第03讲 函数的单调性、极值和最值（人教A版2019选择性必修第二册）（原卷版）

第03讲函数的单调性、极值和最值【人教A版2019】模块一模块一函数的单调性1．函数单调性和导数的关系(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系

①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；

②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.

③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.

(2)函数值变化快慢与导数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.

常见的对应情况如下表所示.图象f'(x)变化规律f'(x)>0

且越来越大f'(x)>0

且越来越小f'(x)<0

且越来越小f'(x)<0

且越来越大函数值变化规律函数值增加

得越来越快函数值增加

得越来越慢函数值减小

得越来越快函数值减小

得越来越慢2．确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.【题型1利用导数判断单调性、求单调区间】【例1.1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数y=lnxA．-∞,1 B．0,1 C．1,e【例1.2】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）函数y=12A．-1,1 B．0,1 C．1,+∞ D【变式1.1】（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数fx(1)当a=-2时，求过点1,0且与f(2)讨论函数fx的单调性【变式1.2】（23-24高二下·湖北·期中）已知函数fx(1)讨论fx(2)若fx≤0恒成立，求a【题型2由函数的单调性求参数】【例2.1】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数fx=2x+lnx-A．-∞,-3 BC．-∞,-10 D【例2.2】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数f(x)=alnx+1A．1e B．1 C．e D．【变式2.1】（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数f(x)=kx-6lnA．43,+∞ B．8,+∞ C．【变式2.2】（23-24高二下·海南·期中）已知函数f(x)=13x3A．[-4,+∞) BC．(-2,+∞) D【题型3函数单调性的应用】【例3.1】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知a=ln22,A．b>c>a B．a>b【例3.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数fx=ex-A．-∞,1 B．-∞,-1 C．【变式3.1】（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知奇函数fx及其导函数f'x的定义域均为R，当x<0时，f'x+fxxA．b<c<a B．c<a<bC．a<b<【变式3.2】（23-24高二下·山东聊城·期末）已知定义在R上的函数fx的导函数为f'x，若f1=3，且∀x∈A．-∞,-1 BC．1,+∞ D．模块二模块二函数的极值与最大（小）值1．函数的极值极值的相关概念

(1)极小值点与极小值：

如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值：

如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2．函数的最大值与最小值(1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.

(2)函数的极值与最值的区别

①极值是对某一点附近(即局部)而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.

②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.

③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.3．利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【题型4利用导数求函数的极值】【例4.1】（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数fx=alnx+xA．ln2+14 B．-ln2-1【例4.2】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数fx=3lnA．-2 B．-52 C．-【变式4.1】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数fx的导函数为f'x，定义域为0,+∞，且函数

A．fx有极小值f6B．fx仅有极小值f6C．fx有极小值f1和f6，极大值D．fx仅有极小值f1【变式4.2】（23-24高二下·重庆·期末）若函数fx=x2+bx+1exA．0 B．-e-3 C．-【题型5根据极值（点）求参数】【例5.1】（23-24高二下·广东佛山·期中）若函数fx=x3-A．-3,3 B．-3,3【例5.2】（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数fx=ax+bex，当x=1时，A．2 B．1 C．0 D．-【变式5.1】（23-24高二下·海南·期中）已知x=ln2是函数f(xA．-2ln2C．2ln2 D【变式5.2】（23-24高三上·四川广安·阶段练习）已知函数g(x)=lnxx+A．1,e2 B．0,e2 C．【题型6利用导数求函数的最值】【例6.1】（23-24高二下·湖北·期中）函数fx=cosx+A．0 B．π4 C．π2 D【例6.2】（24-25高三·上海·课堂例题）函数fx=2x3-6x2+m（m为常数）在A．-37 B．-5 C．1 D．5【变式6.1】（23-24高二下·湖南益阳·期末）关于函数f(x)=A．f(x)定义域为(0,+∞) BC．当a≠12时，f(x【变式6.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数fx=2x2,x≤0A．-ln2 BC．ln2-1 D．【题型7已知函数最值求参数】【例7.1】（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数fx=13x3-4xA．(0,1] B．(0,3] C．(0,2] D【例7.2】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数f(x)=x+4xA．0<a<13 B．0≤a<【变式7.1】（23-24高二下·河南郑州·期末）函数fx=x3-3xA．-3,1 B．-3,1 C．-2,1【变式7.2】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知fx=13x3-A．-∞，5 B．-5，1【题型8函数单调性、极值与最值的综合应用】【例8.1】（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数fx=ax(1)求a，b的值；(2)求函数fx在区间-2,3【例8.2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数fx(1)讨论fx(2)若函数gx=fx-4x【变式8.1】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数fx=13x3+(1)求函数fx(2)在（1）的条件下，讨论函数fx在-【变式8.2】（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知函数fx(1)讨论fx(2)当0≤a≤2时，是否存在实数a，使得fx在区间0,1的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出一、单选题1．（23-24高二下·北京海淀·期中）若函数fx=x22-lnA．1,+∞ B．1,+∞ C．0,1 D2．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）若函数fx=x(x+cA．1或3 B．3 C．1 D．33．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数fx与其导函数f'x的图象的一部分如图所示，则关于函数gA．在-1,1单调递减 B．在0,2-C．在2-3,1单调递减 D．在4．（23-24高二下·天津·期中）已知函数fx=cosx+ex，且a=f2、b=A．a<b<c B．a<c5．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知实数x，y，满足ylny=e2A．e B．e2 C．2e D6．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若函数y=f(x)A．-3是函数fB．-1是函数yC．函数f(xD．φ'(7．（23-24高二下·山东聊城·期末）设函数fx=13x3-4xA．313 B．163 C．0 D8．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数fx的定义域为0,+∞，且f1=e-1A．0,1 B．0,+∞ C．1,+∞ D二、多选题9．（23-24高二下·四川自贡·期中）函数fx=xA．-1,0 B．2,8 C．1,2 D．10．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）对于函数fx=1A．fxB．fxC．fx的单调递增区间为-∞D．f0=0是极小值，11．（23-24高二下·河北·期末）已知函数f(x)=a2x2A．a的取值范围是(-B．xC．x1xD．f(x三、填空题12．（23-24高二下·四川雅安·期中）函数fx=ex-a-3x13．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若函数fx=2x+5x+3lnx14．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数fx=ex-ax2在区间(0,+∞四、解答题15．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数f((1)求函数y=f((2)求函数f(16．（23-24高二下·四川成都·期中）