2025-2026学年下学期黑龙江齐齐哈尔高三数学2026年4月二模试卷（含答案）

数学满分150分,考试时间120分钟。注意事项:1.答题前,考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上。2.答选择题时,选出每小题答案后,用2 B3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数z在复平面内所对应的点为1,1,则A.1+iB.1−iC.−2.集合A={x∣xA.{x∣0<x<3.函数fx=3x+x+a,若A.−3,−2B.−24.向量a=3,t,b=6,a,若A.3B.±3C.3D.5.fx=ax3+bx+ca≠0A.-2B.0C.1D.26.某人有3种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的图形的6个顶点A,BA.3种B.6种C.12种D.48种7.若θ∈0,πA.−7210B.−210C.728.双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过点F且斜率为−255的直线与y轴交于点A,线段AFA.255B.45二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知fx=A.fx>0的解集为{xB.x+22fC.当x>−2时,gxD.∀x>10.函数fx=A.φB.fx在7π6C.fx的表达式可以写成D.若关于x的方程fx=1在0,m11.抛物线E:y2=2pxp>0的焦点为F,以Dp,0为圆心,DF为半径得到圆D,圆D上有一点p,1.过点F的直线与EA.p=2B.当PF=2FQ时,C.当PF=2FQ时,三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.在△ABC中,a=7,b=8,锐角C满足13.PA=12,14.如图，在三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=2π3，SA=AC=2，AB=1,SM=MC四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.本小题满分13分已知正方形ABCD的边长为2,按如下规律构造正方形序列:取当前正方形各边中点,依次连接各边中点得到新正方形,重复此操作得到一系列正方形.设第k个正方形与第k+1个正方形之间的封闭区域为第k个“环域”,记第k个“环域”的面积为bk,初始正方形ABCD(1)求数列bk(2)受实际物理测量精度限制，该作图操作无法实现无限次分割，仅可进行有限次作图.若此分割作图过程可无限延续,则所有依次作出的正方形的面积之和趋近于某一确定常数M,求这个常数M的值.16.本小题满分15分如图所示,已知等腰梯形ABCE中,AB//EC,D是EC的中点,将△AED沿AD对折至△APD,使得与边长为2的菱形ABCD成(1)求点P到平面ABCD的距离；(2)求二面角A−PB17.本小题满分15分某农场现有两种优质作物种子,在相同种植条件下,单位面积产量分别为随机变量X1,X0.51.0P0.80.2X0.20.81.2P0.20.50.3(1)若分别用两种种子各种植100亩，设Y1，Y2分别为两种作物的总产量，求DY1，(2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用x亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子,fx为两种作物总产量的方差之和,求fx的最小值时的x(3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按(2)最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议.18.本小题满分17分设O为坐标原点,A,B分别是直线y=32x和y=−32x上的动点,且AB=23,动点P(1)求曲线E的方程；(2)T7,0，过曲线E的中心O作一条直线交曲线E于P，Q两点,求△PTQ周长的最小值、(3)若点C是曲线E上异于顶点的任意一点,若H−4,0，G4,0，直线CG，CH分别交直线x0=−1677于点N,M.以19.本小题满分17分已知fx为定义在−π2,π2上的奇函数且连续可导,令gx=fxcos(1)讨论gx在区间−π2,0上的单调性,并证明:当x(2)当x∈−π2,0(3)我们可以找到满足题意的一个函数fx=ex−e−xcosx−π2<x<π2.现在利用这个函数，重新构造函数参考答案数学一、选择题1.B由复数的几何意义可知z=1+i,故2.DCRA={x∣3.C由题得fa=3a+2a,令ga=3a+2a,则ga为增函数,又g4.A由题设知6t=3a,则a=2t=9+t2,则4t2=5.Df′x=3ax2+b,又fx在0,f0处的切线方程是x−6.C先安装下底面的三个顶点有A33=6种不同的安装方法,再安装上底面的三个顶点有C21=2本题也可以从A,B,C,A7.B因为θ∈0,π2,所以π4<2θ+π4<5π4,而8.C记Fc,0,则lAB:2x+5y−2c=0,则A0,2c5,Bc2,c5,因为点B在双曲线E上,则c24a二、选择题9.ACfx=x+3x+2>0⇔x+3x+2>0⇔x<−3或x>−2,故A正确;x+22fx<2⇒x+3x+10.BCD由图知f0=2sinφ=1,由五点法可知ω⋅5π12+π6=π,因此ω=2,令2x+π6=π2+2kπ由诱导公式可知fx=2sin2x+令fx=1,故sin2x+π6=12,故x=0,π3,π,4π311.AC对于A,圆D:x−p2+y2=p22对于B,记Px1,y1,Qx2,y2,F1,0,显然FP=−2FQ,而FP对于C,由B得y1=±4x1=±22,此时直线的斜率k=y1−0x1−1=±22,所以lPQ:y=±对于D,设直线PQ方程为x=ty+1,由x=PQ=ty1+2ty2+因此FM∥PQ−FP三、填空题12.437因为sinC=3314，则cosC=1−sin2C=13.724PB∣A=PB∣A=P故PB=PBA+14.103法一(坐标法):如图建立空间直角坐标系AxyzB32,−12AC=2得N0,2λ,0,由即36,76−2λ,0⋅则MN=法二(几何法):由SA⊥平面ABC，NP⊂平面ABC知NP⊥SA，由SA∩SB=S，SA⊂平面SAB，SB⊂平面SAB得NP⊥平面SAB，由AB⊂平面SAB得NP⊥AB,取由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cosA=四、解答题15.解:(1)正方形ABCD的面积为a1=4,故连接各边中点得到的新正方形面积是原正方形的因此ak是首项为4,公比为12的等比数列,所以因此bk=ak−ak+1(2)Sn故当n→∞时,116.解:(1)由题设，可知AD=AB取AD中点O,连接PO,OB,故又PB⊥AD,PB∩PO=P,又OB⊂平面POB,故AD⊥OB.故∠POB为平面ABCD与平面∴∠POB=60∘.因为AD⊂平面ABCD,故平面ABCD⊥平面POB,平面ABCD∩平面POB=OB,过P作PF故PF⊥平面ABCD∵OP因此点P到平面ABCD的距离为32(2)以O为坐标原点，直线OA,OB为x轴，y轴，过O且垂直于平面ABCD的直线为z则A1AB设平面ABP的法向量为n=x,y,z,则n⋅AB=设平面BPC的法向量为m=a,b,c,则m⋅BC=0m∴cos<n所以二面角A−PB−C17.解:(1)由题设得EXDXDEDXDY∴D(2)∴fx故当x=−−242×0.16=(3)全部种植第一种种子:EY1全部种植第二种种子:EY2按(2)最优比例种植:EY=评价:最优比例种植的方差最小,为300,稳产性最好,产量适中;全部种植第二种种子总产量最高,但是风险较高.建议:若农场追求高产量且能承担较高风险,可选全种第二种种子;若更看重稳产,降低种植风险,应采用75亩种第一种种子,25亩种第二种种子的最优比例.18.解:(1)设Px∵AB∵OP故曲线E的方程为x2(2)T7,0为曲线E的右焦点，其左焦点△PTQ的周长为PT故当OP最小时,周长最小,因此当OP⊥xS△故当yp最大时,面积最大,因此当OP⊥x轴时面积最大,故最大值为(3)设Cm,n，∴m216直线CG、CH的方程分别为故Nx以NM为直径的圆的方程为x−令y=0,得x−x0解得x=−7或x=−2577,故以NM为直径