高中数学基础练习题-6.3平面向量的数乘运算与共线定理(解析版)

高中数学基础练习题-6.3平面向量的数乘运算与共线定理（解析版）一、单选题（每题2分，共20分）1.若向量a=(3,4)，向量b与向量a共线，且|b|=5，则向量b等于（）A.(9,12)B.(-9,-12)C.(15,20)D.(-15,-20)【答案】C【解析】向量b与向量a共线，故b=ka（k为实数），又|b|=5，|a|=5√2，则|b|=|ka|=|k||a|=5，所以|k|=1/√2，b=±(1/√2)a=±(3/√2,4/√2)，由于|b|=5，取b=(15,20)。2.若两个非零向量a和b满足|a+b|=|a-b|，则a与b的关系是（）A.垂直B.平行C.共线D.任意关系【答案】B【解析】|a+b|=|a-b|两边平方得|a|^2+2a·b+|b|^2=|a|^2-2a·b+|b|^2，解得a·b=0，故a与b垂直。3.已知向量a=(1,m)，向量b=(-2,4)，若a/2+b与a-b共线，则m的值为（）A.1B.-1C.2D.-2【答案】A【解析】a/2+b=(0,m+2)，a-b=(3,m-4)，由共线定理得3(m+2)=(m-4)，解得m=1。4.若向量a=(1,2)，向量b=(3,-6)，则下列说法正确的是（）A.a与b共线B.2a+3b=0C.a·b<0D.|a|>|b|【答案】C【解析】a与b的斜率k_a=2，k_b=-2，故a与b不共线；2a+3b=(11,-14)≠0；a·b=1×3+2×(-6)=-9<0；|a|=√5，|b|=3√5，|a|<|b|。5.若a=(1,2)，b=(x,y)，且3a-2b=0，则x-y的值为（）A.-1B.1C.-3D.3【答案】B【解析】3a-2b=0得3(1,2)-2(x,y)=(3-2x,6-2y)=(0,0)，解得x=3/2，y=3，故x-y=3/2-3=-3/2。6.若向量a=(2,-1)，向量b=(m,3)，且a与b共线，则m的值是（）A.3/2B.-3/2C.6D.-6【答案】D【解析】a与b共线，故2×3=-1×m，解得m=-6。7.若a=(1,2)，b=(3,4)，则下列向量中与a+b共线的是（）A.(1,6)B.(7,8)C.(-7,-8)D.(-1,-6)【答案】B【解析】a+b=(1+3,2+4)=(4,6)，B选项(7,8)与(4,6)共线。8.若向量a=(1,2)，向量b=(x,y)，且a/3+b与2a-b共线，则x+y的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】a/3+b=(1/3+x,2/3+y)，2a-b=(2-x,4-y)，共线得(1/3+x)(4-y)=(2-x)(2/3+y)，解得x+y=3。9.若向量a=(3,4)，向量b=(6,8)，则下列说法正确的是（）A.a与b平行B.a与b垂直C.a·b=24D.|a|=|b|【答案】C【解析】a与b的比例关系为1:2，故平行；a·b=3×6+4×8=24。10.若向量a=(1,2)，向量b=(x,y)，且a/2-b与a+b共线，则x-y的值为（）A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【解析】a/2-b=(1/2-x,2-y)，a+b=(1+x,2+y)，共线得(1/2-x)(2+y)=(1+x)(2-y)，解得x-y=-1。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列说法正确的有（）A.若a与b共线，则存在非零实数k，使b=kaB.若|a|=|b|，则a与b共线C.若a·b=0，则a与b垂直D.若a/2+b与a-b共线，则a与b共线【答案】A、C【解析】|a|=|b|不能保证方向相同或相反，故B错；a/2+b与a-b共线不能推出a与b共线，故D错。2.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-6)，则下列说法正确的有（）A.a与b共线B.2a+3b=0C.a·b<0D.|a|>|b|【答案】C【解析】同单选题第4题解析。3.若向量a=(1,2)，向量b=(x,y)，且3a-2b=0，则下列说法正确的有（）A.x=3/2B.y=3C.x-y=-3/2D.x+y=3【答案】A、B、C【解析】同单选题第5题解析。4.若向量a=(2,-1)，向量b=(m,3)，且a与b共线，则下列说法正确的有（）A.m=-6B.m=6C.2×3=-1×mD.3×(-1)=2×m【答案】A、C【解析】同单选题第6题解析。5.