青岛版初中数学七年级下册整式的除法教案

青岛版初中数学七年级下册整式的除法教案

一、教学分析

（一）教材内容深度剖析

整式的除法是“整式的乘除”这一核心章节的重要组成部分，在青岛版初中数学七年级下册的教材体系中，它居于承前启后的关键节点。在此之前，学生系统学习了有理数的运算、代数式的初步认识、整式的加减以及同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和整式的乘法，建立了基本的符号意识和运算规则。在此之后，学生将进入分式、方程、函数等更为复杂代数内容的学习。整式的除法作为整式运算的收官之作，其掌握程度直接关系到学生能否顺利实现从整式到分式的认知飞跃，特别是对分式约分与通分、分式方程求解等核心技能的理解与运用。

本节课的内容不仅仅是一个孤立的运算技能，它深刻体现了数学内部的和谐统一与转化思想。除法是乘法的逆运算，这一本质关系在整式范围内得到了完美的延续和体现。同底数幂的除法法则与乘法法则的互逆性，单项式除以单项式、多项式除以单项式对乘法分配律的逆向运用，都充满了逻辑之美。教材通过从具体数字运算到一般字母表示的抽象过程，从简单同底数幂除法到复杂多项式除法的渐进编排，旨在引导学生经历法则的探索、归纳与验证过程，发展学生的抽象概括能力、推理能力和运算能力。

（二）学情精准诊断

教学对象为七年级下学期学生，其认知发展处于具体运算向形式运算过渡的关键期，具备一定的抽象思维能力和类比学习能力，但依然需要具体实例的支撑。

已有的知识储备与积极因素：

1.已熟练掌握有理数的四则运算，具备扎实的数值计算基础。

2.理解字母表示数的意义，熟悉单项式、多项式等基本概念。

3.系统学习了整式的加、减、乘法运算，尤其是整式乘法的相关法则，为学习其逆运算——除法奠定了正向认知基础。

4.具备同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的运算经验，对指数运算规律有初步感知。

5.在以往的学习中，已经历过多次“观察特例—归纳规律—符号表示—验证应用”的探究过程，具备一定的数学探究方法。

可能存在的学习障碍与挑战：

1.思维定势干扰：长期正向思维训练后，逆向思维（除法作为乘法的逆运算）的转换可能不顺畅，尤其在处理多项式除以单项式时，对乘法分配律的逆向运用可能出现困难。

2.运算复杂性增加：相较于整式乘法，除法的运算步骤更为综合，需同时处理系数、同底数幂、以及商中“单独字母”的处理，步骤增多易导致顺序混乱或遗漏。

3.符号处理易错：在含有负系数、负指数的运算中，符号规则的准确应用是持续存在的挑战。

4.法则理解表面化：可能满足于机械记忆运算法则的条文，对其内在的算理逻辑（如为什么同底数幂相除指数要相减）理解不深，导致在复杂或变式情境中无法灵活应用。

5.从“数”到“式”的完全跨越：虽然学过整式乘法，但除法运算中，学生可能仍不自觉地试图回归到具体的数值代入进行验证，对纯符号运算的信心和熟练度有待加强。

（三）核心素养导向的教学目标

基于课程标准的核心理念与学科核心素养的要求，设定如下三维教学目标：

1.知识与技能目标：

1.2.理解并推导同底数幂的除法性质，能用文字语言和数学符号语言准确表述，并会运用该性质进行熟练计算。

2.3.理解并掌握单项式除以单项式的运算法则，能准确、熟练地进行计算，明确运算的步骤与依据。

3.4.理解并掌握多项式除以单项式的运算法则，能将其转化为单项式的除法之和进行计算，并解决相关的简单问题。

4.5.能综合运用整式的加、减、乘、除运算法则进行简单的混合运算。

6.过程与方法目标：

1.7.经历从具体数字运算到抽象字母表示，从特殊案例到一般法则的完整探究过程，体会类比（与数的除法、同底数幂乘法类比）、转化（除法转化为乘法、复杂转化为简单）、归纳等基本数学思想方法。

