湖南省名校大联盟2026届高三下学期月考卷（七）数学试卷

湖南省名校大联盟2026届高三下学期月考卷（七）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2026春·高三·湖南·月考]数据1,1,2,3,5,8的分位数为(

)A.2 B.2.4 C.2.5 D.3答案：A解析：将数据从小到大排序,可得1,1,2,3,5,8,共有6个数据,则,因为2.4不是整数,则该组数据的分位数为第3个上,即数据的分位数为2.故选:A.2．[2026春·高三·湖南·月考]若复数z满足（是虚数单位）,则(

)A. B.1 C. D.2答案：B解析：由题意可知,.故选:B3．[2026春·高三·湖南·月考]已知为等比数列,q为其公比,设甲:;乙:,则甲是乙的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D解析：当时,,此时,不满足,故充分性不成立;若,此时满足,但,故必要性不成立,故甲是乙的既不充分也不必要条件.故选:D.4．[2026春·高三·湖南·月考]已知平面向量,,且与共线,则(

)A.1 B.-1 C. D.答案：C解析：由题意可得,,由与共线可得,解得,故选:C5．[2026春·高三·湖南·月考]设函数为定义在R上的偶函数,若曲线在点处的切线的斜率为8,则(

)A.12 B.4 C. D.答案：C解析：由函数为定义在R上的偶函数,得,则,两边求导得,即,而,则,所以.故选:C6．[2026春·高三·湖南·月考]将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,则图象的一条对称轴方程为(

)A. B. C. D.答案：D解析：因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,所以.(法一)当时,,A不正确;当时,,B不正确;当时,,C不正确;当时,,D正确.故选:D（法二）令,解得,即函数图象的对称轴方程为.当时,;当时,;当时,,所以图象在上只有两条对称轴,分别为和,故选:D.（法三）前同法二,对于A,令,解得,排除A;对于B,令,解得,排除B;对于C,令,解得,排除C;对于D,令,解得,符合题意.故选:D.7．[2026春·高三·湖南·月考]若函数的极大值为,则(

)A.-1 B.0 C.1 D.2答案：C解析：,当时,恒成立,单调递增,无极值点,所以.所以为的极大值点,或为的极大值点.因为,所以不是的极大值点,为的极大值点,且,,解得.故选:C.8．[2026春·高三·湖南·月考]双曲线的右支上一点P在第一象限,分别为双曲线C的左、右焦点,M为的内心,若内切圆M的半径为1,则直线的斜率为(

)A. B. C. D.答案：D解析：双曲线的实半轴长,焦点,设圆M与三边分别相切于点,则,又,解得,,则点,因为轴,所以由题,,所以直线的斜率.故选:D二、多项选择题9．[2026春·高三·湖南·月考]记等差数列的公差为d,前n项和为,若,则(

)A. B. C. D.答案：AD解析：由题意可得:,解得,故A正确;因为,,所以,故D正确;且,,故BC错误.故选:AD10．[2026春·高三·湖南·月考]已知抛物线的焦点为,点在抛物线C上,则下列说法正确的是(

)A.准线为B.若,则C.若,则D.M到距离最小为3答案：AC解析：抛物线,则准线方程为:,故A正确;若,则,故,代入抛物线方程可得:,故,故B错误;由B选项可知,,则,故C正确;M到的距离为,当时,距离有最小值,故D不正确.故选:AC11．[2026春·高三·湖南·月考]如图,正三棱台的上、下底面边长分别为2和3,侧棱长为1,点Q在线段上,点P在侧面内运动（包含边界）,且与平面所成角的正切值为,则(

