2025年倍长中线题库及答案

2025年倍长中线题库及答案已知△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE。求证：BE∥AC。答案：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD。在△ADC和△EDB中，AD=ED（已知），∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD（中线定义），∴△ADC≌△EDB（SAS），∴∠ACD=∠EBD（全等三角形对应角相等），∴BE∥AC（内错角相等，两直线平行）。在△ABC中，AB=7，AC=5，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围。答案：延长AD至E，使DE=AD，连接BE。∵AD是中线，∴BD=CD。在△ADC和△EDB中，AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE=AC=5（全等三角形对应边相等）。在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE（三角形三边关系），即7-5<2AD<7+5，∴2<2AD<12，解得1<AD<6。已知△ABC中，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，延长AD至F，使DF=AD，连接CF。求证：CF⊥AB。答案：延长AD至F，使DF=AD，连接CF。∵AD是中线，∴BD=CD。在△ADB和△FDC中，AD=FD，∠ADB=∠FDC，BD=CD，∴△ADB≌△FDC（SAS），∴AB=FC（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠FCD（对应角相等）。在△ABC中，∠BAC=120°，∴∠ABC+∠ACB=60°（三角形内角和）。由∠ABD=∠FCD，得∠FCD+∠ACB=∠ABC+∠ACB=60°，则∠FCB=∠FCD+∠ACB=60°。过C作CG⊥AB于G，在Rt△BCG中，∠GCB=90°-∠ABC。需证CF⊥AB，即证∠CFB=90°，或通过角度关系推导：∵AB=FC（已证），∠BAC=120°，∠ABC=θ，则∠ACB=60°-θ，∠FCD=θ（由全等），∠FCB=θ+(60°-θ)=60°，∠FCG=∠FCB+∠BCG=60°+(90°-θ)=150°-θ，而∠BAC=120°，∠ABC=θ，故∠BAG=60°（补角），在△AFG中，需结合其他条件，更简捷的方法是：由△ADB≌△FDC，得∠BAD=∠CFD（对应角相等），∠BAD=120°-∠CAD，而∠CFD+∠AFC=180°，但更直接的是：AB∥FC（内错角相等？需调整）。正确思路应为：∵△ADB≌△FDC，∴∠BAD=∠CFD，又AD延长至F，故∠BAD+∠FAB=180°，而∠CFD+∠AFC=180°，若∠FAB=90°，则∠CFD=90°，即CF⊥AB。实际更严谨的证明：由∠BAC=120°，AD是中线，倍长后FC=AB，∠FCD=∠ABD，在△ABC中，AB/sin∠ACB=AC/sin∠ABC=BC/sin120°，在△FBC中，FC=AB，BC=BC，∠FCB=∠FCD+∠ACB=∠ABD+∠ACB=∠ABC+∠ACB=60°（因∠ABD=∠ABC），故△FBC中，∠FCB=60°，FC=AB，BC=BC，由余弦定理：FB²=FC²+BC²-2·FC·BC·cos60°，而AB²=AC²+BC²-2·AC·BC·cos∠ACB（原△ABC中），结合AC=FB（？需重新整理）。更简单的方法是：∵△ADB≌△FDC，∴∠BAD=∠CFD，设∠BAD=α，则∠CFD=α，∠CAD=120°-α，在△ADC中，∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=180°-(120°-α)-∠ACD=60°+α-∠ACD，而∠FDC=∠ADC（对顶角），在△FDC中，∠FCD=∠ABD=β（设∠ABD=β），则∠CFD=180°-∠FDC-∠FCD=180°-(60°+α-∠ACD)-β，又∠ACD=60°-β（因∠ABC+∠ACB=60°，∠ABC=β），代入得∠CFD=180°-60°-α+(60°-β)-β=180°-α-2β，而α+β=∠BAC=120°？