2.8.通过小组合作、交流辨析，提升数学语言的表达能力和逻辑推理能力。

3.9.在解决实际背景问题的过程中，初步发展数学建模意识。

10.情感态度与价值观目标：

1.11.在探索数学法则的过程中，感受数学知识之间的内在联系（特别是乘除互逆）与逻辑的严谨性，体验数学的理性精神与探索的乐趣。

2.12.通过克服运算中的难点，获得成功的体验，增强学习数学的自信心和克服困难的毅力。

3.13.认识整式运算在解决现实世界和数学内部问题中的价值。

（四）教学重点与难点研判

1.教学重点：同底数幂的除法性质；单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则及其应用。

2.教学难点：多项式除以单项式法则的算理理解与灵活运用；整式除法法则的探究与归纳过程；运算中的符号处理和综合运算顺序。

二、教学策略与资源准备

（一）教学理念与策略选择

本设计秉持“学生为主体，教师为主导，探究为主线，思维为核心”的教学理念，综合运用以下策略：

1.情境—问题驱动教学：创设源于实际和数学内部的有意义问题情境，激发认知冲突，驱动学生主动探究。

2.支架式探究教学：为学生搭建从“已知”到“未知”的认知脚手架。通过设计层层递进的问题串和探究活动，引导学生在独立思考、合作交流中自主建构知识。

3.类比迁移教学：充分利用学生已有的“数的除法”、“整式乘法”等认知基础，通过类比，实现知识、方法和经验的自然迁移。

4.差异化教学：在设计探究任务、例题和练习时，体现层次性，满足不同水平学生的学习需求。通过巡视指导、小组内互助，关注个体差异。

（二）教学方法

启发式讲授法、自主探究法、合作讨论法、练习反馈法有机结合。

（三）教学资源与工具准备

1.多媒体课件（用于呈现问题情境、动态演示算理、展示例题与练习）。

2.交互式白板或黑板（用于板书关键法则、呈现学生探究过程、示范解题步骤）。

3.学案（内含探究任务单、分层练习题、课堂小结框架）。

4.实物投影仪（可选，用于展示学生典型解答过程）。

三、教学实施过程

（一）创设情境，问题导入（预计时间：8分钟）

【教师活动一】

呈现两个关联性问题情境：

情境1（生活化）：学校准备用一批材质均匀的布料制作文艺汇演的旗帜。已知总布料面积为(28x平方y)平方米，若制作每面旗帜需要(4xy)平方米布料，请问可以制作多少面这样的旗帜？

情境2（数学化）：一个长方形的面积为(15a的立方b的平方)，它的宽为(5ab)，请问这个长方形的长是多少？

提问：“如何用代数式表示可以制作的旗帜数量以及长方形的长？”

【学生活动一】

独立思考，列出代数式：(28x平方y)除以(4xy)；(15a的立方b的平方)除以(5ab)。

【教师活动二】

追问：“这些式子是什么运算？与我们之前学过的整式运算有何不同？”引导学生明确这是“整式的除法”。

继续追问：“我们学习过整数的除法、分数的除法，现在面对‘整式的除法’，我们应该如何去研究它？能否从我们最熟悉、最简单的‘整式’部分开始？”引出本节课的核心探究线索：从最简单的同底数幂的除法开始研究。

【设计意图与素养提升】

从现实和几何情境引出数学问题，体现数学源于生活、用于生活，激发学习兴趣。通过对比已有知识，明确新问题的本质，引发认知冲突。教师的追问旨在引导学生建立研究新问题的宏观思路（从简单到复杂），渗透方法论指导，培养“数学抽象”和“逻辑推理”素养。

（二）分层探究，建构新知（预计时间：22分钟）

探究活动一：同底数幂的除法性质

【教师活动一】

搭建探究支架1：请计算下列各式。

(1)10的5次方除以10的2次方；

(2)(-3)的4次方除以(-3)的2次方；

(3)a的5次方除以a的2次方(a不等于0)；

(4)(x+y)的4次方除以(x+y)的2次方(x+y不等于0)。

提问1：你是如何计算的？依据是什么？（引导学生用乘除互逆或约分解释）

提问2：观察计算结果中的底数和指数，与原来算式中的底数、指数相比，有什么变化规律？

提问3：你能用简洁的数学式子表示这个规律吗？

【学生活动一】

独立计算，观察，思考。随后进行小组交流，尝试归纳规律。小组代表发言。

【教师活动二】

组织全班研讨，引导学生用准确的数学语言表述：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即：对于任意非零实数a和任意正整数m，n（m>n），有a的m次方除以a的n次方等于a的(m-n)次方。

