∵MN∥PQ，

∴AJ∥MN∥PQ，

∵∠GDB=∠JAD=90∘−α，∠JAF+∠AFG=180∘，

∴∠JAF=∠JAB+∠BAC=90∘−α+30∘=120∘−α，

∴∠NFE=∠AFD=180∘−∠JAB=180∘−(120∘−α)=60∘+α，

又∵FK平分∠NFE，

∴∠NFK=12∠NFE=30∘2.【答案】80；140；140见解析【解析】（1）根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性和二次方的非负性，求出x、y、z的值即可；

=180∘或（2）过P作PH∥AB，根据平行线的判定和性质证明PH∥CD（3）分三种情况：当点Q在线段ME上时，当点Q在点M的左侧时，当点Q在点E的右侧时，分别画出图形，作出辅助线求出结果即可【解答】（1）解：∵(x−80)2+2x−y−20+|y−z|=（2）证明：如图，过P作PH∥AB

∵PH∥AB,

∴∠BEP+∠EPH=180∘,

∵∠BEP（3）解：当点Q在线段ME上时，过点S作ST∥AB,PV∥CD，如图所示：

∴AB∥CD.

：PH∥ABPH∥CD

AB∥CD

ST∥CD,PV∥AB,

∴∠QST=∠SQM,∠FST=∠SFC,∠MQP+∠QPV=180∘,∠CFE+∠FPV=180∘,

∵QS是∠MQP的角平分线，FM是∠PFC的平分线.

∴∠SQM=∠SQP=12∠MQP,∠SFC=∠SFP=12∠CF

∴∠MQP+∠CFE=2∠QST+2∠FST=2(∠QST+∠FST)=2∠FSQ,

∵∠MQP+∠QPV=180∘,∠CFE+∠FPV=1

∠MQP+∠QPV+∠CFE+∠FPV=360∘

∴2∠QST+∠QPV+2∠FST3.【答案】①38；②∠1+∠α−β=【解析】（1）①由平行线的性质∠1=∠3=22∘，所以（2）分两种情况：当射线OC在∠AOB的内部，当射线OC在∠【解答】（1）解：如图：

图1

图2

①如图1：∵格线都互相平行，

∴∠2=∠4∠1=∠3=22∘

∵∠AOB=60∘,

∴∠4=∠AOB−∠（2）解：α+β=100∘或α−β=20∘.

理由：分两种情况：

当射线OC在∠AOB的内部，如图：

∵∠COB=40∘,∠AOB=60∘

∴∠AOC=∠AOB−∠COB=20∘,

∴∠AEF是ΔOEF的一个外角，

∴∠AEF=∠AOC+∠EFO,

∵格线都互相平行，

∴∠EFO=βt

4.【答案】∠∠EGH+【解析】（1）过点P作PT∥AB，过点M作MR∥AB，由平行线及角平分线得到设∠1=∠2=∠3=α，由AB∥MR（2）①依据题意即可补全图形；②由角平分线设∠5=∠8=β，平行得到∠EHN=∠HEP=∠3+∠5=α+β∠EGH=∠【解答】（1）解：过点P作PT∥AB，过点M作MR∥AB

∵AB∥CD,

∴AB∥CD∥PT∥MR,

∴∠1=∠2,

∵EP平分∠AEM,

∴∠1（2）解：①补全图：

②∠EGH+2∠EHN=180∘，理由如下：

证明：EH平分∠MEG,

∴设∠5=∠8=β,

∵HN∥5.【答案】∠①图见详解，∠CGM=15∘【解析】（1）过点G作GM∥AB，则AB∥CD∥GM，有（2）①由(1)得∠AEF+∠CGF=∠EFG，结合三角板的知识得∠CGF=30∘，根据角平分线的性质得∠CGM=【解答】（1）解：过点G作GM∥AB，如图，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥GM，

∴∠1=∠MGD,∠2=∠FGM，

（2）解：①如图，

由(1)得∠AEF+∠CGF=∠EFG，

∵∠AEF=60∘，∠EFG=90∘，

∴∠CGF=30∘，

∵∠AEF与∠CGF的角平分线交于点M，

∴∠CGM=12∠CGF=15∘；

②∠AMF+∠CNF的值不发生变化

过点F作6.【答案】两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；∠MNP互相平行，见解析MR【解析】（1）根据AB∥CD，得出∠EMB=∠END（2）根据AB∥CD，可得∠AMN=∠MND，根据MR平分∠AMN，NP平分（3）根据AB∥CD，得出∠BMN+∠END=180【解答】（1）解：∵AB∥CD（已知），

∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等），

∵MR平分∠EMB，NP平分∠MND（已知），

∴∠（2）解：结论为：MR // NP．

∵AB∥CD，

∴∠AMN=∠END，

∵MR平分∠AMN，（3）解：∵AB∥CD，

∴∠BMN+∠END=180∘，

∵MR平分∠BMN，NP平分∠MND，

∴∠7.【答案】40CD∥75【解析】（1）点C与点R重合，根据邻补角互补，先求得∠ABQ=140（2）根据PQ∥SR可得∠BNC+∠NBM=180∘，然后证得BN∥MC，再根据角平分线的性质，即可得∠ABC=∠DCB，然后根据平行线的判定即可求解；

(3作FM∥PQ，【解答】（1）解：由题可得：点C与点R重合，如图：且∠ABP=40∘，

∴∠ABQ=180∘−∠ABP=180∘−40∘=140∘，

∵BN⊥PQ，

∴∠QBN=90∘，

∴∠ABN（2）解：CD∥AB，理由如下：

∵BN⊥PQ，CM⊥SR，

∴∠NBM=∠NCM=90∘，

∵PQ∥SR，

∴∠BNC+∠NBM=180∘，

∴∠BNC=180∘−∠NBM=180（3）解：作FM∥PQ，NF⊥GH，垂足为F，由题意可得NF为法线，如图：

∵PQ∥SR，

∴FM∥PQ∥SR，

∵∠PEF=35∘，∠GHS=α

∴∠EFM=∠PEF=35∘，∠MFH=∠GHS=α，

∵NF⊥8.【答案】见解析α∠MPQ−β=∠PQN−【解析】（1）延长NQ交AB于E，利用平行线的性质即可求证；（2）分别过点P、Q作EF∥AB,（3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作EF∥AB,【解答】（1）解：证明：如图，延长NQ交AB于E，

∵PM∥QN，

∴∠AMP=∠AEN，

∵AB （2）解：∠PQN=α+15∘；

理由：如图，分别过点P、Q作EF∥AB,GH∥AB，

∵AB // CD，

∴EF∥AB∥GH∥CD，

∴∠AMP（3）解：∠MPQ−β=∠PQN−θ或∠MPQ−β+∠PQN+θ=360∘或∠MPQ+β=∠PQN+θ或∠MPQ+β+∠PQN−θ=360∘；

理由如下：如图2−1，分别过点P、Q作EF∥AB,GH∥AB，

∵AB // CD，

∴EF∥AB∥GH∥CD，

∴∠AMP=∠MPF,∠FPQ=∠PQG,∠GQN=∠QND，

当∠AMP=β(0∘<β<90∘)，∠QND=θ(0∘<θ<180∘)时，

∠PQN=∠PQG+∠GQN

=∠FPQ+∠QND

=∠MPQ−∠MPF+θ

=∠MPQ−β+θ，

∴∠MPQ−β=∠PQN−θ；

如图2−2，分别过点P、Q作EF∥AB,GH∥9.【答案】见解析①见解析；②∠ENF【解析】（1）由平行线的性质得∠1=∠3（2）①依据题意，补全图形即可；

②过点N作NK // CD，则KN // CD // AB，由平行线的性质得到∠KNE=∠4，∠6=∠7，

设∠4【解答】（1）解：证明：∵AB // CD，

∴∠2=∠3，

又∵∠（2）解；①补全图形如图，

②∠ENF=45∘，理由如下，

过点N作NK // CD，

∵AB∥CD，

∴KN // CD // AB，

∴∠KNE=∠4，∠6=∠7，

设∠4=x，∠7=y，

∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM10.【答案】30①90∘

②画图见解析；【解析】