不，α=∠BAD，β=∠ABD，在△ABD中，α+β+∠ADB=180°，可能此路复杂，换用向量法：设D为原点，B(-1,0)，C(1,0)，A(x,y)，则AD中点坐标为(x/2,y/2)，延长AD至F使DF=AD，则F(-x,-y)，AB向量为(-1-x,-y)，CF向量为(-x-1,-y)，AB·CF=(-1-x)(-x-1)+(-y)(-y)=(x+1)²+y²>0，不垂直，说明原题条件可能需调整，正确条件应为∠BAC=90°，此时：当∠BAC=90°，A(x,y)，则AB向量=(x+1,y)，CF向量=(-x-1,-y)，AB·CF=-(x+1)²-y²≠0，仍不垂直，可能原题结论应为CF=AB且∠ACF=90°，正确题目应调整为：“已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，延长AD至F使DF=AD，连接CF，求证：CF=AB且CF⊥AC”，此时：△ADB≌△FDC，AB=FC，∠BAD=∠CFD，∠BAC=90°，AD是中线，故AD=BD=CD，∠BAD=∠ABD，∠CFD=∠ABD，∠ACF=∠ACD+∠DCF=∠ACD+∠BAD（因△ADB≌△FDC，∠DCF=∠ABD=∠BAD），而∠ACD+∠ABD=90°（△ABC中），故∠ACF=90°，即CF⊥AC。在△ABC中，AD、BE为中线，交于点G（重心），延长AD至M使DM=GD，延长BE至N使EN=GE，连接MN。求证：MN=BC且MN∥BC。答案：∵G是重心，∴AG=2GD，BG=2GE（重心性质）。延长AD至M使DM=GD，则AM=AG+GD+DM=2GD+GD+GD=4GD，同理，延长BE至N使EN=GE，则BN=BG+GE+EN=2GE+GE+GE=4GE。连接MC、NC：在△BDG和△CDM中，BD=DC（AD是中线），GD=DM（已知），∠BDG=∠CDM（对顶角），∴△BDG≌△CDM（SAS），∴BG=CM，∠GBD=∠MCD（全等三角形对应边、角相等），故CM∥BG（内错角相等）。同理，在△AEG和△CEN中，AE=EC（BE是中线），GE=EN（已知），∠AEG=∠CEN（对顶角），∴△AEG≌△CEN（SAS），∴AG=CN，∠GAE=∠NCE（全等三角形对应边、角相等），故CN∥AG（内错角相等）。∵AG∥CN，BG∥CM，且AG与BG交于G，CN与CM交于C，∴四边形GMCN为平行四边形（两组对边分别平行），∴MN=GC，MN∥GC。又G是重心，GC=(2/3)CF（F为AB中点），但需直接关联BC：由△BDG≌△CDM，得CM=BG=(2/3)BE，同理CN=AG=(2/3)AD，在△MNC和△GBC中，CM=BG，CN=AG，∠MCN=∠BGC（平行四边形对角相等），但更简捷的方法是：∵DM=GD，AD是中线，BD=DC，∴向量DM=向量GD，向量AD=向量AG+向量GD=2向量GD+向量GD=3向量GD，向量AM=向量AD+向量DM=3向量GD+向量GD=4向量GD，同理向量BN=4向量GE，向量MN=向量AN-向量AM=（向量AB+向量BN）-向量AM，因向量AB=向量AC+向量CB，向量BN=2向量BE（BE是中线，向量BE=(向量BC+向量BA)/2），计算较复杂，换用坐标法：设B(0,0)，C(2,0)，A(2a,2b)，则D(1,0)（BC中点），E(a+1,b)（AC中点）。重心G坐标为((2a+0+2)/3,(2b+0+0)/3)=((2a+2)/3,2b/3)。延长AD至M使DM=GD：AD从A(2a,2b)到D(1,0)，向量AD=(1-2a,-2b)，GD=D-G=(1-(2a+2)/3,0-2b/3)=((1-2a)/3,-2b/3)，故DM=GD=((1-2a)/3,-2b/3)，M=D+DM=(1+(1-2a)/3,0-2b/3)=((4-2a)/3,-2b/3)。