初中数学八年级下册：分式基本性质与约分（核心素养导向教案）

初中数学八年级下册：分式基本性质与约分（核心素养导向教案）

一、教学背景分析

（一）教材分析

本节课“分式的基本性质及约分”是北师大版八年级下册第五章《分式与分式方程》的起始课（第2课时），在整个章中占据着“基石”与“工具”的双重核心地位。【非常重要】从知识体系来看，分式是整式知识的延伸与拓展，是刻画现实世界数量关系的另一种重要模型。分式的基本性质，即“分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，是分式变形的理论依据，与分数的基本性质一脉相承，体现了“数式通性”的数学思想【基础】。而约分，作为分式基本性质最直接的应用，是简化分式、进行分式乘除运算以及后续学习分式方程的基础。能否熟练掌握约分，特别是对分子分母是多项式的分式进行因式分解后再约分，直接关系到学生后续学习的成败，是本章教学成败的关键环节之一【高频考点】【难点】。

（二）学情分析

认知基础：学生在小学阶段已经系统学习了分数的基本性质、约分、通分及分数的加减乘除运算，具备了“数”的运算经验。在七年级和八年级上册，学生学习了整式运算、因式分解（提公因式法、公式法），掌握了“式”的变形技能【基础】。这些都为类比学习分式的基本性质和约分提供了坚实的认知基础和思维支架。

认知障碍：

1.类比迁移的深度：学生容易将分数的基本性质机械地迁移到分式中，但容易忽视从“数”到“式”的飞跃。分数中分子分母同乘或除以的是一个具体的非零数，而分式中则是一个抽象的、需要讨论其是否为零的整式【难点】。

2.因式分解的熟练度：当分式的分子或分母是多项式时，约分的关键在于准确、迅速地对其进行因式分解。部分学生对因式分解的方法掌握不牢，分解不彻底或错误，将直接导致约分错误【高频考点】【难点】。

3.符号处理的敏感性：在约分过程中，特别是当分子或分母的首项系数为负，或者需要提取负号时，学生对符号的处理容易出错，这是运算细节上的一个常见失分点。

（三）核心素养导向

1.数学抽象：通过类比分数的基本性质，从特殊到一般，抽象概括出分式的基本性质，并用符号语言进行表达。

2.逻辑推理：理解分式基本性质中“都”、“同一个”、“不为零”等关键条件的逻辑必然性，并能运用性质进行严谨的变形推导。

3.数学运算：在掌握算理（分式的基本性质）的基础上，能准确、熟练地对分式进行约分，将其化为最简分式或整式，培养规范、细致的运算习惯【重要】。

二、教学目标

1.理解并准确表述分式的基本性质，能熟练运用性质进行等值变形。

2.理解约分和最简分式的意义，明确约分的依据是分式的基本性质，关键步骤是确定分子与分母的公因式。

3.掌握分式约分的一般步骤，能熟练、正确地对分子分母是单项式或多项式的分式进行约分，并确保结果为最简分式或整式【重要】。

4.在类比、探索、应用的过程中，进一步体会“数式通性”、“转化”等数学思想方法，发展数学抽象和逻辑推理能力【核心素养】。

三、教学重难点

教学重点：理解并掌握分式的基本性质，并能运用它进行分式的约分【非常重要】。

教学难点：当分式的分子、分母是多项式时，能准确地进行因式分解，并找出公因式进行约分【难点】。

四、教学实施过程（核心环节）

（一）温故知新，类比引入——搭建“数式通性”的桥梁

1.复习回顾，激活经验：

教师首先展示一组分数等值变形的题目，例如：2/3=()/6，8/12=()/3。提问学生：这是根据什么性质？分数的基本性质是什么？用字母如何表示？

学生活动：回忆并准确表述分数的基本性质：分数的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的数，分数的值不变。

设计意图：通过唤醒学生对分数基本性质的记忆，为本节课的类比学习奠定坚实的认知基础。强调“数”的性质，为迁移到“式”的性质做好铺垫。

2.问题引领，类比猜想：

教师提出问题：分式与分数具有类似的形式，那么分式是否也具有类似的性质呢？请同学们思考并填空：

(1)你认为分式a/(2b)与(a·c)/(2b·c)相等吗？为什么？（引导学生思考c应满足什么条件）

(2)你认为分式a/(2b)与(a÷a)/(2b÷a)相等吗？为什么？（引导学生思考a是否能为0）

学生活动：小组合作讨论，尝试回答问题。在讨论中，学生将初步感知到，要使变形成立，所乘或除以的整式必须不为零，这是保证分式有意义的必要条件。

教师活动：深入到小组讨论中，倾听学生的想法，适时引导，鼓励学生用类比的方法提出猜想。

设计意图：以问题的形式驱动学生思考，让学生经历“观察——类比——猜想”的探索过程。这是培养学生数学抽象和逻辑推理能力的关键步骤。讨论的目的不仅是得出正确结论，更是让学生理解结论背后的逻辑【非常重要】。