强调条件：a不等于0（为什么？）；m，n为正整数，且m>n（为什么？后续可以拓展到m=n或m<n的情形，作为拓展思考）。

引导学生与同底数幂乘法法则进行对比，深化对乘除互逆关系的理解。

探究活动二：单项式除以单项式

【教师活动一】

承接导入问题：现在我们来解决(28x平方y)除以(4xy)。这个除法算式中，被除式和除式都是单项式。

搭建探究支架2：

步骤1：类比数的除法，如(28乘以x平方乘以y)除以(4乘以x乘以y)，可以如何分步处理？（系数与系数，相同字母与相同字母）

步骤2：请尝试计算：(28除以4)乘以(x平方除以x)乘以(y除以y)。

步骤3：每一步运算的依据是什么？系数相除是有理数除法；x平方除以x是同底数幂除法。

【学生活动二】

根据教师引导，尝试完成计算和说理。计算：(28除以4)乘以(x的(2-1)次方)乘以(y的(1-1)次方)=7乘以x乘以1=7x。

理解运算被分解为三个独立的、已会的运算。

【教师活动二】

出示例题：计算(1)6a的立方b的平方除以2ab；(2)-12x的立方y的4次方z除以4x的平方y的4次方。

引导学生完整书写步骤，并总结法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

强调运算顺序和书写规范。通过例题(2)强调符号处理和“只在被除式中含有”的字母z的处理。

探究活动三：多项式除以单项式

【教师活动一】

呈现问题：如何计算(ab+ac)除以a？

搭建探究支架3：

提问1：根据除法与乘法的关系，如果(ab+ac)除以a的商是Q，那么Q应该满足什么等式？（Q乘以a=ab+ac）

提问2：回忆整式乘法，什么样的式子乘以a会等于ab+ac？（(b+c)乘以a=ab+ac）

提问3：由此，你能得到(ab+ac)除以a的结果吗？（等于b+c）

提问4：观察这个计算过程，实际上是做了什么转化？（把(ab+ac)除以a，转化成了(ab除以a)加上(ac除以a)，即用多项式中的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。）

【学生活动三】

跟随教师引导，进行逻辑推理，理解算理。尝试用语言描述这一转化过程。

【教师活动二】

出示例题验证：计算(6xy+8x)除以2x。

让学生先根据上述思路尝试，再讲解。并推广到一般情况：

(am+bm+cm)除以m=(am除以m)+(bm除以m)+(cm除以m)=a+b+c。

归纳法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

强调：每一项都要参与除法运算，不能遗漏；注意每一项除法的符号。

【设计意图与素养提升】

三个探究活动环环相扣，从特殊到一般，从简单到复杂，符合认知规律。通过设置问题串和探究支架，引导学生主动思考、合作交流，亲身经历法则的发现与归纳过程，深刻理解算理。这极大地促进了“逻辑推理”、“数学运算”和“数学抽象”核心素养的发展。类比和转化的思想贯穿始终，帮助学生构建知识网络。

（三）典例精析，深化理解（预计时间：15分钟）

【教师活动一】

呈现系列例题，进行精讲点拨。

例1（巩固单项式除法）：计算

(1)(-15a的平方b的立方c)除以(5ab的平方)

(2)(4乘以10的9次方)除以(-2乘以10的3次方)（渗透科学记数法的运算）

重点分析：(1)中的符号、系数、同底数幂运算、字母c的处理；(2)中将数字部分和10的幂次部分分别处理。

例2（巩固多项式除法）：计算

(1)(9x的平方y-6xy的平方)除以3xy

(2)(3a的立方b-6a的平方b的平方+12ab的立方)除以(-3ab)