延长BE至N使EN=GE：BE从B(0,0)到E(a+1,b)，向量BE=(a+1,b)，GE=E-G=(a+1-(2a+2)/3,b-2b/3)=((a+1)/3,b/3)，故EN=GE=((a+1)/3,b/3)，N=E+EN=(a+1+(a+1)/3,b+b/3)=((4a+4)/3,4b/3)。计算MN的坐标差：N-M=((4a+4)/3(4-2a)/3,4b/3(-2b/3))=((6a)/3,6b/3)=(2a,2b)。BC的坐标差：C-B=(2,0)，显然MN=(2a,2b)，BC=(2,0)，需调整坐标设定使结论成立，正确设定应为A(0,2b)，B(-2,0)，C(2,0)，则D(0,0)（BC中点），E(1,b)（AC中点），G为重心，坐标((-2+2+0)/3,(0+0+2b)/3)=(0,2b/3)。AD从A(0,2b)到D(0,0)，延长AD至M使DM=GD：GD=D-G=(0-0,0-2b/3)=(0,-2b/3)，故DM=GD=(0,-2b/3)，M=D+DM=(0,-2b/3)。BE从B(-2,0)到E(1,b)，向量BE=(3,b)，GE=E-G=(1-0,b-2b/3)=(1,b/3)，EN=GE=(1,b/3)，N=E+EN=(2,4b/3)。MN的坐标差：N-M=(2-0,4b/3(-2b/3))=(2,2b)，BC的坐标差=(2-(-2),0-0)=(4,0)，仍不相等，说明原题结论应为MN=(2/3)BC，可能题目条件需调整为延长AD至M使AM=2AG（即DM=AG），此时：AG=2GD，AM=2AG=4GD，DM=AM-AD=4GD-3GD=GD，与原题一致，可能正确结论应为MN∥BC且MN=(2/3)BC，需重新验证。四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，延长AB、CD分别交EF的延长线于M、N。求证：∠AME=∠CNE。答案：连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG。∵E是AD的中点，G是BD的中点，∴EG是△ABD的中位线，EG∥AB且EG=(1/2)AB（三角形中位线定理）。同理，F是BC的中点，G是BD的中点，∴FG是△BCD的中位线，FG∥CD且FG=(1/2)CD（三角形中位线定理）。∵AB=CD（已知），∴EG=FG（等量代换），∴△EFG是等腰三角形，∠GEF=∠GFE（等边对等角）。∵EG∥AB，∴∠AME=∠GEF（同位角相等）。∵FG∥CD，∴∠CNE=∠GFE（同位角相等）。∴∠AME=∠CNE（等量代换）。在△ABC中，AD是中线，∠BAD=∠C，AB=3，AC=4，求BC的长。答案：延长AD至E，使DE=AD，连接BE。∵AD是中线，BD=CD，在△ADC和△EDB中，AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE=AC=4，∠E=∠CAD（全等三角形对应边、角相等）。设∠BAD=∠C=α，∠CAD=β，则∠BAC=α+β，∠ABC=180°-α-β-α=180°-2α-β（三角形内角和）。由∠E=β（已证），在△ABE中，∠ABE=∠ABC+∠EBC，而∠EBC=∠C=α（△ADC≌△EDB，∠EBD=∠ACD=α），故∠ABE=180°-2α-β+α=180°-α-β=∠BAC（因∠BAC=α+β，180°-α-β=180°-∠BAC）。在△ABE和△BAC中，AB=3，BE=4，AC=4，AB=3，∠ABE=∠BAC（已证），由正弦定理：在△ABE中，AB/sin∠E=BE/sin∠BAC，即3/sinβ=4/sin(α+β)①；在△ABC中，AC/sin∠ABC=AB/sin∠C，即4/sin(180°-α-β)=3/sinα，即4/sin(α+β)=3/sinα②。由①得：sin(α+β)=(4/3)sinβ，由②得：sin(α+β)=(4/3)sinα，故(4/3)sinβ=(4/3)sinα，即sinα=sinβ，∴α=β或α=180°-β（舍去，因α+β<180°），故α=β，∠BAC=2α。在△ABC中，由余弦定理：BC²=AB²+AC²-2·AB·AC·cos∠BAC=9+16-24cos2α=25-24(2cos²α-1)=25-48cos²α+24=49-48cos²α。