若向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则下列向量中与a+b共线的是（）A.(1,6)B.(7,8)C.(-7,-8)D.(-1,-6)【答案】B【解析】同单选题第7题解析。三、填空题（每题4分，共16分）1.若向量a=(3,4)，向量b与向量a共线，且b=(12,16)，则实数k的值为______。【答案】4【解析】b=ka，12=3k，16=4k，解得k=4。2.若向量a=(1,2)，向量b=(x,y)，且a/2+b与a-b共线，则x______y=1。【答案】+3【解析】a/2+b=(1/2+x,2+y)，a-b=(1-x,2-y)，共线得(1/2+x)(2-y)=(1-x)(2+y)，解得x+y=3。3.若向量a=(2,-1)，向量b=(m,3)，且a与b共线，则m______。【答案】-6【解析】同单选题第6题解析。4.若向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则a+b______，|a+b|______。【答案】(4,6)；√32【解析】a+b=(1+3,2+4)=(4,6)，|a+b|=√(4^2+6^2)=√32。四、判断题（每题2分，共10分）1.若向量a与向量b共线，则a与b的斜率相等。（）【答案】（×）【解析】若a与b都是非零向量，则a与b共线时斜率相等；若a或b中有零向量，则斜率无意义。2.若向量a=(1,2)，向量b=(3,-6)，则a与b垂直。（）【答案】（×）【解析】a·b=1×3+2×(-6)=-9≠0，故不垂直。3.若向量a=(1,2)，向量b=(x,y)，且a/2+b与a-b共线，则a与b共线。（）【答案】（×）【解析】a/2+b与a-b共线不能推出a与b共线。4.若向量a=(2,-1)，向量b=(m,3)，且a与b共线，则m=-6。（）【答案】（√）【解析】同单选题第6题解析。5.若向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则a+b=(4,6)，且|a+b|=√32。（）【答案】（√）【解析】同填空题第4题解析。五、简答题（每题5分，共15分）1.已知向量a=(3,4)，向量b=(6,8)，求向量b与向量a的关系。【答案】向量b与向量a共线。【解析】b=2a，故b与a共线。2.已知向量a=(1,2)，向量b=(x,y)，且a/2+b与a-b共线，求x与y的关系。【答案】x+y=3。【解析】a/2+b=(1/2+x,2+y)，a-b=(1-x,2-y)，共线得(1/2+x)(2-y)=(1-x)(2+y)，解得x+y=3。3.已知向量a=(2,-1)，向量b=(m,3)，且a与b共线，求m的值。【答案】m=-6。【解析】a与b共线，故2×3=-1×m，解得m=-6。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-6)，求向量c，使得c与a+b共线，且|c|=10。【答案】c=(±10,±15)【解析】a+b=(4,-4)，设c=λ(4,-4)，|c|=10，解得|λ|=10/√32=5/4，故c=(±10,±15)。2.已知向量a=(1,2)，向量b=(x,y)，且a/2+b与a-b共线，求x与y的关系，并证明a与b不共线。【答案】x+y=3【解析】a/2+b=(1/2+x,2+y)，a-b=(1-x,2-y)，共线得(1/2+x)(2-y)=(1-x)(2+y)，解得x+y=3。若a与b共线，则x=2y，代入x+y=3得3y=3，y=1，x=2，此时a=(1,2)，b=(2,1)，a·b=3≠0，故a与b不共线。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-6)，向量c=(x,y)，且c与a+b共线，且|c|=10，求向量c。【答案】c=(±10,±15)【解析】a+b=(4,-4)，设c=λ(4,-4)，|c|=10，解得|λ|=10/√32=5/4，故c=(±10,±15)。2.已知向量a=(1,2)，向量b=(x,y)，且a/2+b与a-b共线，且a与b不共线，求x与y的关系，并求向量b。【答案】x+y=3，b=(2,1)【解析】a/2+b=(1/2+x,2+y)，a-b=(1-x,2-y)，共线得(1/2+x)(2-y)=(1-x)(2+y)，解得x+y=3。若a与b共线，则x=2y，代入x+y=3得3y=3，y=1，x=2，此时a=(1,2)，b=(2,1)，a·b=3≠0，故a与b不共线，b=(2,1)。---标准答案：一、单选题1.C2.B3.A4.C5.B6.D7.B8.