3.归纳总结，形成新知：

教师引导学生将上述具体实例一般化，尝试用自己的语言归纳出分式的基本性质。之后，教师进行规范表述，并板书：

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

符号语言：(A/B)=(A×C)/(B×C)，(A/B)=(A÷C)/(B÷C)（其中A、B、C是整式，且C≠0）。

设计意图：从具体到抽象，由学生归纳总结，最终形成严谨的数学定义和符号表达，完成知识的建构过程。板书要突出“都”、“同一个”、“不为零”三个关键词【基础】【重要】。

（二）辨析深化，理解内涵——精准把握性质的关键

1.关键条件辨析【高频考点】：

教师出示一组辨析题，引导学生判断正误，并说明理由。

(1)b/(2a)=(b×m)/(2a×m)（）

(2)x/y=(x²)/(xy)（）

(3)(x+y)/(x-y)=(x+y)²/(x²-y²)（）

学生活动：独立思考并回答问题。第(1)题，学生很容易发现遗漏了“m≠0”的条件。第(2)题，从左到右是分子分母同乘x，但需考虑x是否为0。由于原分式x/y有意义，隐含了y≠0，但x可以等于0。当x=0时，变形不成立，因此该变形不一定正确，需加上x≠0的条件。第(3)题，从右到左是分子分母同除以(x+y)，需保证(x+y)≠0。

教师活动：对每个问题进行深入剖析，特别是第(2)题，要引导学生辨析“隐含条件”与“附加条件”的区别，让学生深刻理解性质中“同一个不等于零的整式”的严谨性。

设计意图：通过反例辨析，让学生对分式基本性质的理解从感性认识上升到理性思考，精准把握其内涵和适用条件，这是避免后续学习中常见错误的重要一环【难点】。

2.符号法则的探究：

教师提出问题：如何不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号？

(1)(-2a)/(3b)(2)(5x)/(-6y)(3)(-m-n)/(m-n)

学生活动：小组合作探究。对于(1)和(2)，学生容易想到利用分式的基本性质，分子分母同乘-1，或者利用“同号得正，异号得负”的符号法则。对于(3)，则需先将分子-(m+n)进行变形。

教师活动：引导学生总结出分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。并强调：处理符号问题的关键是看成一个整体进行变换。

设计意图：符号法则是分式基本性质的重要推论，也是分式变形的常用技巧。通过探究，让学生掌握这一工具，为后续约分和通分扫清障碍【重要】。

（三）类比迁移，探索新知——从分数约分到分式约分

1.情境创设，引出问题：

教师展示：分数的约分。如12/18=(12÷6)/(18÷6)=2/3。提问学生：这个过程叫什么？依据是什么？约去了什么？最终结果叫什么分数？

学生活动：回顾分数约分的概念、依据、关键和最简分数的概念。

教师追问：类比分数，分式应该如何化简？例如，对于分式(2a²b)/(4ab²)，你能对它进行化简吗？依据是什么？

设计意图：再次运用类比思想，将分数的约分自然地迁移到分式的约分，降低学生对新知的陌生感，引导学生自主构建新知。

2.概念建构，明确步骤：

学生活动：尝试化简分式(2a²b)/(4ab²)。一名学生板演，其他学生在练习本上完成。

师生互动：请板演的学生讲解自己的化简过程和依据。学生可能会写出：(2a²b)/(4ab²)=(a)/(2b)（依据分式的基本性质，分子分母同除以2ab）。

教师归纳并板书：

(1)分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

(2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。我们进行约分的目标，就是要把分式化成最简分式或整式【基础】。

(3)关键步骤：确定分子和分母的公因式。

设计意图：让学生在亲身实践中感悟约分的概念和步骤，明确约分的对象（公因式）、依据（分式的基本性质）和目标（最简分式）。教师的归纳起到画龙点睛的作用。

（四）分层递进，范例精析——突破约分的技术难点

例1：单项式型分式的约分

约分：(1)(-16x²y³)/(20xy⁴z)(2)(12a³(b-1))/(18a²(b-1)³)

教师精讲：

(1)引导学生先确定系数部分的最大公约数（16和20的最大公约数是4）。

(2)再确定相同字母因式的最低次幂（x的最低次幂是x，y的最低次幂是y³）。

(3)最后处理符号（将负号提到分式前面）。板书规范解题过程：(-16x²y³)/(20xy⁴z)=-(16x²y³)/(20xy⁴z)=-(4x)/(5yz)【重要】