在△ABD中，AD是中线，BD=BC/2=x，AD=y，由余弦定理：AB²=AD²+BD²-2·AD·BD·cos∠ADB，即9=y²+x²-2xycos∠ADB③；AC²=AD²+CD²-2·AD·CD·cos∠ADC，即16=y²+x²-2xycos∠ADC④。∵∠ADB+∠ADC=180°，∴cos∠ADC=-cos∠ADB，③+④得：25=2y²+2x²，即y²+x²=12.5⑤。在△ABE中，AE=2y，由余弦定理：AE²=AB²+BE²-2·AB·BE·cos∠ABE，即4y²=9+16-24cos(180°-∠BAC)=25+24cos∠BAC（因cos(180°-θ)=-cosθ），而∠BAC=2α，cos∠BAC=2cos²α-1，故4y²=25+24(2cos²α-1)=25+48cos²α-24=1+48cos²α⑥。由⑤得y²=12.5-x²，代入⑥：4(12.5-x²)=1+48cos²α，50-4x²=1+48cos²α，48cos²α=49-4x²⑦。又BC=2x，BC²=4x²=49-48cos²α（由之前BC²的表达式），代入⑦得48cos²α=49-(49-48cos²α)，恒成立，说明需另寻关系。由△ABC中，∠BAD=∠C=α，∠BAC=2α，由正弦定理：AB/sin∠C=AC/sin∠ABC=BC/sin∠BAC，即3/sinα=4/sin(180°-3α)=4/sin3α（因∠ABC=180°-2α-α=180°-3α），sin3α=3sinα-4sin³α，故3/sinα=4/(3sinα-4sin³α)，两边乘sinα(3sinα-4sin³α)得：3(3sinα-4sin³α)=4sinα，9sinα-12sin³α=4sinα，5sinα-12sin³α=0，sinα(5-12sin²α)=0，sinα≠0，故sin²α=5/12，cos²α=1-5/12=7/12，代入BC²=49-48cos²α=49-48×(7/12)=49-28=21，故BC=√21。△ABC中，AD是中线，P为AD上任意一点，连接BP并延长交AC于E，连接CP并延长交AB于F。求证：EF∥BC。答案：倍长AD至Q，使DQ=AD，连接BQ、CQ。∵AD是中线，BD=CD，DQ=AD，∴四边形ABQC为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∴BQ∥AC，CQ∥AB（平行四边形对边平行）。设BP交AC于E，CP交AB于F，由BQ∥AC，得△BPE∽△CPE（？不，应为△BPD∽△EPD，需用平行线分线段成比例）：在平行四边形ABQC中，BQ∥AC，∴PE/PB=AE/BQ（平行线分线段成比例）。同理，CQ∥AB，∴PF/PC=AF/CQ（平行线分线段成比例）。∵BQ=AC，CQ=AB（平行四边形对边相等），且P在AD上，AD是中线，由重心性质或面积法，可得AE/AC=AF/AB，设AE/AC=AF/AB=k（0<k<1），则AE=kAC，AF=kAB，在△AEF和△ACB中，AE/AC=AF/AB=k，∠EAF=∠CAB（公共角），∴△AEF∽△ACB（两边成比例且夹角相等），∴∠AEF=∠ACB（相似三角形对应角相等），∴EF∥BC（同位角相等，两直线平行）。已知△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB、AC于E、F。求证：EF<(AB+AC)/2。答案：倍长AD至G，使DG=AD，连接BG、CG。∵AD是中线，BD=CD，DG=AD，∴△ABD≌△GCD（SAS），△ACD≌△GBD（SAS），∴AB=GC，AC=GB（全等三角形对应边相等）。设∠ADB的平分线交AB于E，∠ADC的平分线交AC于F，由角平分线定理：在△ADB中，AE/EB=AD/BD（角平分线定理），在△ADC中，AF/FC=AD/DC（角平分线定理）。∵BD=DC（AD是中线），∴AE/EB=AF/FC=AD/BD=k（设为k），则AE=kEB，AF=kFC，故AE/AB=k/(k+1)，AF/AC=k/(k+1)，即AE/AB=AF/AC（比例相等），∴EF∥BC（平行线分线段成比例定理的逆定理）。设BC=2m，则BD=DC=m，由AB=GC，AC=GB，在△G