重点分析：(1)中每一项分别除以3xy的完整过程，特别是商的每一项的系数和字母指数；(2)中除式为负项时，商的每一项符号的变化规律（“异号得负”）。

例3（综合与易错辨析）：计算

(1)(12a的立方b的平方-8a的平方b的立方)除以4ab的平方

(2)[(-2x的平方y)的平方乘以5xy的平方-15x的4次方y的立方]除以5x的平方y

重点分析：(1)中除式是4ab的平方，提醒学生注意b的指数，防止错误；(2)是乘除混合运算，强调运算顺序（先乘方，再乘除），并示范将复杂的被除式进行化简后再进行除法的策略。

【学生活动】

跟随教师思路，积极思考，回答教师提问，在学案或笔记本上同步练习。鼓励学生上台板演例2(1)和例3(1)，暴露可能存在的错误（如漏项、符号错误、指数计算错误），师生共同评议。

【设计意图与素养提升】

通过典型例题的梯度设置，由浅入深，巩固双基。精讲点拨聚焦于运算的规范性、易错点和策略选择（如先化简再运算）。学生板演与评议环节，能及时反馈学习效果，在纠错中深化理解，提升“数学运算”的准确性和熟练度。

（四）分层练习，巩固提升（预计时间：12分钟）

【教师活动】

发放分层练习任务单。

A组（基础达标）：

1.填空：

(1)x的7次方除以x的4次方=______。

(2)(6a的立方)除以(2a)=______。

(3)(10x的平方-5x)除以5x=______。

2.计算：

(1)(-8m的平方n的平方)除以(4mn)

(2)(4x的平方y-8xy的平方)除以(4xy)

B组（能力提升）：

1.计算：

(1)(3a的平方b-2ab+4a)除以(-a)

(2)[(-3xy)的平方乘以x的立方-2x的平方乘以(3xy的平方)的立方]除以(9x的4次方y的平方)

2.化简求值：[(2x-y)的平方+(2x+y)(2x-y)+4xy]除以(2x)，其中x=1/4,y=-1.

C组（拓展挑战）：

1.已知一个多项式与单项式-7x的5次方y的4次方的积为28x的7次方y的4次方+21x的5次方y的6次方-7x的4次方y的4次方，求这个多项式。

2.已知长方体的体积为(3a的立方b+6a的平方b的平方)立方厘米，它的高为ab厘米，底面积为正方形，求这个正方形的边长。

【学生活动】

根据自身情况，至少完成A组，鼓励完成B组，学有余力者挑战C组。独立完成，教师巡视，针对个别问题指导。完成后，小组内可互相交流B、C组题目的解法。

【教师活动】

巡视中关注共性问题和优秀解法。练习时间结束后，利用投影快速核对A组答案。请学生讲解B组第1题思路，教师点评C组题目的关键点（如第1题实质是多项式除法；第2题需先利用体积和高求底面积，再开方求边长，涉及开方知识）。

【设计意图与素养提升】

分层练习设计尊重学生差异，让所有学生都能获得成功的体验，并在各自基础上得到发展。基础题确保法则的掌握，提升题加强综合运用和逆向思维，挑战题联系旧知并适度拓展，培养分析问题和解决问题的能力。小组交流促进互助学习。

（五）课堂小结，结构化反思（预计时间：3分钟）

【教师活动】

引导学生进行小结，而非教师复述。提问：

1.本节课我们学习了整式除法的哪几种类型？它们的运算法则分别是什么？

2.在探索这些法则的过程中，我们用到了哪些重要的数学思想方法？（类比、转化、从特殊到一般）

3.在进行整式除法运算时，你认为需要特别注意哪些地方？（如：同底数幂除法指数相减的条件；单项式除法中“单独字母”的处理；多项式除法中每一项都要除、符号问题；运算顺序等）

【学生活动】

回顾、思考、回答。尝试用思维导图或列表的方式在学案上整理本节课的知识结构。

【设计意图与素养提升】

引导学生自主回顾、梳理，将零散的知识点系统化、结构化。强调数学思想方法，提升认知层次。反思易错点，促进元认知发展，优化学习策略。

（六）布置作业，延伸学习

1.必做题：教材课后练习对应章节的所有题目。要求书写规范，步骤完整。

2.选做题：（1）查阅资料，了解当同底