)A.当Q为线段上的中点时,平面B.点P的轨迹长度为C.的最小值为D.存在点P,Q,使得答案：ABD解析：将三条侧棱延长相交于点O,可得三棱锥为正三棱锥.选项A:,故三棱锥为正四面体.当Q为线段上的中点时,Q为的中心,故平面,故A正确;选项B,C:依题意,取中点D,中点E,连接,则有,所以的延长线必过点O且,过点D作,则四边形是边长为1的菱形.如图所示:在中,,即,解得,所以,所以为边长为3等边三角形,所以,所以,因为是边长为3的等边三角形且E为中点,所以,,在中,由余弦定理变形得,,在中,由余弦定理变形得,,解得,所以,所以;由,可得平面,又平面,所以,由,,,可得平面,因为与平面所成角的正切值为,所以,解得,,所以点P在平面的轨迹为,当点P运动到与的交点时有最小值,因为四边形是边长为1且的菱形,所以,所以,所以点P的轨迹长度为,所以的最小值为,故B正确,C错误;选项D:当P为中点,Q为中点时,,故D正确.故选:ABD三、填空题12．[2026春·高三·湖南·月考]已知函数,则________.答案：或0.5解析：因为,所以.故答案为:.13．[2026春·高三·湖南·月考]已知,,则______.答案：或0.5解析：,整理得:化简得:.故答案为:.14．[2026春·高三·湖南·月考]如图所示的挂件由7个圆组成,中心圆为主挂件,从中心向三个方向延伸出分挂件,每个方向有两个分挂件,靠近主挂件的为第一层分挂件,远离主挂件的为第二层分挂件.现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色,要求相邻的挂件涂不同的颜色,且同一层的分挂件涂不同的颜色,则所有的涂色方法种数为______.答案：264解析：按分步计数原理,依次涂色:涂中心主挂件:共4种颜色可选,因此有种涂色方法;涂第一层分挂件（共3个）:要求:每个第一层都与中心相邻,故不能与中心同色;且同一层分挂件颜色不同.中心已经用掉1种颜色,剩余3种颜色,给3个不同的第一层分挂件涂色,是全排列问题,方法数为;涂第二层分挂件（共3个）:要求:每个第二层只和同方向第一层相邻,故不能等于对应第一层的颜色;且同一层分挂件颜色不同.此时已有4种不同颜色:中心颜色,三个第一层颜色（互不相同,且都不等于）,需要选3个不同颜色分配给3个第二层,满足位置不选,用容斥原理计算:总排列数,减去至少一个位置选自身对应颜色的情况,得总方法数:;总方法数:根据分步乘法计数原理,总涂色方法数为:.四、解答题15．[2026春·高三·湖南·月考]已知在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若且.（1）求角A,B,C的大小;（2）设函数,求函数的单调递减区间.答案：（1）（2）解析：（1）由及正弦定理,可得,化简得,,,或,即或,当时,因,又,不为0,则,得;当时,有,不合题意;.（2）由（1）及题设知,由解得,所以的单调递减区间为.16．[2026春·高三·湖南·月考]如图,已知是等边三角形,,,平面,点为的中点.（1）证明:平面;（2）求直线与平面夹角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明:如图,取的中点O,连接,,平面,平面,平面平面,为等边三角形,,又平面平面,平面,平面.,点F中点,,且,又,,,四边形是平行四边形,,平面.（2）由（1）可知平面,平面,,,两两垂直,故以O为坐标原点,、、所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,.,,.设平面的法向量,则即令,则,,.设直线与平面的夹角为,则,直线与平面夹角的正弦值为.17．[2026春·高三·湖南·月考]已知椭圆的离心率为,且过点,O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程;（2）若过点的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且的面积为,求直线l的方程.答案：（1）（2）解析：（1）由题意可得,解得,故椭圆C的方程为;（2）由题意可得直线l斜率不为0,则可设,设、,联立,消去x得,,,;则,则,化简得,即,则,即直线l的方程为.18．[2026春·高三·湖南·月考]甲、乙两位学生进行答题比赛,每局只有1道题目,比赛时甲、乙同时回答这一个问题,若一人答对且另一人答错,则答对者获得10分,答错者得分;若两人都答对或都答错,则两人均得0分.根据以往答题经验,每道题甲答对的概率为,乙答对的概率为,且甲、乙答对与否互不影响,每次答题的结果也互不影响.（1）求在一局比赛中,甲得10分的概率;（2）设这次比赛共有4局,设Y为甲得0分的次数,求Y的分布列和数学期望;（3）设这次比赛共有3局,若比赛结束时,累计得分为正者最终获胜,求甲最终获胜的概率.答案：（1）（2）分布列见解析,2（3）解析：（1）设X表示在一局比赛中甲得分,则“”表示甲答对且乙答错的情况,根据独立事件概率乘法公式,可得;（2）包含两种情况:甲、乙都答对或甲、乙都答错,甲、乙都答对概率为,甲、乙都答错的概率为,根据互斥事件的概率加法公式,可得,因为每局比赛甲得分的概率为,且每次答题的结果互不影响,所以.则,,,,,则Y的分布列为:Y01234P则Y的数学期望;（3）甲最终获胜有以下四种情况:①三局都得10分,其概率为,②两局得10分,一局得分,其概率为,③两局得10分,一局得分,其概率为,④一局得10分,两局得分,其概率为,综上可得,甲最终获胜的概率为.19．[2026春·高三·湖南·月考]已知函数,.（1）当时,求在上的最小值;（2）若恒成立,求