(4)对于(2)，引导学生将(b-1)看作一个整体因式，确定其最低次幂是(b-1)。然后规范解题。

方法归纳：约分的第一步是“定号”（确定结果的符号），第二步是“定系”（约去系数的最

大公约数），第三步是“定式”（约去相同字母或整体因式的最低次幂）【高频考点】。

例2：多项式型分式的约分【难点】

约分：(1)(a²-4)/(a²+4a+4)(2)(m²-2m+1)/(1-m²)

教师精讲：

(1)引导学生观察分子和分母，它们都不是单项式，是多项式。如何处理？——因式分解。

(2)分子a²-4分解为(a+2)(a-2)，分母a²+4a+4分解为(a+2)²。

(3)找出公因式为(a+2)。

(4)约分得：(a-2)/(a+2)。板书规范过程，并强调因式分解的准确性是约分正确的关键【非常重要】。

(5)对于(2)，引导学生分解：分子(m-1)²，分母(1-m)(1+m)=-(m-1)(1+m)。找出公因式(m-1)。约分后注意符号的处理。板书规范过程：(m²-2m+1)/(1-m²)=(m-1)²/-(m-1)(m+1)=-(m-1)/(m+1)或(1-m)/(m+1)【难点】。

方法归纳：当分式的分子或分母是多项式时，首先要进行因式分解，然后再找公因式进行约分。约分的结果必须是最简分式或整式。

（五）巩固练习，内化提升——在应用中形成技能

1.基础性练习（面向全体，巩固新知）：

约分：(1)(6mn²)/(9m³n)(2)(x²-9)/(x+3)(3)(x²+6x+9)/(x²-9)

学生活动：独立完成，小组内互评，展示交流。

教师活动：巡视指导，重点关注学困生对新知识的掌握情况，及时纠正因式分解或符号处理的错误。选取典型错例进行全班点评，强化正确方法。

2.综合性练习（面向多数，提升能力）：

先化简，再求值：(a²-2ab+b²)/(a²-b²)，其中a=2,b=1。

学生活动：先独立进行化简，然后再代入求值。体会化简对简化运算的作用。

教师活动：引导学生明确，在代数式求值问题中，往往需要先化简再代入，这样可以使计算更加简便。培养学生的优化意识。

3.拓展性练习（面向优生，挑战思维）：

已知x+1/x=3，求(x²)/(x⁴+x²+1)的值。

学生活动：小组合作探究。本题需要先对分式进行变形，联想到将分子分母同时除以x²，构造出x+1/x的形式。

教师活动：适时点拨，引导学生发现将分子分母同除以x²的技巧，然后代入求值。培养学生灵活运用性质和逆向思维的能力。

设计意图：练习的设计遵循由浅入深、循序渐进的原则，既有巩固双基的模仿性练习，又有提高能力的变式练习，还有挑战思维的拓展性练习。通过不同层次的练习，满足不同层次学生的学习需求，让每个学生都能在原有基础上获得发展【重要】。

（六）课堂小结，反思建构

教师引导学生从以下方面进行小结：

1.知识层面：本节课我们学习了哪些核心知识？（分式的基本性质、分式的约分、最简分式）

2.方法层面：我们是怎样得到分式的基本性质的？（类比思想）进行分式约分的关键步骤是什么？（找公因式；遇多项式先因式分解）

3.易错点警示：运用分式的基本性质时要注意什么？（“都”、“同一个”、“不为零”）约分时容易出现哪些错误？（符号问题、分解不彻底）

设计意图：通过小结，帮助学生将所学知识系统化、结构化，提炼数学思想方法，反思学习过程中的困难和收获，形成完整的认知结构。由学生自主总结，教师补充完善。

（七）布置作业，巩固延伸

1.基础作业：完成课本习题5.2第1、2题。要求书写规范，过程完整。

2.拓展作业：思考题——对比分数的约分和分式的约分，它们有哪些相同点和不同点？写一篇100字左右的数学小短文。

3.预习作业：预习下一节“分式的乘除法”，思考分式的乘除运算将如何运用到本节课所学的约分知识。

设计意图：作业分层设计，基础作业面向全体，巩固课堂所学；拓展作业鼓励学有余力的学生进行深度思考和对比归纳，提升数学表达能力；预习作业则为下一节课的学习做好铺垫。

五、板书设计

第五章分式与分式方程

§5.1.2分式的基本性质与约分

一、分式的基本性质

文字语言：分式的分子与分母都乘